一、知識(shí)梳理
1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
2．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測(cè)畫法．
(2)規(guī)則：①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸，y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>3．圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面展開圖及側(cè)面積公式
4.空間幾何體的表面積與體積公式
常用結(jié)論
1.特殊的四棱柱
eq \x(四棱柱)eq \(――→,\s\up7(底面為平),\s\d5(行四邊形))eq \x(平行六面體)eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\d5(于底面))eq \x(直平行六面體)eq \(――→,\s\up7(底面為),\s\d5(矩形))eq \x(長(zhǎng)方體)eq \(――→,\s\up7(底面邊),\s\d5(長(zhǎng)相等))eq \x(正四棱柱)eq \(――→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\d5(邊長(zhǎng)相等))eq \x(正方體)
上述四棱柱有以下集合關(guān)系：{正方體}{正四棱柱}{長(zhǎng)方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}．
2．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”
“三變”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉淼囊话耄?圖形改變.))
“三不變”eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，,相對(duì)位置不改變.))
3．正方體與球的切、接常用結(jié)論
正方體的棱長(zhǎng)為a，球的半徑為R，
(1)若球?yàn)檎襟w的外接球，則2R＝eq \r(3)a；
(2)若球?yàn)檎襟w的內(nèi)切球，則2R＝a；
(3)若球與正方體的各棱相切，則2R＝eq \r(2)a.
二、教材衍化
1．在如圖所示的幾何體中，是棱柱的為________．(填寫所有正確的序號(hào))
答案：③⑤
2．已知圓錐的表面積等于12π cm2，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則底面圓的半徑為________cm.
解析：由題意，得S表＝πr2＋πrl＝πr2＋πr·2r＝3πr2＝12π，解得r2＝4，所以r＝2(cm)．
答案：2
3.如圖，將一個(gè)長(zhǎng)方體用過相鄰三條棱的中點(diǎn)的平面截出一個(gè)棱錐，則該棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比為________．
解析：設(shè)長(zhǎng)方體的相鄰三條棱長(zhǎng)分別為a，b，c，它截出棱錐的體積V1＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(1,2)a×eq \f(1,2)b×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,48)abc，剩下的幾何體的體積V2＝abc－eq \f(1,48)abc＝eq \f(47,48)abc，所以V1∶V2＝1∶47.
答案：1∶47
一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)
(1)有兩個(gè)面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱．( )
(2)有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是三角形的幾何體是棱錐．( )
(3)夾在兩個(gè)平行的平面之間，其余的面都是梯形，這樣的幾何體一定是棱臺(tái)．( )
(4)用兩平行平面截圓柱，夾在兩平行平面間的部分仍是圓柱．( )
(5)菱形的直觀圖仍是菱形．( )
(6)多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．( )
(7)簡(jiǎn)單組合體的體積等于組成它的簡(jiǎn)單幾何體體積的和或差．( )
(8)長(zhǎng)方體既有外接球又有內(nèi)切球．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)√ (7)√ (8)×
二、易錯(cuò)糾偏
eq \a\vs4\al(常見誤區(qū))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))(1)對(duì)空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征認(rèn)識(shí)不到位；
(2)錐體的高與底面不清楚致誤；
(3)不會(huì)分類討論致誤．
1．下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是( )
A．由五個(gè)面圍成的多面體只能是三棱柱
B．正棱臺(tái)的對(duì)角面一定是等腰梯形
C．圓柱側(cè)面上的直線段都是圓柱的母線
D．各個(gè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體
解析：選A．由五個(gè)面圍成的多面體可以是四棱錐，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．B，C，D說法均正確．
2．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120，E為CC1的中點(diǎn)，則三棱錐E-BCD的體積是________．
解析：設(shè)長(zhǎng)方體中BC＝a，CD＝b，CC1＝c，則abc＝120，
所以VE-BCD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,12)abc＝10.
