（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的取值范圍．
【答案】
（1）答案見解析；
（2）
【分析】
（1）計(jì)算，分別討論、、、時(shí)，解不等式和可得單調(diào)增區(qū)間和單調(diào)減區(qū)間即可求解；
（2）已知不等式可轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，分離可得，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最大值即可求解.
（1）
由可得
，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
當(dāng)時(shí)，由得，，，
①若，即時(shí)，恒成立，故在上單調(diào)遞增；
②若，即時(shí)，
由可得：或；令可得：
此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
③若，即時(shí)，
由可得：或；由可得：
此時(shí)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為；
綜上所述：
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，
單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2）
由可得對(duì)恒成立，
即對(duì)任意的恒成立，
令，
則，
令，則，則在上單調(diào)遞減，
又，，故在上有唯一的實(shí)根，
不妨設(shè)該實(shí)根為，
故當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
故，
又因?yàn)?，所以，，?br>所以，故的取值范圍為．
2．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值．
【答案】（1），無極大值；（2）2.
【分析】
（1）將代入，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.
（2）不等式等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
令得（或舍去），
∵當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，無極大值．
（2），即，
即，
∴，即，
∴原問題等價(jià)于在上恒成立，
設(shè)，則只需．
由，令，
∵，∴在上單調(diào)遞增，
∵，
∴存在唯一的，使得，
∵當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
∴，
∴即可．
∴，∴，故整數(shù)a的最小值為2
3．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)（0，0）且與曲線相切的直線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，求出參數(shù)，再代入計(jì)算可得；
（2）依題意參變分離可得在恒成立，令，則，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的最大值．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?，，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，所以，故切線方程為
（2）當(dāng)時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，因?yàn)?，所以，所以在恒成立，令，，即，?br>所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，即，即，所以，所以，因?yàn)?，，所以，所以的最大值為?br>4．已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】(1) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，從而可得在上單調(diào)遞增，且，得出函數(shù)的單的區(qū)間和極值.
(2)由題意即存在實(shí)數(shù)，使得成立，設(shè)，即，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，結(jié)合隱零點(diǎn)的代換，可得答案.
【詳解】
（1）由，可得
又恒成立，則在上單調(diào)遞增，且
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.
(2) 存在實(shí)數(shù)，使得成立
即存在實(shí)數(shù)，使得，即成立
設(shè)，即
，
所以在上單調(diào)遞增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
所以

當(dāng)時(shí)，
所以，由題意，
所以整數(shù)的最小值為1.
5．已知函數(shù)
（1）證明：在區(qū)間上存在唯一的零點(diǎn)
（2）證明：對(duì)任意，都有
【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，再求，確定的單調(diào)性后結(jié)合零點(diǎn)存在定理可證；
（2）題設(shè)不等式化為，令，求導(dǎo)函數(shù)，令，再求導(dǎo)得，利用確定的單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理確定在唯一零點(diǎn)，也是的最小值值點(diǎn)，說明這個(gè)最小值大于0，即證結(jié)論成立．
【詳解】
證明：設(shè)，
，即
故在區(qū)間上單調(diào)遞減
又
所以在區(qū)間上存在唯一零點(diǎn)
（2）要證，
即證
，所以存在唯一的
當(dāng)，當(dāng)
故
因?yàn)?，綜上所述對(duì)任意，都有．
6．已知函數(shù)，(為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)).
（1）記，求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值；
（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法研究其在上的單調(diào)性，進(jìn)而可得出最值；
（2）先將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立，令，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法求出最值，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）∵，∴，
令，則，，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；
∴，
又，所以；
（2）∵對(duì)任意恒成立，
∴對(duì)任意恒成立，
∴對(duì)任意恒成立.
令，則.
由于，所以在上單調(diào)遞增.
又，，，，
所以存在唯一的，使得，
且當(dāng)時(shí)，，時(shí)，.
即在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
∴.
又，即，∴.
∴.
∵，∴.
又∵對(duì)任意恒成立，∴，
又，∴.
7．已知函數(shù)．
（Ⅰ）若函數(shù)的圖象在處的切線與軸平行，求的值；
（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，曲線在處的切線方程的斜率就是，寫出方程即可求得；
（Ⅱ），令因?yàn)椋栽趦?nèi)單調(diào)遞增，，根據(jù)與分類討論，當(dāng)時(shí)，只需即可，解得；當(dāng)時(shí)，存在唯一使得=0，有，分析函數(shù)在零點(diǎn)兩側(cè)的單調(diào)性知，要，只需，解得，又，得.
【詳解】
（Ⅰ）
的圖象在處的切線與軸平行，
，解得.
（Ⅱ），令，
則，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增，，
（i）當(dāng)時(shí)，即，
在內(nèi)單調(diào)的增，要使，
只需要，解得，
從而
（ii）當(dāng)時(shí)，即時(shí)，
由在內(nèi)單調(diào)遞增知，
存在唯一使得，
有，單調(diào)遞減，
單調(diào)遞增，
只需，即，解得
又，得，
綜上，．
8．已知函數(shù)
（Ⅰ）求函數(shù)的極值；
（Ⅱ）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（Ⅰ）取得極小值，無極大值；（Ⅱ）.
【分析】
（Ⅰ）求得，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性，即可求得函數(shù)極值；
（Ⅱ）根據(jù)不等式恒成立，分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，以及最值，即可求得參數(shù)范圍.
【詳解】
（Ⅰ）因?yàn)椋?br>所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?
令，故可得在恒成立，
故在上單調(diào)遞增，故，故.
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，無極大值.
（Ⅱ）恒成立等價(jià)于恒成立.
因?yàn)椋?
令，則.
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以使得，即.
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以.
由可得，
而在上單調(diào)遞增，所以，即，
所以，
所以.
9．函數(shù)，（）．
（Ⅰ）若，設(shè)，試證明存在唯一零點(diǎn)，并求的最大值；
（Ⅱ）若關(guān)于的不等式的解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）
【分析】
（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，得函數(shù)單調(diào)遞減，則零點(diǎn)至多一個(gè)；再根據(jù)零點(diǎn)存在定理說明至少一個(gè)零點(diǎn)，兩者結(jié)合得結(jié)論，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值;
（2）先變量分離得，再利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合圖像可得有且只有兩個(gè)整數(shù)的條件，即為實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
（Ⅰ）證明：由題知，
于是，
令，則（），
∴在上單調(diào)遞減．
又，，
所以存在，使得，
綜上存在唯一零點(diǎn)．
當(dāng)，，于是，在單調(diào)遞增；
當(dāng)，，于是，在單調(diào)遞減．
故，
又，，，
故．
（Ⅱ）
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增．
又，，
∴存在，使得．
∴當(dāng)，，即，在單調(diào)遞減；
當(dāng)，，即 ，在單調(diào)遞增.
∵，，，
且當(dāng)時(shí)，，
又，，，
故要使不等式式解集中有且只有兩個(gè)整數(shù)，
的取值范圍應(yīng)為：．
10．已知函數(shù)，．
（1）若函數(shù)在處取得極值，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若對(duì)任意的成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）由即得，驗(yàn)證知，符合題設(shè)，即得解；
（2）由題得，令，求出，再分析得到，即得實(shí)數(shù)的取值范圍．
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋?br>所以
又因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極值，
所以，
解得．
驗(yàn)證知，符合題設(shè)，
故．
（2）據(jù)題意得，
所以
令，則．
令，則在區(qū)間上單調(diào)遞增，
且當(dāng)時(shí)，，，
所以存在，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
即函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，．
因?yàn)椋?br>所以．
令，得．
又當(dāng)時(shí)，，
所以，，
所以．
所以，即所求實(shí)數(shù)的取值范圍是．
11．已知函數(shù)，，.
（1）討論的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，，且恒成立，求的最大值.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）6
【分析】
（1）求導(dǎo)，通過討論的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）利用參數(shù)分離法，將問題轉(zhuǎn)化為，，令，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值，從而確定的最大值即可.
【詳解】
（1）由，得，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，在上恒成立，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，即時(shí)，由，得，
由，得，
所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，無單調(diào)遞增區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.
（2），，，
由，得,，
令,，
則，，
令，，則，
所以，在遞增，，，
存在，使，
且，，，單調(diào)遞減，
，，，單調(diào)遞增，
，
，所以，
所以，
令，，，
，，
又，，
綜上，的最大值為6.
12．設(shè)函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)，都有（）成立，求的最大值.
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）0
【分析】
（1），．對(duì)分類討論，可得其單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)時(shí)，對(duì)，都有恒成立， ，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．
【詳解】
解：（1），.
當(dāng)時(shí)，在恒成立，在是單減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，令，解之得.
從而，當(dāng)變化時(shí)，，隨的變化情況如下表：
由上表中可知，在是單減函數(shù)，在是單增函數(shù).
綜上，當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單減區(qū)間為，單增區(qū)間為.
（2）當(dāng)，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立
.
令，只需；
又，
由（1）得在單調(diào)遞增，且，
所以存在唯一的，使得，
當(dāng)，即單調(diào)遞減，
當(dāng)，即單調(diào)遞增，
所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，當(dāng)時(shí)，
而在為增函數(shù)，，
即.而?，
?，即所求的最大值為0.
13．已知函數(shù).
（1）若是單調(diào)遞增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，問題轉(zhuǎn)化為，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出的范圍即可；
（2）令（），問題等價(jià)于.求導(dǎo)數(shù)，判斷的單調(diào)性，求最值即可.
【詳解】
（1）定義域，，
因?yàn)槭菃握{(diào)遞增函數(shù)，故對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立.
記，則，
由，令得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
從而.
（2）令（），問題等價(jià)于.
由，，
∴函數(shù)在上是增函數(shù)，
容易證明時(shí)，，，
則，
由得，（舍負(fù)）
從而取，；
另外，容易證明，取正數(shù)x滿足
從而取c滿足，有.
（注：這里也可以這樣處理：當(dāng)時(shí)，，，
故；
當(dāng)時(shí)，，，）
所以存在唯一的，使得，當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
從而在區(qū)間上遞減，在上遞增，
，
由，得：，
∴，
∴，即.
設(shè)，則為增函數(shù)，
，，則有唯一零點(diǎn)，設(shè)為t，
則，則，即，
令，則單調(diào)遞增，且，
則，即，
∵在為增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，a有最大值，，
∴，即a的取值范圍是.
14．已知函數(shù)，其中，.
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，不等式恒成立，求整數(shù)的最小值.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，分和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最大值，即可求得的取值范圍.
【詳解】
（1）由題意，可得.
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù).
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上為單調(diào)遞?函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，.函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù).
（2）由題意可得，
設(shè).則，
當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，則，所以在上單調(diào)遞增.
又，
所以，使得.即，.
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，.
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，住上單調(diào)遞減，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以.
因?yàn)閷?duì)任意的垣成立，且.
所以的最小值是.
15．已知函數(shù)，其中為常數(shù).
（1）若曲線在處的切線在軸上的截距為，求值；
（2）若存在極大值點(diǎn)，求的取值范圍，并比較與的大小.
【答案】（1）；（2）的取值范圍是，.
【分析】
（1）求導(dǎo)得，求解出和，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程，再利用切線在軸上的截距為，得；
（2）求導(dǎo)，設(shè)，由題意可判斷得是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，列不等式組求解的取值范圍，表示出，設(shè)函數(shù)，求導(dǎo)判斷單調(diào)性，從而得，即可判斷得.
