1．以下使得函數(shù)單調(diào)遞增的區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先求導(dǎo)，再對分三種情況分析導(dǎo)數(shù)得解.
【詳解】
解：由題意得，，
當(dāng)或時，，函數(shù)在區(qū)間，上都有極值點，故不單調(diào)；
當(dāng)時，，不合題意；
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，符合題意.
故選：D.
2．設(shè)函數(shù)，若對于任意的都成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
分別證明，，對于，先證明，變形為，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最小值，從而求得參數(shù)取值范圍. 再證明，由函數(shù)及的圖像易知，若使對于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個圖像相切處取得，求得參數(shù)取值范圍.
【詳解】
對于，先證明，，即，
令，則，易知單增，且，
則時，，函數(shù)單減；時，，函數(shù)單增；
函數(shù)在處取最小值，此時；
再證明，即，由函數(shù)及的圖像易知，若使對于恒成立，只需處在圖像上方，的最小值在處，兩個圖像相切處取得，
函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，時，，即，
綜上，，
故選：A
3．已知偶函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時，有成立，則關(guān)于的不等式的解集為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
先構(gòu)造函數(shù)，進而根據(jù)題意判斷出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，進而解出不等式.
【詳解】
因為偶函數(shù)的定義域為，設(shè)，則，即也是偶函數(shù).
當(dāng)時，根據(jù)題意，則在上是減函數(shù)，而函數(shù)為偶函數(shù)，則在上是增函數(shù).
于是，，所以.
故選：A.
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)增區(qū)間，再判斷函數(shù)的奇偶性，則不等式，轉(zhuǎn)化為即為，則，運用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，即可得到解集．
【詳解】
解：函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為：，
則時，，在上單調(diào)遞增，且，
則為偶函數(shù)，即有，
則不等式，即為，
即為，
則，即，解得，，即原不等式的解集．
故選：D．
5．若函數(shù)（其中a為參數(shù)）在R上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求解函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性建立不等式，將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題，進而求解參數(shù)的值.
【詳解】
根據(jù)題意，
在R上單調(diào)遞增 在R上恒成立
令，，則 可寫為
根據(jù)題意在上的最小值非負
解得 ，所以選項B正確
故選：B.
6．關(guān)于函數(shù)，，下列說法錯誤的是（ ）
A．當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減
B．當(dāng)時，函數(shù)在上恰有兩個零點
C．若函數(shù)在上恰有一個極值，則
D．對任意，恒成立
【答案】D
【分析】
分別在和得到，由此可知A正確；
在平面直角坐標(biāo)系中作出與圖象，由圖象可確定B正確；
將問題轉(zhuǎn)化為在上恰有一個解，令，利用導(dǎo)數(shù)可確定單調(diào)性并得到其圖象，數(shù)形結(jié)合可確定，C正確；
令，由B中結(jié)論可確定D錯誤.
【詳解】
對于A，，則，
當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，，，單調(diào)遞減；
綜上所述：在上單調(diào)遞減，A正確；
對于B，，令，得：；
在平面直角坐標(biāo)系中，作出與的圖象如下圖所示，
由圖象可知：當(dāng)時，與有且僅有兩個不同交點，
函數(shù)在上恰有兩個零點，B正確；
對于C，由得：，
若在上恰有一個極值，則在上恰有一個變號零點，
即在上恰有一個解，
令，則；
當(dāng)時，；當(dāng)時，；
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，，可得大致圖象如下，
若在上恰有一個解，則，
此時函數(shù)在上恰有一個極值，C正確；
對于D，當(dāng)時，由B選項可知，，使得，
當(dāng)時，，即，D錯誤.
故選：D.
7．已知函數(shù)對于任意的滿足（其中是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
可構(gòu)造函數(shù)，由已知可證在單增，再分別代值檢驗選項合理性即可
【詳解】
設(shè)，則，則在單增，
對A，，化簡得，故A錯；
對B，，化簡得，故B錯；
對C，，化簡得，故C正確；
對D，，化簡得，故D錯，
故選：C
8．已知函數(shù)對任意的滿足（其中為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)），則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】
令，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性判斷即可．
【詳解】
解：令，
故，
故在遞增，所以，可得，即，所以D正確；
故選：D．
9．已知函數(shù)在上恰有兩個極值點，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
首先求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)題意得在有2個變號零點，討論或，將問題轉(zhuǎn)化為兩個根，令，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再求出端點值，進而可得即可求解.
【詳解】
，
根據(jù)題意得在有2個變號零點，
當(dāng)時，顯然不合題意，
當(dāng)時，方程等價于，
令，
，令，因為，解得，
可得在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又因為，，，
要使與的圖像有2個不同的交點，
需要滿足，解得，
故選：D．
10．若函數(shù)在上恰有兩個不同的極值點，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先求導(dǎo)，由題意可知在上有兩個不同的解，令，即二次函數(shù)在上有兩個不同的解，
數(shù)形結(jié)合列出式子即可求解
【詳解】
由于，
所以，
要使在上恰有兩個不同的極值點，
則在上有兩個不同的解，
令，
即二次函數(shù)在上有兩個不同的解，
所以，解得.
故選：B
11．已知定義在上的函數(shù)，則函數(shù)與的圖象的交點（ ）
A．0B．1C．2D．3
【答案】B
【分析】
令，求導(dǎo)函數(shù)，分析單調(diào)性結(jié)合即可得到函數(shù)零點個數(shù)從而得出結(jié)果．
【詳解】
令，則
當(dāng)，有；當(dāng)，有
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又因為故函數(shù)在上有一個零點，
故函數(shù)與的圖象的交點有一個．
故選：B
12．已知，函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）
A．存在使B．存在使
C．對任意，都有D．對任意，都有
【答案】B
【分析】
對于A、C記，，則，利用導(dǎo)數(shù)分別判斷出的單調(diào)性，證明出，即可判斷；對于B：取特殊值，代入驗證；對于D：取特殊值，代入驗證；
【詳解】
對于A、C：
記，，則，
，所以在上單增，
當(dāng)時，，即，即，
同理可證：在上單減，所以當(dāng)時，都有，即.
又，所以.故A、C錯誤.
對于B：取，所以，，
則有，
，
.故B正確；
對于D：取，則有.故D錯誤.
故選：B
13．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知得在上恒成立，進行參變分離得
在上恒成立，令，將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，由的單調(diào)性，求得其最大值，由此可得答案.
【詳解】
解：因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，令，所以問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，
而在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，有最大值，所以有最大值，所以，
故選：A.
14．已知函數(shù)有且只有一個極值點，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
求得導(dǎo)函數(shù)，問題化為只有一個解，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，函數(shù)的變化趨勢，結(jié)合函數(shù)圖象從而得參數(shù)范圍，注意檢驗函數(shù)極值．
【詳解】
易知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，
令，得，即．
設(shè)，則，
當(dāng)時，或，所以函數(shù)在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．因為函數(shù)有且只有一個極值點，所以直線與函數(shù)的圖象有一個交點，作出的圖象如圖所示．由圖得或．當(dāng)時，恒成立，所以無極值，所以．
故選：A
15．已知函數(shù)，，關(guān)于函數(shù)的性質(zhì)的以下結(jié)論中錯誤的是（ ）
A．函數(shù)的值域是
B．是函數(shù)的一條對稱軸
C．函數(shù)在內(nèi)有唯一極小值
D．函數(shù)向左平移個單位后所得函數(shù)的一個對稱中心為
【答案】D
【分析】
逆用兩角和的余弦公式和正弦的二倍角公式化簡，求出的值域可判斷A；將代入的對稱軸方程可判斷B；利用導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)性即可得極小值可判斷C；利用圖象的平移變換得解析式，再檢驗對稱中心可判斷D，進而可得答案.
【詳解】
，
對于A：因為，所以，即函數(shù)的值域是，故選項A正確；
對于B：令，可得，所以是函數(shù)的一條對稱軸，故選項B正確；
對于C：，，當(dāng)時；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時取得極小值為
，故選項C正確；
對于D：向左平移個單位后所得函數(shù)，
令，可得，所以不是的一個對稱中心，故選項D不正確；
所以結(jié)論中錯誤的是選項D，
故選：D.
16．已知函數(shù)為上的偶函數(shù)，且對于任意的滿足，則下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】
令，依題意知為偶函數(shù)，且在區(qū)間上是減函數(shù)，再由，結(jié)合條件分別判斷四個選項即可．
【詳解】
解：偶函數(shù)對于任意的滿足，
令，則，即為偶函數(shù)．
又，故在區(qū)間上是減函數(shù)，
所以，
即，故B正確；
，故A錯誤；
，故C錯誤；
，故D錯誤；
故選：B．
17．已知函數(shù)，下列結(jié)論正確的個數(shù)是（ ）
①曲線上存在垂直于軸的切線；
②函數(shù)有四個零點；
③函數(shù)有三個極值點；
④方程有四個根．
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的圖像進而可判斷函數(shù)的零點、極值.
