一、知識梳理
1．圓的方程
2.點與圓的位置關系
點M(x0，y0)與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系．
(1)若M(x0，y0)在圓外，則(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2.
(2)若M(x0，y0)在圓上，則(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
(3)若M(x0，y0)在圓內(nèi)，則(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2.
常用結論
1．以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
2．二元二次方程表示圓的條件
對于方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓時易忽視D2＋E2－4F＞0這一條件．
二、教材衍化
1．圓x2＋y2－2x＋4y－6＝0的圓心坐標________，半徑________．
答案：(1，－2) eq \r(11)
2．若圓的圓心為(－8，3)，且經(jīng)過點(－5，0)，則圓的標準方程為________．
答案：(x＋8)2＋(y－3)2＝18
3．在平面直角坐標系中，經(jīng)過三點(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________．
答案：x2＋y2－2x＝0
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)確定圓的幾何要素是圓心與半徑．( )
(2)方程x2＋y2＝a2表示半徑為a的圓．( )
(3)方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓．( )
(4)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是A＝C≠0，B＝0，D2＋E2－4AF＞0.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易錯糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽視方程表示圓的條件D2＋E2－4F＞0；
(2)錯用點與圓的位置關系判定．
1．方程x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0表示圓的充要條件是( )
A．eq \f(1,4)＜m＜1 B．m＜eq \f(1,4)或m＞1
C．m＜eq \f(1,4) D．m＞1
解析：選B．由(4m)2＋4－4×5m＞0，得m＜eq \f(1,4)或m＞1.
2．點(1，1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4內(nèi)，則實數(shù)a的取值范圍是________．
解析：因為點(1，1)在圓的內(nèi)部，
所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，
所以－1＜a＜1.
答案：(－1，1)
考點一 求圓的方程(基礎型)
eq \a\vs4\al(復習指導)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程．
核心素養(yǎng)：數(shù)學運算
(1)圓心在x軸上，半徑長為2，且過點A(2，1)的圓的方程是( )
A．(x－2－eq \r(3))2＋y2＝4 B．(x－2＋eq \r(3))2＋y2＝4
C．(x－2±eq \r(3))2＋y2＝4 D．(x－2)2＋(y－1)2＝4
(2)(一題多解)圓心在直線x－2y－3＝0上，且過點A(2，－3)，B(－2，－5)的圓的方程為________．
【解析】 (1)根據(jù)題意可設圓的方程為(x－a)2＋y2＝4，因為圓過點A(2，1)，所以(2－a)2＋12＝4，解得a＝2±eq \r(3)，所以所求圓的方程為(x－2±eq \r(3))2＋y2＝4.
(2)法一：設點C為圓心，因為點C在直線x－2y－3＝0上，所以可設點C的坐標為(2a＋3，a)．
又該圓經(jīng)過A，B兩點，所以|CA|＝|CB|，
即eq \r((2a＋3－2)2＋(a＋3)2)
＝eq \r((2a＋3＋2)2＋(a＋5)2)，解得a＝－2，
所以圓心C的坐標為(－1，－2)，半徑r＝eq \r(10)，
故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法二：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((2－a)2＋(－3－b)2＝r2，,(－2－a)2＋(－5－b)2＝r2，,a－2b－3＝0，))解得a＝－1，b＝－2，r2＝10，
故所求圓的方程為(x＋1)2＋(y＋2)2＝10.
法三：設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
則圓心坐標為eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，
由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)－2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(E,2)))－3＝0，,4＋9＋2D－3E＋F＝0，,4＋25－2D－5E＋F＝0，))解得D＝2，E＝4，F(xiàn)＝－5.故所求圓的方程為x2＋y2＋2x＋4y－5＝0.
