一、單選題
1．數(shù)列中，，，則（ ）
A．32B．62C．63D．64
【答案】C
【分析】
把化成，故可得為等比數(shù)列，從而得到的值.
【詳解】
數(shù)列中，，故，
因為，故，故，
所以，所以為等比數(shù)列，公比為，首項為.
所以即，故，故選C.
2．在數(shù)列中，，且，則的通項為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】
依題意可得，即可得到是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；
【詳解】
解：∵，∴，
由，得，∴數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即．
故選：A
3．設數(shù)列{an}滿足a1＝1，a2＝3，且2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，則a20的值是（ ）
A．4B．4
C．4D．4
【答案】D
【分析】
首先證得{nan－(n－1)an－1}為常數(shù)列，得到，進而證得數(shù)列是以1為首項，5為公差的等差數(shù)列，從而求出通項公式，進而求出結果.
【詳解】
因為2nan＝(n－1)an－1＋(n＋1)an＋1，
所以nan－(n－1)an－1＝(n＋1)an＋1－nan
故數(shù)列{nan－(n－1)an－1}為常數(shù)列，且，
所以，即，
因此數(shù)列是以1為首項，5為公差的等差數(shù)列，
所以，因此
所以a20＝.
故選：D．
4．設數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an＋3，則通項an可能是（ ）
A．5－3nB．3·2n－1－1
C．5－3n2D．5·2n－1－3
【答案】D
【分析】
用構造法求通項.
【詳解】
設，則，
因為an＋1＝2an＋3，所以，
所以是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
，所以
故選：D
5．已知數(shù)列滿足：，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
對兩邊取倒數(shù)后，可以判斷是首項為1，公差為的等差數(shù)列，即可求得.
【詳解】
由數(shù)列滿足：，
兩邊取倒數(shù)得：，即，
所以數(shù)列是首項為1，公差為的等差數(shù)列，
所以，
所以
故選:D
6．已知數(shù)列中，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
令，由等差數(shù)列的性質(zhì)及通項可得，即可得解.
【詳解】
令，則，，
所以數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以.
故選：D.
7．已知數(shù)列的前項和為，，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由已知得出數(shù)列是等比數(shù)列，然后可利用數(shù)列的奇數(shù)項仍然為等比數(shù)列，求得和．
【詳解】
因為，所以，又，
所以，所以是等比數(shù)列，公比為4，首項為3，
則數(shù)列也是等比數(shù)列，公比為，首項為3．
所以．
故選：A．
8．已知數(shù)列滿足：，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由已知關系求得數(shù)列是等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可得結論．
【詳解】
由題意，
由得，即，所以數(shù)列是等比數(shù)列，僅比為4，首項為4，
所以．
故選：C．
9．已知數(shù)列滿足遞推關系，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由遞推式可得數(shù)列為等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式即可得結果.
【詳解】
因為，所以，，
即數(shù)列是以2為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，所以，
故選：D.
10．已知數(shù)列滿足：，，，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
取倒數(shù)，可得是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由此可得結論.
【詳解】
∵
∴，
∴ ，
∵
∴是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
∴，
∴.
故選：B.
11．數(shù)列滿足，且，若，則的最小值為
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】
依題意，得，可判斷出數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，進一步可求得21a1=2，即其首項為2，從而可得an=，繼而可得答案．
【詳解】
∵，即，
∴數(shù)列{2nan}為公差是1的等差數(shù)列，
又a1=1，
∴21a1=2，即其首項為2，
∴2nan=2+（n﹣1）×1=n+1，
∴an=．
∴a1=1，a2=，a3=，a4=＞，a5==＜=，
∴若，則n的最小值為5，
故選C．
12．已知數(shù)列滿足，，則滿足不等式的（為正整數(shù)）的值為（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】D
【分析】
先求得的通項公式，然后解不等式求得的值.
【詳解】
依題意， ，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，所以，
由得，
即，
即，
，
而在上遞減，
所以由可知.
故選：D
13．在數(shù)列中，，，若，則的最小值是（ ）
A．9B．10C．11D．12
【答案】C
【分析】
根據(jù)遞推關系可得數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得，即求.
【詳解】
因為，所以，即，
所以數(shù)列是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
則，即.
因為，所以，所以，所以.
故選：C
14．已知數(shù)列滿足，且，則的第項為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
在等式兩邊取倒數(shù)，可推導出數(shù)列為等差數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公差，進而可求得.
【詳解】
當且，在等式兩邊取倒數(shù)得，
，且，所以，數(shù)列為等差數(shù)列，且首項為，公差為，
因此，.
故選：A.
15．數(shù)列中，若，，則該數(shù)列的通項（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
據(jù)遞推關系式可得， 利用等比數(shù)列的通項公式即可求解.
【詳解】
因為，
所以，
即數(shù)列是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，
故，
故選：A
16．已知數(shù)列滿足，且，，則數(shù)列前6項的和為（ ）.
A．115B．118C．120D．128
【答案】C
【分析】
由題干條件求得，得到，構造等比數(shù)列可得數(shù)列的通項公式，再結合等比數(shù)列求和公式即可求得數(shù)列前6項的和.
【詳解】
，則，
可得，
可化為，
有，得，
則數(shù)列前6項的和為.
故選：C
第II卷（非選擇題）
二、填空題
17．已知數(shù)列滿足，則__________．
【答案】
【分析】
先判斷出是首項為2，公比為3的等比數(shù)列，即可得到，從而求出.
【詳解】
因為，
所以，
由，所以為首項為2，公比為3的等比數(shù)列，
所以，
所以.
故答案為：
18．已知數(shù)列的各項均為正數(shù)，且，則數(shù)列的通項公式______．
【答案】
【分析】
因式分解可得，結合，即得解
