一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先求集合A,再求交集運(yùn)算.
【詳解】解不等式得,
所以,
因?yàn)?
所以,
故選：C.
2. 已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的定義求解即可.
【詳解】，故，
故.
故選：B
3. 已知，則“”是“”的（ ）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】D
【解析】
【分析】分別化簡(jiǎn)和,再根據(jù)充分、必要條件判斷即可.
【詳解】因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，且,
所以，即
因?yàn)椋?即,
所以存在兩種情況：且，且，
因此推不出,
同樣推不出,
因此“”是“”的既不充分也不必要條件.
故選：D.
4. 已知，為奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則集合可表示為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函數(shù)奇偶性可得不等式等價(jià)于，再求出函數(shù)解析式，利用對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性解不等式可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以等價(jià)于，即；
當(dāng)時(shí)，，即，解得；
當(dāng)時(shí)，，可得，所以，
解不等式，可得，
綜上可得集合可表示為.
故選：D
5. 已知向量為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由已知可得，兩邊平方，結(jié)合數(shù)量積的定義和運(yùn)算律及性質(zhì)可求結(jié)論.
【詳解】設(shè)與的夾角為，則，
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，即
又，，
所以，
所以，又，
所以，即與的夾角為.
故選：C.
6. 已知，則（ ）
A. -3B. -2C. 3D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)兩角和的正弦公式和兩角差的余弦公式對(duì)題目所給條件進(jìn)行化簡(jiǎn)，再用兩角和的正切公式即可.
【詳解】因?yàn)?
所以,
所以,
即,
因?yàn)?
所以,
所以.
故選：A.
7. 已知圓錐側(cè)面展開圖是圓心角為直角，半徑為4的扇形，則此圓錐內(nèi)切球的表面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由扇形弧長(zhǎng)的計(jì)算，可得圓錐底面半徑，畫組合圖形的軸截面，利用三角形內(nèi)切圓以及勾股定理，最后利用球表面積公式，可得答案.
【詳解】由題意可知，圓錐的母線，底面周長(zhǎng)，所以圓錐的底面半徑，
根據(jù)題意可作圓錐與其內(nèi)切球的軸截面如下：