答案：10
3．將一個(gè)相鄰邊長(zhǎng)分別為4π，8π的矩形卷成一個(gè)圓柱，則這個(gè)圓柱的表面積是________．
解析：當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為4π時(shí)，底面圓的半徑為2，兩個(gè)底面的面積之和是8π；當(dāng)?shù)酌嬷荛L(zhǎng)為8π時(shí)，底面圓的半徑為4，兩個(gè)底面的面積之和為32π.無論哪種方式，側(cè)面積都是矩形的面積32π2，故所求的表面積是32π2＋8π或32π2＋32π.
答案：32π2＋8π或32π2＋32π
考點(diǎn)一 空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))利用實(shí)物模型認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單組合體的結(jié)構(gòu)特征，并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu)．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)抽象
1．給出下列幾個(gè)命題：
①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；
②底面為正多邊形，且有相鄰兩個(gè)側(cè)面與底面垂直的棱柱是正棱柱；
③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選B．①不一定，只有這兩點(diǎn)的連線平行于旋轉(zhuǎn)軸時(shí)才是母線；②正確；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面是相似且對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．
2．給出以下命題：
①以直角梯形的一腰所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺(tái)；
②圓柱、圓錐、圓臺(tái)的底面都是圓面；
③一個(gè)平面截圓錐，得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)．
其中正確命題的個(gè)數(shù)為( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：選B．由圓臺(tái)的定義可知①錯(cuò)誤．②正確．對(duì)于命題③，只有平行于圓錐底面的平面截圓錐，才能得到一個(gè)圓錐和一個(gè)圓臺(tái)，③不正確．
3．給出下列命題：
①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；
②若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則其三個(gè)側(cè)面也兩兩垂直；
③在四棱柱中，若兩個(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；
④存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體．
其中正確命題的序號(hào)是________．
解析：①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，則三個(gè)側(cè)面構(gòu)成的三個(gè)平面的二面角都是直二面角；③正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；④正確，如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1中的三棱錐C1-ABC，四個(gè)面都是直角三角形．
答案：②③④
eq \a\vs4\al()
空間幾何體概念辨析問題的常用方法

考點(diǎn)二 空間幾何體的直觀圖(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))會(huì)用斜二測(cè)法畫出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的直觀圖．
核心素養(yǎng)：直觀想象
1．如圖所示為一個(gè)平面圖形的直觀圖，則它的實(shí)際形狀四邊形ABCD為( )
A．平行四邊形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
解析：選D．由斜二測(cè)畫法可知在原四邊形ABCD中DA⊥AB，并且AD∥BC，AB∥CD，故四邊形ABCD為矩形．
2.一平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′如圖所示，其中O′C′⊥x′，A′B′⊥x′，B′C′∥y′，則四邊形OABC的面積為 ( )
A．eq \f(3\r(2),2) B．3eq \r(2)
C．3 D．eq \f(3,2)
解析：選B．平面四邊形OABC的直觀圖O′A′B′C′是直角梯形，其面積為eq \f(1,2)×(1＋2)×1＝eq \f(3,2)；
根據(jù)平面圖形與它的直觀圖面積比為1∶eq \f(\r(2),4)，
計(jì)算四邊形OABC的面積為eq \f(\f(3,2),\f(\r(2),4))＝3eq \r(2).故選B．
3．已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的平面直觀圖△A′B′C′的面積為( )
A．eq \f(\r(3),4)a2 B．eq \f(\r(3),8)a2
C．eq \f(\r(6),8)a2 D．eq \f(\r(6),16)a2
解析：選D．如圖①②所示的實(shí)際圖形和直觀圖，
由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq \f(1,2)OC＝eq \f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于D′，則C′D′＝eq \f(\r(2),2)O′C′＝eq \f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq \f(1,2)A′B′·C′D′＝eq \f(1,2)×a×eq \f(\r(6),8)a＝eq \f(\r(6),16)a2.故選D．