【詳解】
由，
得．
又，所以數(shù)列的通項公式．
故答案為：
19．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列的通項公式______．
【答案】
【分析】
利用條件構造數(shù)列，可得數(shù)列為等差數(shù)列即求.
【詳解】
∵，
∴，
即．又，，
∴數(shù)列是以3為首項，1為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴數(shù)列的通項公式．
故答案為：.
20．若正項數(shù)列滿足，則數(shù)列的通項公式是_______．
【答案】
【分析】
根據(jù)給定條件將原等式變形成，再利用構造成基本數(shù)列的方法求解即得.
【詳解】
在正項數(shù)列中，，則有，
于是得，而，因此得：數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，
則有，即，
所以數(shù)列的通項公式是.
故答案為：
21．若數(shù)列滿足，，，且，則______．
【答案】15
【分析】
根據(jù)題意整理可得，所以為常數(shù)列，令即可得解.
【詳解】
由可得，
兩邊同除可得，
故數(shù)列為常數(shù)列，
所以，
所以，解得.
故答案為：15
22．數(shù)列的前項和為，已知，，則___．
【答案】
【分析】
由給定條件借助消去，求出即可得解.
【詳解】
因，，而，則，
于是得，又，則數(shù)列是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
從而有，即，，
時，，而滿足上式，
所以，.
故答案為：
23．在數(shù)列中，，，，則________.
【答案】460
【分析】
由已知可得，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，由此可求出的通項公式，得出所求.
【詳解】
，
，即,
所以，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，，
.
故答案為：460.
三、解答題
24．已知數(shù)列滿足，.
（1）若數(shù)列滿足，求證：是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項和.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）由遞推公式可得，即，即可得證；
（2）由（1）可得，再利用分組求和法及等比數(shù)列求和公式計算可得；
（1）
解：因為，所以，又，，所以，即，，所以是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）
解：由（1）可得，即，所以
所以
25．已知數(shù)列的前項和為，且，數(shù)列滿足，．求數(shù)列，的通項公式；
【答案】，
【分析】
利用求通項公式，構造是等比數(shù)列，求通項公式即可；
【詳解】
解：數(shù)列的前項和為，且，
當時，．
當時，，顯然也適合上式．
所以；
因為數(shù)列滿足，．
所以，
所以數(shù)列是以為首項，3為公比的等比數(shù)列．
故，
所以.
26．已知數(shù)列中，，．求數(shù)列的通項公式；
【答案】
【分析】
首先證得是等差數(shù)列，然后求出的通項公式，進而求出的通項公式；
【詳解】
解：因為，
所以令，則，解得，
對兩邊同時除以，得，
又因為，
所以是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，
所以，
所以；
27．已知列滿足，且，．
（1）設，證明：數(shù)列為等差數(shù)列；
（2）求數(shù)列的通項公式；
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題設遞推式得，根據(jù)等差數(shù)列的定義，結論得證.
（2）由（1）直接寫出通項公式即可.
【詳解】
（1）由題設知：，且，
∴是首項、公差均為1的等差數(shù)列，又，則數(shù)列為等差數(shù)列，得證.
（2）由（1）知：.
28．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.
（1）求的通項公式；
（2）已知，，設___________，求數(shù)列的通項公式.
在①，②，③，這3個條件中，任選一個解答上述問題.
注：如果選擇多個條件分別解答，按照第一個解答計分.
【答案】（1）；（2）見解析.
【分析】
（1）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可求，從而可求的通項.
（2）根據(jù)題設中的遞推關系可得，從而可得為常數(shù)列，據(jù)此可求的通項，從而可求相應的的通項公式.
【詳解】
（1）因為為等差數(shù)列，故，故，
而，故即，所以等差數(shù)列的公差為1，
所以.
（2）因此，故，
所以，所以為常數(shù)列，
所以，所以，
若選①，則；
若選②，則；
若選③，則.
29．設數(shù)列滿足，且，.
（1）求，的值；
（2）已知數(shù)列的通項公式是：，，中的一個，判斷的通項公式，并求數(shù)列的前項和.
【答案】（1），；（2），.
【分析】
（1）由遞推公式得，結合已知是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，寫出的通項公式，進而求，的值；
（2）由（1）得，再應用分組求和及等差、等比前n項和公式求.
【詳解】
（1）∵，即且，
∴是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，即，
∴，則，.
（2）設，由（1）知，又.
∴，
.
30．已知數(shù)列滿足，，且，.
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）設，，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）構造，結合已知條件可知是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，寫出通項公式，再應用累加法有，即可求的通項公式；
（2）由（1）知：，易知在上恒成立，且數(shù)列單調(diào)遞增，即可求其最小值.
【詳解】
（1）令，則，而，
∴是首項為2，公差為4的等差數(shù)列，即，
∴，又，
∴.
（2）由題設，，，
∴，當且僅當時等號成立，故且在上單調(diào)遞增，又，
∴當時，的最小值.
任務二:中立模式(中檔)1-50題
一、單選題
1．已知數(shù)列滿足，記數(shù)列前項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
由可得，利用累加法可求得，求得的范圍，從而可得的范圍，從而可得出答案.
【詳解】
解：由可得，
化簡得，
累加求和得，
化簡得，
因為，所以，
即，．
，
，
所以，
即．
故選：B.
2．已知數(shù)列滿足，，設，若數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
將遞推關系式整理為，可知數(shù)列為等差數(shù)列，借助等差數(shù)列通項公式可整理求得，從而得到的通項公式；根據(jù)數(shù)列的單調(diào)性可采用分離變量法得到，結合導數(shù)的知識可求得，由此可得結果.
【詳解】
由得：．
，即，
是公差為的等差數(shù)列．，，，．
是遞減數(shù)列，，，即，
即．只需，
令，
，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．
又，，當時，，
即，，即實數(shù)的取值范圍是．
故選：B．
3．已知在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意可得，即可得到是以為首項，為公比的等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列的通項公式計算可得；
【詳解】
解:因為，，所以，整理得，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．所以，解得．
故選：A
4．設數(shù)列滿足，若，且數(shù)列的前 項和為，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