根據(jù)圓錐和球的對(duì)稱性可知，球的截面為圓，也即為等腰的內(nèi)切圓，
即，，，，
在中，，由，，則，
在中，，即，
可得，解得，
所以內(nèi)切球的表面積.
故選：A.
8. 若，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先對(duì)等式進(jìn)行移項(xiàng)，然后兩邊同時(shí)除以，湊出，再利用基本不等式即可.
【詳解】因?yàn)?br>即,兩邊同時(shí)除以，得到，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即等號(hào)成立，
則，則.
故的最小值為.
故選:.
二.多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9. 拋物線的焦點(diǎn)為為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，，直線與拋物線相交于兩點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 拋物線的方程為：
B. 拋物線的準(zhǔn)線方程為：
C. 當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與軸相切
D. 當(dāng)直線過焦點(diǎn)時(shí)，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切
【答案】ACD
【解析】
【分析】對(duì)于A,B,根據(jù)拋物線的定義即可求解p,進(jìn)而知道拋物線方程和準(zhǔn)線方程；對(duì)于C,D，由拋物線的性質(zhì)易知該結(jié)論正確.證明過程見詳解.
【詳解】對(duì)于A，如圖所示，過點(diǎn)作準(zhǔn)線的垂線，垂足為，
則由拋物線的定義可知:,
解得 .
拋物線的方程為:,故正確;
對(duì)于，拋物線的準(zhǔn)線方程為，故錯(cuò)誤；
對(duì)于 ,如圖所示，取的中點(diǎn)C,過點(diǎn)C作x軸的垂線，垂足為D,
易知拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)，則,,
所以,
所以以為直徑的圓與軸相切，故C正確；
對(duì)于, 當(dāng)直線過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線相交于兩點(diǎn)時(shí)，直線的斜率存在，
假設(shè),設(shè),AB的中點(diǎn)為,則 ，
如圖所示，作垂直于準(zhǔn)線于點(diǎn)，則,
聯(lián)立，消去并整理可得，
所以，
所以所以,
,
,
,
以 AB 為直經(jīng)的圓與準(zhǔn)線相切，故D正確.
故選：ACD.
【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：如圖所示，
已知拋物線,過其焦點(diǎn)且與拋物線交于兩點(diǎn)的直線，則有如下常用結(jié)論：
（1）
（2）若直線AB的傾斜角為，則;
（3）以為直徑的圓都與軸相切，以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；
（4）;
10. 已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，其前項(xiàng)和為，若，則下列說法正確的是（ ）
A. 當(dāng)時(shí)，最大
B. 使得成立的最小自然數(shù)
C.
D. 數(shù)列中的最小項(xiàng)為
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列及，判斷出， ，再利用等差數(shù)列和等差數(shù)列前項(xiàng)和的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可.
【詳解】若，則，
所以，即等差數(shù)列an為遞減數(shù)列，
對(duì)于A，由，知等差數(shù)列an前7項(xiàng)為正數(shù)，其余項(xiàng)為負(fù)數(shù)，
故當(dāng)時(shí)，最大，故A正確；
對(duì)于B，，
故
所以使得成立的最小自然數(shù)不是，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，
則，故C正確；
對(duì)于D，當(dāng)或時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
由，所以中最小項(xiàng)為，
故D正確.
故選：ACD
11. 已知定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對(duì)于AB，利用賦值法求得，,再根據(jù)中心對(duì)稱的定義判斷即可；
對(duì)CD，利用賦值法后結(jié)合數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行相應(yīng)的累加及等差數(shù)列公式法求和即可得．
【詳解】對(duì)于A，令，則有，即，
令，則有，所以，
所以函數(shù)不關(guān)于中心對(duì)稱，故A錯(cuò)誤B正確；
對(duì)于C，令，則有,即，
則,
，故C正確；
對(duì)于D，令，則有,即，則，即，又，
令,，則有，
所以數(shù)列是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為1，
所以，
即，
則，故D錯(cuò)誤．
故選：BC．
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知二項(xiàng)式展開式中第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為6，則展開式中常數(shù)項(xiàng)為__________.
【答案】135
【解析】
【分析】根據(jù)題意求出,再寫出二項(xiàng)展開式通項(xiàng)，令的指數(shù)部分為0，然后求解即可.
【詳解】依題意，解得，
二項(xiàng)式的通項(xiàng)為,
令，得，
所以展開式中常數(shù)項(xiàng)為.
故答案為：135.
13. 若函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后在區(qū)間上單調(diào)遞減，則______.
【答案】
【解析】
【分析】先求出向右平移后的函數(shù)圖象，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間列出不等式，進(jìn)而求解即可.
【詳解】向右平移個(gè)單位后得到
因?yàn)椋裕?br>因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，
所以，即，
所以，所以，
因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，.
故答案為：.
14. 設(shè)雙曲線的左右焦點(diǎn)分別為，離心率為為上一點(diǎn)，且，若的面積為，則__________.
【答案】2
【解析】
【分析】根據(jù)雙曲線定義以及余弦定理，由雙曲線離心率和的面積為可解得.
【詳解】不妨取點(diǎn)在第一象限，如下圖所示：

根據(jù)雙曲線定義可得，且；
由離心率為可得，可得，即；
設(shè)，則；
由的面積為可得，
解得；
利用余弦定理可得，
即，整理可得，
即，所以，解得.
故答案為：2
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí)，求的圖象在1,f1處的切線方程；
（2）若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）
（2）.
【解析】
【分析】（1）求出，切點(diǎn)為，直接寫出切線方程；
（2）轉(zhuǎn)化為f'x≥0對(duì)于x∈1,+∞恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
【小問1詳解】
當(dāng)時(shí)，，，
，，，
所以的圖象在處的切線方程為：.
【小問2詳解】
，
若函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，則f'x≥0對(duì)于x∈1,+∞恒成立，
即對(duì)于x∈1,+∞恒成立，
令，
當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在1,+∞上單調(diào)遞增，所以，
故.
16. 在中，角所對(duì)的邊分別為，設(shè)向量.
（1）求函數(shù)的最小值；
（2）若，求的面積.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，二倍角公式，輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)求其最小值；
（2）解方程求，由正弦定理可求，再由余弦定理求，根據(jù)三角形面積公式求結(jié)論.
【小問1詳解】
因，所以，
所以當(dāng)，即時(shí)，有最小值
【小問2詳解】
因?yàn)椋裕?br>所以，
因?yàn)椋?br>由正弦定理，，
所以.
又因?yàn)椋?br>所以，得，
由余弦定理有：，
所以.
所以.
17. 如圖，在四棱錐中，四邊形是邊長(zhǎng)為2的菱形，，，點(diǎn)分別為棱的中點(diǎn).