【詳解】
由，得，
由，得，或，或，
當(dāng)或時，，當(dāng)或時，，
所以在上遞增，在上遞減，
而，
所以由零點存在性定理可知，只有兩個零點，分別為和0，
函數(shù)圖像如圖所示
所以①③正確，②錯誤，
方程可轉(zhuǎn)化為或，
，
由圖像可知有兩個根，也有兩個根，
所以方程有四個根，所以④正確，
正確結(jié)論的個數(shù)是3，
故選：C.
18．關(guān)于函數(shù)，，下列四個結(jié)論中正確的個數(shù)為（ ）個
①在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
②有兩個零點；
③存在唯一極小值點，且；
④有兩個極值點.
A．0B．1C．2D．3
【答案】C
【分析】
①反證，求導(dǎo)并發(fā)現(xiàn)相同區(qū)間的單調(diào)性不一致②轉(zhuǎn)化并數(shù)形結(jié)合發(fā)現(xiàn)零點③用零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性可求證④轉(zhuǎn)化成用導(dǎo)數(shù)證明恒成立問題，結(jié)合零點存在定理和函數(shù)的單調(diào)性求解.
【詳解】
因為時，，，所以
所以在上單調(diào)遞增，故①錯誤.
有兩個零點等價于有兩個根，即函數(shù)與有兩個交點，根據(jù)與的圖象，可知在上有兩個交點，故②正確.
，
∵，
∴，，
∴
∴存在，使得且
∴在上，，在上，，
在上，單調(diào)遞減，在上，單調(diào)遞增，
∴在上存在唯一極小值點.
∵，則
∴，故③正確.
令
則，
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，.
∴在恒成立，
∴單調(diào)遞增且，
，
∴存在唯一零點，使得
∴，，即，
，，即，
∴在處取得極小值
故有唯一極小值點，故④錯誤.
故選：C.
19．已知在定義在上的函數(shù)滿足，且時，恒成立，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
結(jié)合已知不等式，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合單調(diào)性及奇偶性，列出不等式，即可求解.
【詳解】
由題意，當(dāng)時，恒成立，即恒成立，
又由，可得，
令，可得，則函數(shù)為偶函數(shù)，
且當(dāng)時，單調(diào)遞增，
結(jié)合偶函數(shù)的對稱性可得在上單調(diào)遞減，
由，
化簡得到，
即，所以，解得，
即不等式的解集為.
故選：B.
20．已知當(dāng)時，恒成立，則正實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先討論不等式在上恒成立，在時，變形不等式并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求的正數(shù)b即可.
【詳解】
當(dāng)時，而，，原不等式恒成立，
當(dāng)時，，不等式等價變形為：，
令，，而，求導(dǎo)得，
令，則，則在上單調(diào)遞增，
，若，則，記，，則，
則存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即當(dāng)時，，不符合題意，
若，，即當(dāng)時，單調(diào)遞增，則有，符合題意，
綜上得，，
所以正實數(shù)的取值范圍是.
故選：D
21．已知函數(shù)，，當(dāng)，且時，方程根的個數(shù)一定不少于（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】D
【分析】
先證明函數(shù)，都為偶函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)討論在上的單調(diào)性，然后作出兩函數(shù)的部分圖象，根據(jù)圖象可得兩函數(shù)在上的交點個數(shù)，再利用偶函數(shù)的對稱性可得結(jié)果.
【詳解】
因為定義域為，
又，所以為偶函數(shù).
同理可證函數(shù)為偶函數(shù)，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
又，
所以時，；時，；
時，；時，；
時，；時，；
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，，，，，
則與的圖象在上有1個交點；
作出圖象后可以發(fā)現(xiàn)與的圖象在上至少有6個交點，
根據(jù)對稱性可知，二者圖象在上至少6個交點，故當(dāng)，且時，方程根的個數(shù)不小于12．
故選：D．
22．已知函數(shù)，若存在，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）．
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由導(dǎo)數(shù)確定的單調(diào)性，把含絕對值的方程去掉絕對值符號，然后引入新函數(shù)設(shè)，問題轉(zhuǎn)化為存在，，使得，只要在上不單調(diào)即可得．
【詳解】
，時，，所以是增函數(shù)，
不妨設(shè)，則，又，
所以化為，
即，
設(shè)，則，
時，，是增函數(shù)，不存在，，使得，
時，要滿足題意，則在上應(yīng)有解，使得在上不單調(diào)．
，，
設(shè)，，，
所以，
在上單調(diào)遞減，，，
所以．
故選：C．
23．設(shè)函數(shù)，下列命題中真命題的個數(shù)為（ ）
①是奇函數(shù)；
②當(dāng)時，；
③是周期函數(shù)；
④存在無數(shù)個零點；
⑤，，使得且
A．1個B．2個C．3個D．4個
【答案】C
【分析】
直接利用三角函數(shù)的性質(zhì)，周期性單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)的零點和方程的根的關(guān)系判斷①②③④⑤的結(jié)論.
【詳解】
函數(shù)，
對于①：函數(shù)故函數(shù)f(x)是奇函數(shù),故①正確；
對于②：令，所以
由于函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)x→0時, →0,當(dāng)x→時,即→+
故當(dāng)時,使得即時, 時,故g(x)在上單調(diào)遞增, g(x)在上單調(diào)遞減,
而x→0和時,→0,所以g(x)>0,
由于中，x取時，，故，，
所以，所以，故②正確；
對于③,假設(shè)函數(shù)的周期為T，則對一切x都成立，
取x=0時,則得到，再取時,則故，所以明顯T無解，故假設(shè)錯誤，故不是周期函數(shù).故③錯誤；
對于④,令解得，取時，，整理得，故存在無數(shù)個零點.故④正確；
對于⑤,令，則所以 ,所以，由于k和x1和x2相對應(yīng),故x1-x2不能取任意值,故并不總成立,故⑤錯誤.
故選:C.
24．已知函數(shù)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對任意，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
構(gòu)造新函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)確定其單調(diào)性，從而得出相應(yīng)的不等式，判斷各選項即可．
【詳解】
因為，
設(shè)，，則，
所以在上是增函數(shù)，
，，即，
，，即，
，，即，
故選：C．
25．已知函數(shù)的定義域為，其導(dǎo)函數(shù)是.有，則關(guān)于x的不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，根據(jù)題設(shè)條件，求得，得到函數(shù)在內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，再把不等式化為，結(jié)合單調(diào)性和定義域，即可求解.
【詳解】
由題意，函數(shù)滿足，
令，則
函數(shù)是定義域內(nèi)的單調(diào)遞減函數(shù)，
由于，關(guān)于的不等式可化為，
即，所以且，解得，
不等式的解集為.
故選：B
二、填空題26-50題
26．已知函數(shù)，若對任意的，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為______．
【答案】.
【分析】
利用函數(shù)奇偶性的定義可判斷為奇函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)判斷為上的增函數(shù)，則所求不等式等價于，分離參數(shù)可得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解.
【詳解】
因為，
所以為奇函數(shù)，
因為，所以為上的增函數(shù)，
由得，則，
因為，所以．
令，則，令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
故，所以，即，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
27．已知函數(shù)，則的最小值是______．
【答案】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求函數(shù)的最小值.
【詳解】
由題意，得，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以時取得最小值，此時．
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，所以的最小值是．
28．已知定義在R上的奇函數(shù)的導(dǎo)為數(shù)為，若，則實數(shù)t的取值范圍為_________．
【答案】
【分析】
由導(dǎo)函數(shù)可得在R上單調(diào)遞增，結(jié)合是奇函數(shù)，可轉(zhuǎn)化為，借助單調(diào)性和定義域，列出不等式組，即得解.
【詳解】
解：因為，所以在R上單調(diào)遞增.
又是奇函數(shù)，由，
得，
所以，解得或，
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
29．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)不存在極值點，則實數(shù)的取值范圍是__________.
【答案】或.
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，由在內(nèi)無變號零點求解，引入新函數(shù)，結(jié)合兩角差的正弦公式、正弦函數(shù)的性質(zhì)可得結(jié)論．
【詳解】
因為在區(qū)間內(nèi)不存在極值點，所以
在區(qū)間內(nèi)無變號零點，令
，當(dāng)時，，
，，故只需滿足或即可，
解得或.
故答案為：或.
30．已知函數(shù).若是的極大值點，則正實數(shù)a的取值范圍為_________________.
【答案】
【分析】
求導(dǎo)可得解析式，令，利用導(dǎo)數(shù)，分別討論和時，的正負，可得的單調(diào)性，綜合分析，即可得答案.
【詳解】
由題知，且，
令，則，
①若，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
所以.
因此不可能是的極大值點.
②若，令，
當(dāng)時，，
所以即在上單調(diào)遞增.
又因為，，
因此存在滿足：，所以當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減；
綜上，當(dāng)是的極大值點時，.
