【名師點(diǎn)睛】(1)若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，通項(xiàng)公式為an，
(2)數(shù)列是按一定“次序”排列的一列數(shù)，一個(gè)數(shù)列不僅與構(gòu)成它的“數(shù)”有關(guān)，而且還與這些“數(shù)”的排列順序有關(guān).(3)易混項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)的概念，數(shù)列的項(xiàng)是指數(shù)列中某一確定的數(shù)，而項(xiàng)數(shù)是指數(shù)列的項(xiàng)對(duì)應(yīng)的位置序號(hào).
1.(多選題)下列命題正確的是(
A.所有數(shù)列的第 n 項(xiàng)都可以用公式表示出來(lái)B.依據(jù)數(shù)列的前幾項(xiàng)歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式可能不止一個(gè)
C.若an＋1－an>0(n≥2)，則數(shù)列{an}是遞增數(shù)列D.如果數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，則對(duì)于任意n∈N*，都有an＋1＝Sn＋1－Sn
2.(教材改編題)在數(shù)列{an}中，已知a1＝1，an＋1＝
4an＋1，則a3＝________.
3.(教材改編題)如圖 4-1-1，根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點(diǎn)數(shù)，寫(xiě)出點(diǎn)數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式 an＝________.
題組三 真題展現(xiàn)4.(2021年北京)設(shè)數(shù)列{an}是遞增的整數(shù)數(shù)列，且
a1≥3，a1＋a2＋a3＋…＋an＝100，則n的最大值為(　　)
考點(diǎn)一 由數(shù)列的前幾項(xiàng)求數(shù)列的通項(xiàng)[例 1](1)已知數(shù)列的前 4 項(xiàng)為 2,0,2,0，則依此歸納該
(2)(2021 年千陽(yáng)月考)已知數(shù)列 9,99,999,9 999，…，寫(xiě)
出{an}的通項(xiàng)公式(
解析：數(shù)列 9,99,999,9 999，…，可以表示為10－1,102－1,103－1,104－1，…，∴{an}的通項(xiàng)公式：an＝10n－1.C正確.答案：C
A.an＝10n－1 　　　　 B.an＝10n－2C.an＝10n－1 　　　　D.an＝10n＋1
替出現(xiàn)的情況，可用(－1)k或(－1)k＋1，k∈N*處理.
【題后反思】由前幾項(xiàng)歸納數(shù)列通項(xiàng)的常用方法及具
(1)常用方法：觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見(jiàn)的數(shù)列)等方法.
(2)具體策略：①分式中分子、分母的特征；②相鄰項(xiàng)的變化特征；③拆項(xiàng)后的特征；④各項(xiàng)的符號(hào)特征和絕對(duì)值特征；⑤化異為同，對(duì)于分式還可以考慮對(duì)分子、分母各個(gè)擊破，或?qū)ふ曳肿?、分母之間的關(guān)系；⑥對(duì)于符號(hào)交
【變式訓(xùn)練】寫(xiě)出下列各數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：
考點(diǎn)二 由 an 與 Sn 的關(guān)系求通項(xiàng)
[例 2](1)(2021 年廣州質(zhì)檢)已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為
(2)記 Sn為數(shù)列{an}的前 n 項(xiàng)和.若 Sn＝2an＋1，則
S6＝________.
【題后反思】數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系是
①當(dāng)n＝1時(shí)，a1若適合Sn－Sn－1，則n＝1的情況可并入n≥2時(shí)的通項(xiàng)an；②當(dāng)n＝1時(shí)，a1若不適合Sn－Sn－1，則用分段函數(shù)的形式表示.
易錯(cuò)警示：在利用數(shù)列的前n項(xiàng)和求通項(xiàng)時(shí)，往往容易忽略掉先求出a1，而直接把數(shù)列的通項(xiàng)公式寫(xiě)成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只適用于n≥2的情形.例如[例2]第(1)題易錯(cuò)誤求出an＝2n(n∈N*).
1.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，則數(shù)列{an}
的通項(xiàng)公式an＝________.
解析：a1＝S1＝2－3＝－1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，由于a1也適合上式，∴an＝4n－5.
2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3n＋1，則數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝________.
考點(diǎn)三 數(shù)列的函數(shù)屬性
考向 1 數(shù)列的單調(diào)性
[例 3](1)若an＝2n2＋λn＋3(其中λ為實(shí)常數(shù))，n∈N*，且數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ的取值范圍為_(kāi)_____.
解析：若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則an＋1＞an，即2(n＋1)2＋λ(n＋1)＋3＞2n2＋λn＋3，
整理得λ＞－(4n＋2)，∵n≥1，∴－(4n＋2)≤－6，即
考向 2 數(shù)列的周期性[例4]已知數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an＋1＝an－an－1(n≥2，n∈N*)，
a1＝1，a2＝2，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S2 022＝(　　)
解析：∵an＋1＝an－an－1，a1＝1，a2＝2，∴a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1，a8＝2，…，故數(shù)列{an}是周期為 6 的周期數(shù)列，且每連續(xù) 6 項(xiàng)的和為 0.故 S2 022＝337×0＝0.D 正確.答案：D
(1)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法：先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.(2)判斷數(shù)列單調(diào)性的方法：①作差(或商)法；②目標(biāo)函數(shù)法：寫(xiě)出數(shù)列對(duì)應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對(duì)應(yīng)到數(shù)列中去.
列{an}為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為(　　)
A.(3，＋∞)C.(1，＋∞)
B.(2，＋∞)D.(0，＋∞)
⊙由數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式考向1　形如an＋1＝an＋f(n)，求an
考向2　形如an＋1＝anf(n)，求an[例6]若a1＝1，nan－1＝(n＋1)an(n≥2)，則an＝_______.
考向3　形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an[例7]數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an＋2，則它的一個(gè)
通項(xiàng)公式為 an＝________.
解析：法一(累乘法)：
an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)，
an＋1＝3an＋2，即an＋1＋1＝3(an＋1)＝32(an－1＋1)＝33(an－2＋1)＝…＝3n(a1＋1)＝2×3n(n≥1)，所以an＝2×3n－1－1(n≥2)，又a1＝1也滿(mǎn)足上式，故數(shù)列{an}的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝2×3n－1－1.
答案：2×3n－1－1
【反思感悟】由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式的常用
1.在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＋1＝2an＋1，則其通項(xiàng)公式an＝(　　)A.2n－1 　　　　　　 B.2n－1＋1C.2n－1 　　　　　　D.2(n－1)
解析：法一： ∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)，
又a1＝1，∴a1＋1＝2，∴{an＋1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＋1＝2n，∴an＝2n－1.故選A.法二：∵a1＝1，an＋1＝2an＋1，∴a2＝3，a3＝7，a4＝15.由a1＝1，排除D；由a3＝7，排除B；由a4＝15，排除C.故選A.

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