一、知識(shí)梳理
1．直線與圓的位置關(guān)系
設(shè)直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，
圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
d為圓心(a，b)到直線l的距離，聯(lián)立直線和圓的方程，消元后得到的一元二次方程的判別式為Δ.
2.圓與圓的位置關(guān)系
設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req \\al(2,1)(r1＞0)，
圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req \\al(2,2)(r2＞0)．
常用結(jié)論
1．圓的切線方程常用結(jié)論
(1)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2.
(2)過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2.
(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x＋y0y＝r2.
2．兩圓相交時(shí)公共弦所在直線的方程
設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，①
圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，②
若兩圓相交，則有一條公共弦，其公共弦所在直線方程由①－②所得，即：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0.
3．直線與圓相交時(shí)，弦心距d，半徑r，弦長(zhǎng)的一半eq \f(1,2)l滿足關(guān)系式r2＝d2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)l))eq \s\up12(2).
二、教材衍化
1．直線y＝x＋1與圓x2＋y2＝1的位置關(guān)系為( )
A．相切 B．相交但直線不過(guò)圓心
C．直線過(guò)圓心 D．相離
答案：B
2．直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．
答案：eq \r(10)
3．兩圓x2＋y2－2y＝0與x2＋y2－4＝0的位置關(guān)系是________．
答案：內(nèi)切
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)若直線與圓組成的方程組有解，則直線與圓相交或相切．( )
(2)若兩個(gè)圓的方程組成的方程組無(wú)解，則這兩個(gè)圓的位置關(guān)系為外切．( )
(3)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件．( )
(4)聯(lián)立兩相交圓的方程，并消掉二次項(xiàng)后得到的二元一次方程是兩圓的公共弦所在的直線方程．( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)√
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見(jiàn)誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)忽視分兩圓內(nèi)切與外切兩種情形；
(2)忽視切線斜率k不存在的情形．
1．若圓x2＋y2＝1與圓(x＋4)2＋(y－a)2＝25相切，則常數(shù)a＝________．
解析：兩圓的圓心距d＝eq \r((－4)2＋a2)，由兩圓相切(外切或內(nèi)切)，得eq \r((－4)2＋a2)＝5＋1或eq \r((－4)2＋a2)＝5－1，解得a＝±2eq \r(5)或a＝0.
答案：±2eq \r(5)或0
2．已知圓C：x2＋y2＝9，過(guò)點(diǎn)P(3，1)作圓C的切線，則切線方程為________．
解析：由題意知P在圓外，當(dāng)切線斜率不存在時(shí)，切線方程為x＝3，滿足題意；當(dāng)切線斜率存在時(shí)，設(shè)斜率為k，所以切線方程為y－1＝k(x－3)，所以kx－y＋1－3k＝0，所以eq \f(|k×0－0＋1－3k|,\r(k2＋(－1)2))＝3，所以k＝－eq \f(4,3)，所以切線方程為4x＋3y－15＝0.綜上，切線方程為x＝3或4x＋3y－15＝0.