故答案為：
31．已知函數(shù)，若恒成立，則的取值范圍____________________．
【答案】
【分析】
若要恒成立，只要即可，首先利用輔助角公式進行化簡可得，進行換元可得，再利用導(dǎo)數(shù)即可得解.
【詳解】
，
設(shè)，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
，，
設(shè)，
，
由，可得，
所以，
即在遞增，可得，
由恒成立，可得，
所以的取值范圍為.
故答案為：
32．若命題，為真命題，則實數(shù)a的取值范圍是_________.
【答案】
【分析】
分別畫出函數(shù)和在區(qū)間的圖象，根據(jù)不等式恒成立求實數(shù)a的取值范圍.
【詳解】
不等式等價于 畫出兩個函數(shù)和在區(qū)間的圖象，
如圖
設(shè)，，，所以函數(shù)在原點處的切線方程是，
由圖可知，當(dāng)斜率大于切線斜率時，即時，恒成立.
故答案為：
33．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.
【答案】
【分析】
由，用分離參數(shù)變形，利用三角函數(shù)恒等變換化為的式子，然后換元，引入新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得最小值得參數(shù)范圍．
【詳解】
因為，所以原不等式可變形為
令，則，
.當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以.又，所以.
故答案為：．
34．設(shè)函數(shù)，，若方程有解，則實數(shù)的最大值是________．
【答案】
【分析】
由題意得：，設(shè)，，用導(dǎo)數(shù)法求出的最值即可求解
【詳解】
令，，
則，．
設(shè)，，
則．
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
即在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，
又，，，
的值域為．
故實數(shù)的最大值為．
故答案為：
35．設(shè)是函數(shù)的一個極值點，則______.
【答案】
【分析】
求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)是函數(shù)的一個極值點得出，將化簡為即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為函數(shù)，所以，
因為是函數(shù)的一個極值點，
所以，，
所以
.
故答案為：.
36．已知函數(shù)，則的最大值為________.
【答案】
【分析】
根據(jù)題意可得函數(shù)的周期為，因此只要求出函數(shù)在上的最大值即可，當(dāng)時，，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而得出函數(shù)的最大值.
【詳解】
由，
則，
所以是函數(shù)的一個周期，
當(dāng)時，，
，
設(shè)，且，，
則當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；
所以在，上遞增，在上遞減，
，，
因為，且，所以，
所以，
所以的最大值為.
故答案為：.
37．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是____________________
【答案】
【分析】
先對函數(shù)進行求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)在上恒成立即可求出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
，
由題意知在上恒成立且不恒為0，
顯然時，恒成立，
所以只需在 上恒成立且不恒為0，
即在 上恒成立且不恒為0，
所以只需當(dāng)時，
又當(dāng)時，有，所以，即有最大值，
所以，即.
故答案為：.
38．已知函數(shù)，當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間上有唯一零點，則實數(shù)的取值范圍是______________．
【答案】
【分析】
求出的導(dǎo)數(shù)，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)可得在區(qū)間上單調(diào)遞減，從而可判斷出的單調(diào)性，根據(jù)的變化情況和取值可求出.
【詳解】
由得，等價于函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有唯一的公共點，當(dāng)時，，
設(shè)，，則，
因為，，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，
因為，，
所以存在唯一的，使得，
且當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有唯一的公共點，
所以，所以的取值范圍是．
故答案為：.
39．若函數(shù)在區(qū)間是增函數(shù)，則的取值范圍是_________．
【答案】
【分析】
先求導(dǎo)，根據(jù)題意在上恒成立，整理即得在上恒成立，再求的值域即得結(jié)果.
【詳解】
由知，,
時，是增函數(shù)，，
又，∴在上恒成立，
而，．
故答案為：．
40．已知函數(shù)，對于任意都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】
令，將已知不等式轉(zhuǎn)化為，則只需在上單調(diào)遞增，即恒成立即可；令，分別在、和三種情況下，根據(jù)一次函數(shù)單調(diào)性得到最小值，由此可求得的范圍.
【詳解】
由得：
，
令，則恒成立，
在上單調(diào)遞增，在上恒成立，
令，在上恒成立，
當(dāng)時，恒成立，滿足題意；
當(dāng)時，，解得：，；
當(dāng)時，，解得：，
；
綜上所述：.
故答案為：.
41．函數(shù)在R上單調(diào)增，則a的取值范圍為____________．
【答案】
【分析】
由題意可得對于恒成立，令，轉(zhuǎn)化為對于恒成立，討論二次函數(shù)的對稱軸和區(qū)間的關(guān)系由即可求解.
【詳解】
因為，
所以
由題意可得對于恒成立，
令，
即對于恒成立，
的對稱軸為，只需要
當(dāng)即時在單調(diào)遞減，
此時可得，此時不成立，
當(dāng)即時在單調(diào)遞增，
此時可得，此時不成立，
當(dāng)即時，
解得：此時符合題意，
所以a的取值范圍為.
故答案為：.
42．已知函數(shù)的定義域為R，導(dǎo)函數(shù)為，若，且，則滿足的x的取值范圍為__________．
【答案】
【分析】
令， 結(jié)合，得到函數(shù)為奇函數(shù)，再根據(jù)，得到函數(shù)在R上單調(diào)遞減，然后結(jié)合奇偶性，將不等式轉(zhuǎn)化為，利用單調(diào)性求解.
【詳解】
令， 又，
所以，即，
所以函數(shù)為奇函數(shù)．
因為，
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞減，
則，
即，即，
所以，
解得，
所以x的取值范圍為．
故答案為：
43．若函數(shù)在R上是增函數(shù).則實數(shù)a的最小值是__________.
【答案】
【分析】
先對函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到恒成立，利用分離參數(shù)的方法，得到，利用導(dǎo)數(shù)的方法求出的最大值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
因為，所以，
又函數(shù)在上是增函數(shù)，
所以在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
又為使取得最大值，必有；
所以當(dāng)，即時，取得最大值.
故答案為：.
44．函數(shù)定義在上，，其導(dǎo)函數(shù)是，且恒成立，則不等式的解集為_____________.
【答案】
【分析】
構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式即可.
【詳解】
解：
，
構(gòu)造函數(shù)，
則，
當(dāng)時，，
在單調(diào)遞增，
不等式，
即
即，
故不等式的解集為.
故答案為：.
45．已知函數(shù)，若、，使得，則實數(shù)的取值范圍為________.
【答案】
【分析】
根據(jù)余弦型函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)時，函數(shù)的值域，分類討論利用指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，求出函數(shù)在時的值域，然后根據(jù)存在的定義進行求解即可.
【詳解】
因為，所以，因此在時，單調(diào)遞減，
所以有.
當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)時，
，即，
因為、，使得，
所以有：，
令，
因為，所以，因此函數(shù) 單調(diào)遞增，
所以有，因此不等式組的解集為：，而，所以；
當(dāng)時，函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，當(dāng)時，
，即，
因為、，使得，
所以有：，
令，
因為，所以，因此函數(shù) 單調(diào)遞減，
所以有，因此不等式組 的解集為空集，
綜上所述：.
故答案為：
46．若函數(shù)在上單調(diào)遞減，則實數(shù)的取值范圍為________．
【答案】
【分析】
由題意得，在上恒成立，
設(shè)，，，則在恒成立，
得到然后利用最值分析法求解即可.
【詳解】
將函數(shù)在上單調(diào)遞減，
轉(zhuǎn)化在上恒成立，
即在上恒成立 ，
設(shè)，，，則在恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)得，解得
故答案為：
47．在處取得極值，則______.
【答案】
【分析】
對求導(dǎo)，代入，使得，變形整理得到，利用三角函數(shù)的有界性，可得，再利用倍角公式可求．
【詳解】
解：由已知，
因為在處取得極值，
，
即，
因為，，
，即，
．
故答案為：．
48．若函數(shù)在上遞增，則的取值范圍___________.
【答案】.
【分析】
根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)，由函數(shù)在上遞增，則在上恒成立，令，轉(zhuǎn)化為在恒成立求解.
【詳解】
由函數(shù)，
所以，
因為函數(shù)在上遞增，
所以在上恒成立，
令，
所以在恒成立，
令，
所以，
解得，
故答案為：
49．已知函數(shù)存在唯一零點，則實數(shù)a的取值范圍是____________.
【答案】
【分析】
計算，可知唯一零點，同時可知該函數(shù)為奇函數(shù)，轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，函數(shù)無零點，利用不等式，以及構(gòu)造函數(shù)，最后有導(dǎo)數(shù)進行判讀即可.
【詳解】
由題可知：函數(shù)定義域為且
因為函數(shù)存在唯一零點
所以只有一個零點0
因為
所以函數(shù)為奇函數(shù)，故只考慮當(dāng)時，函數(shù)無零點
當(dāng)時，有，
所以
令，則
因為
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又
所以
故答案為：
50．若不等式對任意恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__________.
