1.能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實 際問題.2.能利用正弦定理、余弦定理解決三角形中的最值和范圍問題.3.通過解決實際問題，培養(yǎng)學生的數學建模、直觀想象和數學運算素養(yǎng).
判斷下列結論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)東南方向與南偏東45°方向相同.(　　)
(3)從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β的關系為α＋β＝180°.(　　)
1.兩座燈塔A和B與海岸觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站北偏東40°，燈塔B在觀察站南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的A.北偏東10° B.北偏西10°C.南偏東10° D.南偏西10°
由題可知∠ABC＝50°，A，B，C位置關系如圖，則燈塔A在燈塔B的北偏西10°.
2.如圖所示，為測量某樹的高度，在地面上選取A，B兩點，從A，B兩點分別測得樹尖的仰角為30°，45°，且A，B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為
在△ABP中，∠APB＝45°－30°，所以sin∠APB＝sin(45°－30°)
3.在某次海軍演習中，已知甲驅逐艦在航母的南偏東15°方向且與航母的距離為12海里，乙護衛(wèi)艦在甲驅逐艦的正西方向，若測得乙護衛(wèi)艦在航母的南偏西45°方向，則甲驅逐艦與乙護衛(wèi)艦的距離為______海里.
如圖，設點A代表甲驅逐艦，點B代表乙護衛(wèi)艦，點C代表航母，則A＝75°，B＝45°，設甲乙距離x海里，即AB＝x，
例1　(1)(2023·重慶模擬)一個騎行愛好者從A地出發(fā)，向西騎行了2 km到達B地，然后再由B地向北偏西60°騎行 km到達C地，再從C地向南偏西30°騎行了5 km到達D地，則A地到D地的直線距離是
命題點1　測量距離問題
依題意，∠BCD＝90°，在△ABC中，由余弦定理得
在△ACD中，cs∠ACD＝cs(90°＋∠ACB)
(2)(2022·東北師大附中模擬)為加快推進“5G＋光網”雙千兆城市建設，如圖，在某市地面有四個5G基站A，B，C，D.已知基站C，D建在某江的南岸，距離為 km；基站A，B在江的北岸，測得∠ACB＝75°，∠ACD＝120°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，則基站A，B的距離為
在△ACD中，∠ADC＝30°，∠ACB＝75°∠ACD＝120°，所以∠BCD＝45°，∠CAD＝30°，∠ADC＝∠CAD＝30°，
在△BDC中，∠CBD＝180°－(30°＋45°＋45°)＝60°，
例2　(1)(2023·青島模擬)如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產再利用直接結合的競賽場館，大跳臺的設計中融入了世界文化遺產敦煌壁畫中“飛天”的元素.如圖乙，某研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度AB(AB與地面垂直)，在賽道一側找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為75°和30°(其中B，E，D三點共線).該學習小組利用這些數據估算得AB約為60米，則CD的高h約為
命題點2　測量高度問題
A.11米 B.20.8米 C.25.4米 D.31.8米
由題意可得∠AEB＝75°，∠CED＝30°，則∠AEC＝75°，∠ACE＝60°，∠CAE＝45°，
(2)大型城雕“商”字坐落在商丘市睢陽區(qū)神火大道與南京路交匯處，“商”字城雕有著厚重悠久的歷史和文化，它時刻撬動著人們認識商丘、走進商丘的欲望.吳斌同學在今年國慶期間到商丘去旅游，經過“商”字城雕時，他想利用解三角形的知識測量一下該雕塑的高度(即圖中線段AB
的長度).他在該雕塑塔的正東C處沿著南偏西60°的方向前進 米后到達D處(A，C，D三點在同一個水平面內)，測得圖中線段AB在東北方向，且測得點B的仰角為71.565°，則該雕塑的高度大約是(參考數據：tan 71.565°≈3)A.19米 B.20米 C.21米 D.22米
在Rt△ABD中，∠BDA＝71.565°，所以AB＝AD×tan 71.565°≈7×3＝21(米).
例3　(1)(2023·南通模擬)圖1是南北方向水平放置的圭表(一種度量日影長的天文儀器，由“圭”和“表”兩個部件組成)的示意圖，其中表高為h，日影長為l.圖2是地球軸截面的示意圖，虛線表示點A處的水平面.已知某測繪興趣小組在冬至日正午時刻(太陽直射點的緯度為南緯23°26′)，在某地利用一表高為2 dm的圭表按圖1方式放置后，測得日影長為2.98 dm，則該地的緯度約為北緯(參考數據：tan 34°≈0.67，tan 56°≈1.48)A.23°26′ B.32°34′ C.34° D.56°
命題點3　測量角度問題
又tan 34°≈0.67，所以α≈34°，所以由圖4知∠MAN≈90°－34°＝56°，所以β≈56°－23°26′＝32°34′，該地的緯度約為北緯32°34′.
(2)(2023·無錫模擬)《后漢書·張衡傳》：“陽嘉元年，復造候風地動儀.以精銅鑄成，員徑八尺，合蓋隆起，形似酒尊，飾以篆文山龜鳥獸之形.中有都柱，傍行八道，施關發(fā)機.外有八龍，首銜銅丸，下有蟾蜍，張口承之.其牙機巧制，皆隱在尊中，覆蓋周密無際.如有地動，尊則振龍，機發(fā)吐丸，而蟾蜍銜之.振聲激揚，伺者因此覺知.雖一龍發(fā)機，而七首不動，尋其方面，乃知震之所在.驗之以事，合契若神.”如