答案：x＝3或4x＋3y－15＝0
考點(diǎn)一 直線與圓的位置關(guān)系(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能根據(jù)給定直線與圓的方程，判斷直線與圓的位置關(guān)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理，數(shù)學(xué)運(yùn)算
(1)已知點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外， 則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系是( )
A．相切 B．相交
C．相離 D．不確定
(2)(一題多解)圓x2＋y2＝1與直線y＝kx＋2沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是________．
【解析】 (1)因?yàn)镸(a，b)在圓O：x2＋y2＝1外，
所以a2＋b2＞1，從而圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq \f(|a·0＋b·0－1|,\r(a2＋b2))＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＜1，
所以直線與圓相交．
(2)法一：將直線方程代入圓方程，得(k2＋1)x2＋4kx＋3＝0，直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是Δ＝16k2－12(k2＋1)＜0，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
法二：圓心(0，0)到直線y＝kx＋2的距離d＝eq \f(2,\r(k2＋1))，
直線與圓沒(méi)有公共點(diǎn)的充要條件是d＞1，
即eq \f(2,\r(k2＋1))＞1，解得k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))．
【答案】 (1)B (2)k∈(－eq \r(3)，eq \r(3))
【遷移探究】 (變條件)若將本例(1)的條件改為“點(diǎn)M(a，b)在圓O：x2＋y2＝1上”，則直線ax＋by＝1與圓O的位置關(guān)系如何？
解：由點(diǎn)M在圓上，得a2＋b2＝1，
所以圓心O到直線ax＋by＝1的距離d＝eq \f(1,\r(a2＋b2))＝1，
則直線與圓O相切．
eq \a\vs4\al()
判斷直線與圓的位置關(guān)系的方法
(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小關(guān)系來(lái)判斷．
(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，消元后得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，根據(jù)一元二次方程的解的個(gè)數(shù)(也就是方程組解的個(gè)數(shù))來(lái)判斷．
①如果Δ＜0，那么直線與圓相離；②如果Δ＝0，那么直線與圓相切；③如果Δ＞0，那么直線與圓相交．
1．(一題多解)直線l：mx－y＋1－m＝0與圓C：x2＋(y－1)2＝5的位置關(guān)系是( )
A．相交 B．相切
C．相離 D．不確定，與m的取值有關(guān)
解析：選A．法一：由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(mx－y＋1－m＝0，,x2＋(y－1)2＝5，))消去y，
整理得(1＋m2)x2－2m2x＋m2－5＝0，
因?yàn)棣ぃ?6m2＋20＞0，
所以直線l與圓相交．
法二：由題意知，圓心(0，1)到直線l的距離d＝eq \f(|m|,\r(m2＋1))＜1＜eq \r(5)，故直線l與圓相交．
法三：直線l：mx－y＋1－m＝0過(guò)定點(diǎn)(1，1)，因?yàn)辄c(diǎn)(1，1)在圓x2＋(y－1)2＝5的內(nèi)部，所以直線l與圓相交．
2．若圓x2＋y2＝r2(r＞0)上恒有4個(gè)點(diǎn)到直線x－y－2＝0的距離為1，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是( )
A．(eq \r(2)＋1，＋∞) B．(eq \r(2)－1，eq \r(2)＋1)
C．(0，eq \r(2)－1) D．(0，eq \r(2)＋1)
解析：選A．計(jì)算得圓心到直線l的距離為eq \f(2,\r(2))＝eq \r(2)＞1，如圖．直線l：x－y－2＝0與圓相交，l1，l2與l平行，且與直線l的距離為1，故可以看出，圓的半徑應(yīng)該大于圓心到直線l2的距離eq \r(2)＋1.故選A．
考點(diǎn)二 圓的切線、弦長(zhǎng)問(wèn)題(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))1.能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．
2．初步了解用代數(shù)方法處理幾何問(wèn)題的思想．
核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算
角度一 圓的切線問(wèn)題
(1)2020·寧夏銀川一中一模)與3x＋4y＝0垂直，且與圓(x－1)2＋y2＝4相切的一條直線是( )
A．4x－3y＝6 B．4x－3y＝－6
C．4x＋3y＝6 D．4x＋3y＝－6
(2)(一題多解)(2019·高考浙江卷)已知圓C的圓心坐標(biāo)是(0，m)，半徑長(zhǎng)是r.若直線2x－y＋3＝0與圓C相切于點(diǎn)A(－2，－1)，則m＝________，r＝________．
【解析】 (1)設(shè)與直線3x＋4y＝0垂直的直線方程為l：4x－3y＋m＝0，
直線l與圓(x－1)2＋y2＝4相切，則圓心(1，0)到直線l的距離為半徑2，即eq \f(|4＋m|,5)＝2，
所以m＝6或m＝－14，所以4x－3y＋6＝0，或4x－3y－14＝0，結(jié)合選項(xiàng)可知B正確，故選B．
(2)法一：設(shè)過(guò)點(diǎn)A(－2，－1)且與直線2x－y＋3＝0垂直的直線方程為l：x＋2y＋t＝0，所以－2－2＋t＝0，所以t＝4，所以l：x＋2y＋4＝0.令x＝0，得m＝－2，則r＝eq \r((－2－0)2＋(－1＋2)2)＝eq \r(5).