【詳解】
解：（1），所以.
又，所以切線方程為，即.
由已知，，解得.
（2），設(shè)函數(shù)，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，
因?yàn)槭菢O大值點(diǎn)，所以在的左右兩側(cè)，的值先正后負(fù)，
即 的值也是先正后負(fù)，故，所以是函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的一個(gè)變號(hào)零點(diǎn).
于是.
解得，故所求的取值范圍是.
因?yàn)槭堑臉O大值點(diǎn)，所以，于是，其中.
所以.
設(shè)函數(shù)，則.
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故.
又，所以，且，于是，
故.
16．已知函數(shù)，，直線分別與函數(shù)，的圖象交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求長度的最小值；
（2）求最大整數(shù)，使得對(duì)恒成立．
【答案】（1）1；（2）-1．
【分析】
（1）利用函數(shù)把AB的長度表示出來，借助函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得最小值.
（2）把向量點(diǎn)積轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，借助導(dǎo)數(shù)解決隱零點(diǎn)問題，求得最小值的函數(shù)表達(dá)式，再求得最小值函數(shù)的最小值即可.
【詳解】
直線分別與函數(shù)，交于，兩點(diǎn)，
則，．
（1），
記，，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；
所以，即長度最小值為1；
（2）由，記，
所以，顯然單調(diào)遞增，
而，，
所以存在唯一，使得，即，
當(dāng)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增；
時(shí)，，又，
所以，
又，所以，
所以要使得整數(shù)恒成立，只需即的最大整數(shù)為-1．
17．已知函數(shù)，.
（1）證明：；
（2）若時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求的最小值.
【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）1.
【分析】
（1）由條件轉(zhuǎn)化為證明，即證明，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明恒成立；（2）不等式轉(zhuǎn)化為，根據(jù)（1）可知時(shí)，不等式成立，當(dāng)時(shí)，不成立，即不等式不恒成立，即可得結(jié)論；（3）先求，再設(shè)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的最小值.
【詳解】
（1）∵，∴證明即證明即證明.
設(shè)，∴，
∴時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減.
∴，
∴即成立.
（2）時(shí)，即，
由（1）知，當(dāng)時(shí)，成立，
當(dāng)時(shí)，顯然時(shí)不成立，
綜上，.
（3）.
設(shè)，，
∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴存在使，且時(shí)即，遞減；
時(shí)即，遞增，
∴，
∵，∴，∴，
∴，
∵在是單調(diào)遞增，
∴，
∴，
∴.
18．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線為.
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若，且存在，使得成立，求的最小值.
【答案】（1）；（2）5．
【詳解】
試題分析：（1）由已知可得，；（2）原不等式化為，令，，使得，則，．令，利用導(dǎo)數(shù)工具判斷有一零點(diǎn)，進(jìn)而求出是極小值點(diǎn)，從而求出 最小值為，又．的最小值為．
試題解析：解：（1）的定義域?yàn)椋?br>，
．
（2）可化為，
令，，使得，
則，
．
令，則，
在上為增函數(shù)．
又，
故存在唯一的使得，即．
當(dāng)時(shí)，，
，在上為減函數(shù)；
當(dāng)時(shí)，，
，在上為增函數(shù)．
，
．
．
的最小值為5．
19．已知函數(shù).
（1）求證：函數(shù)存在極小值點(diǎn)且；
（2）令，求的最小值.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，利用零點(diǎn)存在性定理可得；
（2）求出導(dǎo)數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，進(jìn)一步得出的單調(diào)性可求解.
（1）
函數(shù)的定義域是，
，
令，則在上恒成立，
所以單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增.
又，，
所以存在，使得，
且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故函數(shù)在處取得極小值，
即函數(shù)存在極小值點(diǎn)且；
（2）
，則，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以存在使得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，，即?br>所以，
故令，，函數(shù)為的單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，所以，
故.
20．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)的最小值為，求參數(shù)a的值．
【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后說明每個(gè)區(qū)間導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，進(jìn)而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性可知存在唯一根，進(jìn)而知，即，結(jié)合已知，令，判斷函數(shù)的單調(diào)性且，即可得解.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)， ，求導(dǎo)
令，即，則（舍）；.
∴當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞增；
∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為；
（2），求導(dǎo)得：，
令，則，且開口向上，，
∴存在，使得，
當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞減；當(dāng)，，在區(qū)間單調(diào)遞增；
，即，
又，兩式相減得：，
令，求導(dǎo)，
∴函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且
∴函數(shù)有唯一解，
∴，解得.
21．已知函數(shù)，（其中為常數(shù)，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）若，求函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，先求斜率，再帶入化簡整理即可；
（2）方法一：不等式恒成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，然后通過函數(shù)單調(diào)性，求最值即可；
方法二： 恒成立，即，進(jìn)行同構(gòu)變形，則構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性求解不等式，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為，接下來參變分離即得出結(jié)果.
【詳解】
（1）根據(jù)題意可知：
，，
所以，，
所求的直線方程為，
即．
（2）方法一：，，
故不等式恒成立可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：
在上恒成立，
記，，
當(dāng)時(shí)，，不合題意；
當(dāng)時(shí)，．
記，，
則，
所以在上是增函數(shù)，又，，
所以使得，即①，
則當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以②，
由①式可得，，
代入②式得，
因?yàn)?，即?br>故，，即，
所以時(shí)，恒成立，故的取值范圍為．
方法二：根據(jù)已知條件可得：，，
且恒成立；
故可等價(jià)轉(zhuǎn)化為：恒成立．
設(shè)，則，單調(diào)遞增，
因而恒成立，即恒成立．
令，則，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
所以，從而即為所求．
22．已知函數(shù).
（1）討論的極值情況；
（2）若時(shí)，，求證：.
【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與0的關(guān)系，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而判斷極值情況；
（2）先討論a=0，然后a>0時(shí)，由（1）中的導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的最小值，使其大于等于0，從而找到參數(shù)a和b的關(guān)系，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，構(gòu)造新的函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)來研究函數(shù)的最值，從而證明結(jié)論.
【詳解】
（1）定義域?yàn)?，求?dǎo)得，
①當(dāng)時(shí)，，為上增函數(shù)，無極值，
②當(dāng)時(shí)，，得，
時(shí)，，為減函數(shù)；時(shí)，，為增函數(shù)，
所以時(shí)，有極小值，無極大值.
（2）①當(dāng)時(shí)，，使，則，，
此時(shí)成立，
②當(dāng)時(shí)，由（1）得時(shí)，有最小值，
，則，解得，
所以，
設(shè)，則，
因?yàn)闉樯蠝p函數(shù)，且，，
則存在唯一實(shí)數(shù)，使，，
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)有最大值，
為上增函數(shù)，時(shí)，，則，
所以，
綜上所述，.
23．設(shè)函數(shù)，（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）
（1）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，求a的取值范圍；
（2）設(shè)函數(shù)，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求證：的極小值不大于1.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）求得，根據(jù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，轉(zhuǎn)化為與的圖象的交點(diǎn)有兩個(gè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與極值，即可求解.
（2）根據(jù)題意得到，求得，得到，進(jìn)而求得的單調(diào)性與極值，再分和兩種情況，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和極值的運(yùn)算，即可求解.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)，可得，
因?yàn)橛袃蓚€(gè)極值點(diǎn)，
即方程在有兩個(gè)不同的解，
即與的圖象的交點(diǎn)有兩個(gè).
由，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，有極大值.
又因?yàn)闀r(shí)，；時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，即時(shí)有兩個(gè)解，所以
（2）由函數(shù)
可得，則，所以在單調(diào)遞增，
若時(shí)，
當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，.在上單調(diào)遞增；
所以在處取得極小值
若，令，則；
令，則
所以在，有唯一解；
若，令，則，
令，則，所以在，有唯一解；
所以在有唯一解，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
所以，
令，則，
由，可得，
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，
所以，即的極小值不大于1.
24．已知函數(shù)
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，函數(shù)的最小值為，求的值域.
【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為；無單調(diào)減區(qū)間；（2）.
【分析】
（1）由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)得，令，通過導(dǎo)數(shù)可證明，進(jìn)而可得，即可得解；
（2）由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得且，令，由導(dǎo)數(shù)結(jié)合可得，進(jìn)而可得，令，，結(jié)合導(dǎo)數(shù)求得的值域即可得解.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，定義域?yàn)椋?br>則，
令，則恒成立；
∴在上單調(diào)遞增，，
∴恒成立，
故的單調(diào)增區(qū)間為；無單調(diào)減區(qū)間.
（2）∵，
令，顯然在單調(diào)遞增，
又，，
∴據(jù)零點(diǎn)存在定理，存在，使即，
∴當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，即，在上單調(diào)遞增；
∴①，
又，∴；
令，則，
∴當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；
又，∴即，
將代入①得
，
令，，
∴，
∴在上單調(diào)遞減，
又，，
∴，故的值域?yàn)?
25．設(shè)函數(shù)，，
（1）當(dāng)時(shí)，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求的取值范圍：
（2）若函數(shù)在定義城內(nèi)不單調(diào)，求的取值范圍：
（3）是否存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意正實(shí)數(shù)恒成立?若存在，求出滿足條件的實(shí)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】（1）；（2）；（3）存在，.
【分析】
（1）根據(jù)題意，得到，再由函數(shù)單調(diào)性，即可得出結(jié)果；
（2）先由題意，得到定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，根據(jù)其不單調(diào)，得到的最小值為負(fù)，進(jìn)而可得出結(jié)果；
（3）先令，對(duì)其求導(dǎo)，用導(dǎo)數(shù)的方法求出最大值，再結(jié)合題中條件，即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
而函數(shù)可由平移后得到，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以只需，所以；
（2）易知函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>因?yàn)楹瘮?shù)在定義城內(nèi)不單調(diào)，
所以，只需的最小值為負(fù)，即，所以.
（3）令，其中，.
則，令，
則在上恒成立，
則在上單調(diào)遞減，
又時(shí)，；時(shí)，；
所以在區(qū)間上必存在實(shí)根，
不妨設(shè)，即，
即，（*）
所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.
而，代人（ * ）式得.
根據(jù)題意知恒成立.
又根據(jù)不等式，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等式成立，
所以，即，
將代入（*）式得，即，.
26．已知函數(shù)．
（1），求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：
（2）對(duì)于任意，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）見解析（2）
【分析】
（1）求導(dǎo)后，按照、、與分類，分別解出不等式，即可得解；
（2）轉(zhuǎn)化條件得對(duì)于任意，不等式恒成立，設(shè)，則，設(shè)，求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，使得，即，則，設(shè)，求導(dǎo)后可得在上單調(diào)遞增，即可證，代入求出后，即可得解.
【詳解】
（1）由題意，
則，
（i）當(dāng)時(shí)，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
（ii）當(dāng)時(shí)，，則的單調(diào)增區(qū)間為，無單調(diào)減區(qū)間；
（iii）當(dāng)時(shí)，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為；
（iiii）當(dāng)時(shí)，的解集為，則的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）由已知，問題等價(jià)于對(duì)于任意，不等式恒成立，
設(shè)，則，
設(shè)，則，
在上，，單調(diào)遞增，
又，，所以，
所以，使得，即，
在上，，單調(diào)遞減；
在上，，單調(diào)遞增；
所以，
又有，
設(shè)，則有和，
所以在上，單調(diào)遞增，所以，
所以，
故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
27．已知函數(shù)，．
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若函數(shù)，求的單調(diào)區(qū)間；并證明：當(dāng)時(shí)，；
（3）證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，設(shè)最小值為，求函數(shù)的值域．
【答案】（1）；（2）的單調(diào)遞增區(qū)間為，；證明見解析；（3）證明見解析；.