【答案】 (1)C (2)x2＋y2＋2x＋4y－5＝0
eq \a\vs4\al()
求圓的方程的兩種方法
(1)直接法
根據(jù)圓的幾何性質，直接求出圓心坐標和半徑，進而寫出方程．
(2)待定系數(shù)法
①若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關，則設圓的標準方程，依據(jù)已知條件列出關于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；
②若已知條件沒有明確給出圓心或半徑，則選擇圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關于D，E，F(xiàn)的方程組，進而求出D，E，F(xiàn)的值．
[提醒] 解答圓的有關問題，應注意數(shù)形結合，充分運用圓的幾何性質．
1．(2020·內(nèi)蒙古巴彥淖爾月考)在平面直角坐標系中，點O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)，則三角形OAB的外接圓方程是________．
解析：設三角形OAB的外接圓方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由點O(0，0)，A(2，4)，B(6，2)在圓上可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,4＋16＋2D＋4E＋F＝0，,36＋4＋6D＋2E＋F＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0，,D＝－6，,E＝－2，))故三角形的外接圓方程為x2＋y2－6x－2y＝0.
答案：x2＋y2－6x－2y＝0
2．若圓C經(jīng)過坐標原點與點(4，0)，且與直線y＝1相切，則圓C的方程是________．
解析：因為圓的弦的垂直平分線必過圓心且圓經(jīng)過點(0，0)和(4，0)，設圓心為(2，m)，又因為圓與直線y＝1相切，
所以eq \r(22＋m2)＝|1－m|，解得m＝－eq \f(3,2)，
所以圓C的方程為(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4).
答案：(x－2)2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y＋\f(3,2)))eq \s\up12(2)＝eq \f(25,4)
考點二 與圓有關的最值問題(綜合型)
eq \a\vs4\al(復習指導)eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))求解此類問題常利用數(shù)形結合思想或函數(shù)思想．
角度一 借助幾何性質求最值
已知實數(shù)x，y滿足方程x2＋y2－4x＋1＝0.
(1)求eq \f(y,x)的最大值和最小值；
(2)求y－x的最大值和最小值；
(3)求x2＋y2的最大值和最小值．
【解】 原方程可化為(x－2)2＋y2＝3，表示以(2，0)為圓心，eq \r(3)為半徑的圓．
(1)eq \f(y,x)的幾何意義是圓上一點與原點連線的斜率，
所以設eq \f(y,x)＝k，即y＝kx.
當直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值或最小值，此時eq \f(|2k－0|,\r(k2＋1))＝eq \r(3)，解得k＝±eq \r(3)(如圖1)．
所以eq \f(y,x)的最大值為eq \r(3)，最小值為－eq \r(3).
(2)y－x可看作是直線y＝x＋b在y軸上的截距，當直線y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值或最小值，此時eq \f(|2－0＋b|,\r(2))＝eq \r(3)，解得b＝－2±eq \r(6)(如圖2)．
所以y－x的最大值為－2＋eq \r(6)，最小值為－2－eq \r(6).
(3)x2＋y2表示圓上的一點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，在原點和圓心連線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值(如圖3)．
又圓心到原點的距離為eq \r((2－0)2＋(0－0)2)＝2，
所以x2＋y2的最大值是(2＋eq \r(3))2＝7＋4eq \r(3)，x2＋y2的最小值是(2－eq \r(3))2＝7－4eq \r(3).
eq \a\vs4\al()
與圓有關的最值問題的三種幾何轉化法
(1)形如μ＝eq \f(y－b,x－a)形式的最值問題可轉化為動直線斜率的最值問題．
(2)形如t＝ax＋by形式的最值問題可轉化為動直線截距的最值問題．
(3)形如m＝(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題可轉化為動點到定點的距離的平方的最值問題．
角度二 建立函數(shù)關系求最值
設點P(x，y)是圓：(x－3)2＋y2＝4上的動點，定點A(0，2)，B(0，－2)，則|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值為________．
【解析】 由題意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(－x，2－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－x，－2－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2x，－2y)，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程(x－3)2＋y2＝4，故y2＝－(x－3)2＋4，所以|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|＝eq \r(4x2＋4y2)＝2eq \r(6x－5).由圓的方程(x－3)2＋y2＝4，易知1≤x≤5，所以當x＝5時，|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的值最大，最大值為2eq \r(6×5－5)＝10.
