浙江省杭州市部分學(xué)校2025屆高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（Word版附解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1. 已知集合，且，則等于（）
A 或B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)元素與集合的關(guān)系，分兩種情況討論屬于集合的情況，再根據(jù)集合元素的互異性進(jìn)行檢驗(yàn).
【詳解】當(dāng)時(shí)，得. 此時(shí). 此時(shí)集合.
因?yàn)椴粷M足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.
當(dāng)時(shí)，解方程，即，可得或.
若，則，此時(shí)集合.
不滿足集合元素的互異性，所以不符合題意，舍去.
若，則，此時(shí)集合. 符合集合元素的互異性.
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)z與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則即可得結(jié)果.
【詳解】由復(fù)數(shù)的幾何意義可知，則．
故選：C.
3. 已知，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式求得結(jié)果.
【詳解】由，得.
故選：D
4. 若，則向量與的夾角為（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由條件等式得到，由向量夾角的計(jì)算公式和等式化簡(jiǎn)得到，從而得到向量之間的夾角.
【詳解】由條件可知，兩邊平方后得，
并且，.
因?yàn)橄蛄繆A角的范圍是，所以向量與的夾角為.
故選：A.
5. 已知，則的最小值為（）
A. B. 9C. D. 10
【答案】B
【解析】
【分析】首先對(duì)題中所給的式子進(jìn)行變形為，利用基本不等式求得最小值，將問題轉(zhuǎn)化為，解不等式求得結(jié)果.
【詳解】由，得，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
令，則，解得（舍去）或，
則，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號(hào)成立，
即的最小值為9.
故選：B.
6. 某個(gè)班級(jí)有55名學(xué)生，其中男生35名，女生20名，男生中有20名團(tuán)員，女生中有12名團(tuán)員．在該班中隨機(jī)選取一名學(xué)生，A表示“選到的是團(tuán)員”，B表示“選到的是男生”，則等于（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合條件概率的計(jì)算公式，即可求解．
【詳解】設(shè)事件為選到的是團(tuán)員，事件為選到的是男生，
根據(jù)題意可得，，，
故．
故選：B．
7. 已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則（）
A. 數(shù)列為遞增數(shù)列B.
C. 的最大值為D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】由題意，，，則，故B錯(cuò)誤；
數(shù)列的公差，所以數(shù)列為遞減數(shù)列，故A錯(cuò)誤；
由于時(shí)，，時(shí)，，
所以的最大值為，故C正確；
，故D錯(cuò)誤.
故選：C.
8. 已知當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意可得，解方程組可得的值，驗(yàn)證單調(diào)性記即可得的值.
【詳解】，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值2，
所以，即，解得，
所以，，
令，得；令，得；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則，符合題意，
所以.
故選：C.
二、多選題（共18分）
9. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）
A. 函數(shù)的最小正周期為
B. 函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C. 函數(shù)在單調(diào)遞減
D. 該圖象向右平移個(gè)單位可得的圖象
【答案】BD
【解析】
【分析】利用三角函數(shù)的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.
【詳解】由圖象得，，解得，所以的最小正周期為，故A錯(cuò)；
，則，將代入中得，
則，，解得，，
因?yàn)?，所以，，?br>所以是的對(duì)稱軸，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵谏喜粏握{(diào)，
所以在上不單調(diào)，故C錯(cuò)；
該圖象向右平移個(gè)單位可得，故D正確.
