一、選擇題
1．設(shè)集合，，則是( )
A.B.或
C.D.
2．若在復(fù)平面內(nèi)，點所對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則復(fù)數(shù)的虛部為( )
A.12B.5C.D.
3．已知平面向量，，則向量( )
A.B.C.D.
4．已知，則( )
A.B.C.D.
5．科技是一個國家強盛之根，創(chuàng)新是一個民族進步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國之重器.由中國科學院空天信息創(chuàng)新研究院自主研發(fā)的極目一號Ⅲ型浮空艇（如圖1）從海拔4300米的中國科學院珠穆朗瑪峰大氣與環(huán)境綜合觀測研究站附近發(fā)放場地升空，最終超過珠峰8848.86米的高度，創(chuàng)造了海拔9032米的大氣科學觀測海拔高度世界紀錄，彰顯了中國實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長45米，高16米，若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的表面積為( )
A.B.C.D.
6．已知實數(shù)，且滿足不等式，若，則下列關(guān)系式一定成立的是( )
A.B.C.D.
7．已知函數(shù)，若方程在上有且只有五個實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．已知函數(shù)，正實數(shù)a，b，c是公差為負數(shù)的等差數(shù)列，且滿足，若實數(shù)d是方程的一個解，那么下列四個判斷：
①；②；③；④中一定成立的個數(shù)為
A.1B.2C.3D.4
二、多項選擇題
9．下面正確的是( )
A.若，且，則
B.若，且，則
C.若，且，則
D.若，且，則
10．已知函數(shù)，則( )
A.在上單調(diào)遞增
B.當時，
C.在存在2022個極小值點
D.的所有極大值點從大到小排列構(gòu)成數(shù)列，則
11．1675年，天文學家卡西尼在研究土星及其衛(wèi)星的運行規(guī)律時發(fā)現(xiàn)：在同一平面內(nèi)，到兩個定點的距離之積為常數(shù)的點的軌跡是卡西尼卵形線。在平面直角坐標系中，設(shè)定點，，其中，動點滿足（且a為常數(shù)），化簡可得曲線，則
A.原點O在曲線C的內(nèi)部
B.曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形
C.若，則的最大值為
D.若，則存在點P，使得
三、填空題
12．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，傾斜角為的直線與雙曲線C在第一象限交于點P，若，則雙曲線C的離心率的取值范圍為________.
13．已知點P在曲線上，過點P的切線的傾斜角為，則點P的坐標是________.
14．現(xiàn)有n（，）個相同的袋子，里面均裝有n個除顏色外其他無區(qū)別的小球，第k（）個袋中有k個紅球，個白球.現(xiàn)將這些袋子混合后，任選其中一個袋子，并且從中連續(xù)取出四個球（每個取后不放回），若第四次取出的球為白球的概率是，則________.
四、解答題
15．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.
（1）求；
（2）若，，求的面積.
16．橢圓的光學性質(zhì)：光線從橢圓的一個焦點出發(fā)經(jīng)橢圓反射后通過另一個焦點.現(xiàn)有一橢圓，長軸長為4，從一個焦點F發(fā)出的一條光線經(jīng)橢圓內(nèi)壁上一點P反射之后恰好與x軸垂直，且.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)點Q為直線上一點，且Q不在x軸上，直線，與橢圓C的另外一個交點分別為M，N，設(shè)，的面積分別為，，求的最大值.
17．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，E是的中點.
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值；
（3）直線上是否存在一點F，使得平面，若存在，求出的長，若不存在，請說明理由.
18．已知，記（且）.
(1)當（e是自然對數(shù)的底）時，試討論函數(shù)的單調(diào)性和最值；
(2)試討論函數(shù)的奇偶性；
(3)拓展與探究：
①當k在什么范圍取值時，函數(shù)的圖象在x軸上存在對稱中心？請說明理由；
②請?zhí)岢龊瘮?shù)的一個新性質(zhì)，并用數(shù)學符號語言表達出來.（不必證明）
19．已知數(shù)列的前n項和為，().若是公差不為0的等差數(shù)列，且.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；
（3）記，若存在()，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：因為是6的倍數(shù)，所以，
故選：C.