【答案】
【分析】
由題意轉(zhuǎn)化條件得對任意恒成立，令，，求導(dǎo)后，求得的最小值即可得解.
【詳解】
由題意
，
不等式對任意恒成立，
對任意恒成立，
對任意恒成立，
令，，則，
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
，，
即實數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
三、解答題50-100題
51．已知函數(shù).
（1）設(shè)且，求函數(shù)的最小值；
（2）當(dāng)，證明：.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）通過求導(dǎo)來判斷函數(shù)的單調(diào)性進而求出最值；
（2）構(gòu)造新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為證明新函數(shù)的最小值大于等于0即可.
（1）
，又，
又，，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
的最小值為；
（2）
不等式等價于，
令，
令，，
又，，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，又，
，所以原不等式成立.
52．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)的最值．
【答案】
（1）在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減
（2）的最大值為1，最小值為
【分析】
(1)結(jié)合已知條件求出，然后求出，進而即可求解；(2)首先求出的周期，然后結(jié)合(1)中條件即可求解.
（1）
由題意，，
令，，解得或或，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減；
（2）
由，易知是以為周期的周期函數(shù)，
故可取這一周期討論最值，
因為在區(qū)間和上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減，
故在和取得極小值，在取得極大值，
因為，，，
所以的最大值為1，最小值為．
53．已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并說明理由；
（2）當(dāng)時，試判斷函數(shù)的零點個數(shù)，并說明理由．
【答案】
（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；理由見解析
（2）2個，理由見解析
【分析】
（1）先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導(dǎo)數(shù)可知f (x)在上的單調(diào)遞增，進而可得在上的單調(diào)性；
（2）由（1）在內(nèi)有且只有一個零點，再利用導(dǎo)數(shù)研究f (x)在上的零點即可.
（1）
解：因為函數(shù)的定義域為R，，所以函數(shù)為偶函數(shù)，
又且當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上單調(diào)遞減，
綜上，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
（2）
解：由（1）得在上單調(diào)遞增，又，所以在內(nèi)有且只有一個零點，
當(dāng)時，令，又，且在上連續(xù)，則存在，使得，
由得，當(dāng)時，恒成立，即在上單調(diào)遞減，
且當(dāng)時，，即，則在上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，，所以在上無零點；
當(dāng)時，有，即，則在上單調(diào)遞減，又，，所以在有且只有一個零點，
綜上，函數(shù)在上有2個零點.
54．已知函數(shù)，，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）當(dāng)時，證明：在上恒成立.
【答案】
（1）極小值為，無極大值；
（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負可確定的單調(diào)性，由極值點的定義可求得結(jié)果；
（2）由可將問題轉(zhuǎn)化為證明，利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性，進而確定，由此可得結(jié)論.
（1）
，
令，即，又，，
則，，變化情況如下表，
極小值為，無極大值.
（2）
證明：，，，
令，
則，
令，，
在上單調(diào)遞增，，即，
，則在單調(diào)遞增，，
，即在上恒成立.
55．已知函數(shù).
（1）若在上有零點，求實數(shù)的取值范圍；
（2）若，記在上的最小值為，求的取值范圍.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）令，求出其導(dǎo)數(shù)后可判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而可求其值域，故可求實數(shù)的取值范圍；
（2）求出，令，求出，利用題設(shè)條件可得，從而可得在存在唯一的零點且可得的符號情況，從而可得的單調(diào)性，故可得其最小值，再利用導(dǎo)數(shù)可求其取值范圍.
（1）
由得，令，
則，所以在上單調(diào)遞減，
，從而.
（2）
令，
因為，故，
所以在上單調(diào)遞增，又，，
所以存在唯一實數(shù)，使得，
且當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故在上單減，在上單增，從而的最小值，∵，
∴，故.
令，則，
所以在上單減，
由題意可得，所以，
令，則，
所以在上單減，故的取值范圍為.
56．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求的單調(diào)性及零點的個數(shù)；
（2）當(dāng)時，求的零點的個數(shù).
【答案】（1）單調(diào)遞減；一個零點；（2）有且僅有一個零點.
【分析】
(1)利用二次求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出零點的個數(shù)；
(2)利用三次求導(dǎo)討論函數(shù)的單調(diào)性，進而得出函數(shù)零點的個數(shù).
【詳解】
解：（1），，
當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減.
又因為，，
所以，有，所以存在一個零點
（2）當(dāng)時，，，
所以單調(diào)遞增，
又，，
所以，有，
且有時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增，
又因為，，
所以，有.
又當(dāng)時，，，所以.
所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
時，，單調(diào)遞增，
又，，
所以存在，有，
當(dāng)時，，，所以有，
當(dāng)，有.
所以，當(dāng)時，函數(shù)有且僅有一個零點
57．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時，求在區(qū)間上的最值；
（2）當(dāng)時，，求的取值范圍．
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再判斷單調(diào)性，可求出最值．
（2）先得到，時，，再求出函數(shù)的最小值即得解．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，，，
在，上單調(diào)遞增，
，．
（2）當(dāng)，時，
，
，，，，
當(dāng)時，，
在，上單調(diào)遞增，，
，，
的取值范圍為，．
58．已知函數(shù)在原點處的切線方程為.
（1）求的值及的單調(diào)區(qū)間；
（2）記，，證明：在上至少有一個零點.
（參考數(shù)據(jù)：）.
【答案】（1），單調(diào)遞增區(qū)間：，；單調(diào)遞減區(qū)間：，；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)幾何意義可得的值，進而解導(dǎo)函數(shù)的不等式得到單調(diào)區(qū)間；
（2）構(gòu)造函數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可明確函數(shù)圖象與軸的位置關(guān)系.
【詳解】
（1），，
，.
，，
的單調(diào)遞增區(qū)間：，；
單調(diào)遞減區(qū)間：，.
（2）證明：，，
，記
，
在上遞增，在上遞減，，.
①當(dāng)，時，，，
存在，使，則在上遞增，在上遞減，又，，，則此時在上僅有一個零點；
②當(dāng)時，，，
存在，使，
又，存在，使，
在，上遞減，在上遞增，
，，，
此時在存在一個零點.
又，
（若不用極小值點，也可取，使.由可得）
在也存在一個零點，則此時在上有兩個零點.
故綜上，在上至少有一個零點，得證.
59．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)在上有兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)得，進而解三角不等式即可得答案；
（2）根據(jù)題意得在上有兩個不等實根，進而令，研究函數(shù)的函數(shù)值的分布，即可求得答案.
【詳解】
解：（1）因為，
所以.
因為，當(dāng)，
即時，，
當(dāng)，即時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是
（2）由（1）知，
因為，
所以，
所以，
由題意在上有兩個不等實根，
即有兩個實根且在每個實根兩側(cè)的符號不同.
設(shè)，則，
令，得，
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減.
所以，，，
所以當(dāng)時，在上有兩個實根.
即的取值范圍為.
60．已知函數(shù)，
（1）證明：當(dāng)時，；
（2）試討論函數(shù)在上的零點個數(shù).
【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.
【分析】
（1）對函數(shù)求導(dǎo)，求其單調(diào)性和最值，進而可證明；
（2）分，，，討論，研究函數(shù)在上的零點個數(shù).
【詳解】
（1）證明：，，
令，，
，，
在上是增函數(shù)，且，
在上是增函數(shù)，且
；
（2），，
①，，，
是函數(shù)在上的唯一零點，
②，令，則，
因為，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，，當(dāng)或時取等號，
故是函數(shù)在上的唯一零點；
③，，
設(shè)，則
在上遞增，而
所以，在上遞增，，是唯一零點；
④，，在上遞增，而，
使，
當(dāng)時，遞減，，遞增，
，
而，
在上有唯一零點，又也是一個零點，在上有2個零點；
綜上，當(dāng)時，在上有1個零點;
當(dāng)時，在上有2個零點.
61．已知函數(shù)，.
（Ⅰ）求的導(dǎo)數(shù)；
（Ⅱ）當(dāng)時，求證：在上恒成立；
（Ⅲ）若在上恒成立，求的最大值.
注：以下不等式可參考使用：對任意，，，恒有，當(dāng)且僅當(dāng)時“=”成立.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）2.
【分析】
（Ⅰ）直接利用導(dǎo)數(shù)公式求解；
（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值；
（Ⅲ）先利用特值縮小的范圍，再構(gòu)造函數(shù)，證明這個取值符合條件即可．
【詳解】
解：（Ⅰ）因為
所以
；
（Ⅱ）令（）
則（）
所以在時為增函數(shù)，
所以，即.
（Ⅲ）因為在時恒成立，
所以可令，得，
可得，所以或2，
當(dāng)時，令（），
則
所以在時為增函數(shù)，所以，
即當(dāng)時，成立，所以的最大值為2.
62．已知函數(shù)，（其中）.