【答案】 10
eq \a\vs4\al()
建立函數(shù)關系式求最值
根據(jù)已知條件列出相關的函數(shù)關系式，再根據(jù)關系式的特征選用基本不等式、函數(shù)單調性等方法求最值．
1．(2020·廈門模擬)設點P(x，y)是圓：x2＋(y－3)2＝1上的動點，定點A(2，0)，B(－2，0)，則eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的最大值為________．
解析：由題意，知eq \(PA,\s\up6(→))＝(2－x，－y)，eq \(PB,\s\up6(→))＝(－2－x，－y)，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝x2＋y2－4，由于點P(x，y)是圓上的點，故其坐標滿足方程x2＋(y－3)2＝1，故x2＝－(y－3)2＋1，所以eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))＝－(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知2≤y≤4，所以，當y＝4時，eq \(PA,\s\up6(→))·eq \(PB,\s\up6(→))的值最大，最大值為6×4－12＝12.
答案：12
2．已知實數(shù)x，y滿足(x－2)2＋(y－1)2＝1，則z＝eq \f(y＋1,x)的最大值與最小值分別為________和________．
解析：由題意，得eq \f(y＋1,x)表示過點A(0，－1)和圓(x－2)2＋(y－1)2＝1上的動點P(x，y)的直線的斜率．當且僅當直線與圓相切時，直線的斜率分別取得最大值和最小值．設切線方程為y＝kx－1，即kx－y－1＝0，則eq \f(|2k－2|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝eq \f(4±\r(7),3)，所以zmax＝eq \f(4＋\r(7),3)，zmin＝eq \f(4－\r(7),3).
答案：eq \f(4＋\r(7),3) eq \f(4－\r(7),3)
考點三 與圓有關的軌跡問題(綜合型)
已知A(2，0)為圓x2＋y2＝4上一定點，B(1，1)為圓內(nèi)一點，P，Q為圓上的動點．
(1)求線段AP中點的軌跡方程；
(2)若∠PBQ＝90°，求線段PQ中點的軌跡方程．
【解】 (1)設AP的中點為M(x，y)，
由中點坐標公式可知，P點坐標為(2x－2，2y)．
因為P點在圓x2＋y2＝4上，
所以(2x－2)2＋(2y)2＝4.
故線段AP中點的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝1.
(2)設PQ的中點為N(x，y)，
在Rt△PBQ中，|PN|＝|BN|，
設O為坐標原點，連接ON，則ON⊥PQ，
所以|OP|2＝|ON|2＋|PN|2＝|ON|2＋|BN|2，
所以x2＋y2＋(x－1)2＋(y－1)2＝4.
故線段PQ中點的軌跡方程為x2＋y2－x－y－1＝0.
eq \a\vs4\al()
與圓有關的軌跡問題的四種求法

已知Rt△ABC的斜邊為AB，且A(－1，0)，B(3，0)．求：
(1)直角頂點C的軌跡方程；
(2)直角邊BC的中點M的軌跡方程．
解：(1)法一：設C(x，y)，
因為A，B，C三點不共線，所以y≠0.
因為AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，
又kAC＝eq \f(y,x＋1)，kBC＝eq \f(y,x－3)，
所以eq \f(y,x＋1)·eq \f(y,x－3)＝－1，
化簡得x2＋y2－2x－3＝0.
因此，直角頂點C的軌跡方程為x2＋y2－2x－3＝0(y≠0)．
法二：設AB的中點為D，由中點坐標公式得D(1，0)，由直角三角形的性質知|CD|＝eq \f(1,2)|AB|＝2.由圓的定義知，動點C的軌跡是以D(1，0)為圓心，2為半徑的圓(由于A，B，C三點不共線，所以應除去與x軸的交點)．
所以直角頂點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)．
(2)設M(x，y)，C(x0，y0)，
因為B(3，0)，M是線段BC的中點，
由中點坐標公式得x＝eq \f(x0＋3,2)，y＝eq \f(y0＋0,2)，
所以x0＝2x－3，y0＝2y.