【分析】
（1）由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線斜率為1，利用點(diǎn)斜式即可得解；
（2）由題意，求導(dǎo)后可得，即可得的單調(diào)區(qū)間；由時(shí)，即，即可得證；
（3）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，令，由（2）知的單調(diào)性，可得存在唯一實(shí)數(shù)使得，則，令，求導(dǎo)后即可得解.
【詳解】
（1），，，
故所求直線方程為即；
（2）由題意，
則，
的單調(diào)遞增區(qū)間為，；
當(dāng)時(shí)，即，
由可得即，
，得證.
（3）由題意，
則，
設(shè)，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，
又，，存在唯一實(shí)數(shù)使得，
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，函數(shù)單調(diào)遞增；
在上有最小值即，
又即，
，
令，
則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
即，
函數(shù)的值域?yàn)?
28．已知函數(shù).
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：
【答案】（1）遞減區(qū)間為（-1，0），遞增區(qū)間為（2）見解析
【分析】
（1）根據(jù)函數(shù)解析式，先求得導(dǎo)函數(shù)，由是函數(shù)的極值點(diǎn)可求得參數(shù).求得函數(shù)定義域，并根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可判斷單調(diào)區(qū)間.
（2）當(dāng)時(shí)，.代入函數(shù)解析式放縮為，代入證明的不等式可化為，構(gòu)造函數(shù)，并求得，由函數(shù)單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理可知存在唯一的，使得成立，因而求得函數(shù)的最小值，由對(duì)數(shù)式變形化簡可證明，即成立，原不等式得證.
【詳解】
（1）函數(shù)
可求得，則
解得
所以，定義域?yàn)?br>，
在單調(diào)遞增，而，
∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
此時(shí)是函數(shù)的極小值點(diǎn)，
的遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為
（2）證明：當(dāng)時(shí)，
，
因此要證當(dāng)時(shí)，，
只需證明，
即
令，
則，
在是單調(diào)遞增，
而，
∴存在唯一的，使得，
當(dāng)，單調(diào)遞減，當(dāng)，單調(diào)遞增，
因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，
，
，
故，
從而，即，結(jié)論成立.
29．已知函數(shù)
（1）若，，若的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若存在唯一的零點(diǎn)，且，其中，求.
（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2） .
【分析】
（1）將，代入函數(shù)解析式，求得并令，即可由導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷單調(diào)區(qū)間.
（2）將代入函數(shù)解析式，求得.結(jié)合定義域及二次函數(shù)性質(zhì)可知的單調(diào)區(qū)間，并根據(jù)零點(diǎn)意義代入方程和函數(shù)，可得零點(diǎn)的函數(shù)表達(dá)式.構(gòu)造函數(shù)，并求得可證明的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理及所給參考數(shù)據(jù)，即可求得的值.
【詳解】
（1）將，代入函數(shù)解析式可得，定義域?yàn)椋?br>則
令，解得，（舍），
所以當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，；
故的單調(diào)遞減區(qū)間為；的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）將代入函數(shù)解析式可得，
則
因?yàn)椋覍?duì)于來說，，
所以有兩個(gè)不等式實(shí)數(shù)根，
且，
所以兩根異號(hào)，不妨設(shè)則，
則由定義域?yàn)榭傻迷趦?nèi)遞減，在內(nèi)遞增，
因?yàn)椋?br>要存在唯一的零點(diǎn)，且，則，
所以，化簡可得.
令，
則
所以在時(shí)單調(diào)遞減，
由題可知，，
而，
所以
即
30．已知函數(shù).
（1）若在上存在極小值，求的取值范圍；
（2）設(shè)（為的導(dǎo)函數(shù)），的最小值為，且，求的取值范圍.
【答案】（1）（2）
【分析】
（1）對(duì)求導(dǎo)，研究單調(diào)性，求出極小值點(diǎn)為，依題意知，求解即可;
（2）對(duì)求導(dǎo)，令，二次求導(dǎo)可得，所以在上單調(diào)遞增，所以是即的唯一實(shí)根， 由求解的取值范圍即可.
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
.
令，解得.
因?yàn)樵谏?，；在上?
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以的極小值為.
依題意知，即，所以.
解得.
即的取值范圍為.
（2），所以.
令，則，所以在上單調(diào)遞增.
所以是即的唯一實(shí)根.
令，得，即.
所以
.
由題意得，解得.
所以的取值范圍為.
31．已知函數(shù)，其圖象的一條切線為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）求證:若，則.
【答案】（1）；（2）答案見解析
【分析】
（1）假設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)曲線在某點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及已知的切線方程，可得，然后研究可得，最后代值計(jì)算，可得結(jié)果.
（2）構(gòu)建函數(shù)，計(jì)算，并利用二階導(dǎo)判斷的單調(diào)性，根據(jù)的值域來判斷的單調(diào)性，進(jìn)一步求得，可得結(jié)果.
【詳解】
（1）函數(shù)定義域?yàn)?br>∵,∴.
由題可知：
在點(diǎn)處的切線為,
則且,
∴,即.
令,
則.
當(dāng)時(shí),
,在單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),
,在單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),.
∴,.故實(shí)數(shù)的值為.
（2）令
即
則.
即
令,
則,
∵恒成立,
∴在單調(diào)遞減,即在單調(diào)遞減.
又,
,
∴,使得.
∴當(dāng)時(shí),;
當(dāng)時(shí),,
故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
∴.
又,即,
∴,
.
令,.
則.
∵恒成立,
∴,故在單調(diào)遞增.
∴,
故,
即.
∴當(dāng)時(shí),.
32．已知函數(shù)，.
（1）若不等式對(duì)恒成立，求的最小值；
（2）證明：.
（3）設(shè)方程的實(shí)根為.令若存在，，，使得，證明：.
【答案】（1）（2）證明見解析（3）證明見解析
【分析】
（1）由題意可得，，令，利用導(dǎo)數(shù)得在上單調(diào)遞減，進(jìn)而可得結(jié)論；
（2）不等式轉(zhuǎn)化為，令，，利用導(dǎo)數(shù)得單調(diào)性即可得到答案；
（3）由題意可得，進(jìn)而可將不等式轉(zhuǎn)化為，再利用單調(diào)性可得，記，，再利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性可得在上單調(diào)遞增，即，即，即可得到結(jié)論.
【詳解】
（1），即，化簡可得.
令，，因?yàn)?，所以?
所以，在上單調(diào)遞減，.
所以的最小值為.
（2）要證，即.
兩邊同除以可得.
設(shè)，則.
在上，，所以在上單調(diào)遞減.
在上，，所以在上單調(diào)遞增，所以.
設(shè)，因?yàn)樵谏鲜菧p函數(shù)，所以.
所以，即.
（3）證明：方程在區(qū)間上的實(shí)根為，即，要證
，由可知，即要證.
當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，，，因而在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?，所以，要證.
即要證.
記，.
因?yàn)?，所以，則.
.
設(shè)，，當(dāng)時(shí)，.
時(shí)，，故.
且，故，因?yàn)?，所?
因此，即在上單調(diào)遞增.
所以，即.
故得證.
33．已知函數(shù)，.
（1）討論在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）若時(shí)，，求整數(shù)的最小值.
【答案】（1）詳見解析（2）
【分析】
（1）分別在、和三種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得到原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，則，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可確定的最大值為，，利用導(dǎo)數(shù)可求得其值域，進(jìn)而得到整數(shù)的最小值.
【詳解】
（1）由題意得：，
令，則，
當(dāng)，即時(shí)，，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)，即或時(shí)，
令，解得：，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)和時(shí)，，
在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）由得：在上恒成立，
令，則，
令，則，，
，在區(qū)間上存在零點(diǎn)，
設(shè)零點(diǎn)為，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，，
設(shè)，則，
上單調(diào)遞增，，即，
整數(shù)的最小值為.
34．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若當(dāng)時(shí)，總有，求的最大值．
【答案】（1）（2）最大值為5．
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；
（2）對(duì)不等式進(jìn)行常變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，求導(dǎo)，判斷新函數(shù)的單調(diào)性，最后利用新函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
則可知，
所以切線方程為，化簡可得切線方程為；
（2）由題當(dāng)時(shí)，恒成立，即在時(shí)恒成立，
即在時(shí)恒成立，
令，則，
令，則在時(shí)恒成立．
所以在上單調(diào)遞增，又知，，
所以在上存在唯一實(shí)數(shù)，滿足，即，
當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即．
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增．
即．
由在時(shí)恒成立，
所以，又知，所以整數(shù)的最大值為5．
35．設(shè)，
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）
【分析】
（1），令，解不等式即可；
（2），令得，即，且的最小值為，令，結(jié)合即可解決.
【詳解】
（1），
當(dāng)時(shí)，，遞增，
當(dāng)時(shí)，，遞減.
故的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.
（2），
，
，設(shè)的根為，即有可得，
，當(dāng)時(shí)，，遞減，
當(dāng)時(shí)，，遞增.
，
所以，
①當(dāng)；
②當(dāng)時(shí)，設(shè)，
遞增，，所以.
綜上，.
36．已知函數(shù)，.
（1）若在處的切線也是的切線，求的值；
（2）若，恒成立，求的最小整數(shù)值.
【答案】
（1）
（2）7
【分析】
（1）先用導(dǎo)數(shù)法求得在處的切線，再根據(jù)在處的切線也是的切線，將切線方程與聯(lián)立，利用判別式法求解；
（2）令，將，恒成立，轉(zhuǎn)化為，對(duì)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)法求解.
（1）
因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，
則，
所以在處的切線方程為，
由，得，
因?yàn)樵谔幍那芯€也是的切線，
所以，解得；
（2）
令，
因?yàn)?，恒成立?br>所以，對(duì)恒成立，
令，
則，
令，
則，
所以在上遞減，
又，
所以存在，有，即，
因?yàn)樵谶f增，在上遞減，
所以，
又，
所以，
令，由，得，
所以，
所以
故的最小整數(shù)值是7.
37．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)的極值；
（2）設(shè)，若對(duì)都有成立，求a的最大值．
【答案】
（1）極大值為，無極小值
（2）1
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得出答案；
（2）由題意知，，即對(duì)恒成立，令，求出函數(shù)的最小值，即可得出答案.
（1）
解：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
因?yàn)?，令，解得?br>當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以的極大值為，無極小值；
（2）
解：由題意知，，
即對(duì)恒成立，
令，
則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)椋?br>所以在內(nèi)必存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增；
所以，
因?yàn)?，即?br>所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，
又因?yàn)?，所以，所以?
所以a的最大值為1．
38．已知函數(shù)．
（1）求函數(shù)在處的切線方程
（2）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（3）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【答案】
（1）y＝－1；
（2）見解析；
（3）3﹒
【分析】
(1)根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可切線；
(2)先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；
(3)參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合(2)中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．
（1）
，
，，
，
在處的切線為；
（2）
證明：，
，
當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞增，
（3），（4），
在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（3）
，且，
，
令，則，，
由（2）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，則，
故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)，時(shí)，，即，在，上單調(diào)遞增，
，
，
故整數(shù)的最大值為3．
39．已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍.