（1）證明：當(dāng)時，；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，由此可證得所證不等式成立；
（2）由參變量分離法可得對任意的恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，由此可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）當(dāng)時，，，
，恒成立，在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，都有，
因此，當(dāng)時，；
（2）即，
由得，
令，，
令，，則，
得在單調(diào)遞減，，
從而當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，，得.
即實數(shù)的取值范圍為.
63．已知函數(shù)，.
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）若，則，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系求解即可；
（2）由題知，故令，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值即可得答案.
【詳解】
解：（1）若，則，
∴
∴
令，則，∴
令，則，
的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為
（2）
令，，
則
令，
則.
∵，∴，∴，∴，
∴在上單調(diào)遞減，
∴
∴，∴在上單調(diào)遞減，
∴，故
所以實數(shù)的取值范圍是.
64．已知函數(shù).
（Ⅰ）求的單調(diào)遞減區(qū)間；
（Ⅱ）若當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）單調(diào)遞減區(qū)間為；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡不等式，變形為，即求，令，求的導(dǎo)函數(shù)判斷的單調(diào)性求出最小值，可求出的范圍.
【詳解】
（Ⅰ）由題可知.
令，得，從而，
∴的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（Ⅱ）由可得，
即當(dāng)時，恒成立.
設(shè)，則.
令，則當(dāng)時，.
∴當(dāng)時，單調(diào)遞增，，
則當(dāng)時，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，單調(diào)遞增.
∴，
∴.
65．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）先求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分和討論導(dǎo)函數(shù)的正負，從而可得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，當(dāng)時，，由再結(jié)合（1）可得當(dāng)時，，從而令，則，所以在單調(diào)遞增，進而可得結(jié)論
【詳解】
（1）由，得.
（i）當(dāng)時，對任意，都有，
此時的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
（ii）當(dāng)時，令，解得，
且當(dāng)時，；當(dāng)時，.
此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間.
（2）令，則.
①當(dāng)時，.
令，則.
所以當(dāng)時，，即.
由（1）得，當(dāng)時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時，，即，
令，
則，所以在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，.
所以，當(dāng)時，，即.
②當(dāng)時，因為，
所以存在，使得當(dāng)，，
則在單調(diào)遞減.
所以，即，與條件矛盾.
綜合①，②，的取值范圍是.
66．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)，.
（1）若曲線在點處的切線斜率為，求的最小值；
（2）若當(dāng)時，有解，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由求出的值，可得出函數(shù)的解析式，再利用導(dǎo)數(shù)法可求得函數(shù)的最小值；
（2）由參變量分離法可知，不等式在時有解，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在上的最小值，即可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由得.
曲線在點處的切線斜率為，，
，.
當(dāng)時，，，，
當(dāng)時，，，則，
在上單調(diào)遞增，；
（2），設(shè)，，
則當(dāng)時，有解.
，.
當(dāng)時，，解，可得或，解得，.
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.
，，且，
，的取值范圍為.
67．已知.
（1）判斷函數(shù)是否存在極值，并說明理由；
（2）求證：當(dāng)時，在恒成立.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題意求得，根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，得到，得出函數(shù)的單調(diào)性，即可求解；
（2）由題意轉(zhuǎn)化為成立，令，求導(dǎo)數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合（1）求得函數(shù)的額單調(diào)性和最值，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，則，
可得，
根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可知，可得，
所以函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，所以函數(shù)沒有極值.
（2）由于，即，即，
要證原命題成立，只需證成立，
令，則，
令，
則，
由（1）可知，當(dāng)時，，即，
當(dāng)時，，
因此，當(dāng)時，，
所以，
所以當(dāng)時為增函數(shù)，所以，即，
所以當(dāng)時為減函數(shù)，
所以，原命題得證.
68．已知函數(shù).
（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間沒有零點；
（2）若時，，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)得到在上單調(diào)遞增，，即得解；
（2）由題得，再構(gòu)造函數(shù)，，求函數(shù)的最小值即得解.
【詳解】
證明（1）
∵ ∴恒成立，在上單調(diào)遞增
又 ∴，都有
∴在區(qū)間上沒有零點
（2）即，由得
令，
令，
得在單調(diào)遞減，
從而，，單調(diào)遞減
，，單調(diào)遞增
∴
得.
69．函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為：，的單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，計算和即可得單調(diào)區(qū)間；
（2）將代入不等式化簡得恒成立，通過求導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性并求得最值，從而求的實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）由題可得
令，
得，
∴，
∴的單調(diào)遞增區(qū)間為.
同理，令，得的單調(diào)遞減區(qū)間為
綜上所述：的單調(diào)遞增區(qū)間為：，
的單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）由，得，
即.
設(shè)，則.
設(shè)，則.
當(dāng)時，，，所以.
所以即在上單調(diào)遞增，
則.
若，則，
所以在上單調(diào)遞增.
所以恒成立，符合題意.
若，則，必存在正實數(shù)，
滿足：當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
此時，不符合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
70．已知函數(shù)，.
（1）求的單調(diào)性；
（2）若對于任意x∈[0，+∞)，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)函數(shù)，由確定增區(qū)間，確定減區(qū)間．
（2）構(gòu)造函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，分類討論求出在上的最小值，由最小值大于或等于0求得的范圍．
【詳解】
（1）
令
在上單調(diào)遞增．
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增．
（2）令，則
，令
∴在上遞增，∴，
當(dāng)時，，∴，單調(diào)遞增，
∴，滿足題意．
當(dāng)時，，
∴當(dāng)時，，
單調(diào)遞減，又，此時，不合題意．
綜上可得．
71．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求零點的個數(shù)；
（2）當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）零點的個數(shù)為0；（2）.
【分析】
（1）先用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，再用零點存在定理判斷零點個數(shù)；
（2）規(guī)定新函數(shù)，只需 ，分類討論求求出a的范圍 .
【詳解】
解：（1）
因為，所以，所以，所以函數(shù)在減函數(shù).
所以
所以零點的個數(shù)為0.
（2），，，
令，則，
因為，所以所以，所以函數(shù)在減函數(shù)，
所以
當(dāng)時，，所以函數(shù)在減函數(shù)，
所以，滿足題意
當(dāng)時，所以函數(shù)在增函數(shù)，
所以，不滿足題意
當(dāng)時，因為，，且函數(shù)在減函數(shù)，所以存在唯一的，使，所以函數(shù)在增函數(shù)，在減函數(shù)，當(dāng)時，，不滿足題意.
綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.
72．已知函數(shù).
（1）求證：；
（2）若，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）構(gòu)造函數(shù)，利用、研究的單調(diào)性和最值，由此證得不等式成立.
（2）構(gòu)造函數(shù)，由得到.結(jié)合導(dǎo)數(shù)證得，由此確定的取值范圍.
【詳解】
（1）設(shè)，則.
由知在上遞增，∴.
從而是增函數(shù)，∴，故原不等式成立.
（2）對恒成立.
設(shè)，
一方面，由.
另一方面，當(dāng)時，.
利用（1）中的結(jié)論有：.
構(gòu)造函數(shù)，則.∴遞減.
從而，∴，∴恒成立.
綜上得：.
73．已知函數(shù)，．
（1）求在點處的切線方程；
（2）證明：對任意的實數(shù)，在上恒成立．
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)得出在上恒成立，由不等關(guān)系得，從而將問題轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其最小值，從而證明在上恒成立.
【詳解】
（1）由題意，設(shè)該切的切線方程為，由
故，由，解得，故該切線的切線方程為．
（2）證明：設(shè)，則，則
故在上單調(diào)遞增，，故在上單調(diào)遞增
所以，所以在上恒成立
故
故只需證，即證
設(shè)
則
則在上單調(diào)遞增，
故對任意的，在上恒成立
74．已知：函數(shù).
（1）求；
（2）求證：當(dāng)時，；
（3）若對恒成立，求實數(shù)的最大值.
【答案】（1）0；（2）證明見解析；（3）.
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再代入求的值；（2）首先設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)正負判斷函數(shù)的單調(diào)性，求得函數(shù)，（3）首先不等式等價于對恒成立，參變分離后轉(zhuǎn)化為對恒成立，
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，轉(zhuǎn)化為求實數(shù)的最大值.
【詳解】

（1）；
（2）令，則，
當(dāng)時，設(shè)，則
所以在單調(diào)遞減，
即，所以
所以在上單調(diào)遞減，所以，
所以.
（3）原題等價于對恒成立，
即對恒成立，
令，則.
易知，即在單調(diào)遞增，
所以，所以，
故在單調(diào)遞減，所以.
綜上所述，的最大值為 .
75．設(shè)函數(shù)（其中，m，n為常數(shù)）
（1）當(dāng)時，對有恒成立，求實數(shù)n的取值范圍；
（2）若曲線在處的切線方程為，函數(shù)的零點為，求所有滿足的整數(shù)k的和．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由恒成立可知單調(diào)遞增，由此得到，進而求得結(jié)果；
（2）由切線方程可確定和，從而構(gòu)造方程求得；將化為，由可確定單調(diào)性，利用零點存在定理可求得零點所在區(qū)間，進而得到所有可能的取值，從而求得結(jié)果.