eq \a\vs4\al()
平面圖形與其直觀圖的關(guān)系
(1)在斜二測(cè)畫法中，要確定關(guān)鍵點(diǎn)及關(guān)鍵線段．平行于x軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度不變；平行于y軸的線段平行性不變，長(zhǎng)度減半．
(2)按照斜二測(cè)畫法得到的平面圖形的直觀圖，其面積與原圖形的面積的關(guān)系：S直觀圖＝eq \f(\r(2),4)S原圖形．
考點(diǎn)三 空間幾何體的表面積與體積(基礎(chǔ)型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))了解球、棱柱、棱錐、臺(tái)的表面積和體積的計(jì)算公式(不要求記憶公式)．
核心素養(yǎng)：直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算
角度一 空間幾何體的表面積
(1)(2020·河南周口模擬)如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為30°，則該三棱柱的側(cè)面積為( )
A．4＋4eq \r(2) B．4＋4eq \r(3)
C．12 D．8＋4eq \r(2)
(2)(2020·四川瀘州一診)在梯形ABCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的表面積為( )
A．(5＋eq \r(2))π B．(4＋eq \r(2))π
C．(5＋2eq \r(2))π D．(3＋eq \r(2))π
【解析】 (1)連接A1B.因?yàn)锳A1⊥底面ABC，則AA1⊥BC，又AB⊥BC，AA1∩AB＝A，所以BC⊥平面AA1B1B，所以直線A1C與側(cè)面AA1B1B所成的角為∠CA1B＝30°.又AA1＝AC＝2，所以A1C＝2eq \r(2)，BC＝eq \r(2).又AB⊥BC，則AB＝eq \r(2)，則該三棱柱的側(cè)面積為2eq \r(2)×2＋2×2＝4＋4eq \r(2)，故選A．
(2)因?yàn)樵谔菪蜛BCD中，∠ABC＝eq \f(π,2)，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2，所以將梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個(gè)底面半徑為AB＝1，高為BC－AD＝2－1＝1的圓錐，所以該幾何體的表面積S＝π×12＋2π×1×2＋π×1×eq \r(12＋12)＝(5＋eq \r(2))π.故選A．
【答案】 (1)A (2)A
eq \a\vs4\al()
三類幾何體表面積的求法
角度二 空間幾何體的體積
(2020·貴州部分重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)如圖，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E是棱BB1的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CC1上靠近C1的三等分點(diǎn)，且三棱錐A1-AEF的體積為2，則四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為( )
A．12 B．8
C．20 D．18
【解析】 設(shè)點(diǎn)F到平面ABB1A1的距離為h，由題意得Veq \s\d5(A1-AEF)＝Veq \s\d5(F-A1AE).又Veq \s\d5(F-A1AE)＝eq \f(1,3)Seq \s\d5(△A1AE)·h＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq \f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq \f(1,6)Seq \s\d5(四邊形ABB1A1)·h＝eq \f(1,6)Veq \s\d5(ABCD-A1B1C1D1)，所以Veq \s\d5(ABCD-A1B1C1D1)＝6Veq \s\d5(A1-AEF)＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積為12.故選A．
【答案】 A
eq \a\vs4\al()
(1)處理體積問題的思路
(2)求體積的常用方法
1.如圖所示，已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱長(zhǎng)均為1，且AA1⊥底面ABC，則三棱錐B1-ABC1的體積為( )
A．eq \f(\r(3),12) B．eq \f(\r(3),4)
C．eq \f(\r(6),12) D．eq \f(\r(6),4)
解析：選A．三棱錐B1-ABC1的體積等于三棱錐A-B1BC1 的體積，三棱錐A-B1BC1的高為eq \f(\r(3),2)，底面積為eq \f(1,2)，故其體積為eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(3),12).
2．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40 cm，母線長(zhǎng)最短50 cm，最長(zhǎng)80 cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝________cm2.
解析：將題圖所示的相同的兩個(gè)幾何體對(duì)接為圓柱，則圓柱的側(cè)面展開圖為矩形．由題意得所求側(cè)面展開圖的面積S＝eq \f(1,2)×(50＋80)×(π×40)＝2 600π(cm2)．
答案：2 600π
3．(2019·高考全國(guó)卷Ⅲ)學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6 cm，AA1＝4 cm.3D打印所用原料密度為0.9 g/cm3.不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為____________g.