先根據(jù)的遞推關系求出的通項公式，代入的表達式中，求出的通項，即可求解的前 項和
【詳解】
由可得,
∵, ∴,
則可得數(shù)列為常數(shù)列，即, ∴
∴,
∴.
故選: D
5．數(shù)列滿足，，若，且數(shù)列的前項和為，則（ ）
A．64B．80C．D．
【答案】C
【分析】
由已知可得，即數(shù)列是等差數(shù)列，由此求出，分別令
可求出.
【詳解】
數(shù)列滿足，，
則，
可得數(shù)列是首項為1、公差為1的等差數(shù)列，
即有，即為，
則，
則
.
故選：C.
6．已知數(shù)列滿足，且，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
由可得，從而得數(shù)列以為首項，2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)，可化為，從而即可求得答案.
【詳解】
由可得，
若，則，與題中條件矛盾，故，
所以，即數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以
，所以，
故選：A．
7．已知數(shù)列滿足，，若，當時，的最小值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
將已知遞推關系式變形可得，由此可知數(shù)列為等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項公式可取得，進而得到；由可上下相消求得，結合解不等式可求得的最小值.
【詳解】
由得：，
，
，即，
數(shù)列是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
，則，
，
由得：，又，且，
的最小值為.
故選：C.
8．數(shù)列各項均是正數(shù)，，，函數(shù)在點處的切線過點，則下列命題正確的個數(shù)是（ ）．
①；
②數(shù)列是等比數(shù)列；
③數(shù)列是等比數(shù)列；
④．
A．1B．2C．3D．4
【答案】B
【分析】
求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義得到，整理得到，利用構造法求出數(shù)列的通項，即可判斷；
【詳解】
解：由得，
所以，
∴（*），
①，，
，，
∴，正確；
②由（*）知，
∴首項，，∴是等比數(shù)列，正確；
③，首項，不符合等比數(shù)列的定義，錯誤；
④由②對可知：，
兩邊同除得，
令，∴，．
∴，
，即數(shù)列是恒為0的常數(shù)列．
∴，故錯誤．
故選：B．
9．已知數(shù)列滿足，，若，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
由數(shù)列遞推式得到是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出其通項公式后代入，當時，，且求得實數(shù)的取值范圍.
【詳解】
解：由得，
則
由，得，
∴數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
∴，
由，
得，
因為數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，
所以時，，
，即，
所以，
又∵，，
由，得，得，
綜上：實數(shù)的取值范圍是.
故選：C.
10．已知數(shù)列滿足，.若，則數(shù)列的通項公式（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
變形為可知數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求出后代入到可得結果.
【詳解】
由，得，所以，
又，所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以，所以.
故選：C.
11．已知數(shù)列的首項，且滿足，則中最小的一項是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
轉化條件為，結合等差數(shù)列的性質(zhì)可得，即可得解.
【詳解】
因為，所以，
又，所以，
所以數(shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列，
所以，即，
所以，，，
當時，，
所以中最小的一項是.
故選：B.
12．已知數(shù)列，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
令，推導出數(shù)列為等比數(shù)列，確定該數(shù)列的首項和公比，進而可求得的值.
【詳解】
由可得，
，根據(jù)遞推公式可得出，，，
進而可知，對任意的，，
在等式兩邊取對數(shù)可得，
令，則，可得，則，
所以，數(shù)列是等比數(shù)列，且首項為，公比為，
，
即.
故選：B.
13．已知數(shù)列的前項和為，，且滿足，若，，，則的最小值為（ ）
A．B．C．D．0
【答案】A
【分析】
轉化條件為，由等差數(shù)列的定義及通項公式可得，求得滿足的項后即可得解.
【詳解】
因為，所以，
又，所以數(shù)列是以為首項，公差為2的等差數(shù)列，
所以，所以，
令，解得，
所以，其余各項均大于0，
所以.
故選：A.
14．數(shù)列滿足，那么的值為（ ）．
A．4B．12C．18D．32
【答案】D
【分析】
首先根據(jù)題中所給的數(shù)列的遞推公式，得到，從而得到數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，進而寫出的通項公式，將代入求得結果.
【詳解】
由可得，即，
所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，
所以，
所以，所以，
故選：D.
15．已知數(shù)列滿足，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
依題意可得即數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，從而得到，再用錯位相減法求和，即可得解；
【詳解】
解：由，所以，得.
所以數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，
所以，所以.
設的前項和為，則，
兩邊同乘2，得
，
兩個式子相減得
，
所以，所以.
故選：A
16．若數(shù)列的首項，且滿足，則的值為（ ）
A．1980B．2000C．2020D．2021
【答案】A
【分析】
由條件可得，從而數(shù)列是首項為21，公差為1的等差數(shù)列，由，可得，得出的通項公式，進一步得出答案.
【詳解】
∵，
∴，
∴，所以數(shù)列是首項為21，公差為1的等差數(shù)列，
∴，
∴. ，
故選：A.
17．設數(shù)列的前項和為，且，（），則的最小值為
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
利用數(shù)列的通項與前項和的關系,將轉換為的遞推公式,繼而構造數(shù)列求出,再得到關于的表達式,進而根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)可得的增減性求解即可.
【詳解】
由題,當時, ,整理得,即數(shù)列是以1為首
項,2為公差的等差數(shù)列.所以,故.
所以,令函數(shù),則.
故數(shù)列是一個遞增數(shù)列,當時,有最小值.
故選：B
18．已知數(shù)列的首項，則（ ）
A．7268B．5068C．6398D．4028
【答案】C
【分析】
由得，所以構造數(shù)列為等差數(shù)列，算出，求出.
【詳解】
易知，因為，所以，
即，是以3為公差，以2為首項的等差數(shù)列.
所以，即.
故選 ：C
19．已知在數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】
遞推關系式乘以，再減去3，構造等比數(shù)列求通項公式.
【詳解】
因為，，
所以，
整理得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.
所以，
解得.
故選：A.
