?第3講　簡單的三角恒等變換


一、知識梳理
1．兩角和與差的正弦、余弦和正切公式
sin(α±β)＝sin_αcos__β±cos_αsin__β；
cos(α?β)＝cos_αcos__β±sin_αsin__β；
tan(α±β)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos__α；
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；
tan 2α＝.
3．三角函數(shù)公式的關(guān)系

常用結(jié)論
四個必備結(jié)論
(1)降冪公式：cos2α＝，sin2α＝.
(2)升冪公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.
(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，
1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，
1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，
sin α±cos α＝sin.
(4)輔助角公式
asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.
二、教材衍化
1．若cos α＝－.α是第三象限的角，則sin＝________．　
解析：因為α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.
答案：－
2．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝________．
解析：sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°
＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°
＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°
＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°
＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝.
答案：
3．化簡：＝________．
解析：原式＝
＝＝＝.
答案：

一、思考辨析
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意角．(　　)
(2)兩角和與差的正切公式中的角α，β是任意角．(　　)
(3)cos 80°cos 20°－sin 80°sin 20°＝cos(80°－20°)＝cos 60°＝.(　　)
(4)公式tan(α＋β)＝可以變形為tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且對任意角α，β都成立．(　　)
(5)存在實數(shù)α，使tan 2α＝2tan α.(　　)
答案：(1)√　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
二、易錯糾偏
(1)不會用公式找不到思路；
(2)不會合理配角出錯．
1．sin 15°＋sin 75°的值是________．
解析：sin 15°＋sin 75°＝sin 15°＋cos 15°＝sin(15°＋45°)＝sin 60°＝.
答案：
2．若tan α＝3，tan(α－β)＝2，則tan β＝________．
解析：tan β＝tan[α－(α－β)]＝
＝＝.
答案：
第1課時　兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

考點一　和差公式的直接應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
復(fù)習(xí)指導(dǎo)1.會用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．
2．能從兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
核心素養(yǎng)：邏輯推理、數(shù)學(xué)運算
1．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，則tan(α－β)的值為(　　)
A．－ B．
C． D．－
解析：選A．因為sin α＝，α∈，
所以cos α＝－＝－，
所以tan α＝＝－.
因為tan(π－β)＝＝－tan β，
所以tan β＝－，
則tan(α－β)＝＝－.
2．(2019·高考全國卷Ⅱ)已知α∈，2sin 2α＝cos 2α＋1，則sin α＝(　　)
A． B．
C． D．
解析：選B．由2sin 2α＝cos 2α＋1，得4sin αcos α＝1－2sin2α＋1，即2sin αcos α＝1－sin2α.因為α∈，所以cos α＝，
所以2sin α＝1－sin2 α，
解得sin α＝，故選B．
3．已知α∈，sin α＝.
(1)求sin的值；
(2)求cos的值．
解：(1)因為α∈，sin α＝，
所以cos α＝－＝－，
故sin＝sin cos α＋cos sin α
＝×＋×＝－.
(2)由(1)知sin 2α＝2sin αcos α＝2××＝－，cos 2α＝1－2sin2α＝1－2×＝，所以cos＝cos cos 2α＋sin sin 2α＝×＋×＝－.

利用三角函數(shù)公式時應(yīng)注意的問題
(1)首先要注意公式的結(jié)構(gòu)特點和符號變化規(guī)律．例如兩角差的余弦公式可簡記為：“同名相乘，符號反”．
(2)應(yīng)注意與同角三角函數(shù)基本關(guān)系、誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用．
(3)應(yīng)注意配方法、因式分解和整體代換思想的應(yīng)用．
考點二　三角函數(shù)公式的逆用與變形應(yīng)用(基礎(chǔ)型)
能運用三角函數(shù)公式進行簡單的恒等變換(包括引導(dǎo)導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但不要求記憶)．
核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運算
(1)在△ABC中，若tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，則cos C的值為(　　)
A．－ B．
C． D．－
(2)(2018·高考全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________．
【解析】　(1)由tan Atan B＝tan A＋tan B＋1，可得＝－1，
即tan(A＋B)＝－1，又(A＋B)∈(0，π)，
所以A＋B＝，則C＝，cos C＝.
(2)因為sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，
所以sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1　①，
cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0?、冢?br /> ①②兩式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，
所以sin(α＋β)＝－.
【答案】　(1)B　(2)－