解析：長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積V1＝6×6×4＝144(cm3)，而四棱錐O-EFGH的底面積為矩形BB1C1C的面積的一半，高為AB長(zhǎng)的一半，所以四棱錐O-EFGH的體積V2＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×4×6×3＝12(cm3)，所以長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1挖去四棱錐O-EFGH后所得幾何體的體積V＝V1－V2＝132(cm3)，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為132×0.9＝118.8(g)．
答案：118.8
考點(diǎn)四 空間幾何體中的接、切問題(綜合型)
eq \a\vs4\al(復(fù)習(xí)指導(dǎo))eq \b\lc\|(\a\vs4\al\c1( ))空間幾何體中的接、切問題主要是與球有關(guān)的接、切，求解關(guān)鍵是找出球心所在的位置．
(1)若直三棱柱ABC-A1B1C1的6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，且AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的表面積為________．
(2)(一題多解)(2019·高考天津卷)已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為eq \r(2)的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)均為eq \r(5).若圓柱的一個(gè)底面的圓周經(jīng)過四棱錐四條側(cè)棱的中點(diǎn)，另一個(gè)底面的圓心為四棱錐底面的中心，則該圓柱的體積為__________．
(3)已知棱長(zhǎng)為a的正四面體，則此正四面體的表面積S1與其內(nèi)切球的表面積S2的比值為________．
【解析】 (1)將直三棱柱補(bǔ)形為長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1，則球O是長(zhǎng)方體ABEC-A1B1E1C1的外接球．
所以體對(duì)角線BC1的長(zhǎng)為球O的直徑．
因此2R＝eq \r(32＋42＋122)＝13.
故S球＝4πR2＝169π.
(2)法一：由題意得圓柱的高為四棱錐高的一半，底面圓的直徑為以四棱錐側(cè)棱的四個(gè)中點(diǎn)為頂點(diǎn)的正方形的對(duì)角線，易求得圓柱的底面圓的直徑為1，高為1，所以該圓柱的體積V＝π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(π,4).
法二：由題可得，四棱錐底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則圓柱底面的半徑為eq \f(1,2)，易知四棱錐的高為eq \r(5－1)＝2，故圓柱的高為1，所以該圓柱的體積為π×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))eq \s\up12(2)×1＝eq \f(π,4).
(3)正四面體的表面積為S1＝4×eq \f(\r(3),4)×a2＝eq \r(3)a2，其內(nèi)切球半徑r為正四面體高的eq \f(1,4)，即r＝eq \f(1,4)×eq \f(\r(6),3)a＝eq \f(\r(6),12)a，因此內(nèi)切球表面積為S2＝4πr2＝eq \f(πa2,6)，則eq \f(S1,S2)＝eq \f(\r(3)a2,\f(πa2,6))＝eq \f(6\r(3),π).
【答案】 (1)169π (2)eq \f(π,4) (3)eq \f(6\r(3),π)
eq \a\vs4\al()
處理球的“切”“接”問題的求解策略
解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：

1．正四棱錐P-ABCD的側(cè)棱和底面邊長(zhǎng)都等于2eq \r(2)，則它的外接球的表面積是( )
A．16π B．12π
C．8π D．4π
解析：選A．設(shè)正四棱錐的外接球半徑為R，頂點(diǎn)P在底面上的射影為O，因?yàn)镺A＝eq \f(1,2)AC＝eq \f(1,2) eq \r(AB2＋BC2)＝eq \f(1,2)eq \r((2\r(2))2＋(2\r(2))2)＝2，所以PO＝eq \r(PA2－OA2)＝eq \r((2\r(2))2－22)＝2.又OA＝OB＝OC＝OD＝2，由此可知R＝2，于是S球＝4πR2＝16π.
2．設(shè)球O內(nèi)切于正三棱柱ABC-A1B1C1，則球O的體積與正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為________．
解析：設(shè)球O半徑為R，正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長(zhǎng)為a，則R＝eq \f(\r(3),3)×eq \f(a,2)＝eq \f(\r(3),6)a，即a＝2eq \r(3)R，又正三棱柱ABC-A1B1C1的高為2R，所以球O的體積與正三棱柱ABC-A1B1C1的體積的比值為eq \f(\f(4,3)πR3,\f(\r(3),4)a2×2R)＝eq \f(\f(4,3)πR3,\f(\r(3),4)×12R2×2R)＝eq \f(2\r(3)π,27).