【答案】
（1）答案見解析
（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分，討論研究的正負(fù)情況即可；
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)任意的恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)的知識(shí)求出的最小值即可，這個(gè)過程中需要二次求導(dǎo)，估算的導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，求出的單調(diào)性，進(jìn)而計(jì)算的最小值.
（1）
由已知
當(dāng)時(shí)，恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，得，
若，，若，，
此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
綜合得：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（2）
，即
對(duì)任意的恒成立，
令
則
令，則
在上單調(diào)遞增，
又，，
，使，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由得
，
設(shè)，，
即在上單調(diào)遞增，
由得，
，即有
，
.
40．已知函數(shù)．
（1）若對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）當(dāng)時(shí)，若，求的最小值．
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）已知當(dāng)時(shí)，不滿足；進(jìn)而討論當(dāng) 時(shí)，存在唯一零點(diǎn)，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞減，故，解得 ，最后利用求解；
（2）由題知，再令 得，故研究函數(shù) 性質(zhì)得 在上有唯一的零點(diǎn) ，且滿足，進(jìn)而得答案.
（1）
解：當(dāng)時(shí)，，不滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)，都有恒成立；
當(dāng)時(shí)，，
令，則
所以函數(shù)單調(diào)遞減，
由于，，
所以存在唯一零點(diǎn)，使得 ，
所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng) 時(shí)，單調(diào)遞減，
所以
令， ，
故在定義域內(nèi)是的單調(diào)函數(shù)，
由于，
所以的解集為 ，
所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是
（2）
解：當(dāng)時(shí)，，
由，
所以，
所以，
令，則，即 ，
令
令
所以時(shí)，， 單調(diào)遞減，時(shí)， ， 單調(diào)遞增，
由于，
所以在上有唯一的零點(diǎn) ，且滿足 ，
所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)等號(hào)成立.
41．已知函數(shù)，.
（1）討論在內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
（2）若存在，使得成立，證明：.
【答案】（1）一個(gè)；（2）證明見解析.
【分析】
（1）分、兩種情況討論，在時(shí)，分析得出，可得出在上無零點(diǎn)，在時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得出結(jié)論；
（2）利用參變量分離法得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在上的單調(diào)性，分析得出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)函數(shù)無零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，
令，其中，則，
所以，函數(shù)在單調(diào)遞減，所以，，
所以，對(duì)任意的，，則，
所以，函數(shù)在上為減函數(shù)，
因?yàn)?，?br>所以，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，函數(shù)在上只有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）由得，
令，，，
令，則，
當(dāng)時(shí)，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以，存在，使得，
變形可得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，其中，
對(duì)于函數(shù)，，，
所以在遞減，則，
故，所以成立.
42．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值；
（2）若，當(dāng)時(shí)，恒成立，且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，證明：.
【答案】（1）得極大值為，無極小值；（2）證明見解析.
【分析】
（1）先求出函數(shù)的定義域，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再由導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的極值，
（2）由，得，由，可得在上有唯一零點(diǎn)，再結(jié)函數(shù)的單調(diào)性可得，而恒成立，且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，所以可得消去并整理得，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)可求得，而，從而可求出的范圍
【詳解】
的定義域?yàn)?br>（1）當(dāng)時(shí)，，
則，（）
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值為.無極小值.
（2）由題意可得，，令，
解得.
因?yàn)?，所以，?br>所以在上有唯一零點(diǎn).
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減.
所以.
因?yàn)樵谏虾愠闪?，且有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
所以即
消去并整理得.
令，則，，
在上恒成立，所以在上單調(diào)遞增，
又，，所以.
又，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以.
43．已知，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)以后，分和兩種情況，然后分別解含參數(shù)不等式即可求出單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意，恒成立等價(jià)于恒成立，進(jìn)而構(gòu)造函數(shù)，求出其最小值，進(jìn)而解關(guān)于的不等式即可求出結(jié)果.
【詳解】
（1）
①當(dāng)時(shí)，恒成立，故函數(shù)在遞增
②當(dāng)時(shí)，令，解得；令，解得
函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
綜上可知：當(dāng)時(shí)，在遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
（2）當(dāng)且時(shí)，恒成立，即恒成立
設(shè)，，則在上是增函數(shù)
又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
在內(nèi)有唯一零點(diǎn)
設(shè)的零點(diǎn)為，則
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增
由得：，取對(duì)數(shù)得：
代入上式得：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)
當(dāng)時(shí)必須且只需，解得
的取值范圍為.
44．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)即可得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得，易知，可得在上單調(diào)遞增，設(shè)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可得出有唯一一個(gè)，使得，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，要使，只需即可，從而可得出答案.
【詳解】
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí)，，.
易知在上單調(diào)遞增，且，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2），
由題意，；易知在上單調(diào)遞增，
由，得，
設(shè)，則，
在上單調(diào)遞增，
則當(dāng)時(shí)，有唯一一個(gè)，使得.
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
總有唯一的極小值點(diǎn)，
由，得.
由，
得，
令，則，設(shè)，.
則，在上單調(diào)遞減，又，.
，
.
45．已知函數(shù)f（x）＝﹣αx2+（α﹣2）x+lnx.
（1）當(dāng)α＝1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)α的取值范圍.
【答案】（1）f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）（﹣∞，1].
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域，再對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，然后由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，
（2）在當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)恒成立，得α?ex??在 （0，+∞） 上恒成立，構(gòu)造函數(shù)g（x）＝ex??，則，再構(gòu)造函數(shù)h（x）＝x2ex+lnx，利用導(dǎo)數(shù)可判斷出h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，再由零點(diǎn)存在性定理可得存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，從而可判斷出當(dāng)x＝x0時(shí)，g（x）取得極小值，也是最小值，進(jìn)而可求出實(shí)數(shù)α的取值范圍
【詳解】
（1）函數(shù)f（x）的定義域是（0，+∞），
當(dāng)α＝1時(shí)，f（x）＝﹣x2﹣x+lnx，＝﹣2x﹣1+＝，
令＞0，解得：0＜x＜，令＜0，解得：x＞，
故f（x）在（0，）遞增，在（，+∞）遞減，
即f（x）的增區(qū)間為，減區(qū)間為；
（2）f（x）?x（ex?αx?2?）恒成立，
即xex﹣1?lnx+αx 在 （0，+∞） 上恒成立，
即α?ex??在 （0，+∞） 上恒成立.
令g（x）＝ex??，則，
令h（x）＝x2ex+lnx，則 h′（x）＝2xex+x2ex+＞0，
所以h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，而h（1）＝e＞0，h（）＝?1＜0，
故存在x0∈（，1），使得h（x0）＝0，即ex0+lnx0＝0，
所以x0ex0＝?lnx0＝ln＝ln?，
令λ（x）＝xex，x∈（0，+∞），λ′（x）＝（x+1）ex＞0，
所以λ（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以x0＝ln＝?lnx0，
當(dāng)x∈（0，x0） 時(shí)，h（x）＜0，即 g′（x）＜0，故g（x）在（0，x0）上單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x0，+∞） 時(shí)，h（x）＞0，即 g′（x）＞0，故 g（x） 在 （x0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝x0時(shí)，g（x）取得極小值，也是最小值，
所以
故α?1，
所以α的取值范圍為（﹣∞，1].
46．設(shè)函數(shù)．
（Ⅰ）若，求函數(shù)在處的切線方程；
（Ⅱ）求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使得對(duì)任意的，恒有成立．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【分析】
（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可得出結(jié)果；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)不等式成立；當(dāng)時(shí)，對(duì)進(jìn)行分區(qū)間討論，求出的最大值，令最大值小于，解不等式求出的范圍.
【詳解】
解：（Ⅰ），，
，
切線方程為：；
（Ⅱ）①當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)a，恒有成立
②當(dāng)時(shí)，由題意，首先有，
解得
由（Ⅰ）知，
令，則，，且
又在內(nèi)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在內(nèi)有唯一零點(diǎn)，記此零點(diǎn)為
則，，從而，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，即在內(nèi)是增函數(shù)，
在內(nèi)是減函數(shù)，在內(nèi)是增函數(shù)．
所以要使得對(duì)任意的，恒有成立，
只要有
有得，
將它代入得
又，注意到函數(shù)在上是增函數(shù)故，
再由，及函數(shù)在上是增函數(shù)，可得，
由解得，
所以．
綜上，a的取值范圍為．
47．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，若對(duì)任意的，都有恒成立，求的取值范圍．
【答案】（1）函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）．
【分析】
（1）求得，分別解不等式、可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）由參變量分離法可知，即在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最小值，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
（1）因?yàn)椋裕?br>令，得，所以在單調(diào)遞增，
令，得，所以在單調(diào)遞減；
（2）由題意，對(duì)任意的，不等式恒成立，即在上恒成立，
令，則，
令，則，所以在上為增函數(shù)，
又因?yàn)?，?br>所以，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，可得，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
由，可得，
令，則，又由，
所以在上單調(diào)遞增，所以，可得，
所以，即，
所以，所以，
綜上所述，滿足條件的的取值范圍是．
48．已知函數(shù)．
（1）證明：在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)；
（2）若對(duì)于任意的，都有，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）證明見解析；（2）3．
【分析】
（1）先利用導(dǎo)數(shù)證明在上單調(diào)遞增，再結(jié)合零點(diǎn)存在定理，得證；
（2）參變分離得，令，原問題轉(zhuǎn)化為求在上的最小值，結(jié)合（1）中結(jié)論和隱零點(diǎn)的思維，即可得解．
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，
當(dāng)時(shí)，，
∴在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)．
（2）解：∵，且，
∴，
令，則，，
由（1）知，在上單調(diào)遞增，且在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)，
設(shè)該零點(diǎn)為，則，
故當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，
故整數(shù)的最大值為3．
49．已知函數(shù).
（1）若求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若恒成立，求整數(shù)a的最大值.
【答案】（1）答案見解析；（2）－1.
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)a分類討論，即可求解；
（2）由原不等式恒成立，分離參數(shù)可得，利用導(dǎo)數(shù)求的最小值即可求解.
【詳解】
（1）f（x）的定義域?yàn)椋?br>，
①當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，，由，得0＜x＜1或，由，得，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和；
②當(dāng)a＝－1時(shí)，在上恒成立，
∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；
③當(dāng)a＜－1時(shí)，，由，得或x＞1，由，得，
∴f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為和；
綜上所述，當(dāng)a＜－1時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)増區(qū)間為和；
當(dāng)a＝－1時(shí)，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)－1＜a＜0時(shí)，f（x）的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為（0，1）和.
（2），故，
設(shè)，則，
設(shè)，則恒成立，
∴h（x）在（0，＋∞）上單調(diào)遞增，
∵h(yuǎn)（1）＝－1＜0，，
，使得，
時(shí)，，從而，
時(shí)，在上為減函數(shù)，
時(shí)，，從而，
時(shí)，在上為増函數(shù)，
，把代入得：
，
令，則p（x）為增函數(shù)，
，，，
整數(shù)a的最大值為－1.
50．已知函數(shù).