2．答案：D
解析：由題意，得，所以它的虛部為.
故選：D
3．答案：C
解析：，
故選：C.
4．答案：A
解析：，，
解得：，
.
故選：A.
5．答案：C
解析：該組合體的直觀圖如圖：半球的半徑為8米，圓柱的底面半徑為8米，母線長為13米，圓臺的兩底面半徑分別為8米和1米，高為24米，
所以半球的表面積為（平方米），
圓柱的側(cè)面積為（平方米），
圓臺的側(cè)面積為（平方米），
故該組合體的表面積為（平方米）.
故選：C
6．答案：C
解析：因為，又函數(shù)單調(diào)遞增，所以，即，
對于不等式，移項整理得，
構(gòu)造函數(shù)，由于單調(diào)遞減，所以，即，
故選:C.
7．答案：C
解析：由，得：或，即，或，
易知由小到大第5、6個正根分別為，.
因為方程在上有且只有五個實數(shù)根，
所以有且，解得.
故選：C.
8．答案：A
解析：易知為兩個減函數(shù)的和，所以其為減函數(shù)，又正實數(shù)a，b，c是公差為負數(shù)的等差數(shù)列，所以，又，所以
，，或，，，所以總有，又
，，所以成立，故選A.
9．答案：ABC
解析：對于A：因為，且，
則，故A正確；
對于B：因為，且，
則，故B正確；
對于C：因為，且，
所以，故C正確；
對于D：因為，且，
所以，解得，故D錯誤.
故選：ABC
10．答案：BD
解析：，，當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，所以單調(diào)遞增，且，，所以存在，，當，，此時單調(diào)遞減，故A錯誤.
，在同一個直角坐標系中畫出，.當，，因此，當時，此時，單調(diào)遞減，當，單調(diào)遞增，滿足且，故，在上單調(diào)遞減，所以，故當時，，所以B正確.
由，的圖象可知，存在，當時，，此時，單調(diào)遞減，當，，此時，單調(diào)遞增，所以當，只有一個極小值點，由于是以周期為的周期函數(shù)，故當，有2022個極小值點，當時，有一個極小值點，而當，恒成立，故該區(qū)間無極值點，所以在存在2023個極小值點，故C錯誤.
由，的圖象可知，存在，當時，此時，單調(diào)遞增，當，此時，單調(diào)遞減，所以當，只有一個極大值點.
當，，由圖像可知：，由是以周期為的周期函數(shù)，因此其中k為非正整數(shù).，故D正確.
故選：BD
11．答案：BCD
解析：對于A，將代入方程，得，所以當時，原點O在曲線C上，所以A錯誤，
對于B，以代x，得，得，所以曲線關(guān)于y軸對稱，
代y，得，得，所以曲線關(guān)于x軸對稱，
以代x，代y，得，得，所以曲線關(guān)于原點對稱，所以曲線C既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形，所以B正確，
對于C，當時，由，得，解得，
所以，
所以，所以的最大值為，所以C正確，
對于D，若存在點P，使得，則，因為，，所以，所以，
所以由，得，所以，所以，反之也成立，所以當，則存在點P，使得，所以D正確，
故選：BCD
12．答案：
解析：
因為傾斜角為的直線與雙曲線C在第一象限交于點P，
可知直線的傾斜角大于雙曲線的一條漸近線的傾斜角，
即，
設(shè)，則，根據(jù)可知，
在中，由余弦定理可知，
即，
則，
故
故答案為：
13．答案：
解析：設(shè)，由導數(shù)的定義易求得，
由于P在曲線上，函數(shù)為二次函數(shù)，
過點P的切線即是點P處的切線，故，即，則.