(1)三角函數(shù)公式活用技巧
①逆用公式應(yīng)準確找出所給式子與公式的異同，創(chuàng)造條件逆用公式；
②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和變形使用．
(2)三角函數(shù)公式逆用和變形使用應(yīng)注意的問題
①公式逆用時一定要注意公式成立的條件和角之間的關(guān)系；
②注意特殊角的應(yīng)用，當式子中出現(xiàn)，1，，等這些數(shù)值時，一定要考慮引入特殊角，把“值變角”以便構(gòu)造適合公式的形式．

1．(1－tan215°)cos215°的值等于(　　)
A． B．1
C． D．
解析：選C．(1－tan215°)cos215°＝cos215°－sin215°＝cos 30°＝.
2．已知sin 2α＝，則cos2＝(　　)
A．－ B．
C．－ D．
解析：選D．cos2＝＝＋sin 2α＝＋×＝.
3．(一題多解)cos 15°－4sin215°cos 15°＝(　　)
A． B．
C．1 D．
解析：選D．法一：cos 15°－4sin215°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·2sin 15°cos 15°＝cos 15°－2sin 15°·sin 30°＝cos 15°－sin 15°＝2cos(15°＋30°)＝2cos 45°＝.故選D．
法二：因為cos 15°＝，sin 15°＝，所以cos 15°－4sin215°·cos 15°＝×－4××＝×(－2＋)＝×(2－2)＝.故選D．
考點三　三角公式的靈活應(yīng)用(綜合型)
三角公式的靈活應(yīng)用實質(zhì)是三角恒等變換，恒等變換前需清楚已知式中角的差異、函數(shù)名稱的差異、運算結(jié)構(gòu)的差異，尋求聯(lián)系，實現(xiàn)轉(zhuǎn)化．
角度一　三角函數(shù)公式中變“角”
(2020·黑龍江大慶實驗中學(xué)考前訓(xùn)練)已知α，β∈，sin(α＋β)＝－，sin＝，則cos＝________．
【解析】　由題意知，α＋β∈，sin(α＋β)＝－

相關(guān)學(xué)案

高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第3課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學(xué)案：

這是一份高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章第3課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式學(xué)案，共17頁。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第2課時　直線與橢圓》(含詳解)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第2課時　直線與橢圓》(含詳解)，共13頁。

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第1課時　橢圓及其性質(zhì)》(含詳解)：

這是一份(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案9.5《第1課時　橢圓及其性質(zhì)》(含詳解)，共16頁。學(xué)案主要包含了知識梳理，教材衍化等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關(guān)學(xué)案 更多

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案4.4《第1課時　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式》(含詳解)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)學(xué)案4.4《第1課時　利用導(dǎo)數(shù)證明不等式》(含詳解)
通用版高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)第21講《兩角和與差的正弦》學(xué)案(含詳解)

通用版高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)第21講《兩角和與差的正弦》學(xué)案(含詳解)
高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案5．3《平面向量的數(shù)量積》(含詳解)

高考數(shù)學(xué)(理數(shù))一輪復(fù)習(xí)學(xué)案5．3《平面向量的數(shù)量積》(含詳解)
人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第3節(jié)第1課時兩角和與差的正弦余弦和正切公式學(xué)案理含解析

人教版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章三角函數(shù)解三角形第3節(jié)第1課時兩角和與差的正弦余弦和正切公式學(xué)案理含解析
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部