新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型歸納講義專題01 復(fù)數(shù)（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)復(fù)數(shù)的概念：
形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫復(fù)數(shù)，其中a，b分別是它的實(shí)部和虛部．若b＝0，則a＋bi為實(shí)數(shù)；若b≠0，則a＋bi為虛數(shù)；若a＝0且b≠0，則a＋bi為純虛數(shù)．
(2)復(fù)數(shù)相等：a＋bi＝c＋di?a＝c且b＝d(a，b，c，d∈R)．
(3)共軛復(fù)數(shù)：a＋bi與c＋di共軛?a＝c，b＝－d(a，b，c，d∈R)．
(4)復(fù)數(shù)的模：
向量eq \(OZ,\s\up7(―→))的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模，記作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2).
2．復(fù)數(shù)的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)z＝a＋bi復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)(a，b∈R)．
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R) 平面向量eq \(OZ,\s\up7(―→)).
3．復(fù)數(shù)的運(yùn)算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；
②減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；
③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；
④除法：eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(?a＋bi??c－di?,?c＋di??c－di?)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i(c＋di≠0)．
題型一.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1．若z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，則z＝（）
A．B．6iC．D．20
【解答】解：z＝（3﹣i）（a+2i）＝3a+2+（6﹣a）i，
∵z＝（3﹣i）（a+2i）（a∈R）為純虛數(shù)，
∴3a+2＝0，且6﹣a≠0，
得a，此時(shí)zi，
故選：C．
2．已知i是虛數(shù)單位，若z（1+3i）＝i，則z的虛部為（）
A．B．C．D．
【解答】解：由z（1+3i）＝i，得，
∴z的虛部為．
故選：A．
3．已知復(fù)數(shù)（i虛數(shù)單位），則z（）
A．B．2C．1D．
【解答】解：由題意知，
利用性質(zhì)，得z2，
故選：B．
4．若b+2i，其中a，b∈R，i是虛數(shù)單位，則a+b的值（）
A．﹣3B．﹣1C．1D．3
【解答】解：∵ai﹣1＝b+2i，其中a、b∈R，i是虛數(shù)單位，
∴a＝﹣2，b＝﹣1
∴a+b＝﹣3．
故選：A．
5．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z，則|z|＝（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：z，
故|z|＝1，
故選：A．
6．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足i，則|z|＝（）
A．1B．C．D．2
【解答】解：∵復(fù)數(shù)z滿足i，
∴1+z＝i﹣zi，
∴z（1+i）＝i﹣1，
∴zi，
∴|z|＝1，
故選：A．
7．若復(fù)數(shù)z滿足z（1﹣i）＝2i，則下列說法正確的是（）
A．z的虛部為iB．z為實(shí)數(shù)C．|z|D．z2i
【解答】解：因?yàn)閦（1﹣i）＝2i，所以z1+i，
則|z|；由于z的虛部是1，則A，B錯(cuò)，z2，則D錯(cuò)．
故選：C．
8．若復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為1，且|Z|＝2，則復(fù)數(shù)Z的虛部是（）
A．B．±C．±iD．i
【解答】解：復(fù)數(shù)Z的實(shí)部為1，
設(shè)Z＝1+bi．
|Z|＝2，
可得2，
解得b．
復(fù)數(shù)Z的虛部是．
故選：B．
題型二.復(fù)數(shù)的幾何意義
1．已知i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：由，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為：（﹣1，﹣1），位于第三象限．
故選：C．
2．設(shè)i是虛數(shù)單位，的復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，z＝1+2i，則復(fù)數(shù)z+i?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：∵z＝1+2i，
∴z+i?1+2i+i（1﹣2i）＝1+2i+i+2＝3+3i．
∴復(fù)數(shù)z+i?在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，3），位于第一象限．
故選：A．
3．設(shè)a∈R，若復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，則a＝（）
A．0B．﹣1C．1D．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)（1+i）（a+i）＝（a﹣1）+（a+1）i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于實(shí)軸上，
∴a+1＝0，即a＝﹣1．
故選：B．
4．已知復(fù)數(shù)z＝3+4i3，則z的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限．
【解答】解：∵z＝3+4i3＝3﹣4i，
∴，
則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，4），位于第一象限．
故答案為：一．
5．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的模為．