（1）討論在區(qū)間上的最小值;
（2）若在上恒成立，求的取值范圍.（為自然對(duì)數(shù)的底）
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，分類討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而求出函數(shù)在上的最小值；
（2）由題意得到，構(gòu)造函數(shù)， 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，由于導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)不易判斷，所以設(shè)設(shè)，通過研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，進(jìn)而可以求出，從而可以求出結(jié)果.
【詳解】
（1）
①當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以，
②當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增;
，，單調(diào)遞減，
故在上的最小值必在區(qū)間端點(diǎn)或處取得，
所以，
又，，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
當(dāng)，，
綜上知，.
（2），得到，
設(shè)，，
設(shè)，，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，
且，
在區(qū)間上，，故，單調(diào)遞減;
在區(qū)間上，，故，單調(diào)遞增，
所以.
又，即，
設(shè)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
故，即，，
所以，即.
51．已知函數(shù)．
（1）若函數(shù)在定義域上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值．
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用到導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性，可得出，結(jié)合已知條件可求得實(shí)數(shù)的值；
（2）當(dāng)時(shí)，可得，分析可知不等式對(duì)任意的，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在時(shí)的最大值，即可得出實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)椋?
①當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時(shí)，函數(shù)在定義域上無最大值；
②當(dāng)時(shí)，令，得，
由，得，由，得，
此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．
所以函數(shù)，得．
綜上所述，；
（2）當(dāng)時(shí)，，
由題意可知，對(duì)任意的恒成立．
，
，，，則單調(diào)遞增，
，，
所以，存在唯一的，使得，即，，
且當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即．
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
，
，設(shè)，則，
故函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，則，
即，則，因此的最小整數(shù)值為．
52．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論在上的單調(diào)性；
（2）設(shè)，若當(dāng)，且時(shí)，，求整數(shù)的最小值.
【答案】（1）答案見解析；（2）2.
【分析】
（1）求導(dǎo)，分，兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得函數(shù)的單調(diào)性；
（2）分和兩種情況分別得出的范圍，當(dāng)時(shí)，構(gòu)造函數(shù)，運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)可得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性和范圍，從而可得答案.
【詳解】
（1），
①當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，
②當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得；
即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2），
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，由?）知，所以(當(dāng)時(shí)等號(hào)成立)，所以.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，所以?br>令，化為在上恒成立，
因?yàn)椋?，則，
在上單調(diào)遞減，又因?yàn)椋?br>所以存在使得，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；
所以，
為，所以，
所以，
所以的最小整數(shù)值為
53．．
（1）求的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）使不等式對(duì)任意恒成立時(shí)最大的k記為c，求當(dāng)時(shí)，的取值范圍．
【答案】（1）1個(gè)；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合零點(diǎn)存在定理可得零點(diǎn)個(gè)數(shù)；
（2）用分離參數(shù)法不等式變形為，引入新函數(shù)，轉(zhuǎn)化為求新函數(shù)的最小值得參數(shù)的值，通過分類討論新函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值的最值的正負(fù)確定新函數(shù)最小值，最終可得出結(jié)論．
【詳解】
（1）函數(shù)定義域是，
由題意，
當(dāng)或時(shí)，，時(shí)，，
所以在和上遞增，在上遞減，
時(shí)，，時(shí)，，
極大值，極小值，
所以只在區(qū)間上有一個(gè)零點(diǎn)；
（2）因?yàn)?，所以原不等式可變?yōu)?br>，
令，，
令，則，時(shí)，，遞增，，，
①當(dāng)，即時(shí)，在上，是增函數(shù)，
，，
②當(dāng)，即時(shí)，，遞減，
，；
③當(dāng)時(shí)，在上遞增，
存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，，，
則當(dāng)時(shí)，，，遞減，
時(shí)，，，遞增，
，
，
，令，，時(shí)，，遞增，
所以時(shí)，，所以，
綜上，．
54．已知函數(shù)(其中是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線方程是.
（1）求，；
（2）設(shè)函數(shù)，若在上恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1），；（2）.
【分析】
（1）先求導(dǎo)函數(shù)，利用和列方程，再解方程得，值即可；
（2）方法一：先分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，使，再通過導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性和最小值，即得參數(shù)范圍；方法二
：先構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明，證得，再構(gòu)造函數(shù)，利用解得恒成立，得到參數(shù)范圍即可.
【詳解】
解：（1），則，
所以，且，
解得，，；
（2）方法一：，整理得.
記，只需.
而.
令，則，故在單調(diào)遞增.
又，，由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一，使.
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
所以.
由得，所以，
所以，易見函數(shù)在上是單調(diào)遞增的，由知，，即，且，
所以，
故所求的取值范圍.
方法二：證明：
證明：構(gòu)造函數(shù)，∴，
令得，所以函數(shù)在單調(diào)遞增，
令得，所以函數(shù)在單調(diào)遞減.
所以函數(shù)，
∴，即∴，∴，
設(shè)，
∴，
由在上恒成立，即知恒成立，
所以，故.
55．已知函數(shù)在處的切線方程為.
（1）求的值；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】（1）；（2）3
【分析】
（1）先求導(dǎo)，將代入導(dǎo)函數(shù)得切線斜率，將代入原函數(shù)得切點(diǎn)縱坐標(biāo)，再運(yùn)用點(diǎn)斜式求出切線方程；
（2）可知，先分離參數(shù)，構(gòu)造新函數(shù)和，求出單調(diào)性，通過求出的最值，便得到的最大值.
【詳解】
（1）∵，在處的切線方程為
∴∴
解得
（2）∵，由
∴
令，則
令，則
在上單調(diào)遞增，，

∴，使得，即
∴
在上遞減，在上遞增
，∵∴
∴
∵，∴整數(shù)的最大值為3
56．已知函數(shù)（），.
（1）求函數(shù)的極值點(diǎn)；
（2）若恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，（2）
【分析】
（1）先求出函數(shù)的定義域，然后求出導(dǎo)函數(shù)，通過判斷導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)來判斷函數(shù)的極點(diǎn)；
（2）將不等式恒成立轉(zhuǎn)化為對(duì)恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求解的最值，即可得到的取值范圍
【詳解】
解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>由，得，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，函數(shù)無極值點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，
綜上，當(dāng)時(shí)，無極值點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，有極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，
（2）因?yàn)楹愠闪ⅲ春愠闪ⅲ?br>所以對(duì)恒成立，
令，則，
令，則，
所以在上單調(diào)遞減，
因?yàn)椋?br>所以由零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一的零點(diǎn)，使得，
即，
兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以的取值范圍為
57．已知函數(shù).
（1）若函數(shù)在定義域上的最大值為，求實(shí)數(shù)的值；
（2）設(shè)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的恒成立，求滿足條件的實(shí)數(shù)的最小整數(shù)值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，得到，分別討論 兩種情況，判定函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的最大值，即可求出結(jié)果；
(2)先由題意，將問題轉(zhuǎn)化為：得到，對(duì)任意的恒成立；設(shè)，求出其導(dǎo)數(shù)，得出存在，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，由隱零點(diǎn)的整體代換的處理方法可得出答案.
【詳解】
（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
此時(shí)，函數(shù)在定義域上無最大值；
當(dāng)時(shí)，令，得，
由，得，由，得，
此時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，即，即為所求；
（3）只需對(duì)任意的恒成立即可.
構(gòu)造函數(shù)，
，
∵，∴，且單調(diào)遞增，
∵，
∴一定存在唯一的，使得，即，
且當(dāng)時(shí)，，即；
當(dāng)時(shí)，，即.
所以，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，
∴，
則在上單調(diào)遞增，
所以，
因此的最小整數(shù)值為.
58．已知函數(shù).
（1）求在處的切線方程；
（2）若時(shí)，不等式恒成立，證明：.
【答案】（1）；（2）證明見解析.
【分析】
（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，進(jìn)而可求出切線方程；
（2）由題可將不等式，轉(zhuǎn)化為在上恒成立，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，求出，再構(gòu)造函數(shù)，通過研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)即可得出結(jié)果.
【詳解】
（1）由題可知，
∴，又，
∴在處的切線方程為，即.
（2）由題可知不等式，即在上恒成立.
設(shè)，
則.
當(dāng)時(shí)，.
令，則，
∴在上單調(diào)遞增.
又，，
∴存在使得，即，∴.
故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，此時(shí).
故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
從而，
∴.
令，
則當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，
∴，∴.
59．設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)，求在上的最值；
（2）當(dāng)時(shí)，若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1），；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)后可得，利用導(dǎo)數(shù)可確定的單調(diào)性，由此可得，，由此可求得最值；
（2）通過分離變量得到，利用導(dǎo)數(shù)可確定在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，且，由此可化簡得到，從而得到的取值范圍.
【詳解】
（1）由題意得：，即，
，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，
又，，；
綜上所述：，；
（2）由題意得：，即，
令，則，
令，則，
在上單調(diào)遞增，又，，
，使，即，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
在上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，
，
，，，
；
在上單調(diào)遞增，，即，
，，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.
60．設(shè)函數(shù)．
（1）若函數(shù)有兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，試求的最大值．
【答案】（1）；（2）2．
【分析】
（1）求導(dǎo)，令，轉(zhuǎn)化為，再令，轉(zhuǎn)化為與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)求解；
（2）將時(shí)，不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為時(shí)，恒成立求解．
【詳解】
（1）由題意可知，的定義域?yàn)?，?br>令，可得．
令，則由題意可知與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)．
，令得，
可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
所以，
又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以，．
（2）當(dāng)時(shí)，．
由得，
因?yàn)?，所以?br>設(shè)，則．
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又，，
所以在上有唯一的零點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
當(dāng)時(shí)，，即，
所以，
所以，又，
所以，又，
所以的最大值為2．
61．已知函數(shù)，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若，且，求整數(shù)的最大值．
【答案】（1）答案見解析；（2）1.
【分析】
（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)分類討論，求得單調(diào)區(qū)間；
（2），即，設(shè)，通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，此時(shí)需要再次求導(dǎo)來判斷導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，來判斷導(dǎo)函數(shù)與0的關(guān)系，從而求得原函數(shù)取最小值時(shí)滿足的條件，此時(shí)存在一個(gè)隱零點(diǎn)，滿足，將導(dǎo)數(shù)的隱零點(diǎn)代入化簡得到．然后通過導(dǎo)數(shù)求得的取值范圍，從而求得參數(shù)a的最大值.
【詳解】
解：（1）的定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，，單調(diào)遞增，
令，，單調(diào)遞減，
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．
（2）由題意：，即，
設(shè)，則，
設(shè)，由，
知在內(nèi)為增函數(shù)，
，，
，，
則在內(nèi)，為減函數(shù)；在內(nèi)，為增函數(shù)，
，則，
，
因?yàn)楹瘮?shù)在內(nèi)為增函數(shù)（），
，，
則．
設(shè)，在（內(nèi)為增函數(shù)，
，，
，則．
的取值范圍是，
整數(shù)的最大值為．
62．已知函數(shù).
（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)于任意的，恒成立，求的最小值.
【答案】（1）單調(diào)速增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）最小值為.
【分析】
（1）求出，進(jìn)一步求出的解，即可得出結(jié)論；
（2）先由，得出，通過二次求導(dǎo)并結(jié)合隱零點(diǎn)方法，求出，轉(zhuǎn)化為與隱零點(diǎn)的函數(shù)關(guān)系，再次用導(dǎo)數(shù)法，即可求解.