答案：eq \f(2\r(3)π,27)
[基礎(chǔ)題組練]
1．下列說法正確的有( )
①兩個(gè)面平行且相似，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)；
②經(jīng)過球面上不同的兩點(diǎn)只能作一個(gè)大圓；
③各側(cè)面都是正方形的四棱柱一定是正方體；
④圓錐的軸截面是等腰三角形．
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
解析：選A．①中若兩個(gè)底面平行且相似，其余各面都是梯形，并不能保證側(cè)棱會(huì)交于一點(diǎn)，所以①不正確；②中若球面上不同的兩點(diǎn)恰為球的某條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)，則過此兩點(diǎn)的大圓有無數(shù)個(gè)，所以②不正確；③中底面不一定是正方形，所以③不正確；很明顯④是正確的．
2．圓柱的底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么圓柱的側(cè)面積是( )
A．4πS B．2πS
C．πS D．eq \f(2\r(3),3)πS
解析：選A．由πr2＝S得圓柱的底面半徑是eq \r(\f(S,π))，故側(cè)面展開圖的邊長(zhǎng)為2π·eq \r(\f(S,π))＝2eq \r(πS)，所以圓柱的側(cè)面積是4πS，故選A．
3．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，則剩余的部分是( )
A．三棱錐B．四棱錐
C．三棱柱D．組合體
解析：選B．如圖所示，在三棱臺(tái)A′B′C′-ABC中，沿A′BC截去三棱錐A′-ABC，剩余部分是四棱錐A′-BCC′B′.
4．(2020·安徽合肥質(zhì)檢)已知圓錐的高為3，底面半徑為4.若一球的表面積與此圓錐側(cè)面積相等，則該球的半徑為( )
A．5 B．eq \r(5)
C．9 D．3
解析：選B．因?yàn)閳A錐的底面半徑r＝4，高h(yuǎn)＝3，所以圓錐的母線l＝5，所以圓錐的側(cè)面積S＝πrl＝20π，設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝20π，所以R＝eq \r(5)，故選B．
5．(2020·遼寧沈陽東北育才學(xué)校五模)將半徑為3，圓心角為eq \f(2π,3)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的表面積為( )
A．π B．2π
C．3π D．4π
解析：選B．將半徑為3，圓心角為eq \f(2π,3)的扇形圍成一個(gè)圓錐，設(shè)圓錐的底面圓半徑為R，則有2πR＝3×eq \f(2π,3)，所以R＝1.設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為r，圓錐的高為h，內(nèi)切球球心必在圓錐的高線上，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為3，所以h＝eq \r(9－1)＝2eq \r(2)，所以有eq \f(r,h－r)＝eq \f(R,3)，解得r＝eq \f(\r(2),2)，因此內(nèi)切球的表面積S＝4πr2＝2π.
6．有一個(gè)長(zhǎng)為5 cm，寬為4 cm的矩形，則其直觀圖的面積為________．
解析：由于該矩形的面積S＝5×4＝20(cm2)，所以其直觀圖的面積S′＝eq \f(\r(2),4)S＝5eq \r(2)(cm2)．
答案：5eq \r(2) cm2
7．一個(gè)圓臺(tái)上、下底面的半徑分別為3 cm和8 cm，若兩底面圓心的連線長(zhǎng)為12 cm，則這個(gè)圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為________cm.
解析：如圖，過點(diǎn)A作AC⊥OB，交OB于點(diǎn)C.
在Rt△ABC中，AC＝12 cm，BC＝8－3＝5(cm)．
所以AB＝eq \r(122＋52)＝13(cm)．
答案：13
8.已知圓錐SO，過SO的中點(diǎn)P作平行于圓錐底面的截面，以截面為上底面作圓柱PO，圓柱的下底面落在圓錐的底面上(如圖)，則圓柱PO的體積與圓錐SO的體積的比值為________．
解析：設(shè)圓錐SO的底面半徑為r，高為h，則圓柱PO的底面半徑是eq \f(r,2)，高為eq \f(h,2)，所以V圓錐SO＝eq \f(1,3)πr2h，V圓柱PO＝πeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(r,2)))eq \s\up12(2)·eq \f(h,2)＝eq \f(πr2h,8)，所以eq \f(V圓柱PO,V圓錐SO)＝eq \f(3,8).