法二：因?yàn)橹本€2x－y＋3＝0與以點(diǎn)(0，m)為圓心的圓相切，且切點(diǎn)為A(－2，－1)，所以eq \f(m＋1,0－(－2))×2＝－1，所以m＝－2，r＝eq \r((－2－0)2＋(－1＋2)2)＝eq \r(5).
【答案】 (1)B (2)－2 eq \r(5)
eq \a\vs4\al()
圓的切線方程的求法
(1)幾何法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出圓心到切線的距離d，然后令d＝r，進(jìn)而求出k；
(2)代數(shù)法：設(shè)切線方程為y－y0＝k(x－x0)，與圓的方程組成方程組，消元后得到一個(gè)一元二次方程，然后令判別式Δ＝0進(jìn)而求得k.
[注意] 求過(guò)某點(diǎn)的圓的切線問(wèn)題時(shí)，應(yīng)首先確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，然后求切線方程．若點(diǎn)在圓上(即為切點(diǎn))，則過(guò)該點(diǎn)的切線只有一條；若點(diǎn)在圓外，則過(guò)該點(diǎn)的切線有兩條(若通過(guò)上述方法只求出一個(gè)k，則說(shuō)明另一條切線的斜率一定不存在，此時(shí)另一條切線的方程為x＝x0)．
角度二 圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題
(1)(一題多解)(2020·安徽合肥調(diào)研)已知直線l：x＋y－5＝0與圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r＞0)相交所得的弦長(zhǎng)為2eq \r(2)，則圓C的半徑r＝( )
A．eq \r(2) B．2
C．2eq \r(2) D．4
(2)(2020·豫西南五校3月聯(lián)考)已知圓C：(x－2)2＋y2＝4，直線l1：y＝eq \r(3)x，l2：y＝kx－1，若l1，l2被圓C所截得的弦的長(zhǎng)度之比為1∶2，則k的值為( )
A．eq \r(3) B．1
C．eq \f(1,2) D．eq \f(\r(3),3)
【解析】 (1)法一：圓C的圓心為(2，1)，圓心到直線l的距離d＝eq \f(|2＋1－5|,\r(12＋12))＝eq \r(2)，又弦長(zhǎng)為2eq \r(2)，所以2eq \r(r2－d2)＝2eq \r(2)，所以r＝2，故選B．
法二：聯(lián)立得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＋y－5＝0，,(x－2)2＋(y－1)2＝r2，))整理得2x2－12x＋20－r2＝0，設(shè)直線與圓的兩交點(diǎn)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝eq \f(20－r2,2)，所以|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝eq \r(2)×eq \r((x1＋x2)2－4x1x2)＝eq \r(2)×eq \r(36－2(20－r2))＝2eq \r(2)，解得r＝2.
(2)圓C：(x－2)2＋y2＝4的圓心為C(2，0)，半徑為2，圓心到直線l1：y＝eq \r(3)x的距離d1＝eq \f(2\r(3),2)＝eq \r(3)，
所以l1被圓C所截得的弦長(zhǎng)為2eq \r(4－3)＝2.圓心到直線l2的距離d2＝eq \f(|2k－1|,\r(k2＋1))，
所以l2被圓C所截得的弦長(zhǎng)為4＝2eq \r(4－deq \\al(2,2))，
所以d2＝0.
所以2k－1＝0，解得k＝eq \f(1,2)，故選C．
【答案】 (1)B (2)C
eq \a\vs4\al()
求直線被圓截得的弦長(zhǎng)的常用方法
(1)幾何法：用圓的幾何性質(zhì)求解，運(yùn)用弦心距、半徑及弦的一半構(gòu)成的直角三角形，計(jì)算弦長(zhǎng)|AB|＝2eq \r(r2－d2)；
(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程得方程組，消去一個(gè)未知數(shù)得一元二次方程，再利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合弦長(zhǎng)公式求解，其公式為|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|.