故選：BD
10. 已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線交軸于點(diǎn)，直線過且交于不同的兩點(diǎn)，在線段上，點(diǎn)為在上的射影．線段交軸于點(diǎn)，下列命題正確的是（）
A. 對(duì)于任意直線，均有
B. 不存在直線，滿足
C. 對(duì)于任意直線，直線與拋物線相切
D. 存在直線，使
【答案】AC
【解析】
【分析】A選項(xiàng)由為線段的中點(diǎn)以及拋物線定義即可判斷，B選項(xiàng)由及拋物線方程求出，坐標(biāo)，再說明，，三點(diǎn)共線，即存在直線即可，C選項(xiàng)設(shè)，，表示出直線，聯(lián)立拋物線，利用即可判斷，D選項(xiàng)設(shè)出直線，聯(lián)立拋物線得到，通過焦半徑公式結(jié)合基本不等式得即可判斷．
【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，如圖，由拋物線知為的中點(diǎn)，軸，所以為線段的中點(diǎn)，
由拋物線的定義知，所以，所以選項(xiàng)A正確；
對(duì)于選項(xiàng)B，設(shè)，，，，，為線段的中點(diǎn)，則，
，，由，得，
解得，，又，，故，，，
可得，，故存在直線，滿足，所以選項(xiàng)B不正確；
對(duì)于選項(xiàng)C，由題意知，為線段的中點(diǎn)，從而設(shè)，則，
直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立可得：，
又，代入整理得，
則，所以直線與拋物線相切，所以選項(xiàng)C正確；
對(duì)于選項(xiàng)D，設(shè)的方程，聯(lián)立，則，所以，，
由，
而，由，得，解得：，
故，所以，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤，

故選：AC．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：（1）直線與拋物線的位置關(guān)系一般需要設(shè)出直線方程，然后與拋物線聯(lián)立，進(jìn)而利用根與系數(shù)的關(guān)系；
（2）有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問題，要注意直線是否過拋物線的焦點(diǎn)，若過拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式，若不過焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式．
11. 已知四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)都在球O（O為球心）的球面上，為等邊三角形，M為AC的中點(diǎn)，，，且，則（）
A. 平面ACDB. 平面ABC
C. O到AC的距離為D. 二面角的正切值為
【答案】AD
【解析】
【分析】設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，利用線面垂直的性質(zhì)定理、判定定理得出球心，從而可判斷A、B; 連接OH，得出面面角，從而判斷A、D.
【詳解】
設(shè)的中心為G，過點(diǎn)G作直線平面ABC，
則球心O在上.由M為AC的中點(diǎn)，得.
因?yàn)?所以平面BDM，則，
所以，所以，所以，，所以，
所以，可得平面ACD，
所以球心O在直線MB上，因此O與G重合.過M作于H，
連接OH，則，從而為二面角的平面角.
因?yàn)?，?br>所以O(shè)到AC的距離為，且.
故選：AD
三、填空題（共15分）
12. 設(shè)函數(shù)，若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.
【詳解】方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，
即函數(shù)與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
作出函數(shù)的圖象，如圖：
結(jié)合圖象可得.
故答案為：.
13. 已知是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，為橢圓上的一點(diǎn)，且，若的面積為9，則的值為______．
【答案】3
【解析】
【分析】由橢圓的性質(zhì)結(jié)合三角形面積公式計(jì)算即可.
詳解】
，
，①
又
②
①-②得：，
的面積為9，
，
故答案為：3.
14. 甲、乙兩人參加玩游戲活動(dòng)，每輪游戲活動(dòng)由甲、乙各玩一盤，已知甲每盤獲勝的概率為，乙每盤獲勝的概率為.在每輪游戲活動(dòng)中，甲和乙獲勝與否互不影響，各輪結(jié)果也互不影響，則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝3盤的概率為______.
【答案】
【解析】
【分析】分別求出甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、3盤的概率，再根據(jù)相互獨(dú)立事件以及互斥事件的概率公式，即可求得答案.
【詳解】設(shè)分別表示甲在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、2盤的事件，
設(shè)分別表示乙在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝1盤、2盤的事件，
根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式可得，
，
則甲、乙兩人在兩輪玩游戲活動(dòng)中共獲勝3盤事件為，
且互斥，故
，
故答案為：
四、解答題（共77分）
15. 在①，②這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中并解答.
問題：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，，，，，且_____________，求的值.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)向量運(yùn)算可得.選擇條件①：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理運(yùn)算求解；選擇條件②：整理可得，利用正弦定理可得，求得，利用余弦定理運(yùn)算求解；
【詳解】因?yàn)?，可知角A是鈍角，
又因?yàn)?，則，可得.
選擇條件①：
因?yàn)椋矗?br>化簡(jiǎn)得，即，
由正弦定理得.
由，解得，
由余弦定理可得，所以.
選擇條件②：
因?yàn)?，由正弦定理可得?br>整理可得，即.
由正弦定理得，由，解得，
由余弦定理可得，所以.
16. 已知數(shù)列滿足，.
（1）證明：是等比數(shù)列；
（2）設(shè)，證明：.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析
【解析】
【分析】（1）對(duì)取倒數(shù)，整理得，變形得，然后利用等比數(shù)列定義即可證明；
（2）先利用等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得，然后利用裂項(xiàng)相消法求和，再利用數(shù)列的符號(hào)得范圍即可.
【小問1詳解】
因?yàn)?，，則，，…
以此類推可知，對(duì)任意的，，
由已知得，即，
所以，且，
所以是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列.
【小問2詳解】
由（1）知，，，
，
.