圖為張衡地動儀的結構圖，現要在相距200 km的A，B兩地各放置一個地動儀，B在A的東偏北60°方向，若A地地動儀正東方向的銅丸落下，B地東南方向的銅丸落下，則地震的位置在A地正東___________km.
如圖，設震源在C處，則AB＝200 km，由題意可得A＝60°，B＝75°，C＝45°，
解三角形的應用問題的要點(1)從實際問題抽象出已知的角度、距離、高度等條件，作為某個三角形的元素.(2)利用正弦、余弦定理解三角形，得實際問題的解.
跟蹤訓練1　(1)(多選)某貨輪在A處測得燈塔B在北偏東75°，距離為 n mile，測得燈塔C在北偏西30°，距離為 n mile.貨輪由A處向正北航行到D處時，測得燈塔B在南偏東60°，則下列說法正確的是A.A處與D處之間的距離是24 n mileB.燈塔C與D處之間的距離是16 n mileC.燈塔C在D處的西偏南60°D.D在燈塔B的北偏西30°
由題意可知∠ADB＝60°，∠BAD＝75°，∠CAD＝30°，
在△ACD中，由余弦定理得
故B錯誤；由B項解析知CD＝AC，所以∠CDA＝∠CAD＝30°，所以燈塔C在D處的西偏南60°，故C正確；由∠ADB＝60°，得D在燈塔B的北偏西60°，故D錯誤.
(2)落霞與孤鶩齊飛，秋水共長天一色，滕王閣，江南三大名樓之一，因初唐詩人王勃所作《滕王閣序》而名傳千古，如圖所示，在滕王閣旁的水平地面上共線的三點A，B，C處測得其頂點P的仰角分別為30°，60°，45°，且AB＝BC＝75米，則滕王閣的高度OP＝________米.
方法一　(兩角互補，余弦值互為相反數)由∠OBC＋∠OBA＝π得cs∠OBC＝－cs∠OBA，
化簡得h2＝3 375，易知h>0，
(3)如圖所示，工程師為了了解深水港碼頭海域海底的構造，在海平面內一條直線上的A，B，C三點進行測量.已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝120 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝150 m，則cs∠DEF＝________.
如圖，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，
在△DEF中，由余弦定理得cs∠DEF＝
例4　(2023·九江模擬)在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知 (a2＋c2－b2)＝－2absin C.(1)求角B；
解三角形中的最值和范圍問題
(2)若D為AC的中點，且BD＝2，求△ABC面積的最大值.
∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，
方法二　在△ABD中，由余弦定理得
∵cs∠CDB＝cs(π－∠ADB)＝－cs∠ADB，
代入③中，整理得a2＋c2－ac＝16，∵a2＋c2≥2ac，∴ac≤16，
方法三　如圖，過點C作AB的平行線交BD的延長線于點E，∵CE∥AB，D為AC的中點，
在△BCE中，由余弦定理得BE2＝BC2＋EC2－2BC·ECcs∠BCE，
解三角形中最值(范圍)問題的解題策略利用正弦、余弦定理以及面積公式化簡整理，構造關于某一個角或某一條邊的函數或不等式，利用函數的單調性或基本不等式等求最值(范圍).
跟蹤訓練2　(2023·南京模擬)在① ；②2S△ABC＝ ，這兩個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并進行解答.問題：在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且________.(1)求角B；
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.
在△ABC中，B，C∈(0，π)，所以sin B≠0，sin C≠0，
在△ABC中，B∈(0，π)，所以sin B≠0，則cs B≠0，
1.一艘游船從海島A出發(fā)，沿南偏東20°的方向航行8海里后到達海島B，然后再從海島B出發(fā)，沿北偏東40°的方向航行16海里后到達海島C，若游船從海島A出發(fā)沿直線到達海島C，則航行的路程為
根據題意知，在△ABC中，∠ABC＝20°＋40°＝60°，AB＝8海里，BC＝16海里，
2.(2023·瀘州模擬)如圖，航空測量的飛機航線和山頂在同一鉛直平面內，已知飛機飛行的海拔高度為10 000m，速度為50 m/s.某一時刻飛機看山頂的俯角為15°，經過420 s后看山頂的俯角為45°，則山頂的海拔高度大約為( )A.7 350 m B.2 650 mC.3 650 m D.4 650 m
如圖，設飛機的初始位置為點A，經過420 s后的位置為點B，山頂為點C，作CD⊥AB于點D，則∠BAC＝15°，∠CBD＝45°，所以∠ACB＝30°，在△ABC中，AB＝50×420＝21 000(m)，
所以山頂的海拔高度大約為10 000－7 350＝2 650(m).
3.(2023·福州模擬)我國無人機技術處于世界領先水平，并廣泛用于搶險救災、視頻拍攝、環(huán)保監(jiān)測等領域.如圖，有一個從地面A處垂直上升的無人機P，對地面B，C兩受災點的視角為∠BPC，且tan∠BPC＝ .已知地面上三處受災點B，C，D共線，且∠ADB＝90°，BC＝CD＝DA＝1 km，則無人機P到地面受災點D處的遙測距離PD的長度是
方法一　由題意得BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設PD＝x，記∠PBD＝α，∠PCD＝β，
解得x＝1或x＝2，又在Rt△PDA中有x>1，∴x＝2.
方法二　由題意知BD⊥平面PAD，∴BD⊥PD.設PA＝x，則PB2＝x2＋5，PC2＝x2＋2.
在△PBC中，由余弦定理得x2＋5＋x2＋2－1