1．平行于直線2x＋y＋1＝0且與圓x2＋y2＝5相切的直線的方程是( )
A．2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0
B．2x＋y＋eq \r(5)＝0或2x＋y－eq \r(5)＝0
C．2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0
D．2x－y＋eq \r(5)＝0或2x－y－eq \r(5)＝0
解析：選A．設(shè)直線方程為2x＋y＋c＝0，由直線與圓相切，得d＝eq \f(|c|,\r(5))＝eq \r(5)，c＝±5，所以所求方程為2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0.
2．由直線y＝x＋1上的一點(diǎn)向圓(x－3)2＋y2＝1引切線，則切線長(zhǎng)的最小值為________．
解析：設(shè)圓心為C(3，0)，P為直線y＝x＋1上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P向圓引切線，切點(diǎn)設(shè)為N，所以|PN|min＝(eq \r(|PC|2－1))min＝eq \r(|PC|eq \\al(2,min)－1)，又|PC|min＝eq \f(|3－0＋1|,\r(12＋(－1)2))＝2eq \r(2)，所以|PN|min＝eq \r(7).
答案：eq \r(7)
3．(2020·山東棗莊期末改編)若點(diǎn)P(1，1)為圓x2＋y2－6x＝0中弦AB的中點(diǎn)，則弦AB所在直線的方程為________，|AB|＝________．
解析：圓x2＋y2－6x＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－3)2＋y2＝9.又因?yàn)辄c(diǎn)P(1，1)為圓中弦AB的中點(diǎn)，所以圓心與點(diǎn)P所在直線的斜率為eq \f(1－0,1－3)＝－eq \f(1,2)，故弦AB所在直線的斜率為2，所以直線AB的方程為y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.圓心(3，0)與點(diǎn)P(1，1)之間的距離d＝eq \r(5)，圓的半徑r＝3，則|AB|＝2eq \r(r2－d2)＝4.
答案：2x－y－1＝0 4
考點(diǎn)三 圓與圓的位置關(guān)系(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))能根據(jù)給定兩個(gè)圓的方程判斷圓與圓的位置關(guān)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算
已知兩圓x2＋y2－2x－6y＋1＝0，x2＋y2－10x－12y＋m＝0.
(1)m取何值時(shí)兩圓外切？
(2)m取何值時(shí)兩圓內(nèi)切？
(3)當(dāng)m＝45時(shí)，求兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長(zhǎng)．
【解】 因?yàn)閮蓤A的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x－1)2＋(y－3)2＝9，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，
所以兩圓的圓心分別為(1，3)，(5，6)，半徑分別為3，eq \r(61－m).
(1)當(dāng)兩圓外切時(shí)，由eq \r((5－1)2＋(6－3)2)＝3＋eq \r(61－m)，得m＝57.
(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，因?yàn)槎▓A半徑3小于兩圓圓心之間的距離5，所以eq \r(61－m)－3＝5，解得m＝－3.
(3)由(x2＋y2－2x－6y＋1)－(x2＋y2－10x－12y＋45)＝0，得兩圓的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－22＝0.
故兩圓的公共弦的長(zhǎng)為2 eq \r(32－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(|4＋3×3－22|,\r(42＋32))))\s\up12(2))＝eq \f(24,5).
eq \a\vs4\al()
圓與圓的位置關(guān)系的判斷方法
(1)幾何法：由兩圓的圓心距d與半徑R，r(R＞r)的關(guān)系來(lái)判斷．d＞R＋r?外離；d＝R＋r?外切；R－r＜d＜R＋r?相交；d＝R－r?內(nèi)切；d＜R－r?內(nèi)含．
(2)代數(shù)法：設(shè)圓C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圓C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.