【解答】解：∵向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是﹣2+i，∴A（﹣2，1），
又點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，∴B（﹣2，﹣1）．
∴向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為﹣2﹣i，該復(fù)數(shù)的模為|﹣2﹣i|．
故答案為：．
6．已知i為虛數(shù)單位，且復(fù)數(shù)z滿足，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為（）
A．B．C．D．
【解答】解：由，得z＝2i2i，
∴復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（，），到原點(diǎn)的距離為．
故選：B．
題型三.復(fù)數(shù)的指數(shù)冪運(yùn)算
1．若復(fù)數(shù)z（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限為（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
【解答】解：∵z1+i，
∴1﹣i，
∴復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣1，﹣1）；
∴它對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，
故選：C．
2．已知a為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，則的值為（）
A．1B．0C．1+iD．1﹣i
【解答】解：復(fù)數(shù)z＝（a2﹣1）+（a+1）i為純虛數(shù)，可得a＝1，
1﹣i．
故選：D．
3．已知復(fù)數(shù)z（其中i為虛數(shù)單位），則z的虛部為（）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：z1﹣i，
則z的虛部為﹣1，
故選：A．
4．已知復(fù)數(shù)z滿足z?i2020＝1+i2019（其中i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的虛部是（）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵i4＝1，
∴i2020＝i4×505＝1，i2019＝i4×504+3＝﹣i，
則z?i2020＝1+i2019化為z＝1﹣i，
∴z的虛部為﹣1．
故選：A．
5．設(shè)i是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z＝（）2013＝（）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵，
∴z＝（）2013＝i2013＝（i2）1006?i＝i．
故選：D．
6．已知復(fù)數(shù)z＝﹣1+i，則（）
A．﹣1B．1C．﹣iD．i
【解答】解：∵z＝﹣1+i，
∴．
故選：A．
7．若Z＝1+i，則|Z2﹣Z|＝（）
A．0B．1C．D．2
【解答】解：∵Z＝1+i，
∴Z2﹣Z＝（1+i）2﹣（1+i）＝1+2i+i2﹣1﹣i＝i2+i＝﹣1+i，
∴|Z2﹣Z|．
故選：C．
8．當(dāng)z時(shí)，z100+z50+1的值等于 ﹣i ．
【解答】解：∵zi
∴z22i+（i）2＝﹣i，可得z4＝﹣1
根據(jù)復(fù)數(shù)乘方的含義，可得z100＝（z4）25＝﹣1，z50＝（z4）12?z2＝﹣i
∴z100+z50+1＝﹣1﹣i+1＝﹣i
故答案為：﹣i
題型四.待定系數(shù)在復(fù)數(shù)中的應(yīng)用——最值問題
1．若復(fù)數(shù)z滿足3z4+2i，則z＝（）
A．1+iB．1﹣iC．﹣1﹣iD．﹣1+i
【解答】解：設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
則3z3（a+bi）+a﹣bi＝4a+2bi＝﹣4+2i，
∴，即a＝﹣1，b＝1．
∴z＝﹣1+i．
故選：D．
2．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z2＝3+4i（i是虛數(shù)單位），則z的模為（）
A．25B．5C．D．2+i
【解答】解：法一、設(shè)z＝a+bi（a，b∈R），
由z2＝3+4i，得（a+bi）2＝a2﹣b2+2abi＝3+4i，
∴，解得或．
∴．
故選：C．
法二、由z2＝3+4i，得，
則|z|．
故選：C．
3．設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|＝1，|z2|＝2，z1+z2＝﹣1i，則|z1﹣z2|＝．
【解答】解：設(shè)z1＝a+bi，z2＝c+di，（a，b，c，d為實(shí)數(shù)），
因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿足，
所以且a2+b2＝1，c2+d2＝4，
所以a2+c2+2ac+b2+d2+2bd＝4，
即2ac+2bd＝﹣1，
則|z1﹣z2|．
故答案為：．
4．已知z∈C，且|z|＝1，則|z﹣2﹣2i|（i為虛數(shù)單位）的最小值是（）
A．21B．21C．D．2
【解答】解：∵|z|＝1且z∈C，作圖如圖：
∵|z﹣2﹣2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P（2，2）的距離，
∴|z﹣2﹣2i|的最小值為：|OP|﹣1＝21．
故選：A．
5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2滿足|z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，則|z1﹣z2|的最大值為（）
A．3+2B．2C．3D．6
【解答】解：因?yàn)閨z1﹣1|＝1，|z2+3i|＝2，
所以z1，對應(yīng)的點(diǎn)在以A（1，0）為圓心，以1為半徑的圓上，z2對應(yīng)的點(diǎn)在以B（0，﹣3）為圓心，以2為半徑的圓上，
則|z1﹣z2|的幾何意義是兩圓上點(diǎn)的距離，
則則|z1﹣z2|的最大值為AB+1+2＝33．
故選：C．
6．已知復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R）滿足條件|z﹣4i|＝|z+2|，則2x+4y的最小值是．
【解答】解：∵復(fù)數(shù)z＝x+yi（x，y∈R）滿足條件|z﹣4i|＝|z+2|，
∴|x+yi﹣4i|＝|x+yi+2|，
∴|x+（y﹣4）i|＝|x+2+yi|，
∴，
化為x+2y＝3．
則2x+4y≥224，
因此2x+4y的最小值是．
故答案為：．

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