20．如果數(shù)列滿足，，且，則這個數(shù)列的第10項等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】
由題設條件知，所以，由此能夠得到為等差數(shù)列，從而得到第10項的值．
【詳解】
解：
，
，
，
，即為等差數(shù)列．
，
，，
為以為首項，為公差的等差數(shù)列．
，
．
故選：．
第II卷（非選擇題）
二、填空題
21．已知數(shù)列滿足，且，則的通項公式_______________________.
【答案】
【分析】
由已知條件可得，從而有是以為首項，為公差的等差數(shù)列，進而可得，最后利用累加法及等差數(shù)列的前n項和公式即可求解.
【詳解】
解：由,得，則，
由得，
所以是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
所以，
當時，
，
所以，
當時，也適合上式，
所以，
故答案為：.
22．設數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，則的值為___________．
【答案】2023
【分析】
根據(jù)遞推公式，可知從第2項起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.
【詳解】
當時，，
，
，
，
從第2項起是等差數(shù)列.
又，，，，
，
當時，
，
（），
當時，.
又，
.
故答案為：2023
23．已知是數(shù)列的前項和，，，，求數(shù)列的通項公式___________.
【答案】
【分析】
根據(jù)已知條件構造，可得是公比為的等比數(shù)列，即，再由累加法以及分組求和即可求解.
【詳解】
因為，
所以，
因此，
因為，，所以，
故數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以，即，
所以當時，
，，，，，
以上各式累加可得：
，
因為，
所以；
又符合上式，所以.
故答案為：.
24．設數(shù)列滿足，，，數(shù)列前n項和為，且（且）．若表示不超過x的最大整數(shù)，，數(shù)列的前n項和為，則的值為___________．
【答案】2023
【分析】
根據(jù)遞推公式，可知從第2項起是等差數(shù)列，可得，再根據(jù)累加法，可得，由此可得當時，，又，由此即可求出.
【詳解】
當時，，
，
，
，
從第2項起是等差數(shù)列.
又，，，，
，
當時，
，
（），
當時，.
又，
.
故答案為：2023.
25．已知數(shù)列中，，設，求數(shù)列的通項公式________．
【答案】
【分析】
首先判斷是等比數(shù)列，并求得其通項公式，從而求得數(shù)列的通項公式.
【詳解】
依題意，則，
兩邊取倒數(shù)并化簡得，
即，
所以數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列，
所以.
故答案為：
26．已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式為______.
【答案】
【分析】
將已知遞推關系式變形為，令，采用倒數(shù)法可證得數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求得后，整理可得所求通項公式.
【詳解】
由得：，
設，則有，即，又，
數(shù)列是以，為公差的等差數(shù)列，，
，即，.
故答案為：.
27．若數(shù)列滿足，，則數(shù)列的通項公式________.
【答案】
【分析】
由，可得，設，即，先求出的通項公式，進而得到答案.
【詳解】
由，可得，設
則，則
所以是以1為首項，3為公比的等比數(shù)列.
則，則，所以
故答案為：
28．已知數(shù)列中，，且滿足，若對于任意，都有成立，則實數(shù)的最小值是_________.
【答案】2
【分析】
將已知等式化為，根據(jù)數(shù)列是首項為3公差為1的等差數(shù)列，可求得通項公式，將不等式化為恒成立，求出的最大值即可得解.
【詳解】
因為時，，所以，而，
所以數(shù)列是首項為3公差為1的等差數(shù)列，故，從而.
又因為恒成立，即恒成立，所以.
由得，得，
所以，所以，即實數(shù)的最小值是2.
故答案為：2
29．在數(shù)列中，，且，則______.(用含的式子表示)
【答案】
【分析】
將條件變形為，即數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，然后可算出答案.
【詳解】
因為，所以，
所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列，
所以
所以.
故答案為：
30．若數(shù)列滿足，且，則________.
【答案】
【分析】
由題意結合數(shù)列的遞推公式，逐步運算即可得解.
【詳解】
因為，
所以，
數(shù)列是等比數(shù)列，首項為，公比為，
則通項，
可得：，
則.
故答案為：.
31．在數(shù)列中，，，是數(shù)列的前項和，則為___________.
【答案】
【分析】
將化為，再由等比數(shù)列的定義和通項公式?求和公式，可得所求和.
【詳解】
解：由，，
可得，
即，
所以數(shù)列是以為首項?2為公差的等差數(shù)列，
所以，
由，.
故答案為：.
32．若數(shù)列滿足，，則使得成立的最小正整數(shù)的值是______.
【答案】
【分析】
根據(jù)遞推關系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項公式求得，代入不等式，結合可求得結果.
【詳解】
，，，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，，
由得：，即，
，且，滿足題意的最小正整數(shù).
故答案為：.
33．已知數(shù)列滿足，，則________.
【答案】
【分析】
轉化原式為，可得是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，即得解
【詳解】
依題意，，故，故數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，故，則.
故答案為：
34．已知數(shù)列{an}滿足（n∈N*），且a2=6，則{an}的通項公式為_____.
【答案】
【分析】
由題意令n=1可得a1，當時，轉化條件可得，進而可得，即可得解.
【詳解】
因為數(shù)列{an}滿足（n∈N*），所以，
①當n=1時，即a1=1，
②當時，由可得，
∴數(shù)列從第二項開始是常數(shù)列，
又，∴，
∴，
又滿足上式，
∴.
故答案為：.
35．設數(shù)列滿足，，，，則______.
【答案】
【分析】
由題意可得，，化簡整理得，令，可得，由此可得，從而可求出答案．
【詳解】
解：∵，，
∴當時，，即，
∴，
∴，
令，則，且，
∴，
又，
∴，即，
∴，
故答案為：．
36．已知數(shù)列滿足，，若，則數(shù)列的首項的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】
利用構造法求得，由可得出，可得，進而可求得的取值范圍.
【詳解】
，.
若，得，可知，此時，，數(shù)列是遞減數(shù)列，不合乎題意；
若，得，則數(shù)列是以為公比的等比數(shù)列，
所以，，則，
，且，
即，
整理得，，則，
易知數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列，則，解得.
因此，數(shù)列的首項的取值范圍為.
故答案為：.
37．數(shù)列滿足，（，），則______.
【答案】
【分析】
利用項和轉換，得到，故是以為首項，為公差的等差數(shù)列，可得，再借助，即得解.
【詳解】
由于，
即
故是以為首項，為公差的等差數(shù)列
由于
故答案為：
38．已知數(shù)列滿足，，則通項公式_______.
【答案】
【分析】
先取倒數(shù)可得,即,由等比數(shù)列的定義可得時,,即,再檢驗時是否符合即可
【詳解】
由題,因為,所以,
所以,
當時,,所以,
所以當時,,則,即,
當時,,符合,
所以,
故答案為:
39．數(shù)列滿足：，，，令，數(shù)列的前項和為，則__________．
【答案】
【詳解】
由遞推關系整理可得： ，則：
，據(jù)此可得：