【詳解】
（1）當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，，對任意的都成立，
在單調(diào)遞增，，
要使得對有恒成立，則，解得：，
即的取值范圍為.
（2），，解得：，
又，，，，
顯然不是的零點，可化為，
令，則，在，上單調(diào)遞增.
又，，，，
在，上各有個零點，在，上各有個零點，
整數(shù)的取值為或，整數(shù)的所有取值的和為.
76．已知.
（1）當(dāng)時，求證：在上單調(diào)遞減；
（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）求得導(dǎo)數(shù)，結(jié)合指數(shù)函數(shù)與余弦函數(shù)的性質(zhì)，求得，即可得到結(jié)論.
（2）當(dāng)時，可得命題成立，當(dāng)時，設(shè)，求得，求得函數(shù)的單調(diào)性，得到，分類討論，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，可得，
由時，則，
當(dāng)時，
，所以，
所以在單調(diào)遞減.
（2）當(dāng)時，，對于，命題成立，
當(dāng)時，由（1），
設(shè)，則，
因為所以，在上單調(diào)遞增，
又， 所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
①當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
因為，所以恒成立；
②當(dāng)時，，因為在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，
所以存在
對于，恒成立.
所以在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，不合題意.
綜上，當(dāng)時，對于，恒成立.
77．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，求在上的單調(diào)性；
（2）若，，求的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時，求導(dǎo)得，根據(jù)得，故在上單調(diào)遞增；
（2）等價于，令，分，，三種情況討論即可得答案.
【詳解】
（1）當(dāng)時，，.
因為，所以，，從而，
所以在上單調(diào)遞增.
（2）等價于.
令，則.
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
所以恒成立.
當(dāng)時，令，得.
當(dāng)時，，，；，.
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而.
令，，則，
所以在上單調(diào)遞減，，即，滿足題意.
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，
則，不合題意.
綜上，，即的取值范圍為.
78．已知函數(shù)f（x）＝sinx，g（x）＝ex?f′（x），其中e為自然對數(shù)的底數(shù)．
（1）求曲線y＝g（x）在點（π，g（π））處的切線方程；
（2）若對任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x?f（x）+m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）試探究當(dāng)?∈[0，]時，方程g（x）＝x?f（x）的解的個數(shù)，并說明理由．
【答案】（1），（2）；（3）有一個，見解析
【分析】
（1）求出的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點坐標(biāo)，運用點斜式方程可得到切線方程；
（2）題目等價于任意[，不等式恒成立，設(shè)，，求導(dǎo)數(shù)，求單調(diào)區(qū)間和最大值，即可得的取值范圍；
（3）設(shè)，，討論①當(dāng)時，②當(dāng)時，判斷單調(diào)性，結(jié)合 零點的存在性定理，即可得到方程解的個數(shù).
【詳解】
（1）由題意得g（x）＝exf′（x）＝excsx，
g（π）＝eπcsπ＝﹣eπ，
g′（x）＝ex（csx﹣sinx），g′（π）＝﹣eπ，
所以曲線y＝g（x）在點（π，g（π））處的切線方程：y﹣（﹣eπ）＝﹣eπ（x﹣π），即y＝﹣eπx+（π﹣1）eπ，
（2）若對任意?∈[，?]，不等式g（x）≤x?f（x）+m恒成立，
即對任意?∈[，?]，不等式m≥g（x）﹣x?f（x）恒成立，
只需要m≥[g（x）﹣x?f（x）]max，x∈[，π]
設(shè)h（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excsx﹣xsinx，x∈[，π]
h′（x）＝ex（csx﹣sinx）﹣sinx﹣xcsx＝（ex﹣x）csx﹣（ex+1）sinx，x∈[，π]，
所以（ex﹣x）csx≤0，（ex+1）sinx≥0，
故h′（x）≤0，
故h（x）在[，π]上單調(diào)遞減，
故h（x）max＝h（），
所以m.
（3）設(shè)H（x）＝g（x）﹣xf（x）＝excsx﹣xsinx，x∈[0，]，
當(dāng)x∈（0，]時，
設(shè)φ（x）＝ex﹣x，x∈（0，]時，
則φ′（x）＝ex﹣1≥0，所以φ（x）在[0，]上單調(diào)遞增，
所以x∈（0，]時，φ（x）＞φ（0）＝1，
所以ex＞x＞0，
又x∈（0，]時，csx≥sinx＞0，
所以excsx＞xsinx，
即g（x）＞xf（x），即H（x）＞0，
故函數(shù)H（x）在（0，]上沒有零點.
當(dāng)x∈（，]時，
H′（x）＝ex（csx﹣sinx）﹣（sinx+xcsx）＜0，
故H（x）在（，]上至多有一個零點，
又H（）（e）＞0，H（）0，
且函數(shù)H（x）在（，]上是連續(xù)不斷的，
故函數(shù)H（x）在（，]上有且只有一個零點.
當(dāng)?∈[0，]時，方程g（x）＝x?f（x）的解有一個.
79．已知點，，為坐標(biāo)原點，設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞減；（2）.
【分析】
（1）由題意結(jié)合平面向量的數(shù)量積運算可得，求導(dǎo)后可得，即可得解；
（2）當(dāng)時，易得恒成立；當(dāng)時，求導(dǎo)得，設(shè)，求導(dǎo)可得，按照、分類，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、即可得解.
【詳解】
（1）由已知，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
又，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；
（2）①當(dāng)時，，對于，恒成立；
②當(dāng)時，，
設(shè)，則，
因為，，
所以，在上單調(diào)遞增，
又，所以，
所以在上單調(diào)遞增，且，
（ⅰ）當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，
因為，所以恒成立，符合題意；
（ⅱ）當(dāng)時，，
因為在上單調(diào)遞增，
又當(dāng)時，，
則存在，對于，恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
所以，當(dāng)時，，不合題意.
綜上，所求的取值范圍為.
80．已知.
（1）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間;
（2）若過點能作函數(shù)的兩條切線，求實數(shù)的取值范圍;
（3）設(shè)，且，求證:
【答案】（1）答案見解析；（2）；（3）證明見解析.
【分析】
（1）求出，再對分三種情況討論得解；
（2）設(shè)切點坐標(biāo)為，求出，等價于直線和函數(shù)的圖像有兩個交點，利用導(dǎo)數(shù)分析即得解；
（3）先求出在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，不妨設(shè)，則，等價于，證明，再證明即得證.
【詳解】
解:，
所以.
當(dāng)時，令，解得或
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時，令，解得或，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時﹐，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
綜上，時﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，沒有單調(diào)遞減區(qū)間.
當(dāng)時，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增.
解:設(shè)切點坐標(biāo)為，
因為，
所以
所以切線方程為
且過點，
所以
因為過點能作兩條切線，
所以直線和函數(shù)的圖像有兩個交點.
因為，令，
解得
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增﹐在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
所以.
所以得.
證明:，
則
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
不妨設(shè)，則，
欲證，則，
因為，，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，
所以只需證明，即，
即，
即
設(shè)
則，
因為
所以恒成立，
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
所以
所以
所以原不等式成立.
故.
欲證
即
因為在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減.
所以只需證明，即
即
因為，
所以只需證明，即證，顯然成立，
所以原不等式成立，
故
81．設(shè)．
（1）當(dāng)時，求證：；
（2）證明：對一切正整數(shù)n，都有．
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
(1)利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上單調(diào)遞增，從而有當(dāng)時，恒成立；
(2) 放縮法構(gòu)造數(shù)列不等式，再利用裂項相消法證明不等式.
【詳解】
(1)由題知，，，故單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，有恒成立.
(2)由(1)知當(dāng)時，，取
有，
故
即待證不等式成立．
82．已知函數(shù)，.
（1）求證：當(dāng)時，；
（2）求函數(shù)的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）求出，然后多次求導(dǎo)，通過研究導(dǎo)函數(shù)的符號得到原函數(shù)的單調(diào)性，進而得出其函數(shù)值符號，最終得出函數(shù)的單調(diào)性，從而得出的最小值，從而得證.
(2)由題意可得，結(jié)合（1）的結(jié)論，討論出函數(shù)的單調(diào)性，從而求出其最小值，得出答案.
【詳解】
（1）證明：由，得
，，
所以在上單增，，
所以在上單增，，
所以在上單增，，
即當(dāng)時，.
（2）解：由
，
由（1）知當(dāng).時，(當(dāng)且僅當(dāng)時取“”)，
則當(dāng)時，令，得；
令，得，在上單增；
令，得，在上單減，
所以.
83．已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）證明：；
（2）若恒成立，求實數(shù)的范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）對原函數(shù)求導(dǎo)后可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，得到即可；
（2）將題意轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造，由，，可知對分為和討論即可.
【詳解】
（1），于是，.
又因為，當(dāng)時，且.
故當(dāng)時，，即.