4.(2022·洛陽模擬)在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且sin B＋sin C＝2sin A，則A的最大值為
因為sin B＋sin C＝2sin A，則由正弦定理得b＋c＝2a.
當且僅當b＝c時，等號成立，
5.(2023·德陽模擬)已知銳角△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c.且b＝2asin B, 則cs B＋sin C的取值范圍為
依題意b＝2asin B，由正弦定理得sin B＝2sin Asin B，因為B∈(0，π)，所以sin B≠0，
由于△ABC是銳角三角形，
在等邊△ABC中，設AC＝x，x>0，在△ACD中，由余弦定理可得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcs D，由于DA＝3，DC＝1，代入上式可得x2＝10－6cs D，
∴四邊形ABCD的面積S＝S△ABC＋S△ACD
7.(2022·南寧模擬)2022年4月16日，搭載著3名航天員的神舟十三號載人飛船返回艙成功著陸于東風著陸場，標志著神舟十三號返回任務取得圓滿成功.假設返回艙D垂直下落于點C，某時刻地面上點A，B觀測點觀測
在△ABD中，A＝45°，∠ABD＝180°－75°＝105°，∠ADB＝30°，
AD＝20×sin 105°＝20×sin(60°＋45°)
8.(2022·六安模擬)在△ABC中，a，b，c分別為三個內角A，B，C的對邊，ccs B＋(2a＋b)cs C＝0，若△ABC的外接圓面積為π，則△ABC周長的最大值是________.
ccs B＋(2a＋b)cs C＝0，由正弦定理得sin Ccs B＋(2sin A＋sin B)cs C＝0，即sin Ccs B＋sin Bcs C＋2sin Acs C＝0，所以sin(B＋C)＋2sin Acs C＝0，即sin A(1＋2cs C)＝0，因為A∈(0，π)，所以sin A≠0，
因為△ABC的外接圓面積為π，所以△ABC的外接圓半徑為1，
選擇條件②：由(a＋2b)cs C＋ccs A＝0及正弦定理，得(sin A＋2sin B)cs C＋sin Ccs A＝0，
即sin Acs C＋cs Asin C＝－2sin Bcs C.即sin(A＋C)＝－2sin Bcs C.在△ABC中，A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sin(π－B)＝sin B，
(2)若c＝4，求AB的中線CD長度的最小值.
整理得2CD2＝a2＋b2－8，
11.(多選)(2023·寧波模擬)一艘輪船航行到A處時看燈塔B在A的北偏東75°方向，距離 海里，燈塔C在A的北偏西30°方向，距離為 海里，該輪船由A沿正北方向繼續(xù)航行到D處時再看燈塔B在其南偏東60°方向，下面結論正確的有A.AD＝24B.CD＝12C.∠CDA＝60°或∠CDA＝120°D.∠CDA＝60°
如圖，在△ABD中，B＝45°，
在△ACD中，由余弦定理得CD2＝AC2＋AD2－2×AC×AD×cs 30°，
所以CD＝12，故B正確；
故∠CDA＝60°或者∠CDA＝120°，因為AD>AC，故∠CDA為銳角，所以∠CDA＝60°，故C不正確，D正確.
12.(2023·咸陽模擬)數學必修第二冊介紹了海倫－秦九韶公式：我國南宋時期著名的數學家秦九韶在其著作《數書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數學水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隅，開平方得積.”若把以上這段文字
13.(2022·煙臺模擬)我國地處北半球，房屋的窗戶大部分朝南.冬至正午太陽高度最小，在寒冷的冬天，需要溫暖的陽光射入；在夏天，夏至正午太陽高度
最大，則要避免炙熱的陽光射入.這兩點正是安裝遮陽篷需要考慮的.如圖，AB是窗戶的高度，BC是遮陽篷的安裝高度，CD是遮陽篷的安裝長度，設冬至正午時太陽光線與地面的夾角為α，夏至正午時太陽光線與地面的夾角為β，窗戶高度AB＝h.為保證冬至正午太陽光剛好全部射入室內，夏至正午太陽光剛好不射入室內，則遮陽篷的安裝高度BC＝____________.
依題意可得∠ADC＝β，∠BDC＝α，AB＝h，
因為∠ABC與∠ADC互補，則sin∠ABC＝sin∠ADC，且A，B，C，D四點共圓.所以∠CBD＝∠DAC＝30°，
設AB＝a，AD＝b.(1)如圖1，當∠BAC＝60°時，則∠BAD＝90°，故∠BCD＝90°，
在Rt△ABD中，4＝a2＋b2≥2ab，
(2)如圖2，當∠BAC＝120°時，則∠BAD＝150°，故∠BCD＝30°，
則在△ABD中，由余弦定理得1＝a2＋b2－2abcs 150°，
16.拿破侖·波拿巴，十九世紀法國偉大的軍事家、政治家，對數學很有興趣，他發(fā)現并證明了著名的拿破侖定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構造三個等邊三角形，則這三個三角形的中心恰為另一個等邊三角形的頂點”.如圖，在△ABC中，
∠BAC＝60°，以AB，BC，AC為邊向外作三個等邊三角形，其中心依次為D，E，F，若DF＝ ＝____，AB＋AC的最大值為______.
設BC＝a，AC＝b，AB＝c.如圖，連接AF，BD.由拿破侖定理知，△DEF為等邊三角形.因為D為等邊三角形的中心，所以在△DAB中，∠ABD＝∠BAD＝30°，∠ADB＝120°，設AD＝BD＝x，由余弦定理得c2＝x2＋x2－2x2cs 120°，即c2＝3x2，
又∠BAC＝60°，∠CAF＝30°，所以∠DAF＝∠BAD＋∠BAC＋∠CAF＝120°，在△ADF中，由余弦定理可得DF2＝AD2＋AF2－2AD·AF·cs 120°，