【詳解】
解：（1）因?yàn)椋?br>所以，.
令，得.
當(dāng)時(shí)，；
當(dāng)時(shí)，.
故的單調(diào)速增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是.
（2）.
因?yàn)椋?br>又，所以，則.
令，則在上單調(diào)遞增.
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，
所以.
因?yàn)椋?br>所以，使得.
且當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，則，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
故.
由，得.
由，得，
即.
結(jié)合，得，所以.
令.則，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，即.
故的最小值為.
63．已知函數(shù)．
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，并證明有且僅有一個(gè)零點(diǎn)：
（2）若，求的取值范圍．
【答案】（1）在上單調(diào)遞增；證明見解析；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)，易知，則在上單調(diào)遞增．然后由零點(diǎn)存在定理證明；
（2）將，轉(zhuǎn)化為，令，用導(dǎo)數(shù)法求得其最小值即可.
【詳解】
（1），
由，可知有，
故在上單調(diào)遞增．
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)有唯一零點(diǎn)，且．
（2）由，整理得，
設(shè)，，
由（1）可知在上單調(diào)遞增，
存在唯一零點(diǎn)，且
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增．
即為在定義域內(nèi)的最小值，
所以，
因?yàn)椋?br>所以①，
令，，
方程①等價(jià)于，
而在上恒大于零，所以在單調(diào)遞增，
故等價(jià)于，，
故的最小值，
所以，
所以的取值范圍為．
64．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若任意，總有成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，再對(duì)分類討論得解；
（2）等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，求出，等價(jià)于，設(shè)，令，得到，的取值范圍為，即得解.
【詳解】
（1）的定義域是R，．
①當(dāng)，即時(shí)，在R上恒成立，則在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)，即時(shí)，令，得，
令，得；則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．
（2）對(duì)一切，
即在上恒成立，
設(shè)，則，
易知在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，所以存在唯一零點(diǎn)，
令，則
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
即有，
設(shè)，令，
則單調(diào)遞增，又，
故，得，
∴增函數(shù)值域?yàn)椋?br>即的取值范圍為，
故a的取值范圍是．
65．函數(shù)
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）求導(dǎo)，分別討論和兩種情況的正負(fù)，即可求得的單調(diào)區(qū)間.
（2）所求轉(zhuǎn)化為求在恒成立問題，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，并求得的最大值，可得關(guān)于m的不等式，即可得答案.
【詳解】
（1）
當(dāng)時(shí)，，所以在為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，令，解得；
當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，， 為減函數(shù)，
綜上：當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.
（2）因?yàn)樵诤愠闪ⅲ?br>所以在恒成立，
設(shè)，則.
設(shè)
所以在單調(diào)遞增，又，
因此存在唯一，使得，
所以當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以函數(shù)在遞增，在遞減，在遞增
因此，
由得，則.
所以，
因?yàn)?，則，所以，
因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，
所以，解得
所以的取值范圍是
66．已知函數(shù)在處取得極值．
（1）若對(duì)恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）設(shè)，記函數(shù)在上的最大值為，證明：．
【答案】（1）；（2）證明見解析．
【分析】
（1）由條件求出，然后由可得，然后用導(dǎo)數(shù)求出右邊對(duì)應(yīng)函數(shù)的最小值即可；
（2），令，然后可得存在使得，即，即，然后可得，然后判斷出函數(shù)的單調(diào)性即可.
【詳解】
（1）∵，，∴，
由已知，即，即對(duì)恒成立，
令，則，
易得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，即．
（2），
則．
當(dāng)時(shí)，，令，
則，所以在上單調(diào)遞增．
∵，，
∴存在使得，即，即．
∴當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)；
即在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
則．
令，，則，
∴在上單調(diào)遞增，則，，
∴．∴．
67．已知函數(shù)的圖象在（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）處的切線方程為．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．
【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）3.
【分析】
（Ⅰ）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義列方程組，解方程組即可求解.
（Ⅱ）設(shè)：，， 將問題轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)得出，使得在遞減，上遞增，進(jìn)而可得，再由，得出，代入即可求解.
【詳解】
解（Ⅰ）由已知：
依題意：
解得：，
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：
即：
設(shè)：，， 原問題轉(zhuǎn)化為
令，
∵
∴在上遞增．
又因?yàn)?
∴存在唯一零點(diǎn)，設(shè)為，
，
∴，
∴在遞減，上遞增
∴
∵，∴，∴
∴，∴
∴的最大值為3，
68．已知函數(shù)f(x)=aex-2(a+1).
（1）討論函數(shù)g(x)=f(x)-2.x的單調(diào)性；
（2）若不等式(a>0)在x∈(0，+∞)上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，對(duì)參數(shù)分類討論，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）令，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到，從而求出的最小值， 即可求出參數(shù)的取值范圍；
【詳解】
解：（1），定義域?yàn)?，?br>當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，令，則，
所以時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，
時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；
綜上可得：當(dāng)時(shí)在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
（2）令，，，
，
令，則，
所以在上單調(diào)遞增，
又， 設(shè)，
恒成立，
單調(diào)遞增，
恒成立，
，
所以，
所以存在，使得，
所以時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞減，
時(shí)，，即，
所以在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以
所以，所以，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，
所以，即，
所以，解得，
即.
69．已知函數(shù)．
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，，，求的最大值．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
（1）求導(dǎo)，由導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系可得在上恒成立，構(gòu)造新函數(shù)求出即可得解；
（2）轉(zhuǎn)化條件為對(duì)于任意恒成立，構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)確定即可得解.
【詳解】
（1）由題意，，
∵在上單調(diào)遞增，∴在上恒成立，
即在上恒成立，
記，則，
∴在上單調(diào)遞增，
∴，
∴，即的取值范圍為．
（2）由題意得，對(duì)任意恒成立，
即對(duì)于任意恒成立．
令，則．
設(shè)，易知在上單調(diào)遞增，
且，，
∴，使得，即，
易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
∴，
∵，∴，
又，∴的最大整數(shù)為，
∴的最大整數(shù)為．
70．已知函數(shù)．
（1）求的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若存在實(shí)數(shù)，使得成立，求整數(shù)的最小值．
【答案】(1) 在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增, 當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值. (2) 1
【分析】
(1) 求出，得到，從而可得在上單調(diào)遞增，且，得出函數(shù)的單的區(qū)間和極值.
(2)由題意即存在實(shí)數(shù)，使得成立，設(shè)，即，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得出其單調(diào)區(qū)間，結(jié)合隱零點(diǎn)的代換，可得答案.
【詳解】
（1）由，可得
又恒成立，則在上單調(diào)遞增，且
所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.
(2) 存在實(shí)數(shù)，使得成立
即存在實(shí)數(shù)，使得，即成立
設(shè)，即
，
所以在上單調(diào)遞增. ,
所以存在，使得，即，也即
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，,單調(diào)遞增.
所以

當(dāng)時(shí)，
所以，由題意，
所以整數(shù)的最小值為1.
71．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求過點(diǎn)（0，0）且與曲線相切的直線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值．
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線方程，再根據(jù)切線過點(diǎn)，求出參數(shù)，再代入計(jì)算可得；
（2）依題意參變分離可得在恒成立，令，則，，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍，從而求出的最大值．
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)椋?，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線的斜率，故切線方程為，因?yàn)榍芯€過點(diǎn)，所以，即，所以，故切線方程為
（2）當(dāng)時(shí)恒成立，即在時(shí)恒成立，因?yàn)?，所以，所以在恒成立，令，，即，?br>所以，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，由，，所以存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，即，即，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，所以的最大值為?br>72．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的極值；
（2）若不等式恒成立，求整數(shù)a的最小值．
【答案】（1），無極大值；（2）2.
【分析】
（1）將代入，求出導(dǎo)函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而求出極值.
（2）不等式等價(jià)于在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最大值即可求解.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，，
令得（或舍去），
∵當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
∴，無極大值．
（2），即，
即，
∴，即，
∴原問題等價(jià)于在上恒成立，
設(shè)，則只需．
由，令，
∵，∴在上單調(diào)遞增，
∵，
∴存在唯一的，使得，
∵當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，
∴，
∴即可．
∴，∴，故整數(shù)a的最小值為2
73．已知函數(shù)（，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）．
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）若在恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】（1）答案不唯一，具體見解析；（2）．
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，討論、或，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系即可求解.
（2）分離參數(shù)不等式等價(jià)于在恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值即可求解.
【詳解】
解：（1），
由得：或．
①當(dāng)，即，恒成立，在上單調(diào)增；
②當(dāng)，即，則和時(shí)，時(shí)．
故在區(qū)間和上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減；
③當(dāng)，即，則和時(shí)，時(shí)．
故在區(qū)間和上單調(diào)增，在區(qū)間上單調(diào)減；
（2）恒成立，即在恒成立，
∴在恒成立，
設(shè)，則
令，則，，
因此在單調(diào)遞減，又，
使即
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
，又由式得，
，因此即的取值范圍為．
74．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若關(guān)于的不等式恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）.
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，結(jié)合定義域由得遞增區(qū)間，由得遞減區(qū)間.
（2）依題意得恒成立，令，由導(dǎo)數(shù)的單調(diào)性可得，即對(duì)恒成立，進(jìn)而可得的取值范圍.
【詳解】
（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，，
由得，，的增區(qū)間為，
由得，，的減區(qū)間為.
（2）恒成立，即恒成立.
令，則，
令，則，
所以在內(nèi)單調(diào)遞增.
因?yàn)椋ǎǎ?br>所以，使，
所以，即，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
所以，
即恒成立，
又因?yàn)椋?，所以?br>當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，
所以的取值范圍為.
75．已知函數(shù)，其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).
（1）若函數(shù)在處的切線與直線垂直，求函數(shù)在處的切線方程.
（2）若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）由題意函數(shù)在處的切線的斜率為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即，從而可得答案.
（2）根據(jù)題意即對(duì)恒成立，設(shè)即對(duì)恒成立，分三種情況分別求出的單調(diào)性，從而得出其最小值，從而得出答案.
【詳解】
解：（1）因?yàn)?，，所以?br>又，所以，即.
（2）由，得對(duì)恒成立，
即對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，
設(shè)即對(duì)恒成立，
①當(dāng)時(shí)，對(duì)恒成立，
②當(dāng)時(shí)，，在上為增函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，
，不合題意；
③當(dāng)，設(shè)在上為增函數(shù)，
又，，
所以使即，
所以，當(dāng)時(shí)，，，為減函數(shù)，
當(dāng)時(shí)，，，為增函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，
，
所以，因?yàn)?，所以?br>綜上.
76．已知函數(shù)（），其中，為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，，求的最小整數(shù)值．
【答案】（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）最小整數(shù)值為．
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系，結(jié)合利用導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)區(qū)間的步驟，按照和分類討論即可解出；
（2）依題可知在上恒成立，設(shè)，即，由導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性以及零點(diǎn)存在性定理可知，存在唯一實(shí)數(shù)，使得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而求得，再利用函數(shù)的單調(diào)性可求出，即可求得的最小整數(shù)值．
【詳解】
（1），令，得．
①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減．
②當(dāng)，即時(shí)，由，得，由，得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
（2），即，即在上恒成立．
設(shè)，，則，在上為減函數(shù)．
又，．因此存在唯一實(shí)數(shù)，此時(shí)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以．
因?yàn)?，所以，?br>所以．
因?yàn)?，所以，即?br>因此，即，所以的最小整數(shù)值為．
77．已知函數(shù)
（1）若函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，求的取值范圍；
（2）求的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)且時(shí)，不等式在上恒成立，求的最大值.