以上各式相加可得： ，
再次累加求通項可得： ，
當 時該式也滿足題意，綜上可得： ，則：
40．數(shù)列滿足,記,則數(shù)列的前項和________．
【答案】
【詳解】
試題分析：由得，且，所以數(shù)列構成以1為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以，從而得到，則，
所以,,
兩式相減，得
所以.
三、解答題
41．已知在數(shù)列中，，且.
（1）求，，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求的通項公式；
（3）求的值.
【答案】
（1）-4，-15，證明見解析
（2）
（3）
【分析】
（1）代值計算出，，根據(jù)遞推公式可得據(jù)，即可證明；
（2）由（1）可知是以-2為首項，以3為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式；
（3）分組求和，即可求出答案.
（1）
解：因為，且
所以，，
∵，∴，
∵，∴，且，
∴數(shù)列是等比數(shù)列，
（2）
解：由（1）可知是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，
即，
即；
（3）
解：
.
42．已知Sn＝4－an－，求an與Sn.
【答案】an＝n·，n∈N*；Sn＝4－.
【分析】
由題得Sn＝4－an－，Sn－1＝4－an－1－，n≥2，兩式相減化簡即得an與Sn.
【詳解】
∵Sn＝4－an－，
∴Sn－1＝4－an－1－，n≥2，
當n≥2時，Sn－Sn－1＝an＝an－1－an＋－.
∴an＝an－1＋
∴，∴2nan－2n－1an－1＝2，
∴{2nan}是等差數(shù)列，d＝2，首項為2a1.
∵a1＝S1＝4－a1－＝2－a1，
∴a1＝1，∴2nan＝2＋2(n－1)＝2n.
∴an＝n·，n∈N*，
∴Sn＝4－an－＝4－n·－＝4－.
43．設各項均為正數(shù)的等差數(shù)列的前項和為，，且，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的公差；
（2）數(shù)列滿足，且，求數(shù)列的通項公式．
【答案】
（1）；
（2）.
【分析】
（1）根據(jù)，，成等比數(shù)列可得，利用表示出和，解方程組可求得，結合可得結果；
（2）由（1）可得，整理得，可知數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可推導得到結果.
（1）
（1）設等差數(shù)列的公差為，
，，成等比數(shù)列，，即，
又，解得：或；
當時，，與矛盾，，
即等差數(shù)列的公差；
（2）
由（1）得：，，即，
，又，解得：，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，整理可得：.
44．已知數(shù)列中，，.
（1）求證：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）數(shù)列滿足的，數(shù)列的前項和為，若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
【答案】
（1）證明見解析
（2）
【分析】
（1）將遞推公式兩邊取倒數(shù)，即可得到，從而得到，即可得證；
（2）由（1）可得，從而得到，再利用錯位相減法求和即可得到，即可得到，對一切恒成立，再對分奇偶討論，即可求出的取值范圍；
（1）
解：由，得
∴，
所以數(shù)列是以3為公比，以為首項的等比數(shù)列 .
（2）
解：由（1）得，即.
所以
.
兩式相減得:，
∴
因為不等式對一切恒成立，
所以，對一切恒成立，
因為單調(diào)遞增
若為偶數(shù)，則，對一切恒成立，∴；
若為奇數(shù)，則，對一切恒成立，∴，∴
綜上：.
45．數(shù)列，的每一項都是正數(shù)，，，且，，成等差數(shù)列，，，成等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列，的值．
（2）求數(shù)列，的通項公式．
（3）記，記的前n項和為，證明對于正整數(shù)n都有成立．
【答案】（1）24；36；（2），；（3）證明見解析.
【分析】
(1)由條件取特殊值求，；(2)由條件證明數(shù)列為等差數(shù)列，由此可求數(shù)列，的通項公式；(3)利用裂項相消法求，由此證明.
【詳解】
解：（1）由得，
又得，
（2）∵，，成等差數(shù)列，∴①，
又∵，，成等比數(shù)列，∴，②
當時，③
由②③代入①得，，
∴是以為首項的等差數(shù)列，
∴則，
時，，
經(jīng)驗證也符合，∴．
（3）由（2）知，
則
成立．
46．已知數(shù)列滿足，其中.
（1）求證是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）設，若對任意的恒成立，求p的最小值.
【答案】（1）證明見解析，；（2）最小值為1.
【分析】
（1）根據(jù)，可得，從而可得，即可得出結論，再根據(jù)等差數(shù)列的通項即可求得數(shù)列的通項公式；
（2），即，設，利用作差法證明數(shù)列單調(diào)遞減，從而可得出答案.
【詳解】
（1）證明：∵，
∴，
∵，∴，
∴是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列.
，∴.
（2）解：∵，
∴，
即對任意的恒成立，
而，
設，
∴，
，
∴，
∴數(shù)列單調(diào)遞減，
∴當時，，∴.
∴p的最小值為1.
47．已知數(shù)列的前n項和為，滿足.
（1）證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前n項和.
【答案】（1）證明見解析，； （2）.
【分析】
（1）由，化簡得到，得出，利用等差數(shù)列的定義，得到數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列，進而求得.
（2）由題意，化簡得到，結合裂項法，即可求解.
【詳解】
（1）因為，可得，即，
可得，即，
又由，可得，所以數(shù)列表示首項為，公差為的等差數(shù)列，
所以，所以.
（2）由，
則數(shù)列的前n項和：
，即.
48．已知數(shù)列{an}滿足a1＝，Sn是{an}的前n項和，點(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）若cn＝n，Tn為cn的前n項和，n∈N*，求Tn.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）根據(jù)題意得到，進而證得數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，從而可以求出結果；
（2）錯位相減法求出數(shù)列的和即可.
【詳解】
（1）∵點(2Sn＋an，Sn＋1)在的圖象上，∴，
∴.
∵，
∴數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，
∴，即,
（2）∵,
∴，①
∴，②
①－②得，
∴.
49．已知數(shù)列{an}滿足a1a2…an＝1an．
（1）求證數(shù)列{}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設Tn＝a1a2……an，bn＝an2Tn2，證明：b1+b2+…+bn＜．