由(1)知，點C的軌跡方程為(x－1)2＋y2＝4(y≠0)，
將x0＝2x－3，y0＝2y代入得(2x－4)2＋(2y)2＝4，
即(x－2)2＋y2＝1.
因此動點M的軌跡方程為(x－2)2＋y2＝1(y≠0)．
[基礎題組練]
1．已知圓C的圓心為(2，－1)，半徑長是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，則圓C的標準方程為( )
A．(x＋1)2＋(y－2)2＝4 B．(x－2)2＋(y－1)2＝4
C．(x－2)2＋(y＋1)2＝16 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝16
解析：選C．根據(jù)圓C的半徑長是方程(x＋1)(x－4)＝0的解，可得半徑長為4，故要求的圓的標準方程為(x－2)2＋(y＋1)2＝16.
2．(2020·河北九校第二次聯(lián)考)圓C的半徑為2，圓心在x軸的正半軸上，直線3x＋4y＋4＝0與圓C相切，則圓C的方程為( )
A．x2－y2－2x－3＝0 B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0 D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：選C．由題意設所求圓的方程為(x－m)2＋y2＝4(m＞0)，則eq \f(|3m＋4|,\r(32＋42))＝2，解得m＝2或m＝－eq \f(14,3)(舍去)，故所求圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0，故選C．
3．方程|x|－1＝eq \r(1－(y－1)2)所表示的曲線是( )
A．一個圓 B．兩個圓
C．半個圓 D．兩個半圓
解析：選D．由題意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((|x|－1)2＋(y－1)2＝1，,|x|－1≥0，))
即eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x－1)2＋(y－1)2＝1，,x≥1))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x＋1)2＋(y－1)2＝1，,x≤－1.))
故原方程表示兩個半圓．
4．(2020·湖南長沙模擬)圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0上的點到直線x－y＝2距離的最大值是( )
A．1＋eq \r(2) B．2
C．1＋eq \f(\r(2),2) D．2＋2eq \r(2)
解析：選A．將圓的方程化為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心坐標為(1，1)，半徑為1，則圓心到直線x－y＝2的距離d＝eq \f(|1－1－2|,\r(2))＝eq \r(2)，故圓上的點到直線x－y＝2距離的最大值為d＋1＝eq \r(2)＋1，選A．
5．點P(4，－2)與圓x2＋y2＝4上任一點連線的中點的軌跡方程是( )
A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 B．(x－2)2＋(y＋1)2＝4
C．(x＋4)2＋(y－2)2＝4 D．(x＋2)2＋(y－1)2＝1
解析：選A．設圓上任一點為Q(x0，y0)，PQ的中點為M(x，y)，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(4＋x0,2)，,y＝\f(－2＋y0,2)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝2x－4，,y0＝2y＋2.))因為點Q在圓x2＋y2＝4上，所以xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝4，即(2x－4)2＋(2y＋2)2＝4，化簡得(x－2)2＋(y＋1)2＝1.
6．已知a∈R，方程a2x2＋(a＋2)y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圓，則圓心坐標是________，半徑是________．
解析：已知方程表示圓，則a2＝a＋2，
解得a＝2或a＝－1.
當a＝2時，方程不滿足表示圓的條件，故舍去．
當a＝－1時，原方程為x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，
化為標準方程為(x＋2)2＋(y＋4)2＝25，
表示以(－2，－4)為圓心，半徑為5的圓．
答案：(－2，－4) 5
7．過兩點A(1，4)，B(3，2)且圓心在直線y＝0上的圓的標準方程為________．
解析：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.因為圓心在直線y＝0上，所以b＝0，所以圓的方程為(x－a)2＋y2＝r2.又因為該圓過A(1，4)，B(3，2)兩點，所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((1－a)2＋16＝r2，,(3－a)2＋4＝r2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,r2＝20.))所以所求圓的方程為(x＋1)2＋y2＝20.