【答案】（1）[﹣2，+∞)；（2）答案見解析；（3）3.
【分析】
（1）函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，可得在區(qū)間上恒成立，參變分離轉(zhuǎn)化為，即可得出．
（2）首先求出的解析式，在求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，最后對(duì)參數(shù)分類討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）依題意不等式在上恒成立，參變分離可得，令，則求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令．利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性、函數(shù)零點(diǎn)即可得出．
【詳解】
解：（1）因?yàn)槎x域?yàn)椋?br>∵函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，
∴在區(qū)間上恒成立，
所以在區(qū)間上恒成立，
因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以
∴.
∴a的取值范圍是.
（2）因?yàn)椋远x域?yàn)椋?br>所以
當(dāng)時(shí)恒成立，所以在上單調(diào)遞增，即函數(shù)的增區(qū)間為，無減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，令，解得，令，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為
（3）時(shí)，，時(shí)，不等式在上恒成立，
，
令，則
令
則在上單調(diào)遞增，
，
存在，使.
即當(dāng)時(shí)即
時(shí)即
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
令，即，
，且，
．
78．已知函數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）若恒成立，求a的取值范圍．
【答案】（1）答案見解析；（2）.
【分析】
（1）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)a≥0，－2＜a＜0，a＝－2，a＜－2分類討論即可判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）由分離參數(shù)可得，在上恒成立，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，求出最小值，即可解出．
【詳解】
（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?
當(dāng)a≥0時(shí)，由，解得．
令，得，所以在上單調(diào)遞增；
令，得，所以在上單調(diào)遞減．
當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，由，解得或，且．
令，得，所以在上單調(diào)遞增；
令，得，所以在上單調(diào)遞減．
當(dāng)a＝－2時(shí)，，在上單調(diào)遞増．
當(dāng)a＜－2時(shí)，由，解得或，且．
令，得，所以在上單調(diào)遞增；
令，得，所以在上單調(diào)遞減．
（2）恒成立，即在上恒成立，
即在上恒成立．
令，則．
令，則，
所以h（x）在上單調(diào)遞增，而，
故存在，使得，即，
所以．
令，
所以在上單調(diào)遞増，所以．
當(dāng)時(shí)，h（x）＜0，即，故g（x）在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，h（x）＞0，即，故g（x）在上單調(diào)遞增．
所以當(dāng)時(shí)，g（x）取得極小值，也是最小值，
，故a≤1.
所以a的取值范圍是．
79．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意的，均有，求實(shí)數(shù)m的最小值．
【答案】（1）減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為；（2）1.
【分析】
（1）化簡函數(shù)并求解導(dǎo)函數(shù)，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間即可；
（2）運(yùn)用變量分離法構(gòu)造新函數(shù)轉(zhuǎn)化不等式恒成立問題，進(jìn)而求解出參數(shù)的值.
【詳解】
（1）的定義域?yàn)椋?br>當(dāng)時(shí)，，則，
當(dāng)時(shí)，，在上 單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，
所以的減區(qū)間為（0，1），增區(qū)間為；
（2）因?yàn)閷?duì)任意的，恒成立，即恒成立．
令，則，
令，則在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，?br>所以存在，使得，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，
由，可得，則．
所以，又恒成立，
所以，故m的最小值為l．
80．設(shè)函數(shù)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求方程的根（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）；
（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，記，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式有解？若存在，請(qǐng)求出的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.（參考數(shù)據(jù)：，）
【答案】（1）或；（2）答案見解析；（3）的最小值為0.
【分析】
（1）代入化簡方程得，再根據(jù)二次方程和指對(duì)關(guān)系解方程；
（2）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)并明確函數(shù)定義域：，；再討論導(dǎo)函數(shù)不變號(hào)情況：分和，以及三種情況，討論函數(shù)的單調(diào)性.
（3）存在性問題，一般轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)函數(shù)最值問題：，利用導(dǎo)數(shù)先求函數(shù)最小值，利用導(dǎo)數(shù)，以及結(jié)合零點(diǎn)存在性定理求的最小值，即可求得的取值范圍.
【詳解】
解：（1）當(dāng)時(shí)，方程即為，去分母，得
，解得或，
故所求方程的根為或.
（2）因?yàn)椋?br>所以
①當(dāng)時(shí)，由，解得；
②當(dāng)時(shí)，由，解得；
③當(dāng)時(shí)，由，解得；
④當(dāng)時(shí)，由，解得；
⑤當(dāng)時(shí)，由，解得.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為.
（3）當(dāng)時(shí)，，，
所以，，，
所以存在唯一，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以.
記函數(shù)，則在上單調(diào)遞增，
所以，即，由，且為整數(shù)，得，
所以存在整數(shù)滿足題意，且的最小值為0.
81．已知函數(shù)，，.
（1）若函數(shù)的圖象與直：相切，求實(shí)數(shù)的值；
（2）若不等式恒成立，求整數(shù)的最大值.
【答案】（1）；（2）
【分析】
（1）先通過求導(dǎo)，得到函數(shù)，再根據(jù)函數(shù)的圖象與直：相切，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解；
（2）將不等式恒成立，轉(zhuǎn)化為，恒成立，令，用導(dǎo)數(shù)法求其最小值即可.
【詳解】
（1）因?yàn)楹瘮?shù)，，
所以，則，
所以，
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象與直：相切，
所以，
解得，則，
解得.
（2）因?yàn)椴坏仁胶愠闪ⅲ?br>所以，恒成立，
令，
則，
所以在上遞增，
又因?yàn)椋?br>所以存在唯一實(shí)數(shù)，使得，即，
所以在上遞減，在上遞增，
所以，
所以整數(shù)的最大值是2.
82．已知函數(shù)在處的切線與在處的切線平行.
（1）求；
（2）設(shè)，問是否存在，使在上恒成立，若存在，求的個(gè)數(shù)；若不存在，說明理由.
【答案】
（1）
（2）8
【分析】
（1）求出和的導(dǎo)函數(shù)，利用可得答案；
（2）將原不等式轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，求出其導(dǎo)函數(shù)，再對(duì)其導(dǎo)函數(shù)再次求導(dǎo)，最終可得的單調(diào)性，求出最值，進(jìn)而得出的范圍即可.
（1）
由已知，，
則，
；
（2）
由（1）得
假設(shè)存在，使在上恒成立，
即在上恒成立
令，
，令
在上單調(diào)遞增，
，
使，即
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增
，又，
，，又，
的個(gè)數(shù)為8個(gè).
83．已知函數(shù)，．
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）若在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，求的取值范圍，并證明：．
【答案】（1）；（2）；證明見解析．
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線的斜率，從而求切線方程；
（2）根據(jù)極值點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為0求出的取值范圍；根據(jù)極值點(diǎn)得到，通過構(gòu)造函數(shù)，，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可.
【詳解】
（1）當(dāng)時(shí)，，，
則，又，
曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即．
（2），
令，
在區(qū)間上有唯一的極值點(diǎn)，
又，所以只需，解得，
由，得，即，
，．
令，，
，即在上單調(diào)遞增，且，
，
．
84．已知，.
（1）判斷的奇偶性，并加以證明；
（2）當(dāng)時(shí)，判斷的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論.
【答案】（1）奇函數(shù)，證明見解析；（2）有個(gè)零點(diǎn)，證明見解析.
【分析】
（1）利用奇函數(shù)的定義直接判斷即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理即可得出結(jié)論.
【詳解】
（1）因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?br>且，，所以是奇函數(shù).
（2）由（1）可知是的一個(gè)零點(diǎn)，且
令，記，則.
考慮函數(shù)，
當(dāng)時(shí)有，因此在上有且只有一個(gè)實(shí)根.因此，是在上的唯一零點(diǎn)，且在上為減函數(shù)，上為增函數(shù).
注意到當(dāng)時(shí)，且，
因此在上有唯一零點(diǎn).
結(jié)合為奇函數(shù)可知，在上也有且僅有一個(gè)零點(diǎn).
綜上所述，當(dāng)時(shí)，有個(gè)零點(diǎn).
85．已知函數(shù).
（1）若，求曲線在處的切線方程；
（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出切線方程；
(2)將原不等式變形為，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)
，即，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)m(t)的最小值和零點(diǎn)的存在性定理可得(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)“=”成立)，求出即可.
【詳解】
（1）因?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以?br>所以切線方程為
（2）由題意得，即，
因?yàn)?，所?br>設(shè)，
設(shè).
考察函數(shù)，因?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增.
所以，所以.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立
以下證明：存在，使得.
因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，，，
所以存在，使得，故，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，“=”成立
所以當(dāng)時(shí)，.
又因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.
故a的取值范圍是.
86．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)的零點(diǎn)存在情況；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：當(dāng)時(shí)，.
【答案】（1）兩個(gè)零點(diǎn)；（2）證明見解析.
【分析】
(1)將代入可得，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討函數(shù)的單調(diào)性并借助零點(diǎn)存在性定理即可求解；
(2)根據(jù)已知條件構(gòu)造函數(shù)，證明在時(shí)恒成立即可得解.
【詳解】
(1)當(dāng)時(shí)，，顯然，即1是的一個(gè)零點(diǎn)，
求導(dǎo)得，在上單調(diào)遞增，且，
則在上存在唯一零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
因此，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，而，，
從而得在上函數(shù)存在一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)存在兩個(gè)零點(diǎn)；
(2)令，，則，由(1)知在上單調(diào)遞增，且在上存在唯一零點(diǎn)，即，
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
因此，，即，則，
而，有，于是得，
所以當(dāng)，時(shí)，.
87．已知函數(shù).
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，恒成立，求整數(shù)k的最大值.
【答案】
（1）答案見解析；
（2）1.
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)后，分三種情況討論，即可求解函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）分離參數(shù)可得對(duì)于恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，分析出，即可求出整數(shù)k的最大值.
（1）
由得.
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，令，解得.
故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減.
（2）
原不等式等價(jià)于對(duì)于恒成立.
令，則.
令，則，所以在上單調(diào)遞增.
又，，
所以存在，使得，
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以，
又，所以，
所以，所以，
經(jīng)驗(yàn)證時(shí)，恒成立，所以整數(shù)k的最大值為1.
88．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線.
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.
（2）設(shè)直線l為函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線，問：在區(qū)間上是否存在，使得直線l與函數(shù)的圖象也相切？若存在，求出滿足條件的個(gè)數(shù)；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】
（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間
（2）存在，滿足條件的只有一個(gè).
【分析】
（1）由題知，可得，代入導(dǎo)函數(shù)，分析正負(fù)即可；
（2）設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn)，由斜率、截距分別相等，可得，構(gòu)造，求導(dǎo)分析單調(diào)性，即可得有唯一零點(diǎn).
（1）
∵函數(shù)（且），
∴.
∵曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，
∴，∴，
∴.
∵且，∴，
∴函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，無單調(diào)遞減區(qū)間.
（2）
在區(qū)間上存在唯一個(gè)滿足條件的.
∵，∴，
∴切線的方程為，
即.①
設(shè)直線與曲線相切于點(diǎn).