故答案為：
14．答案：9
解析：設(shè)選出的是第k個袋，連續(xù)四次取球的方法數(shù)為，
第四次取出的是白球的取法有如下四種情形：
4白，取法數(shù)為：，
1紅3白，取法數(shù)為：，
2紅2白，取法數(shù)為：，
3紅1白：取法數(shù)為：，
所以第四次取出的是白球的總情形數(shù)為：
，
則在第k個袋子中取出的是白球的概率為：，
因為選取第k個袋的概率為，故任選袋子取第四個球是白球的概率為：
，
當時，.
故答案為：9.
15．答案：（1）；
（2）.
解析：（1）解法一：
又，
，
，，解得：.
解法二：①，
平方可得：，
，，，
②，
由①②可得：.
（2），，，
由正弦定理得：，
由（1）知：，
在中，，
.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）不妨設(shè)F、是橢圓的左焦點、右焦點，
則軸，又因為，，
所以，即，所以，
所以橢圓C的方程為.
（2）設(shè)，，
則：，：
聯(lián)立，消去x得，解得，
同理，聯(lián)立，消去x得，解得，
所以
.
令，
則，
當且僅當，即，即時，取得最大值.
17．答案：（1）證明見解析；
（2）；
（3）存在，.
解析：（1）證明：四邊形是直角梯形，，
，，
平面，平面，
，又，平面，
平面，又平面，
平面平面.
（2）由（1）可知平面，
，，
為二面角的平面角，
，，
，
.
二面角的余弦值為.
(3)連接交于O，過O作交于F，連接，.
則平面.
，，
又，，
.
所以直線上是否存在一點F，使得平面，且.
18．答案：(1)詳見解析；
(2)詳見解析；
(3)①當時，函數(shù)有對稱中心，理由見解析；②答案見解析.
解析：（1）當時，函數(shù)，可得，
若時，，故函數(shù)在R上單調(diào)遞增，函數(shù)在R上無最值；
若時，令，可得，
當時，，函數(shù)在上為嚴格減函數(shù)；
當時，，函數(shù)在上為嚴格增函數(shù)，
所以，當時，函數(shù)取得最小值，最小值為，無最大值.
綜上：當時，函數(shù)在R上無最值；當時，最小值為，無最大值.
（2）因為“為偶函數(shù)”“對于任意的，都有”
即對于任意的，都有，并且；
即對于任意的，，可得，
所以是為偶函數(shù)的充要條件.
因為“為奇函數(shù)”“對于任意的，都有”，
即對于任意的，都有，并且，
即對于任意的，，可得，
所以是為奇函數(shù)的充要條件，
當時，是非奇非偶函數(shù).
（3）①當時，函數(shù)有對稱中心，
當時，對于任意的，都有，并且.
證明：當時，令，解得為函數(shù)的零點，
由，
可得；
②答案1：當時，函數(shù)有對稱軸.
即當時，對于任意的，都有，并且，
參考證明：當時，由，
可得，
答案2：當時，的圖象關(guān)于y軸對稱，
即對于任意的，都有，
答案3：當時，函數(shù)的零點為，即
19．答案：（1）；
（2）證明見解析；
（3）.
解析：（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，所以.
由得，，即，
因為，所以，從而.
（2）由（1）知，，，
即有，①
所以，②
②-①得，，整理得.
兩邊除以得，（），
所以數(shù)列是常數(shù)列.
所以，即，
所以，
所以數(shù)列是等差數(shù)列.
（3）因為，所以，
所以.
因為，
當時，.
顯然，
①若，則，恒成立，
所以，即，，
所以單調(diào)遞減，所以不存在；
②若，則，恒成立，
所以，即，，
所以單調(diào)遞減，所以不存在；
③若，則，所以當，成立，
所以存在.
④若，則.
當，且時，，單調(diào)遞增；
當，且時，，單調(diào)遞減，
不妨取，則.
綜上，若存在，使得成立，則的取值范圍是.

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