答案：eq \f(3,8)
9. (應(yīng)用型)現(xiàn)需要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形狀是正四棱錐P-A1B1C1D1，下部的形狀是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍，若AB＝6 m，PO1＝2 m，則倉庫的容積是多少？
解：由PO1＝2 m，知O1O＝4PO1＝8 m.
因?yàn)锳1B1＝AB＝6 m，所以正四棱錐P-A1B1C1D1的體積V錐＝eq \f(1,3)·A1Beq \\al(2,1)·PO1＝eq \f(1,3)×62×2＝24(m3)；
正四棱柱ABCD-A1B1C1D1的體積
V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)，
所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．
故倉庫的容積是312 m3.
10.如圖，四邊形ABCD為菱形，G為AC與BD的交點(diǎn)，BE⊥平面ABCD.
(1)證明：平面AEC⊥平面BED；
(2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱錐E-ACD的體積為eq \f(\r(6),3)，求該三棱錐的側(cè)面積．
解：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以AC⊥BD.
因?yàn)锽E⊥平面ABCD，所以AC⊥BE.
故AC⊥平面BED.
又AC?平面AEC，
所以平面AEC⊥平面BED.
(2)設(shè)AB＝x，在菱形ABCD中，由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝eq \f(\r(3),2)x，GB＝GD＝eq \f(x,2).
因?yàn)锳E⊥EC，所以在Rt△AEC中，可得EG＝eq \f(\r(3),2)x.
由BE⊥平面ABCD，知△EBG為直角三角形，可得BE＝eq \f(\r(2),2)x.
由已知得，三棱錐E-ACD的體積V三棱錐E-ACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)·AC·GD·BE＝eq \f(\r(6),24)x3＝eq \f(\r(6),3)，故x＝2.
從而可得AE＝EC＝ED＝eq \r(6).
所以△EAC的面積為3，△EAD的面積與△ECD的面積均為eq \r(5).
故三棱錐E-ACD的側(cè)面積為3＋2eq \r(5).
[綜合題組練]
1．(2020·遼寧丹東測(cè)試)已知表面積為12π的圓柱的上下底面的中心分別為O1，O2.若過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是正方形，則O1O2＝( )
A．2eq \r(3) B．2eq \r(2)
C．eq \r(3) D．eq \r(2)
解析：選B．因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，設(shè)底面半徑為r，則母線長(zhǎng)為2r，所以圓柱的表面積為2πr2＋2πr·2r＝12π，解得r＝eq \r(2)，所以O(shè)1O2＝2r＝2eq \r(2)，故選B．
2.如圖，以棱長(zhǎng)為1的正方體的頂點(diǎn)A為球心，以eq \r(2)為半徑作一個(gè)球面，則該正方體的表面被球面所截得的所有弧長(zhǎng)之和為( )
A．eq \f(3π,4) B．eq \r(2)π
C．eq \f(3π,2) D．eq \f(9π,4)
解析：選C．正方體的表面被該球面所截得的弧長(zhǎng)是相等的三部分，如圖，上底面被球面截得的弧長(zhǎng)是以A1為圓心，1為半徑的圓周長(zhǎng)的eq \f(1,4)，所以所有弧長(zhǎng)之和為3×eq \f(2π,4)＝eq \f(3π,2).故選C．
3．(2020·廣東茂名一模)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，D1B與DC所成的角是60°，則長(zhǎng)方體的外接球的表面積是( )
A．16π B．8π
C．4π D．4eq \r(2)π
解析：選A．如圖，在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，因?yàn)镈C∥AB，所以相交直線D1B與AB所成的角是異面直線D1B與DC所成的角．
連接AD1，由AB⊥平面ADD1A1，得AB⊥AD1，所以在Rt△ABD1中，∠ABD1就是D1B與DC所成的角，即∠ABD1＝60°，又AB＝2，AB＝BD1cs 60°，