對(duì)于方程組eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，,x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，))
如果該方程組沒(méi)有實(shí)數(shù)解，那么兩圓相離；
如果該方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相切；
如果該方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解，那么兩圓相交．
[注意] 判斷圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，一般不用代數(shù)法，因?yàn)槔么鷶?shù)法不能判斷內(nèi)切與外切，內(nèi)含與外離；利用幾何法的關(guān)鍵是判斷圓心距|C1C2|與R＋r，R－r的關(guān)系．
1．(2020·佛山調(diào)研)已知圓O1的方程為x2＋y2＝1，圓O2的方程為(x＋a)2＋y2＝4，如果這兩個(gè)圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，那么a的所有取值構(gòu)成的集合是( )
A．{1，－1，3，－3} B．{5，－5，3，－3}
C．{1，－1} D．{3，－3}
解析：選A．圓心距d＝|a|＝2＋1＝3或d＝|a|＝2－1＝1，所以a＝1，－1，3，－3.故選A．
2．(2020·江蘇南師大附中期中改編)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C過(guò)點(diǎn)A(0，－8)，且與圓x2＋y2－6x－6y＝0相切于原點(diǎn)，則圓C的方程為________，圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為________．
解析：將已知圓化為標(biāo)準(zhǔn)式得(x－3)2＋(y－3)2＝18，圓心為(3，3)，半徑為3eq \r(2).由于兩個(gè)圓相切于原點(diǎn)，連心線過(guò)切點(diǎn)，故圓C的圓心在直線y＝x上．由于圓C過(guò)點(diǎn)(0，0)，(0，－8)，所以圓心又在直線y＝－4上．聯(lián)立y＝x和y＝－4，得圓心C的坐標(biāo)(－4，－4)．又因?yàn)辄c(diǎn)(－4，－4)到原點(diǎn)的距離為4eq \r(2)，所以圓C的方程為(x＋4)2＋(y＋4)2＝32，即x2＋y2＋8x＋8y＝0.圓心C到x軸距離為4，則圓C被x軸截得的弦長(zhǎng)為2×eq \r((4\r(2))2－42)＝8.
答案：x2＋y2＋8x＋8y＝0 8
[基礎(chǔ)題組練]
1．圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2－4y＝0的位置關(guān)系是( )
A．相離 B．相交
C．外切 D．內(nèi)切
解析：選B．圓O1的圓心坐標(biāo)為(1，0)，半徑長(zhǎng)r1＝1，圓O2的圓心坐標(biāo)為(0，2)，半徑長(zhǎng)r2＝2，所以兩圓的圓心距d＝eq \r(5)，而r2－r1＝1，r1＋r2＝3，則有r2－r1＜d＜r1＋r2，所以兩圓相交．
2．(2020·陜西榆林二校聯(lián)考)圓x2＋y2＋4x－2y＋a＝0截直線x＋y－3＝0所得弦長(zhǎng)為2，則實(shí)數(shù)a等于( )
A．2 B．－2
C．4 D．－4
解析：選D．由題知，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝5－a，所以圓心為(－2，1)，半徑為eq \r(5－a)，又圓心到直線的距離為eq \f(|－2＋1－3|,\r(2))＝2eq \r(2)，所以2eq \r((\r(5－a))2－(2\r(2))2)＝2，解得a＝－4.
3．(2020·河南豫西五校聯(lián)考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(0，1)為圓心且與直線x－by＋2b＋1＝0相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．x2＋(y－1)2＝2
C．x2＋(y－1)2＝8 D．x2＋(y－1)2＝16
解析：選B．直線x－by＋2b＋1＝0過(guò)定點(diǎn)P(－1，2)，如圖．所以圓與直線x－by＋2b＋1＝0相切于點(diǎn)P時(shí)，以點(diǎn)(0，1)為圓心的圓的半徑最大，此時(shí)半徑r為eq \r(2)，此時(shí)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＋(y－1)2＝2.故選B．
4．圓x2＋2x＋y2＋4y－3＝0上到直線x＋y＋1＝0的距離為eq \r(2)的點(diǎn)共有( )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
解析：選C．圓的方程化為(x＋1)2＋(y＋2)2＝8，圓心(－1，－2)到直線的距離d＝eq \f(|－1－2＋1|,\r(2))＝eq \r(2)，半徑是2eq \r(2)，結(jié)合圖形可知有3個(gè)符合條件的點(diǎn)．
5．(2020·安徽合肥二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)(0，1)，(0，3)，且與x軸正半軸相切，若圓C上存在點(diǎn)M，使得直線OM與直線y＝kx(k＞0)關(guān)于y軸對(duì)稱，則k的最小值為( )
A．eq \f(2\r(3),3) B．eq \r(3)
C．2eq \r(3) D．4eq \r(3)
解析：選D．由圓C過(guò)點(diǎn)(0，1)，(0，3)知，圓心的縱坐標(biāo)為eq \f(1＋3,2)＝2，
又圓C與x軸正半軸相切，所以圓的半徑為2，
則圓心的橫坐標(biāo)x＝eq \r(22－(\f(3－1,2))2)＝eq \r(3)，
即圓心為(eq \r(3)，2)，
所以圓C的方程為(x－eq \r(3))2＋(y－2)2＝4.