答案：(x＋1)2＋y2＝20
8．若圓C與圓x2＋y2＋2x＝0關于直線x＋y－1＝0對稱，則圓C的方程是________．
解析：設C(a，b)，因為已知圓的圓心為A(－1，0)，由點A，C關于x＋y－1＝0對稱得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(b,a＋1)×(－1)＝－1，,\f(a－1,2)＋\f(b,2)－1＝0，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝1，,b＝2.))又因為圓的半徑是1，
所以圓C的方程是(x－1)2＋(y－2)2＝1，
即x2＋y2－2x－4y＋4＝0.
答案：x2＋y2－2x－4y＋4＝0
9．求適合下列條件的圓的方程．
(1)圓心在直線y＝－4x上，且與直線l：x＋y－1＝0相切于點P(3，－2)；
(2)過三點A(1，12)，B(7，10)，C(－9，2)．
解：(1)法一：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則有eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝－4a，,(3－a)2＋(－2－b)2＝r2，,\f(|a＋b－1|,\r(2))＝r，))
解得a＝1，b＝－4，r＝2eq \r(2).
所以圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
法二：過切點且與x＋y－1＝0垂直的直線為y＋2＝x－3，與y＝－4x聯(lián)立可求得圓心為(1，－4)．
所以半徑r＝eq \r((1－3)2＋(－4＋2)2)＝2eq \r(2)，
所以所求圓的方程為(x－1)2＋(y＋4)2＝8.
(2)設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1＋144＋D＋12E＋F＝0，,49＋100＋7D＋10E＋F＝0，,81＋4－9D＋2E＋F＝0.))
解得D＝－2，E＝－4，F(xiàn)＝－95.
所以所求圓的方程為x2＋y2－2x－4y－95＝0.
10．已知以點P為圓心的圓經(jīng)過點A(－1，0)和B(3，4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C和D，且|CD|＝4eq \r(10).
(1)求直線CD的方程；
(2)求圓P的方程．
解：(1)由題意知，直線AB的斜率k＝1，中點坐標為(1，2)．
則直線CD的方程為y－2＝－(x－1)，即x＋y－3＝0.
(2)設圓心P(a，b)，
則由點P在CD上得a＋b－3＝0.①
又因為直徑|CD|＝4eq \r(10)，所以|PA|＝2eq \r(10)，
所以(a＋1)2＋b2＝40.②
由①②解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－3，,b＝6，))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝5，,b＝－2.))
所以圓心P(－3，6)或P(5，－2)．
所以圓P的方程為(x＋3)2＋(y－6)2＝40或(x－5)2＋(y＋2)2＝40.
[綜合題組練]
1．自圓C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一點P(x，y)引該圓的一條切線，切點為Q，PQ的長度等于點P到原點O的距離，則點P的軌跡方程為( )
A．8x－6y－21＝0 B．8x＋6y－21＝0
C．6x＋8y－21＝0 D．6x－8y－21＝0
解析：選D．由題意得，圓心C的坐標為(3，－4)，半徑r＝2，如圖．
因為|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，
所以|PO|2＋r2＝|PC|2，
所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，
即6x－8y－21＝0，所以點P的軌跡方程為6x－8y－21＝0，故選D．
2．設點P是函數(shù)y＝－eq \r(4－(x－1)2)的圖象上的任意一點，點Q(2a，a－3)(a∈R)，則|PQ|的最小值為( )
A．eq \f(8\r(5),5)－2 B．eq \r(5)
C．eq \r(5)－2 D．eq \f(7\r(5),5)－2
解析：選C．如圖所示，點P在半圓C(實線部分)上，且由題意知，C(1，0)，點Q在直線l：x－2y－6＝0上．過圓心C作直線l的垂線，垂足為點A，則|CA|＝eq \r(5)，|PQ|min＝|CA|－2＝eq \r(5)－2.故選C．
3．(應用型)已知平面區(qū)域eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x≥0，,y≥0，,x＋2y－4≤0))恰好被面積最小的圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2及其內(nèi)部所覆蓋，則圓C的方程為________．
解析：由題意知，此平面區(qū)域表示的是以O(0，0)，P(4，0)，Q(0，2)所構成的三角形及其內(nèi)部，所以覆蓋它的且面積最小的圓是其外接圓．
因為△OPQ為直角三角形，
所以圓心為斜邊PQ的中點(2，1)，半徑r＝eq \f(|PQ|,2)＝eq \r(5)，
因此圓C的方程為(x－2)2＋(y－1)2＝5.
