知識梳理.空間幾何體
1．直觀圖
(1)畫法：常用斜二測畫法．
(2)規(guī)則：
①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面垂直．
②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段長度在直觀圖中變?yōu)樵瓉淼囊话耄?br>eq \a\vs4\al(1.簡單幾何體,?1?多面體的結(jié)構(gòu)特征)
(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征
4．空間幾何體的表面積與體積公式
題型一. 正方體的展開與折疊問題
1．如圖代表未折疊正方體的展開圖，將其折疊起來，變成正方體后的圖形是（ ）
A． B． C．D．
2．如圖是表示一個正方體表面的一種平面展開圖，圖中的四條線段AB、CD、EF和GH在原正方體中不相交的線段的對數(shù)為（ ）
A．2B．3C．4D．5
3．如圖是一個正方體的平面展開圖，則在該正方體中（ ）
A．AE∥CDB．CH∥BEC．DG⊥BHD．BG⊥DE
題型二. 多面體表面最短距離問題
1．如圖，正三棱錐S﹣ABC中，∠BSC＝40°，SB＝2，一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)B出發(fā)，沿著三棱錐的側(cè)面繞行一周回到點(diǎn)B的最短路線的長為（ ）
A．2B．3C．D．
2．如圖，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面邊長為1cm，高為5cm，一質(zhì)點(diǎn)自A點(diǎn)出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)A1點(diǎn)的最短路線的長為（ ）cm．
A．12B．13C．D．15
3．如圖所示，已知在圓錐SO中，底面半徑r＝1，母線長l＝4，M為母線SA上的一個點(diǎn)，且SM＝x，從點(diǎn)M拉一根繩子，圍繞圓錐側(cè)面轉(zhuǎn)到點(diǎn)A，求繩子最短時，頂點(diǎn)到繩子的最短距離 （用x表示）．
題型三. 截面問題
1．如圖，若Ω是長方體ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去幾何體EFGHB1C1后得到的幾何體，其中E為線段A1B1上異于B1的點(diǎn)，F(xiàn)為線段BB1上異于B1的點(diǎn)，且EH∥A1D1，則下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A．EH∥FGB．EF∥HGC．Ω是棱柱D．Ω是棱臺
2．（2018·全國1）已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
3．已知正△ABC三個頂點(diǎn)都在半徑為2的球面上，球心O到平面ABC的距離為1，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作球O的截面，則截面面積的最小值是 ．
題型四. 一般空間幾何體的表面積與體積
1．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（ ）
A．12πB．12πC．8πD．10π
2．母線長為5的圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角等于，則該圓錐的體積為（ ）
A．16πB．8πC．D．
3．已知圓錐的頂點(diǎn)為S，母線SA，SB互相垂直，SA與圓錐底面所成角為30°．若△SAB的面積為8，則該圓錐的體積為 ．
4．已知邊長為的正三角形ABC三個頂點(diǎn)都在球O的表面上，且球心O到平面ABC的距離為該球半徑的一半，則球O的表面積為 ．
5．如圖，直三棱柱ABC﹣A1B1C1的六個頂點(diǎn)都在半徑為1的半球面上，AB＝AC，側(cè)面BCC1B1是半球底面圓的內(nèi)接正方形，則側(cè)面ABB1A1的面積為（ ）
A．2B．1C．D．
6．在如圖所示的斜截圓柱中，已知圓柱底面的直徑為40cm，母線長最短50cm，最長80cm，則斜截圓柱的側(cè)面面積S＝ cm2．
7．已知正四棱臺的側(cè)棱長為3cm，兩底面邊長分別為2cm和4cm，則該四棱臺的體積為 ．
題型五. 三棱錐的表面積與體積
1．（2019·全國3）學(xué)生到工廠勞動實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長方體ABCD﹣A1B1C1D1挖去四棱錐O﹣EFGH后所得的幾何體，其中O為長方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB＝BC＝6cm，AA1＝4cm.3D打印所用原料密度為0.9g/cm3．不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為 g．
2．如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，線段B1D1上有兩個動點(diǎn)E，F(xiàn)，且EF＝1，則四面體A﹣EFB的體積為（ ）
A．B．C．D．
3．如圖，在正三棱錐A﹣BCD中，E、F分別是AB、BC的中點(diǎn)，EF⊥DE，且BC＝1，則正三棱錐A﹣BCD的體積是 ．