因?yàn)閗＞0，所以k取最小值時(shí)，直線y＝－kx與圓相切，
可得2＝eq \f(|\r(3)k＋2|,\r(k2＋1))，
即k2－4eq \r(3)k＝0，解得k＝4eq \r(3)(k＝0舍去)，故選D．
6．圓x2＋y2－4x＝0在點(diǎn)P(1，eq \r(3))處的切線方程為________．
解析：圓的方程為(x－2)2＋y2＝4，圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑為2，點(diǎn)P在圓上，設(shè)切線方程為y－eq \r(3)＝k(x－1)，即kx－y－k＋eq \r(3)＝0，所以eq \f(|2k－k＋\r(3)|,\r(k2＋1))＝2，
解得k＝eq \f(\r(3),3).所以切線方程為y－eq \r(3)＝eq \f(\r(3),3)(x－1)，即x－eq \r(3)y＋2＝0.
答案：x－eq \r(3)y＋2＝0
7．已知直線l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸．過(guò)點(diǎn)A(－4，a)作圓C的一條切線，切點(diǎn)為B，則|AB|＝________．
解析：由于直線x＋ay－1＝0是圓C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的對(duì)稱軸，所以圓心C(2，1)在直線x＋ay－1＝0上，所以2＋a－1＝0，所以a＝－1，所以A(－4，－1)．
所以|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，所以|AB|2＝40－4＝36.所以|AB|＝6.
答案：6
8．P在直線l：x＋y＝2上，過(guò)P作圓x2＋y2＝1的切線，切點(diǎn)分別為A，B，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形OAPB面積的最小值為________．
解析：連接OP，OA，OB，
則S四邊形OAPB＝|OA|·|PA|＝|OA|·eq \r(|OP|2－|OA|2)＝eq \r(|OP|2－1).
而|OP|的最小值為|OP|min＝eq \f(2,\r(12＋12))＝eq \r(2)，
所以(S四邊形OAPB)min＝1.
答案：1
9．已知圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2，－1)，和直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上．
(1)求圓C的方程；
(2)已知直線l經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，并且被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，求直線l的方程．
解：(1)設(shè)圓心的坐標(biāo)為C(a，－2a)，
則eq \r((a－2)2＋(－2a＋1)2)＝eq \f(|a－2a－1|,\r(2))，化簡(jiǎn)，
得a2－2a＋1＝0，解得a＝1.
所以C(1，－2)，半徑|AC|＝eq \r((1－2)2＋(－2＋1)2)＝eq \r(2).
所以圓C的方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2.
(2)①當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x＝0，此時(shí)直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)為2，滿足條件．
②當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為y＝kx，
由題意得eq \f(|k＋2|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝－eq \f(3,4)，
所以直線l的方程為y＝－eq \f(3,4)x.
綜上所述，直線l的方程為x＝0或3x＋4y＝0.
10．已知點(diǎn)P(2，2)，圓C：x2＋y2－8y＝0，過(guò)點(diǎn)P的動(dòng)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，線段AB的中點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．
(1)求M的軌跡方程；
(2)當(dāng)|OP|＝|OM|時(shí)，求l的方程及△POM的面積．
解：(1)圓C的方程可化為x2＋(y－4)2＝16，所以圓心為C(0，4)，半徑為4.
設(shè)M(x，y)，則eq \(CM,\s\up6(→))＝(x，y－4)，eq \(MP,\s\up6(→))＝(2－x，2－y)．
由題設(shè)知eq \(CM,\s\up6(→))·eq \(MP,\s\up6(→))＝0，故x(2－x)＋(y－4)(2－y)＝0，即(x－1)2＋(y－3)2＝2.