17. 如圖，在四棱錐中，底面，，，，為棱上一點(diǎn)．
（1）若是的中點(diǎn)，求證：直線平面；
（2）若，且二面角的平面角的余弦值為，求三棱錐的體積
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先取的中點(diǎn)，連接，再由平行四邊形即可證明線線平行，進(jìn)而證明線面平行；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量由二面角的平面角的余弦值求出的位置，即可由體積公式求解．
小問1詳解】
證明：取的中點(diǎn)，連，，
為的中點(diǎn)，且，
又，且，
，，
所以四邊形為平行四邊形，
，
又平面，平面，
故直線平面．
【小問2詳解】
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，所在射線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，，
設(shè)，則，，
在棱上，可設(shè)，
故，解得，即，
易知平面的法向量為，
設(shè)平面的法向量，，，
，即，
即，
取，則，，
故，
因?yàn)槎娼堑钠矫娼堑挠嘞抑禐椋?br>所以，即，
即，
，解得，
故是的中點(diǎn)，
因此
18. 已知點(diǎn)，，曲線上的點(diǎn)與兩點(diǎn)的連線的斜率分別為和，且，在下列條件中選擇一個(gè)，并回答問題（1）和（2）．
條件①：；條件②：．
問題：
（1）求曲線的方程；
（2）是否存在一條直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）答案見解析（2）答案見解析
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意表示斜率并化簡(jiǎn)即可得到答案；
（2）若選擇條件①：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，直線方程與曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合得到，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到；當(dāng)斜率不存在時(shí)，得到，進(jìn)而得到即可；
若選擇條件②：當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)，，，直線方程與曲線方程聯(lián)立，運(yùn)用韋達(dá)定理結(jié)合得到，進(jìn)而化簡(jiǎn)得到；當(dāng)斜率不存在時(shí)，得到，進(jìn)而得到即可.
【小問1詳解】
若選條件①：點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，
由題意可得，，化簡(jiǎn)得，
進(jìn)而曲線的方程為．
若選條件②：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，，
由題意可得，，化簡(jiǎn)得，
進(jìn)而曲線的方程為．
【小問2詳解】
若選條件①：（ⅰ）若直線的斜率存在，設(shè)，
由，得，
則，即，
設(shè)，，則，．
因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，
即，整理得．
，
設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，
又，所以．
（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，
不妨設(shè)，則，代入方程，得，
所以，則．
綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
且．
若選條件②：（?。┤糁本€的斜率存在，
設(shè)，由
得，
則，即，
設(shè)，，則，．
因?yàn)橐詾橹睆降膱A經(jīng)過原點(diǎn)，所以，則，
即，整理得．
，
設(shè)為點(diǎn)到直線的距離，則，所以，
又，所以．
（ⅱ）若直線的斜率不存在，則，
不妨設(shè)，則，代入方程，得，
所以，則．
綜上，存在這樣的直線與曲線交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)．
且．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查解析幾何的綜合問題，此類問題常見的處理方法為：
（1）幾何法：通過圖形特征轉(zhuǎn)化，結(jié)合適當(dāng)?shù)妮o助線與圖形關(guān)系進(jìn)而求解；
（2）坐標(biāo)法：在平面直角坐標(biāo)系中，通過坐標(biāo)的運(yùn)算與轉(zhuǎn)化，運(yùn)用方程聯(lián)立與韋達(dá)定理等知識(shí)，用坐標(biāo)運(yùn)算求解答案.
19. 對(duì)于函數(shù)，若存在，使成立，則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)；
（2）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，若的兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）和
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)不動(dòng)點(diǎn)定義得到方程，解方程求得結(jié)果；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為有兩個(gè)不等實(shí)根，利用判別式得到滿足的不等式，將其看做關(guān)于的一元二次不等式恒成立，由判別式得到關(guān)于的不等式，求解得到結(jié)果；
（3）利用已知得到，根據(jù)對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)求得最值即可得到所求范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，
所以，解得或，
所以函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)為和.
【小問2詳解】
函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，
恒成立，即恒成立，
所以，解得，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為.
【小問3詳解】
∵ ，
所以，
因?yàn)椋裕?br>由于對(duì)勾函數(shù)在單調(diào)遞增，
所以，
所以.故的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查了函數(shù)問題中的新定義問題，搞清楚不動(dòng)點(diǎn)是方程的根，不動(dòng)點(diǎn)的個(gè)數(shù)即為方程的根的個(gè)數(shù)，從而構(gòu)造方程在求解參數(shù)范圍的過程中，要根據(jù)不同的函數(shù)模型，利用二次函數(shù)，對(duì)勾函數(shù)求解對(duì)應(yīng)模型的最值.對(duì)于轉(zhuǎn)化與化歸的思想要求較高.

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