∵，∴，∴，
∴直線的方程也可以寫成，
即.②
由①②得，∴.
下面證在區(qū)間上存在唯一一個(gè)滿足條件的.
由（1）可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又，，
結(jié)合零點(diǎn)存在定理，知方程在區(qū)間上有唯一的實(shí)數(shù)根，滿足條件的只有一個(gè).
89．己知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）設(shè)滿足，證明：曲線在點(diǎn)處的切線也是曲線的切線.
【答案】
（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和
（2）證明過程見詳解
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，結(jié)合定義域，判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）先求出曲線在處的切線，然后求出當(dāng)曲線的切線的斜率與斜率相等時(shí)，證明曲線的切線在縱軸上的截距與在縱軸的截距相等即可.
（1）
函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以恒成?br>因此函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是和
（2）
因?yàn)槭堑囊粋€(gè)零點(diǎn)，所以
，所以曲線在處的切線的斜率，
故曲線在處的切線的方程為：
而，
所以的方程為，它在縱軸的截距為.
設(shè)曲線的切點(diǎn)為，
令在的切線為，，
所以在處的切線的斜率為，
因此切線的方程為，
當(dāng)切線的斜率等于直線的斜率時(shí)，
即，
切線在縱軸的截距為，
而，所以，
直線的斜率相等，在縱軸上的截距也相等，因此直線重合，
故曲線在處的切線也是曲線的切線.
90．已知函數(shù).
（1）若，求在處的切線方程；
（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，且，求證：.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）求導(dǎo)，可得，，即得解；
（2）求導(dǎo)可得導(dǎo)函數(shù)與同正負(fù)，分，兩種情況討論極值，當(dāng)時(shí)，對(duì)求導(dǎo)，分析可得存在，使得，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值，令，求導(dǎo)分析可得，利用導(dǎo)數(shù)分析可得，，代入即得解
（1）
若，則，
∴，
又，，
∴切線的方程為，
即；
（2）
，
∵函數(shù)的定義域?yàn)椋啵?br>令，，
①當(dāng)時(shí)，，，在上單調(diào)遞增，無極值，不符合題意；
②當(dāng)時(shí)，，∴在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，，
∴存在，使得，即，
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增.
∴當(dāng)時(shí)，函數(shù)的極小值
，
令，則，
∴在上單調(diào)遞減，又∵，
∴，
令，
故在單調(diào)遞增，
故當(dāng)，有
令，
故在單調(diào)遞減，
故當(dāng)，有
∴.
則.
91．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若對(duì)任意都有，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】
（1）單調(diào)遞增區(qū)間單調(diào)遞減區(qū)間
（2）
【分析】
（1）求出導(dǎo)函數(shù)，由得增區(qū)間，由得減區(qū)間；
（2）用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值．引入新函數(shù)，求出導(dǎo)函數(shù)，對(duì)的一部分探究其零點(diǎn)，得函數(shù)的最大值點(diǎn)，從而得最大值．
（1）
函數(shù)定義域是，
由已知，
時(shí)，，時(shí)，，
所以單調(diào)遞增區(qū)間，單調(diào)遞減區(qū)間；
（2）
因?yàn)閷?duì)任意都有，即恒成立.
令，則.
令，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)椋?br>所以存在使得，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)單調(diào)遞減.
所以 ，
由于，可得.則，
所以，
又恒成立，所以.
綜上所述實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
92．已知函數(shù).
（1）求的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，證明：.
【答案】
（1）答案不唯一，見解析
（2）證明見解析
【分析】
（1）求出函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分和兩類討論，即可求出函數(shù)單調(diào)區(qū)間；
（2）原不等式等價(jià)于，分析函數(shù)有唯一極值點(diǎn)，只需證明即可，結(jié)合零點(diǎn)可知，利用均值不等式可知最小值大于0，即可證明.
（1）
由題意知的定義域?yàn)?由已知得
當(dāng)時(shí),在上單調(diào)遞增,無單調(diào)遞減區(qū)間.
當(dāng)時(shí),令，得；令，得，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
綜上，當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間為，無單調(diào)遞減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
（2）
證明：原不等式等價(jià)于，則，
易知在上單調(diào)遞增，且，
所以在上存在唯一零點(diǎn)，此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
要證即要證，由，得,，代入,得，
因?yàn)椋?br>所以.
93．已知函數(shù)，.
（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，求證：.
【答案】
（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）答案見詳解
【分析】
（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，并根據(jù)與0的大小、導(dǎo)數(shù)與0的大小分類討論函數(shù)的單調(diào)性；
（2）令所證恒大于0的不等式為，對(duì)求導(dǎo)得，再求導(dǎo)得，因?yàn)楹愦笥?，可知單調(diào)遞增，再根據(jù)零點(diǎn)存在定理，可知存在唯一零點(diǎn)使得取得極小值，也是最小值，再證得此最小值大于0即可.
（1）
∵，
當(dāng)時(shí)，恒成立，單調(diào)遞減.
當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增.
∴函數(shù)的單調(diào)性為：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
（2）
當(dāng)時(shí)，.
設(shè)，
則，
令
則，所以在上單調(diào)遞增，
又∵，
∴存在唯一零點(diǎn)，且①
時(shí)，，即，單調(diào)遞減，
時(shí)，，即，單調(diào)遞增，
故在處取得極小值，也是最小值.
，將①式代入，
則
∵二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴在時(shí)，有最小值
∴
∴
94．已知函數(shù)，，其中.
（1）若，在平面直角坐標(biāo)系中，過坐標(biāo)原點(diǎn)分別作函數(shù)與函數(shù)圖象的切線和，求，的斜率之積；
（2）若對(duì)上，總有成立，試求實(shí)數(shù)的最小值.
【答案】
（1）
（2）
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則和公式求得，.得到切線，的斜率，，根據(jù)兩切線都經(jīng)過原點(diǎn)，求得切點(diǎn)橫坐標(biāo)，進(jìn)而求得兩直線的斜率之積;
（2）設(shè)函數(shù)，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，得出的最小值，根據(jù)的最小值大于等于零，構(gòu)造出關(guān)于參數(shù)的不等式，從而得出答案.
（1）
依題意知，，，所以，.
設(shè)切線，的斜率分別為，，其切點(diǎn)分別為，，
則有解得；同理，有解得.
所以，即所求切線，的斜率之積為.
（2）
由于對(duì)上，總有成立，即對(duì)，有恒成立.
令（），則.
令（），則有（），
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞增函數(shù).
因?yàn)?，所以，?br>所以，所以在區(qū)間上，存在唯一的實(shí)數(shù)，使得，
即. ①
所以當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在處取得極小值，即最小值，
即.②
又由①得，，所以，所以.則由②得，.
令，所以（），
所以函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)遞減函數(shù).
又，因此.所以.
由于，所以，即所求實(shí)數(shù)的最小值為.
95．已知函數(shù).
（1）若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，.
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）求出在上恒成立，分離參數(shù)即可求解.
（2）求出，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性之間的關(guān)系可得存在，使在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而可得，令，利用導(dǎo)數(shù)即可證明.
（1）
解：由題意，得在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
（2）
證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，?br>所以在上單調(diào)遞增.
又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，
所以存在使得（*），
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由（*）式可得，，代入上式，得.
由，令，則，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即得證.
96．已知函數(shù)．
（1）當(dāng)時(shí)，判斷在區(qū)間上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)時(shí)，記的最大值為，求證：．
【答案】
（1）在上單調(diào)遞減．
（2）證明見解析
【分析】
（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；
（2）由題知，設(shè)，進(jìn)而得在存在唯一零點(diǎn)且的最大值，再結(jié)合可得.
（1）
當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，則，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
所以在上單調(diào)遞減．
（2）
，
設(shè)，則．
當(dāng)時(shí)，的定義域?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，
因?yàn)?br>所以．
又因?yàn)榈膱D象是不間斷的，且在上單調(diào)遞減，
所以在存在唯一零點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，
所以的最大值
由得，
所以，從而原命題得證．
97．已知函數(shù)．
（1）若對(duì)任意，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若，求證：當(dāng)時(shí)，．
【答案】
（1）
（2）證明見解析
【分析】
（1）將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的范圍；
（2）對(duì)所給的參數(shù)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正、負(fù)臨界值進(jìn)行分類討論.
（1）
由題意，原不等式可轉(zhuǎn)化為對(duì)任意恒成立
所以在上單調(diào)遞增，
所以在上恒成立，
故，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是．
（2）
證明：當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?br>所以在上單調(diào)遞增．
①當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)遞增，
所以．
②當(dāng)時(shí)，，，
故存在使得（*），
且在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
由（*）式可得，，代入上式，得
由，令，則，，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以，
所以，所以，
所以當(dāng)時(shí)，，即得證．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，．
98．已知函數(shù)，求：
（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；
（2）當(dāng)時(shí)，總有，求整數(shù)的最小值.
【答案】
（1）
（2）-3
【分析】
（1）先對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，計(jì)算出斜率，再用點(diǎn)斜式即可；（2）分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.
（1）
當(dāng)時(shí)，
在點(diǎn)處的切線方程為即
（2）
由題意，，即，即，
又，恒成立.
令，
令，則恒成立.
在上遞減，
，
使，即，則，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，
因?yàn)椋?，，即整?shù)k的最小值為-3
99．設(shè)函數(shù)，其中.
（1）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求a的值；
（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（3）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，證明：.
【答案】
（1）；
（2）答案見解析；
（3）證明見解析.
【分析】
（1）由題意有，求出的值，檢驗(yàn)即可得答案；
（2）令，得或，然后對(duì)分：，， 三種情況討論即可得答案；
（3）令，由，得在上單調(diào)遞增，又由函數(shù)零點(diǎn)存在定理可得存在 ，使，即，，從而可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，進(jìn)而可得，從而得證原不等式成立.
（1）
解：，
因?yàn)槭呛瘮?shù)的極值點(diǎn)，所以，解得，
當(dāng)時(shí)，檢驗(yàn)符合題意，
所以a的值為；
（2）
解：，，
令，得或，
當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得；
當(dāng)時(shí)，恒成立；
當(dāng)時(shí)，令，得或，令，得；
綜上，當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，在和單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
（3）
證明：當(dāng)時(shí)，，
設(shè)，
因?yàn)?，?br>所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，
所以存在 ，使，即，，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的最小值為，
所以，
從而得證.
100．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線平行于x軸．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）討論函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．
【答案】
（1）
（2）函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).
【分析】
（1）結(jié)合導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到，解方程組即可求出結(jié)果；
（2）分，，，四段，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.
（1）
因?yàn)?，所以?br>由題意可知，解得，
（2）
由（1）知，所以，
由于，所以當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，因?yàn)闀r(shí)，，而，因此時(shí)，，因此函數(shù)在上無零點(diǎn)；
則，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，因?yàn)?，則，由零點(diǎn)存在性知在上存在唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí) ，令，則，所以在上單調(diào)遞增，且，，由零點(diǎn)存在性定理知存在唯一零點(diǎn)，使得，因此在時(shí)單調(diào)遞減，在時(shí)單調(diào)遞增，且，，，由零點(diǎn)存在性定理知存在唯一零點(diǎn)在上，因此在上存在唯一零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，且，所以在上無零點(diǎn)；
綜上所述：函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn).-
0
+
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增

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