由于點(diǎn)P在圓C的內(nèi)部，
所以M的軌跡方程是(x－1)2＋(y－3)2＝2.
(2)由(1)可知M的軌跡是以點(diǎn)N(1，3)為圓心，eq \r(2)為半徑的圓．由于|OP|＝|OM|，
故O在線段PM的垂直平分線上，
又P在圓N上，從而ON⊥PM.
因?yàn)镺N的斜率為3，所以l的斜率為－eq \f(1,3)，
故l的方程為x＋3y－8＝0.
又|OM|＝|OP|＝2eq \r(2)，O到l的距離為eq \f(4\r(10),5)，
所以|PM|＝eq \f(4\r(10),5)，S△POM＝eq \f(1,2)×eq \f(4\r(10),5)×eq \f(4\r(10),5)＝eq \f(16,5)，故△POM的面積為eq \f(16,5).
[綜合題組練]
1．(2020·湖北四地七校聯(lián)考)若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是( )
A．3 B．4
C．2eq \r(3) D．8
解析：選B．連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點(diǎn)A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以|O1O2|2＝|O1A|2＋|O2A|2，即m2＝5＋20＝25，設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C.在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq \f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，|AC|＝|AO2|·sin∠AO2O1＝2eq \r(5)×eq \f(\r(5),5)＝2，所以|AB|＝2|AC|＝4.
2．(2020·江西南昌NCS項(xiàng)目第一次模擬)已知r＞0，x，y∈R，p：“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”，q：“x2＋y2≤r2”，若p是q的必要不充分條件，則實(shí)數(shù)r的取值范圍是( )
A．eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(5),5))) B．(0，1]
C．eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2\r(5),5)，＋∞)) D．[2，＋∞)
解析：選A．如圖，“|x|＋eq \f(|y|,2)≤1”表示的平面區(qū)域?yàn)槠叫兴倪呅蜛BCD及其內(nèi)部，“x2＋y2≤r2”表示圓及其內(nèi)部，易知圓心O(0，0)到直線AD：2x＋y－2＝0的距離d＝eq \f(|－2|,\r(22＋12))＝eq \f(2\r(5),5)，由p是q的必要不充分條件，得0＜r≤eq \f(2\r(5),5)，故選A．
3．過(guò)點(diǎn)Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，\f(\r(3),2)))的直線l與圓C：(x－1)2＋y2＝4交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，此時(shí)直線l的方程為________，∠ACB＝________．
解析：圓C：(x－1)2＋y2＝4的圓心為C(1，0)，驗(yàn)證知點(diǎn)P在圓內(nèi)，當(dāng)∠ACB最小時(shí)，|AB|最短，即CP和AB垂直，因?yàn)镃P的斜率kCP＝eq \f(\f(\r(3),2)－0,\f(3,2)－1)＝eq \r(3)，所以直線AB的斜率為－eq \f(\r(3),3)，所以直線l的方程為y－eq \f(\r(3),2)＝－eq \f(\r(3),3)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(3,2)))，即x＋eq \r(3)y－3＝0.此時(shí)|CP|＝eq \f(|2|,\r(1＋3))＝1，所以∠ACP＝eq \f(π,3)，∠ACB＝eq \f(2π,3).
答案：x＋eq \r(3)y－3＝0 eq \f(2π,3)
4．在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________．
解析：因?yàn)椤螦OB＝90°，所以點(diǎn)O在圓C上．設(shè)直線2x＋y－4＝0與圓C相切于點(diǎn)D，則點(diǎn)C與點(diǎn)O間的距離等于它到直線2x＋y－4＝0的距離，所以點(diǎn)C在以O(shè)為焦點(diǎn)，以直線2x＋y－4＝0為準(zhǔn)線的拋物線上，所以當(dāng)且僅當(dāng)O，C，D共線時(shí)，圓的直徑最小為|OD|.又|OD|＝eq \f(|2×0＋0－4|,\r(5))＝eq \f(4,\r(5))，所以圓C的最小半徑為eq \f(2,\r(5))，所以圓C面積的最小值為πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,\r(5))))eq \s\up12(2)＝eq \f(4,5)π.