所以BD1＝eq \f(AB,cs 60°)＝4，設(shè)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1外接球的半徑為R，則由長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是長(zhǎng)方體外接球的直徑得4R2＝D1B2＝16，則R＝2，
所以長(zhǎng)方體外接球的表面積是4πR2＝16π.故選A．
4. (多選)如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為3，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)且EF＝1，則當(dāng)E，F(xiàn)移動(dòng)時(shí)，下列結(jié)論正確的是( )
A．AE∥平面C1BD
B．四面體ACEF的體積不為定值
C．三棱錐A-BEF的體積為定值
D．四面體ACDF的體積為定值
解析：選ACD．對(duì)于A，如圖1，AB1∥DC1，易證AB1∥平面C1BD，同理AD1∥平面C1BD，且AB1∩AD1＝A，所以平面AB1D1∥平面C1BD，又AE?平面AB1D1，所以AE∥平面C1BD，A正確；
對(duì)于B，如圖2，S△AEF＝eq \f(1,2)EF·h1＝eq \f(1,2)×1×eq \r((3\r(2))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3\r(2),2)))\s\up12(2))＝eq \f(3\r(6),4)，點(diǎn)C到平面AEF的距離為點(diǎn)C到平面AB1D1的距離d為定值，所以VA-CEF＝VC-AEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3\r(6),4)×d＝eq \f(\r(6),4)d為定值，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖3，S△BEF＝eq \f(1,2)×1×3＝eq \f(3,2)，點(diǎn)A到平面BEF的距離為A到平面BB1D1D的距離d為定值，所以VA-BEF＝eq \f(1,3)×eq \f(3,2)×d＝eq \f(1,2)d為定值，C正確；
對(duì)于D，如圖4，四面體ACDF的體積為VA-CDF＝VF-ACD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×3×3×3＝eq \f(9,2)為定值，D正確．
5．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB所成角的余弦值為eq \f(7,8)，SA與圓錐底面所成角為45°.若△SAB的面積為5eq \r(15)，則該圓錐的側(cè)面積為________．
解析：如圖所示，設(shè)S在底面的射影為S′，連接AS′，SS′.
△SAB的面積為eq \f(1,2)·SA·SB·sin∠ASB＝eq \f(1,2)·SA2·eq \r(1－cs2∠ASB)＝eq \f(\r(15),16)·SA2＝5eq \r(15)，
所以SA2＝80，SA＝4eq \r(5).因?yàn)镾A與底面所成的角為45°，所以∠SAS′＝45°，AS′＝SA·cs 45°＝4eq \r(5)×eq \f(\r(2),2)＝2eq \r(10).所以底面周長(zhǎng)l＝2π·AS′＝4eq \r(10)π，所以圓錐的側(cè)面積為eq \f(1,2)×4eq \r(5)×4eq \r(10)π＝40eq \r(2)π.
答案：40eq \r(2)π
6．(2020·東北師大附中、重慶一中等校聯(lián)合模擬)若側(cè)面積為4π的圓柱有一外接球O，當(dāng)球O的體積取得最小值時(shí)，圓柱的表面積為________．
解析：設(shè)圓柱的底面圓半徑為r，高為h，
則球的半徑R＝eq \r(r2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(h,2)))\s\up12(2)).
因?yàn)榍虻捏w積V＝eq \f(4π,3)R3，故V最小當(dāng)且僅當(dāng)R最小．
圓柱的側(cè)面積為2πrh＝4π，所以rh＝2.
所以eq \f(h,2)＝eq \f(1,r)，
所以R＝eq \r(r2＋\f(1,r2))≥eq \r(2)，
當(dāng)且僅當(dāng)r2＝eq \f(1,r2).
即r＝1時(shí)取等號(hào)，此時(shí)k取最小值，所以r＝1，h＝2，圓柱的表面積為2π＋4π＝6π.