【答案】（1）證明見解析，an＝；（2）證明見解析.
【分析】
（1）由題設得，進而構造與的關系式，利用等差數(shù)列的定義證明結論，然后求a1，即可得an；
（2）由（1）求得Tn與bn，再利用放縮法與裂項相消法證明結論．
【詳解】
（1）∵a1a2…an＝1an①，則a1a2…an+1＝1an+1②，
∴兩式相除得：，整理得，
∴，則，
∴，又n＝1時有a1＝1a1，解得：，
∴，
∴數(shù)列{}是以為首項，為公差的等差數(shù)列，
∴，即.
（2）由（1）得：Tn＝a1a2…an＝，
∴bn＝，
∴b1+b2+…+bn＜，得證．
50．已知數(shù)列的前項和為，且．
（1）求的通項公式；
（2）設，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍；
（3）設是數(shù)列的前項和，證明．
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析．
【分析】
（1）先化簡遞推公式，由等比數(shù)列的定義判斷出，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列的通項公式求出；
（2）由（1）和條件求出，利用作差法判斷出數(shù)列的單調(diào)性，可求出的最大值，再求實數(shù)的取值范圍；
（3）由（1）化簡，利用裂項相消法求出，利用函數(shù)的單調(diào)性判斷出的單調(diào)性，結合的取值范圍求出的范圍，即可證明結論．
【詳解】
解：（1）由已知，
可得，所以．
所以數(shù)列是為首項，公比為的等比數(shù)列．
則，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以
，
．
，所以，
所以
則當，，即，
當，，即，是最大項且，
．
（3），
又令，顯然在時單調(diào)遞減，所以，
故而．
任務三:邪惡模式(困難)1-20題
一、單選題
1．數(shù)列滿足，，，設，記表示不超過的最大整數(shù)．設，若不等式，對恒成立，則實數(shù)的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
首先通過構造等比數(shù)列求出數(shù)列的通項公式，并進而用累加法求出的通項公式及的通項公式.最后利用裂項相消法將化簡后取整，整理的最小值后得解
【詳解】
由題意得：，
，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，
又，，…，，，由累加法
，；
，，
，
，
，，，，
對恒成立，，則實數(shù)的最大值為.
故選：C.
2．已知數(shù)列滿足，且，則數(shù)列前36項和為（ ）
A．174B．672C．1494D．5904
【答案】B
【分析】
由條件可得，由此求出數(shù)列的通項，進而求得數(shù)列的通項，再利用分組求和方法即可計算作答.
【詳解】
在數(shù)列中，，當時，，
于是得數(shù)列是常數(shù)列，則，即，
因，，則，
因此，，，顯然數(shù)列是等差數(shù)列，
于是得，
所以數(shù)列前36項和為672.
故選：B
3．已知數(shù)列，滿足.若，的值是（ ）
A．4B．5C．6D．7
【答案】C
【分析】
根據(jù)可知數(shù)列為等比數(shù)列，將代入后將其變形可知數(shù)列為等差數(shù)列，即可解得；將，代入即可解出答案.
【詳解】
因為.
所以數(shù)列為以1為首項，2為公比的等比數(shù)列.
所以.
，,
所以數(shù)列為以3為首項，為公差的等差數(shù)列.
所以.
.
故選：C.
4．已知數(shù)列由首項及遞推關系確定.若為有窮數(shù)列，則稱a為“壞數(shù)”.將所有“壞數(shù)”從小到大排成數(shù)列，若，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由得，所以數(shù)列為等差數(shù)列,則，求出數(shù)列，當分母為0，得，即時，數(shù)列為有窮數(shù)列，得出，即，又，，根據(jù)單調(diào)性可得答案.
【詳解】
由，得
則，即
所以數(shù)列為等差數(shù)列,則
則，所以
當時, ，滿足條件.
當分母為0，得，即時，數(shù)列為有窮數(shù)列.
當時, 數(shù)列為有窮數(shù)列.則
當分母為0時，無意義，此時數(shù)列為有窮數(shù)列，此時對應的值為
所以，由，則，即
設，則
所以在上單調(diào)遞增.
所以
設設，則
所以在上單調(diào)遞增.
所以
所以選項C正確
故選：C
5．為數(shù)列的前n項和，，對任意大于2的正整數(shù)，有恒成立，則使得成立的正整數(shù)的最小值為（ ）
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
【分析】
先由題設條件求出，得到：，整理得：，從而有數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，求出，再利用累加法求出，然后利用裂項相消法整理可得，解出的最小值．
【詳解】
解：依題意知：當時有，，，，
，，即，
，即，，
又，，，
數(shù)列是以3為首項，2為公差的等差數(shù)列，，
故，，，，，
由上面的式子累加可得：，，
，．
由可得：
，
整理得， 且，
解得：．所以的最小值為6．
故選：B．
6．數(shù)列中，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
化簡得到，記，得到，是以為公差的等差數(shù)列，計算得到答案.
【詳解】
由，
故，記，則，
兩邊取倒數(shù)，得，所以是以為公差的等差數(shù)列，
又，所以，所以，
故.
故選：C.
7．設數(shù)列的前項和為，且是6和的等差中項．若對任意的，都有，則的最小值為（ ）．
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】
先根據(jù)等差中項的概念列出關系式，再利用與之間的關系，得到關于的遞推關系式，
求得的表達式，再計算的取值范圍，再計算的取值范圍解出題目.
【詳解】
由是6和的等差中項，得，令得 ，又，
得，
則是首項為，公比為的等比數(shù)列, 得．
若為奇數(shù)，；若為偶數(shù)，．
而是關于的單調(diào)遞增函數(shù)，并且，，故最小值是，故此題選B．
8．數(shù)列滿足，，，若數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】
根據(jù)給定條件求出數(shù)列通項，再由數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列列出不等式并分離參數(shù)即可推理計算作答.
【詳解】
數(shù)列中，，，則有，而，
因此，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，，即，
則，因數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，即，，
則，，
令，則，，當時，，當時，，
于是得是數(shù)列的最大值的項，即當n=3時，取得最大值，從而得，
所以的取值范圍為.
故選：C
9．數(shù)列滿足，則下列說法錯誤的是（ ）
A．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
B．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