答案：eq \f(4,5)π
5．已知圓C：x2＋y2－2x－4y＋3＝0.
(1)若圓C的切線在x軸和y軸上的截距相等，求此切線的方程；
(2)從圓C外一點(diǎn)P(x1，y1)向該圓引一條切線，切點(diǎn)為M，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且有|PM|＝|PO|，求|PM|的最小值．
解：(1)將圓C的方程配方得(x－1)2＋(y－2)2＝2，
當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距為零時(shí)，設(shè)直線方程為y＝kx(k≠0)，由直線與圓相切得eq \f(|k－2|,\r(k2＋1))＝eq \r(2)，解得k＝－2±eq \r(6)，所以切線方程為y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x.當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距不為零時(shí)，設(shè)直線方程為x＋y－a＝0，由直線與圓相切得eq \f(|1＋2－a|,\r(2))＝eq \r(2)，解得a＝1或a＝5，所以切線方程為x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
綜上，所求的切線方程為y＝(－2＋eq \r(6))x或y＝(－2－eq \r(6))x或x＋y－1＝0或x＋y－5＝0.
(2)由|PM|＝|PO|得(x1－1)2＋(y1－2)2－2＝xeq \\al(2,1)＋yeq \\al(2,1)，
即2x1＋4y1－3＝0，即點(diǎn)P在直線l：2x＋4y－3＝0上，
所以|PM|min＝eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(7,\r(22＋42))))\s\up12(2)－2)＝eq \f(3\r(5),10).
6.如圖，已知圓C與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，與x軸的正半軸交于兩點(diǎn)M，N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，且|MN|＝3.
(1)求圓C的方程；
(2)過(guò)點(diǎn)M任作一直線與圓O：x2＋y2＝4相交于A，B兩點(diǎn)，連接AN，BN，求證：kAN＋kBN為定值．
解：(1)因?yàn)閳AC與y軸相切于點(diǎn)T(0，2)，
可設(shè)圓心的坐標(biāo)為(m，2)(m＞0)，
則圓C的半徑為m，又|MN|＝3，
所以m2＝4＋(eq \f(3,2))2＝eq \f(25,4)，解得m＝eq \f(5,2)，
所以圓C的方程為(x－eq \f(5,2))2＋(y－2)2＝eq \f(25,4).
(2)證明：由(1)知M(1，0)，N(4，0)，
當(dāng)直線AB的斜率為0時(shí)，易知kAN＝kBN＝0，
即kAN＋kBN＝0.
當(dāng)直線AB的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線AB：x＝1＋ty，
將x＝1＋ty代入x2＋y2－4＝0，
并整理得，(t2＋1)y2＋2ty－3＝0.
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y1＋y2＝－\f(2t,t2＋1),y1y2＝\f(－3,t2＋1，)))，
則kAN＋kBN＝eq \f(y1,x1－4)＋eq \f(y2,x2－4)＝eq \f(y1,ty1－3)＋eq \f(y2,ty2－3)
＝eq \f(2ty1y2－3(y1＋y2),(ty1－3)(ty2－3))＝eq \f(\f(－6t,t2＋1)＋\f(6t,t2＋1),(ty1－3)(ty2－3))＝0.
綜上可知，kAN＋kBN為定值．方法
位置關(guān)系
幾何法
代數(shù)法
相交
d＜r
Δ＞0
相切
d＝r
Δ＝0
相離
d＞r
Δ＜0
方法位置關(guān)系
幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系
代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成
方程組的解的情況
外離
d＞r1＋r2
無(wú)解
外切
d＝r1＋r2
一組實(shí)數(shù)解
相交
|r1－r2|＜d＜r1＋r2
兩組不同的實(shí)數(shù)解
內(nèi)切
d＝|r1－r2|(r1≠r2)
一組實(shí)數(shù)解
內(nèi)含
0≤d＜|r1－r2|(r1≠r2)
無(wú)解

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