（1）求證：平面；
（2）若直線與平面所成角的大小為，求二面角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，由已知可證得四邊形為平行四邊形，可得，則得平面.
（2）連接，交于點(diǎn)，可得平面平面，則為直線與平面所成的角的平面角，以為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，過點(diǎn)O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，求得平面的一個(gè)法向量，取平面一個(gè)法向量為，由即可求得二面角的余弦值.
【小問1詳解】
如圖：

取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以且，
又四邊形為菱形，且為中點(diǎn)，所以且，
所以且，
所以四邊形為平行四邊形，
所以，又平面平面，
所以平面.
【小問2詳解】
如圖：

連接，交于點(diǎn)，
因?yàn)樗倪呅螢榱庑?，所以，且為的中點(diǎn)，
又因?yàn)?，所以平面，且?br>所以平面，
平面，所以平面平面，
所以是直線在平面內(nèi)的射影，
則為直線與平面所成的角的平面角，則，
又，
所以，
如圖，以為原點(diǎn)，直線所在直線分別為軸，
過點(diǎn)O垂直于平面的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，
所以.
取平面一個(gè)法向量為，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，
令，得，則，
則，
所以二面角的余弦值為.
18. 某校為了提高教師身心健康號(hào)召教師利用空余時(shí)間參加陽(yáng)光體育活動(dòng)．現(xiàn)有4名男教師，2名女教師報(bào)名，本周隨機(jī)選取2人參加．
（1）求在有女教師參加活動(dòng)的條件下，恰有一名女教師參加活動(dòng)的概率；
（2）記參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為X，求X的分布列及期望；
（3）若本次活動(dòng)有慢跑、游泳、瑜伽三個(gè)可選項(xiàng)目，每名女教師至多從中選擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加1項(xiàng)或2項(xiàng)的可能性均為，每名男教師至少?gòu)闹羞x擇參加2項(xiàng)活動(dòng)，且選擇參加2項(xiàng)或3項(xiàng)的可能性也均為，每人每參加1項(xiàng)活動(dòng)可獲得“體育明星”積分3分，選擇參加幾項(xiàng)活動(dòng)彼此互不影響，記隨機(jī)選取的兩人得分之和為Y，求Y的期望．
【答案】（1）
（2）分布列及期望見解析.
（3）
【解析】
【分析】（1）由條件概率的計(jì)算公式即可求解；
（2）參加活動(dòng)的女教師人數(shù)為，則服從超幾何分布，即可寫出的分布列及期望.
（3）根據(jù)一名女教師和一名男教師參加活動(dòng)獲得分?jǐn)?shù)的期望，即可得，即可求得.
小問1詳解】
設(shè)“有女教師參加活動(dòng)”為事件，“恰有一名女教師參加活動(dòng)”為事件，
則，，所以.
【小問2詳解】
依題意知服從超幾何分布，且
，，，
所以的分布列為：
.
【小問3詳解】
設(shè)一名女教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為，一名男教師參加活動(dòng)可獲得分?jǐn)?shù)為，則的所有可能取值為3,6，的所有可能取值為6,9，
，，
，，
有名女教師參加活動(dòng)，則男教師有名參加活動(dòng)，，所以.
即兩個(gè)教師得分之和的期望為分.
19. 已知橢圓的上頂點(diǎn)為，左?右焦點(diǎn)為，離心率為的面積為，直線與橢圓交于兩點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）當(dāng)直線過點(diǎn)且與直線垂直時(shí)，求的周長(zhǎng)；
（3）若（是坐標(biāo)原點(diǎn)），求面積的取值范圍.
【答案】（1）
（2）8 （3）
【解析】
【分析】（1）由橢圓的離心率為，可得，，再由，可求得，進(jìn)而求得，，可得橢圓的方程；
（2）由（1）可得為正三角形，得直線為線段的垂直平分線，則的周長(zhǎng)為.
（3）當(dāng)直線的斜率一條為零，另一條不存在時(shí)，的面積為；當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立消去得，則得， ，則得，同理可得，，代入，變形后利用基本不等式，即可求得其取值范圍.
【小問1詳解】
因?yàn)?，所以，又，則，
即橢圓方程為，
因?yàn)椋裕?br>即，則，，
故橢圓方程為.
【小問2詳解】
由（1）知，， ，得為正三角形，
則由，得直線為線段的垂直平分線，
所以且，
則的周長(zhǎng)為
.
【小問3詳解】
①當(dāng)直線的斜率一條為零，另一條不存在時(shí)，的面積為，
②當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線，
與橢圓聯(lián)立消去，得，
即，則，
則，
同理可得，，
故的面積為
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取最小值，
綜上，的面積的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：第（3）小問，先討論直線的斜率一條為零，另一條不存在時(shí)，的面積；再討論直線的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立消去，得到，，即可得，同理得，則的面積為，變形后利用基本不等式，從而求得面積的取值范圍.
0
1
2

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