所以，函數(shù)為上的增函數(shù)，于是，.
因此，對，；
（2）恒成立，
恒成立.
令，，，.
①當(dāng)時，，
由（1）可知，
在上為增函數(shù)，
恒成立.
時滿足題意
②當(dāng)時，由（1）可知
在上單調(diào)遞增，
而∴存在，使得.
∴時，單調(diào)遞減，
，不合題意，舍去.
綜上，.
84．設(shè)函數(shù).
（1）當(dāng)時，判斷的單調(diào)性；
（2）若當(dāng)時，不等式恒成立，求a的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，得出導(dǎo)函數(shù)的符號，從而可得函數(shù)單調(diào)性.
（2）由已知將問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，令，求導(dǎo)，分析導(dǎo)函數(shù)的符號，得出單調(diào)遞增，求得的最大值，由恒等式的思想可得出的取值范圍.
【詳解】
解：（1），令，
當(dāng)時，，所以當(dāng)時，單調(diào)遞增；
所以，即，所以單調(diào)遞增.
（2）因為當(dāng)時，不等式恒成立，
所以當(dāng)時，不等式恒成立，
令，所以，
因為當(dāng)時，，所以，所以單調(diào)遞增，
所以，所以.
85．已知e是自然對數(shù)的底數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)記為，曲線在點處的切線l與y軸交于點．
（1）當(dāng)時，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若對任意的，都有成立，求實數(shù)m的最大值．
【答案】（1），；（2）3．
【分析】
（1）利用幾何意義求出切線方程，再求出，的關(guān)系，構(gòu)造函數(shù)求值域即可求實數(shù)的取值范圍；
（2）作差構(gòu)造函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，故只需，解不等式即可求的范圍，進而求出的最大值．
【詳解】
解：（1），所以，
所以（a），又（a），
所以切線的方程為，
因為切線與軸交于點，
所以，
令，
（a），
當(dāng)時，，即（a），
當(dāng)時，，即（a），
故（a）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
（a），當(dāng)時，（a），
所以（a）的值域為，，
即的取值范圍為，．
（2），
令，，
令
當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞增，
又，所以，于是在上單調(diào)遞增，
因為在上恒成立，所以只需滿足，解得．
故的是大值為3．
86．已知函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù).
（1）證明：在上沒有零點；
（2）證明：當(dāng)，.
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）通過構(gòu)造函數(shù)和二次求導(dǎo)可證得時，總有；
（2）分和兩種情況證明. 當(dāng)時，易證；當(dāng)時，仿（1）可證得，即單調(diào)遞增，進而可證得.
【詳解】
證明：（1）因為，所以
，
令，則
在上顯然，所以在上單調(diào)遞增，
即時，總有，
故在上沒有零點；
（2）當(dāng)時，，
當(dāng)時，由（1）可知，
在上單調(diào)遞增，
，即時，總有，
所以在上單調(diào)遞增，
.
綜上所述，，.
87．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，試判斷函數(shù)在上的單調(diào)性；
（2）存在，，，求證：.
【答案】（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出，當(dāng)時，的最小值大于零，則在上單調(diào)遞增；
（2）令，，將轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明最小值小于0.
【詳解】
（1）(方法一)當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
(方法二)當(dāng)時，，，
由，
結(jié)合函數(shù)與圖象可知：當(dāng)時，，，
所以兩函數(shù)圖象沒有交點，且.
所以當(dāng)時，.
所以，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.
（2）證明：不妨設(shè)，由得，
，
.
設(shè)，則，故在上為增函數(shù)，
，從而，
，
，
要證只要證，
下面證明：，即證，
令，則，即證明，只要證明：，
設(shè)，，則在單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，從而得證，即，
，即.
88．已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．
（1）證明：當(dāng)時，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點，且；
（2）若在上單調(diào)遞減，求實數(shù)的取值范圍．
（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）首先確定函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)零點存在定理確定導(dǎo)函數(shù)的零點，進而判斷函數(shù)在的單調(diào)性及極值，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)零點的取值范圍，最后證明即可；
（2）根據(jù)題意可得，在上恒成立，參變分離得，構(gòu)造函數(shù)，，判斷函數(shù)在上單調(diào)性，進而求出最值，最后實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
(1)當(dāng)時，，
，
，，
則，所以導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，
又，
，
根據(jù)零點存在定理可知，存在唯一零點，
使得，
所以當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的極值點，
又，所以.
(2) 若在上單調(diào)遞減，則在上恒成立，
參變分離得，
令，，
，
當(dāng)時，恒成立，所以在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
，，
根據(jù)零點存在定理可知，存在唯一使得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，
,
根據(jù)零點存在定理可知，存在使得，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
又，，
又因為，所以
所以，
綜上：.
89．已知函數(shù)．
（1）求的最小值；
（2）若不等式對任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）1；（2）.
【分析】
（1）先對函數(shù)求導(dǎo)得，并令，再求導(dǎo)得，注意到，所以得單調(diào)區(qū)間，根據(jù)單調(diào)性即可解決.
（2）方法1，先驗證是不等式成立，再對時，利用分離參數(shù)法和洛必達法則求解即可；方法2，直接移項，構(gòu)造函數(shù)，求二階導(dǎo)，再分類討論求解即可.
【詳解】
解：（1），，，
∴在上為增函數(shù)，又，
∴，，單調(diào)遞減；
，，單調(diào)遞增，
．
（2）方法1：（分離參數(shù)法）
當(dāng)時，成立，
當(dāng)，，
設(shè)（）
設(shè)，（），
∴單調(diào)遞增，
又，∴，，
∴單調(diào)遞增，∴．
，∴．
方法2：設(shè)，
則，
，
∵，∴，∴單調(diào)遞增，
①當(dāng)時，，即，
單調(diào)遞增，恒成立，
②當(dāng)時，，，
，使，
，單調(diào)遞減，
，不合題意.
由①②知實數(shù)的取值范圍是．
90．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
（2）若，，求證：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求得的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率和切點，由直線的點斜式方程可得切線的方程；
（2）求得的導(dǎo)數(shù)，判斷不成立，設(shè)，，求得導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，得到，的不等式，再運用分析法，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，判斷單調(diào)性，即可得證．
【詳解】
（1）當(dāng)時，，導(dǎo)數(shù)為，
可得切線的斜率為，且，
所以切線的方程為，
即為；
（2）證明：由題意可得，
若，則，所以在遞增，
因此不存在，使得，所以；
設(shè)，，則，
令，，
所以在遞減，又，所以在恒成立，
從而在遞減，從而.①
又由，可得，
所以.②
由①②可得.
又因為，所以，
因此要證，
只需證明，
即證，③
設(shè)，，則，
所以在上為增函數(shù)，
又因為，所以，即③式成立.
所以獲證.
91．已知函數(shù)，.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若存在，，且當(dāng)時，，當(dāng)時，求證：.
【答案】（1）有極小值，無極大值；（2）證明見解析.
【分析】
(1)首先整理得到，求導(dǎo)得，由此可知導(dǎo)函數(shù)的正負跟的取值有關(guān)，所以對進行分類討論判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而得到函數(shù)的極值.
(2)首先證明當(dāng)，在上為增函數(shù)，
分析得到當(dāng)時，當(dāng)且僅當(dāng)，
由得到關(guān)系式化簡得到
，
又根據(jù)
將上式化簡得，
所以將問題轉(zhuǎn)化成即成立，
接著利用換元法證明上述不等式成立即可.
【詳解】
（1）由，，
當(dāng)，，在上為增函數(shù)，無極值，
當(dāng)，，；，，
在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，
，有極小值，無極大值，
綜上知：當(dāng)，無極值，
當(dāng)，有極小值，無極大值.
（2），，
，，，
所以，當(dāng)，在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時，恒有，即成立；
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
當(dāng)，在上為增函數(shù)，
這時，在上為增函數(shù)，
所以不可能存在，，
滿足當(dāng)時，，
所以有.
設(shè)，得：
，
①，
，
②，
由①②式可得：，
即，
又，，
③，
要證④，所以由③式知，
只需證明：，即證，
設(shè)，只需證，
即證：，令，
由，在上為增函數(shù)，
，成立，
所以由③知，成立.
92．已知函數(shù)，.
（1）當(dāng)時，設(shè)，求證：；
（2）若恰有兩個零點，求的最小整數(shù)值.
【答案】
（1）證明見解析；
（2）2.
【分析】
（1）當(dāng)時，可得解析式，求導(dǎo)可得解析式，根據(jù)x的范圍，分析可得的單調(diào)性，即可得的最大值，分析即可得證.
（2）當(dāng)時，，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最值，分析不符合題意；當(dāng)時，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得，結(jié)合解析式，可得，不符合題意；當(dāng)時，利用導(dǎo)數(shù)求得的單調(diào)性和最值，根據(jù)零點存在性定理，即可求得零點范圍，綜合即可得答案.