C．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
D．存在數(shù)列使得對任意正整數(shù)p，q都滿足
【答案】C
【分析】
依題設找到數(shù)列滿足的遞推關系，或舉反例否定.
【詳解】
由，得，
令，，
則當時，數(shù)列滿足題設，所以A正確；
由，得，
令，則當時，數(shù)列滿足題設，所以B正確；
由，
令，得，，，，
令，得，，，
則，，從而，與矛盾，所以C錯誤；
由，得，
令，則當時，數(shù)列滿足題設，所以D正確.
故選：C
10．已知，又函數(shù)是上的奇函數(shù)，則數(shù)列的通項公式為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】
由在R上為奇函數(shù)，知，令，則，得到.由此能夠求出數(shù)列 的通項公式.
【詳解】
解:在R上為奇函數(shù)，故，代入得:
當時，.令，則，上式即為:.
當為偶數(shù)時：
.
當為奇數(shù)時：
.
綜上所述，.
故選：C.
第II卷（非選擇題）
二、填空題
11．兩個數(shù)列?滿足，，，（其中），則的通項公式為___________.
【答案】
【分析】
依題意可得，即，即可得到的特征方程為，求出方程的根，則設數(shù)列的通項公式為，根據(jù)、得到方程組，求出，即可得到的通項公式；
【詳解】
解：因為，，
所以，
所以，即，所以的特征方程為，解得特征根或，
所以可設數(shù)列的通項公式為，因為，，
所以，所以，解得，
所以，所以；
故答案為：
12．已知數(shù)列滿足，則________
【答案】
【分析】
等價變形，換元設，得
，兩邊取對數(shù)，得是首項，公比的等比數(shù)列，求出可解 .
【詳解】
，，
，設，則，，兩邊取對數(shù)，
， ，所以是首項，公比的等比數(shù)列，
， ，
故答案為：
13．設是函數(shù)的極值點，數(shù)列滿足，若表示不超過的最大整數(shù)，則__________．
【答案】2019
【分析】
求，可得，即，可得.設，則數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列.求出，從而求出，裂項法求，即得所求值．
【詳解】
，.
是的極值點，
，即，
.
設，可得，又，
數(shù)列為首項為1，公比為2的等比數(shù)列，
.
.
，
.
，
∴.
故答案為：2019．
14．已知數(shù)列中的分別為直線在軸、軸上的截距，且，則數(shù)列的通項公式為_____________．
【答案】
【詳解】
試題分析：由已知得：，已知條件可化為，設，可化為：，則，解得：，即，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，則．兩邊同時除以轉化為：，即數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，所以．
15．已知數(shù)列的前項和滿足：，則為__________．
【答案】
【分析】
當時，，將已知式子變形得：，繼而推出，可知數(shù)列為等比數(shù)列，求解即可.
【詳解】
當時，，
，也即：，
，即：，
當時，，解得：，，
數(shù)列是以為首項，公比為的等比數(shù)列，
，即.
故答案為：.
三、解答題
16．已知數(shù)列滿足：，，數(shù)列滿足：，，求證：．
【答案】證明見解析.
【分析】
首先利用三角換元法簡化和的遞推式，然后進一步利用數(shù)列知識求解數(shù)列和的通項公式，再通過三角函數(shù)線所具有的性質(zhì)即可求解.
【詳解】
證明：由已知得，可設，
則．
所以，即，
又，求得，
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
即，從而；
令，則．
又，所以，
則，即，又由，得．
所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
即，從而，
由三角函數(shù)線性質(zhì)可知，當時，，
所以，
故，即．
17．(1)已知數(shù)列，其中，，且當時，，求通項公式；
(2)數(shù)列中，，，，求．
【答案】（1）；（2）．
【分析】
(1)由可得，結合等差數(shù)列通項公式及累加法可求數(shù)列的通項公式，
(2)由可得，利用累加法求，再通過構造等比數(shù)列求數(shù)列的通項公式.
【詳解】
(1)由得：，
令，則上式為．
因此是一個等差數(shù)列，，公差為1，故．
由于，
又，，即．
(2)由遞推關系式，得，
令，則，且．
符合該式，
，
令，則，即，
即，且，
故是以為首項，為公比的等比數(shù)列．
，即，
.
18．設二次函數(shù)滿足：（i）的解集為；（ii）對任意都有成立.數(shù)列滿足：，，.
（1）求的值；
（2）求的解析式；
（3）求證：
【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析.
【分析】
（1）利用賦值法，令代入不等式即可求解.
（2）根據(jù)不等式的解集可設，將代入即可求解.
（3）由（2）可得，從而可得，得出，令，構造為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式可得，進而求出，放縮后由等比數(shù)列的前項和公式即可求解.
【詳解】
解：（1）由于對任意都有成立，
則令，得，則；
（2）由于的解集為，可設，
由，可得，則；
（3）證明：，
則，即有，
令，則，由于，
則有，，即有，
則，則，
則
，
所以原不等式成立.
19．已知數(shù)列的前項和滿足，，證明：對任意的整數(shù)，有.
【答案】證明見解析
【分析】
由與的關系，結合待定系數(shù)法可求得，由于通項中含有，考慮分項討論，分析得出當且為奇數(shù)時，，然后分為奇數(shù)和偶數(shù)進行分類討論，結合放縮法以及等比數(shù)列的求和公式可證得所證不等式成立.
【詳解】
當時，，解得，
當時，由可得，
兩式作差得，即，
設，即，
所以，，得，所以，，
故數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且首項為，
所以，，故，
由于通項中含有，很難直接放縮，考慮分項討論：
當且為奇數(shù)時，
（減項放縮）.
①當且為偶數(shù)時，
；
②當且為奇數(shù)時，
所以，
.
因此，對任意的整數(shù)，有.
20．已知數(shù)列中，，.
（1）求證：是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；
（2）已知數(shù)列，滿足.
（i）求數(shù)列的前項和；
（ii）若不等式對一切恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析，；（2）（i）；（ii）.
【分析】
（1）根據(jù)題意，可得，進而可以證明是以3為首項，3為公比的等比數(shù)列，由此可得出數(shù)列的通項公式．
（2）（?。┯桑?）得，結合錯位相減法即可求出；
（ⅱ）由（ⅰ）可得對一切恒成立，令，則是遞增數(shù)列，由此可求得的取值范圍．
【詳解】
解：（1），，，
是以3為首項，3公比的等比數(shù)列，.
所以；
（2）（i）由（1）得，，
，
兩式相減，得：，
（ii）由（i）得，
令，則是遞增數(shù)列，
若n為偶數(shù)時，恒成立，又，，
若n為奇數(shù)時，恒成立，，，.
綜上，的取值范圍是