答案：6π
7．(應(yīng)用型)(2020·安徽六安一中模擬(四))我國(guó)南北朝時(shí)期的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：兩個(gè)等高的幾何體若在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖，將底面直徑都為2b，高皆為a的半橢球體和已被挖去了圓錐體的圓柱放置于同一平面β上，用平行于平面β且與平面β任意距離d處的平面截這兩個(gè)幾何體，可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面．可以證明S圓＝S環(huán)總成立．據(jù)此，短半軸長(zhǎng)為1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3的橢球體的體積是________．
解析：因?yàn)镾圓＝S環(huán)總成立，所以半橢球體的體積為πb2a－eq \f(1,3)πb2a＝eq \f(2,3)πb2a，
所以橢球體的體積V＝eq \f(4,3)πb2a.
因?yàn)闄E球體的短半軸長(zhǎng)為1，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為3.
所以橢球體的體積V＝eq \f(4,3)πb2a＝eq \f(4,3)π×12×3＝4π.
答案：4π
8．(應(yīng)用型)我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》第八卷“商功”第五章撰述：“芻蕘(chú rá )：倍下長(zhǎng)，加上長(zhǎng)，以廣乘之，又以高乘，用六歸之．如屋脊：上斜下平．”劉徽注曰：止斬方亭兩邊，合之即“芻甍”之形也．即將方臺(tái)的兩邊切下來合在一起就是“芻甍”，是一種五面體(如圖)：矩形ABCD，棱EF∥AB，AB＝4，EF＝2，△ADE和△BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則此幾何體的表面積為______，體積為______．
解析：由題意知該五面體的表面積S＝S矩形ABCD＋2S△ADE＋2S梯形ABFE＝2×4＋2×eq \f(1,2)×2×eq \r(22－12)＋2×eq \f(1,2)×(2＋4)×eq \r(22－12)＝8＋8eq \r(3).過點(diǎn)F作FO⊥平面ABCD，垂足為O，取BC的中點(diǎn)P，連接PF，過點(diǎn)F作FQ⊥AB，垂足為Q，連接OQ.因?yàn)椤鰽DE和△BCF都是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，所以O(shè)P＝eq \f(1,2)(AB－EF)＝1，PF＝eq \r(22－12)＝eq \r(3)，OQ＝eq \f(1,2)BC＝1，所以O(shè)F＝eq \r(PF2－OP2)＝eq \r(2)，采用分割的方法，分別過點(diǎn)F，E作與平面ABCD垂直的平面，這兩個(gè)平面把幾何體分割成三部分，如圖，包含一個(gè)三棱柱EMN-FQH，兩個(gè)全等的四棱錐：E-AMND，F(xiàn)-QBCH，所以這個(gè)幾何體的體積V＝VEMN-FQH＋2VF-QBCH＝S△QFH×MQ＋2×eq \f(1,3)S矩形QBCH×FO＝eq \f(1,2)×2×eq \r(2)×2＋2×eq \f(1,3)×1×2×eq \r(2)＝eq \f(10\r(2),3).
答案：8＋8eq \r(3) eq \f(10\r(2),3)圓柱
圓錐
圓臺(tái)
側(cè)面展開圖
側(cè)面積公式
S圓柱側(cè)＝2πrl
S圓錐側(cè)＝πrl
S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋r′)l
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝S底h
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)S底h
臺(tái)體(棱臺(tái)和圓臺(tái))
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3
求多面體的表面積
只需將它們沿著棱“剪開”展成平面圖形，利用求平面圖形面積的方法求多面體的表面積.
求旋轉(zhuǎn)體的表面積
可以從旋轉(zhuǎn)體的形成過程及其幾何特征入手，將其展開后求表面積，但要搞清它們的底面半徑、母線長(zhǎng)與對(duì)應(yīng)側(cè)面展開圖中的邊長(zhǎng)關(guān)系.
求不規(guī)則幾何
體的表面積
通常將所給幾何體分割成基本的柱體、錐體、臺(tái)體，先求出這些基本的柱體、錐體、臺(tái)體的表面積，再通過求和或作差，求出所給幾何體的表面積.
直接法
對(duì)于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式直接計(jì)算
割補(bǔ)法
把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進(jìn)行體積計(jì)算；或者把不規(guī)則的幾何體補(bǔ)成規(guī)則的幾何體，不熟悉的幾何體補(bǔ)成熟悉的幾何體，便于計(jì)算
等體
積法
選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個(gè)面作為三棱錐的底面進(jìn)行等體積變換

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