（1）
當(dāng)時，，
則，
因為， 所以，
所以，所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
所以；
（2）
當(dāng)時，，設(shè)，
因為，所以，
所以，所以函數(shù)無零點，
當(dāng)時，設(shè)， 因為，
所以， 即，
，
所以函數(shù)無零點
當(dāng)時，，
設(shè)，，
所以函數(shù)在上為減函數(shù)，
又，，
所以在上存在零點，使，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
函數(shù)在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，
因為，，
，
所以函數(shù)在，各一個零點，
綜上所述：當(dāng)時，恰有兩個零點，當(dāng)時，，
所以時，是恰有兩個零點的最小整數(shù)值 .
93．已知，，．
（1）若，證明：；
（2）對任意都有，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）2．
【分析】
（1）利用二次求導(dǎo)求得存在唯一零點，使得，在上恒成立上可以證明在定義域上的單調(diào)性，可知，便可證明結(jié)論.
（2）先判斷整數(shù)可知，接著證明
在區(qū)間上恒成立即可可出結(jié)論.
【詳解】
解：
（1）證明：設(shè)，，則．
因為，且
則在，單調(diào)遞減，，
所以存在唯一零點，使得
則在時單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
又，
所以在上恒成立上，所以在單調(diào)遞增
則，即，
所以．
（2）因為對任意的，
即恒成立
令，則
由（1）知，所以
由于為整數(shù)，則
因此
下面證明，在區(qū)間上恒成立即可.
由（1）知，則
故
設(shè)，，則，
所以在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立.
綜上所述, 的最大值為2．
94．已知：
（1）若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若，試分析，的根的個數(shù).
【答案】
（1）
（2）無實根
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即在上恒成立，令，，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出m的范圍即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的最小值，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合m的范圍判斷即可.
（1）
解：
由于在上遞增得：在上恒成立，
即在上恒成立
令，，
則，
故在上遞減，于是，
故；
（2）
解：，，故在上遞增，
又，，
故唯一，使得在上遞減，在上遞增.
故且
故，
令，
則
故在上遞減
當(dāng)時，由遞減知，
故，
即，
從而有在上恒成立.
故時，無實根.
95．已知.
（1）當(dāng)時，求證：函數(shù)在上單調(diào)遞增；
（2）若只有一個零點，求的取值范圍.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）當(dāng)時，分別求、、，結(jié)合，可判斷恒成立，即可求證；
（2）先證明為奇函數(shù)，，只需證明在上無零點，由（1）知，若可知符合題意，再討論，利用單調(diào)性以及零點存在性定理即可求解.
（1）
當(dāng)時，，，
，，
所以在上單調(diào)遞增，且，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，
所以，所以在上單調(diào)遞增；
（2）
因為，
所以為奇函數(shù)，，
要證明只有一個零點，只需證明在上無零點，
由（1）知：當(dāng)時，，故，
令，則時，無零點，符合題意，
當(dāng)時，，
故在上單調(diào)遞減，則，無零點，符合題意，
當(dāng)時，，，，
所以在上單調(diào)遞增，且，，
故存在唯一，使得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞減，
所以，
取，時，令，
可得，即，且時，，
由零點存在性定理，在上至少存在一個零點，不符合題意，
綜上所述：的取值范圍為
96．已知函數(shù)，.
（1）討論在內(nèi)的零點個數(shù).
（2）若存在，使得成立，證明：.
【答案】（1）一個；（2）證明見解析.
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時，分析得出，可得出在上無零點，在時，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理可得出結(jié)論；
（2）利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，分析得出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】
（1）當(dāng)時，，，此時函數(shù)無零點；
當(dāng)時，，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，
所以，對任意的，，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
因為，，
所以，函數(shù)在上只有一個零點.
綜上所述，函數(shù)在上只有一個零點；
（2）由得，
令，，，
令，則，
當(dāng)時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，此時，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因為，，
所以，存在，使得，
變形可得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，其中，
對于函數(shù)，，，
所以在遞減，則，
故，所以成立.
97．已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的導(dǎo)函數(shù)，求在上的最小值；
（2）令（），若對于任意的恒成立，求實數(shù)的取值范圍．
【答案】
（1）1
（2）
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進而可求出最值；
（2）首先借助函數(shù)的圖象與性質(zhì)證得若對于任意的恒成立，則，接下來只需要驗證若，且時，即可．
（1）
由題意，得到，
令（），則，
因為當(dāng)時，，，所以，
所以即在上單調(diào)遞增，
所以在上的最小值為；
（2）
因為對于任意的恒成立，且，
又，所以．
①，則，
令，則，顯然在上恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增．
當(dāng)，即時，，又，易證，
所以，所以，使，
所以在上，所以在上單調(diào)遞減，
所以對，，不合題意；
當(dāng)，即時，，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，，符合題意，所以．
②若，只需證明當(dāng)時，即可．
由題意知（），又因為，
所以，
令（），則．
因為，所以，所以，
因此，在上為增函數(shù)，
所以當(dāng)時，，可得，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即當(dāng)時，在上恒成立．
故此時也符合題意．
綜上所述，實數(shù)的取值范圍是．
98．已知函數(shù)（其中為實數(shù)）的圖象在點處的切線方程為.
（1）求實數(shù)的值；
（2）求函數(shù)的最小值；
（3）若對任意的，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍?
【答案】（1）；（2）最小值為；（3）.
【分析】
（1）求導(dǎo)得到，根據(jù)題意得到，解得答案。
（2）計算得到，求導(dǎo)得到，令，則，討論和的情況，得到在上單調(diào)遞減和在上單調(diào)遞增，得到函數(shù)的最小值。
（3）當(dāng)時，不等式恒成立，當(dāng)時，等價于，令，，考慮和，結(jié)合（2）結(jié)論根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值，同理時類似，計算得到答案。
【詳解】
解：因為，所以，
由題意得解得.
由（1）知
所以，令，則
當(dāng)時，由，得，
所以在上單調(diào)遞減，無最小值.
當(dāng)時，由，得，所以在上單調(diào)遞增，
故，所以在上單調(diào)遞增，所以.
綜上，的最小值為.
對分情況討論如下：
當(dāng)時，對任意的，不等式恒成立.
當(dāng)時，不等式等價于，即
令，則.
當(dāng)時，由（2）知，
所以單調(diào)遞增，從而，滿足題意.
當(dāng)時.由知在上單調(diào)遞增，
易證，故，
從而.
又，所以存在唯一實數(shù)，使得，
且當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，不滿足題意.
當(dāng)時，不等式等價于，
同上，令，則.
當(dāng)時，由（2）可知，所以單調(diào)遞增，故，滿足題意
綜上，可得入的取值范圍是.
99．已知函數(shù)，，其中.
（1）證明：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
（2）用表示m，n中的最大值，記.是否存在實數(shù)a，對任意的，恒成立.若存在，求出a；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析；（2）存在，的取值范圍是.
【分析】
（1）對求導(dǎo)，得到，對x分討論即可得答案；
（2）由題意，將恒成立轉(zhuǎn)化為當(dāng)時，恒成立即可，對求導(dǎo)得，分、、三種情況討論，結(jié)合單調(diào)性可得答案.
【詳解】
（1）證明：，.
當(dāng)時，，則；當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，
又，
所以當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
（2）函數(shù)的定義域為，
由（1）知，當(dāng)時，，
又，
所以當(dāng)時，恒成立，
由于當(dāng)時，恒成立，
所以等價于：當(dāng)時，.
.
①若，當(dāng)時，，
故，遞增，此時，不合題意；
②若，當(dāng)時，由知，存在，當(dāng)，
，遞增，此時，不合題意；
③若，當(dāng)時，由知，對任意，，遞減，
此時，符合題意.
綜上可知：存在實數(shù)滿足題意，的取值范圍是.
100．已知函數(shù)，．
（1）證明：當(dāng)時，；
（2）若，求的值．
【答案】（1）證明見解析；（2）．
【分析】
（1）由題意分類討論當(dāng)、、三種情況即可證得題中的結(jié)論；
（2）構(gòu)造函數(shù)，分析可知，可得出，求出實數(shù)的值，然后驗證當(dāng)時，對任意的即可.
【詳解】
（1）因為，則，.
①當(dāng)時，，；
②當(dāng)時，，，，
則，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，故；
③當(dāng)時，構(gòu)造函數(shù)，，
則，對任意的恒成立，
所以，函數(shù)、在上均為增函數(shù)，
對任意的，，即，
，即，
所以，當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.
綜上所述，對任意的，；
（2）因為，所以，即．
不妨設(shè)，原條件即．
可得．
因為且，所以時，取得最小值，
由于函數(shù)為可導(dǎo)函數(shù)，則為函數(shù)的極小值點，故.
所以，解得，
下面來檢驗當(dāng)時，是函數(shù)的最小值點，
①當(dāng)時，；
②當(dāng)時，，，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，
此時，，合乎題意.
綜上所述，.極小值

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