相關試卷

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題14 數(shù)列求和綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題14 數(shù)列求和綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題14數(shù)列求和綜合必刷100題原卷版doc、新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題14數(shù)列求和綜合必刷100題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共111頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題13 數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題13 數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題13數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題原卷版doc、新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題13數(shù)列的性質(zhì)必刷小題100題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共91頁， 歡迎下載使用。

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題12 平面向量綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）：

這是一份新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題12 平面向量綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版），文件包含新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題12平面向量綜合必刷100題原卷版doc、新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題12平面向量綜合必刷100題解析版doc等2份試卷配套教學資源，其中試卷共129頁， 歡迎下載使用。

英語朗讀寶

相關試卷 更多

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題08 基本不等式綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題08 基本不等式綜合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題07 指對冪比較大小必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題07 指對冪比較大小必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題04 函數(shù)的性質(zhì)綜合應用必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題04 函數(shù)的性質(zhì)綜合應用必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題01 集合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學一輪復習百題刷過關專題01 集合必刷100題（2份打包，原卷版+解析版）
資料下載及使用幫助
版權申訴
版權申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權，請掃碼添加我們的相關工作人員，我們盡可能的保護您的合法權益。
入駐教習網(wǎng)，可獲得資源免費推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請 精品資源制作， 工作室入駐。
版權申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來到教習網(wǎng)
  • 900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊

手機號注冊
手機號碼

手機號格式錯誤

手機驗證碼 獲取驗證碼

手機驗證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設置密碼

6-20個字符，數(shù)字、字母或符號

注冊即視為同意教習網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊
手機號注冊
微信注冊

注冊成功

返回
頂部