4．如圖所示，在多面體ABCDEF中，已知ABCD是邊長為1的正方形，且△ADE，△BCF均為正三角形，EF∥AB，EF＝2，則該多面體的體積為 ．
5．如圖，在多面體ABCDEF中，已知面ABCD是邊長為4的正方形，EF∥AB，EF＝2，EF上任意一點(diǎn)到平面ABCD的距離均為3，求該多面體的體積．
題型六.空間幾何體的最值問題
1．已知圓錐底面半徑為1，母線長為3，某質(zhì)點(diǎn)從圓錐底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)，繞圓錐側(cè)面一周，再次回到A點(diǎn)，則該質(zhì)點(diǎn)經(jīng)過的最短路程為 ．
2．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，P為對角線BD1的三等分點(diǎn)，則P到各頂點(diǎn)的距離的不同取值有 個．
3．已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為2，線段EF，GH分別在AB，CC1上移動，且EF+GH，則三棱錐E﹣FGH的體積最大值為 ．
4．已知一個三棱錐的六條棱的長分別為，且長為a的棱與長為的棱所在直線是異面直線，則三棱錐的體積的最大值為（ ）
A．B．C．D．
5．如圖所示，在棱長均為2的正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，點(diǎn)D為棱AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是側(cè)棱AA1上的動點(diǎn)，求△PBD面積的最大值．
6．在棱長為6的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)P是正方體的表面DCC1D1（包括邊界）上的動點(diǎn)，且滿足∠APD＝∠MPC，則三棱錐P﹣BCD體積的最大值是（ ）
A．B．36C．24D．
7．若一個圓錐的母線長為4，高為2，則過這個圓錐的任意兩條母線的截面面積的最大值是 ．
8．唐朝著名的鳳鳥花卉紋浮雕銀杯如圖1所示，它的盛酒部分可以近似地看作是半球與圓柱的組合體（如圖2）．當(dāng)這種酒杯內(nèi)壁表面積（假設(shè)內(nèi)壁表面光滑，表面積為S平方厘米，半球的半徑為R厘米）固定時，若要使得酒杯的容積不大于半球體積的2倍，則R的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．[
課后作業(yè). 空間幾何體
1．已知圓柱與圓錐的底面積相等，高也相等，它們的體積分別為V1和V2，則V1：V2＝（ ）
A．1：3B．1：1C．2：1D．3：1
2．已知底面半徑為1，體積為的圓柱，內(nèi)接于一個高為2圓錐（如圖），線段AB為圓錐底面的一條直徑，則從點(diǎn)A繞圓錐的側(cè)面到點(diǎn)B的最短距離為（ ）
A．8B．4C．4D．4
3．已知一個圓臺的下底面半徑為r，高為h，當(dāng)圓臺的上底半徑r′變化時，圓臺體積的變化范圍是 ．
4．如圖，已知正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，則四棱錐A1﹣BB1D1D的體積為（ ）
A．B．C．D．
5．《九章算術(shù)》中，將如圖所示的幾何體稱為芻薨，底面ABCD為矩形，且EF∥底面ABCD，EF到平面ABCD的距離為h，BC＝a，AB＝b，則EF＝c時，則時，（ ）
A．B．C．D．1
6．《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著，它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年．例如塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；陽馬指底面為矩形，一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐．如圖，在塹堵ABC﹣A1B1C1中，AC⊥BC，若A1A＝AB＝4，當(dāng)陽馬B﹣A1ACC1體積最大時，則塹堵ABC﹣A1B1C1的體積為（ ）
A．B．16C．16D．32
名稱
棱柱
棱錐
棱臺
圖形
底面
互相平行且相等
多邊形
互相平行且相似
側(cè)棱
互相平行且相等
相交于一點(diǎn)，但不一定相等
延長線交于一點(diǎn)
側(cè)面形狀
平行四邊形
三角形
梯形
名稱
圓柱
圓錐
圓臺
球▲
圖形
母線
互相平行且相等，垂直于底面
長度相等且相交于一點(diǎn)
延長線交于一點(diǎn)
軸截面
全等的矩形
全等的等腰三角形
全等的等腰梯形
圓
側(cè)面展開圖
矩形
扇形
扇環(huán)
名稱
幾何體
表面積
體積
柱體(棱柱和圓柱)
S表面積＝S側(cè)＋2S底
V＝Sh
錐體(棱錐和圓錐)
S表面積＝S側(cè)＋S底
V＝eq \f(1,3)Sh
臺體(棱臺和圓臺)
S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下
V＝eq \f(1,3)(S上＋S下＋eq \r(S上S下))h
球
S＝4πR2
V＝eq \f(4,3)πR3

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