答案：(x－2)2＋(y－1)2＝5
4．(應用型)已知A(0，2)，點P在直線x＋y＋2＝0上，點Q在圓C：x2＋y2－4x－2y＝0上，則|PA|＋|PQ|的最小值是________．
解析：因為圓C：x2＋y2－4x－2y＝0，故圓C是以C(2，1)為圓心，半徑r＝eq \r(5)的圓．設點A(0，2)關于直線x＋y＋2＝0的對稱點為A′(m，n)，故eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(m＋0,2)＋\f(n＋2,2)＋2＝0，,\f(n－2,m－0)＝1，))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝－4，,n＝－2，))故A′(－4，－2)．
連接A′C交圓C于Q，由對稱性可知
|PA|＋|PQ|＝|A′P|＋|PQ|≥|A′Q|＝|A′C|－r＝2eq \r(5).
答案：2eq \r(5)
5．(2018·高考全國卷Ⅱ)設拋物線C：y2＝4x的焦點為F，過F且斜率為k(k＞0)的直線l與C交于A，B兩點，|AB|＝8.
(1)求l的方程；
(2)求過點A，B且與C的準線相切的圓的方程．
解：(1)由題意得F(1，0)，l的方程為y＝k(x－1)(k＞0)．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝k(x－1)，,y2＝4x))得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0.
Δ＝16k2＋16＞0，故x1＋x2＝eq \f(2k2＋4,k2).
所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝eq \f(4k2＋4,k2).
由題設知eq \f(4k2＋4,k2)＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1.
因此l的方程為y＝x－1.
(2)由(1)得AB的中點坐標為(3，2)，
所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5.
設所求圓的圓心坐標為(x0，y0)，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y0＝－x0＋5，,(x0＋1)2＝\f((y0－x0＋1)2,2)＋16.))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝3，,y0＝2))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x0＝11，,y0＝－6.))
因此所求圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144.
6．已知圓C的方程為x2＋(y－4)2＝1，直線l的方程為2x－y＝0，點P在直線l上，過點P作圓C的切線PA，PB，切點分別為A，B.
(1)若∠APB＝60°，求點P的坐標；
(2)求證經(jīng)過A，P，C(其中點C為圓C的圓心)三點的圓必經(jīng)過定點，并求出所有定點的坐標．
解：(1)由條件可得圓C的圓心坐標為(0，4)，|PC|＝2，設P(a，2a)，則eq \r(a2＋(2a－4)2)＝2，
解得a＝2或a＝eq \f(6,5)，
所以點P的坐標為(2，4)或eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,5)，\f(12,5))).
(2)證明：設P(b，2b)，過點A，P，C的圓即是以PC為直徑的圓，其方程為x(x－b)＋(y－4)(y－2b)＝0，
整理得x2＋y2－bx－4y－2by＋8b＝0，
即(x2＋y2－4y)－b(x＋2y－8)＝0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2－4y＝0，,x＋2y－8＝0))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0，,y＝4))或eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝\f(8,5)，,y＝\f(16,5)，))
所以該圓必經(jīng)過定點(0，4)和eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,5)，\f(16,5))).標準方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)
圓心(a，b)
半徑為r
一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
條件：D2＋E2－4F＞0
圓心：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))
半徑：r＝eq \f(1,2)eq \r(D2＋E2－4F)

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