相關課件

新高考數學一輪復習講練課件4.7 第2課時 精研題型明考向——解三角形及應用舉例（含解析）：

這是一份新高考數學一輪復習講練課件4.7 第2課時 精研題型明考向——解三角形及應用舉例（含解析），共46頁。

新高考數學一輪復習講練測課件第4章必刷小題8解三角形 (含解析)：

這是一份新高考數學一輪復習講練測課件第4章必刷小題8解三角形 (含解析)，共42頁。PPT課件主要包含了解得t＝63m等內容，歡迎下載使用。

新高考數學一輪復習講練測課件第4章必刷大題9解三角形 (含解析)：

這是一份新高考數學一輪復習講練測課件第4章必刷大題9解三角形 (含解析)，共31頁。PPT課件主要包含了所以a＝2b等內容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關課件 更多

新高考數學一輪復習講練測課件第3章必刷小題5導數及其應用 (含解析)

新高考數學一輪復習講練測課件第3章必刷小題5導數及其應用 (含解析)
新高考數學一輪復習講練測課件第2章§2.1函數的概念及其表示 (含解析)

新高考數學一輪復習講練測課件第2章§2.1函數的概念及其表示 (含解析)
2024年高考數學一輪復習（新高考版） 第4章　§4.9　解三角形及其應用舉例課件PPT

2024年高考數學一輪復習（新高考版） 第4章　§4.9　解三角形及其應用舉例課件PPT
(新高考)高考數學一輪復習課件第4章§4.8《解三角形及其應用舉例》(含解析)

(新高考)高考數學一輪復習課件第4章§4.8《解三角形及其應用舉例》(含解析)
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內容侵犯了您的知識產權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經成功發(fā)送，5分鐘內有效

設置密碼

6-20個字符，數字、字母或符號

注冊即視為同意教習網「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部