1.空間幾何體的表面積與體積公式
　球的表面積恰好是球的大圓面積的4倍
2.線面、面面平行的判定及性質(zhì)定理
(1)線面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥b?a∥α;(2)線面平行的性質(zhì)定理:a∥α,a?β,α∩β=b?a∥b;(3)面面平行的判定定理:a?α,b?α,a∥β,b∥β,a∩b=P?α∥β;(4)面面平行的性質(zhì)定理:α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b?a∥b.
3.線面、面面垂直的判定及性質(zhì)定理
(1)線面垂直的判定定理:m?α,n?α,m∩n=P,l⊥m,l⊥n?l⊥α;(2)線面垂直的性質(zhì)定理:a⊥α,b⊥α?a∥b;(3)面面垂直的判定定理:a?β,a⊥α?β⊥α;(4)面面垂直的性質(zhì)定理:α⊥β,α∩β=l,a?α,a⊥l?a⊥β.
4.利用空間向量證明平行、垂直設(shè)直線l的方向向量為a=(a1,b1,c1),平面α,β的法向量分別為u=(a2,b2,c2),v=(a3,b3,c3),則(1)線面平行l(wèi)∥α?a⊥u?a·u=0?a1a2+b1b2+c1c2=0.(2)線面垂直l⊥α?a∥u?a=ku?a1=ka2,b1=kb2,c1=kc2(k為常數(shù)).(3)面面平行α∥β?u∥v?u=λv?a2=λa3,b2=λb3,c2=λc3(λ為常數(shù)).(4)面面垂直α⊥β?u⊥v?u·v=0?a2a3+b2b3+c2c3=0.
5.利用空間向量求空間角
(3)二面角:設(shè)二面角的兩個半平面α,β的法向量分別為n1,n2,二面角的大小為θ(0≤θ≤π),則|cs θ|=|cs|　 　　公式兩邊都有絕對值,所以兩角相等或互補利用空間向量求空間角時,一定要注意角的取值范圍.對于二面角,要注意題目條件是否明確是銳角還是鈍角,如果沒有說明,則結(jié)合圖形特點判斷.若求兩個不平行平面的夾角,則取直角或銳角.
6.利用空間向量求點到平面的距離如圖,已知平面α的法向量為n,A是平面α內(nèi)的定點,P是平面α外一點.過點P作平面α的垂線l,交平面α于點Q,則n是直線l的方向向量,且點P到平面α的
鏈高考2.(2023全國甲,理15)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,C1D1的中點.以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有　　　　　個公共點.?
解析 設(shè)EF的中點為O,則球O的直徑為EF.因為O點也是正方體ABCD-A1B1C1D1的中心,所以O(shè)點到各棱的距離均等于OE,故以EF為直徑的球的球面與該正方體的棱共有12個公共點.
鏈高考3.(2024全國甲,理10,文11)設(shè)α,β為兩個平面,m,n為兩條直線,且α∩β=m.下述四個命題:①若m∥n,則n∥α或n∥β②若m⊥n,則n⊥α或n⊥β③若n∥α且n∥β,則m∥n④若n與α,β所成的角相等,則m⊥n其中所有真命題的編號是(　　)A.①③B.②④C.①②③D.①③④
解析 對于①,若m∥n,若n?α且n?β,則n∥α且n∥β,若n?α,則n∥β,若n?β,則n∥α,故①正確;對于②,若n⊥m,則n與α和β不一定垂直,②錯誤;對于③,若n∥α且n∥β,由線面平行的性質(zhì)可證明n∥m,③正確;對于④,當(dāng)n∥α且n∥β,n與α,β所成的角都為0°,此時n∥m,④錯誤.故選A.
鏈高考4.(2023新高考Ⅰ,18節(jié)選)如圖,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AA1=4.點A2,B2,C2,D2分別在棱AA1,BB1,CC1,DD1上,AA2=1,BB2=DD2=2,CC2=3.證明:B2C2∥A2D2.
證明 (方法一)在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,以點C為坐標(biāo)原點,CD,CB, CC1所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立如右圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)棱DD1上的點N滿足DN=AA2=1,取CC1的中點M,連接A2N,MN,B2M,如圖.因為DN∥AA2,且DN=AA2,故四邊形AA2ND為平行四邊形,所以A2N∥AD,且A2N=AD.同理可證,B2M∥BC,且B2M=BC.因為AD∥BC,且AD=BC,所以A2N∥B2M,且A2N=B2M.所以四邊形A2B2MN為平行四邊形.因為D2N∥C2M,D2N=C2M=1,所以四邊形C2D2NM為平行四邊形.所以A2B2∥MN,A2B2=MN,MN∥C2D2,MN=C2D2,故A2B2∥C2D2,A2B2=C2D2.所以四邊形A2B2C2D2為平行四邊形.所以B2C2∥A2D2.
鏈高考5.(2024天津,17)已知四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為梯形,AB∥CD,A1A⊥平面ABCD,AD⊥AB,其中AB=AA1=2,AD=DC=1,N是B1C1的中點,M是DD1的中點.(1)求證D1N∥平面CB1M;(2)求平面CB1M與平面BB1C1C夾角的余弦值;(3)求點B到平面CB1M的距離.
(1)證明 如圖,取B1C的中點H,連接NH,MH.∵N為B1C1的中點,H為B1C的中點,∴NH∥CC1,且NH= CC1.∵四棱柱ABCD-A1B1C1D1,∴CC1∥DD1,CC1=DD1,∴NH∥DD1,且NH= DD1.∵M(jìn)為DD1的中點,∴D1M= DD1,∴D1M∥NH,D1M=NH.∴四邊形D1NHM為平行四邊形,∴D1N∥MH.又D1N?平面CB1M,MH?平面CB1M,∴D1N∥平面CB1M.
(2)解 ∵A1A⊥平面ABCD,AB,AD?平面ABCD,∴A1A⊥AB,A1A⊥AD.又AD⊥AB,∴A1A,AB,AD兩兩垂直.以A為原點,AB,AD,A1A所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,如圖所示,則
考點一　空間幾何體的折展問題
例1(1)已知圓臺的上、下底面圓半徑分別為5和10,側(cè)面積S為300π,AB為圓臺的一條母線(點B在圓臺的上底面圓周上),M為AB的中點,一只螞蟻從點A出發(fā),繞圓臺側(cè)面一周爬行到點M,則螞蟻爬行所經(jīng)路程的最小值為(　　)A.30B.40C.50D.60
解析 ∵圓臺上底面半徑為5,下底面半徑為10,母線長為l,所以S=πl(wèi)(10+5)=15πl(wèi)=300π,解得l=20,將圓錐側(cè)面展開如圖所示,且設(shè)扇形的圓心為O,線段M1A就是螞蟻經(jīng)過的最短路徑.設(shè)OB=R,圓心角是α,則由題意知10π=αR,20π=α(20+R),解得α= ,R=20,
(2)(2024河北滄州模擬)已知棱長為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為棱DD1上一動點,則PB1+PC的最小值為　　 　　.?
解析 如圖,將平面BB1D1D繞D1D翻折到與平面CC1D1D共面,連接B1C交DD1于點P,此時PB1+PC取得最小值B1C,又
[對點訓(xùn)練1](1)(多選題)如圖是一個正方體的展開圖,如果將它還原為正方體,則下列說法中正確的是(　　)A.C∈GHB.CD與EF是共面直線C.AB∥EFD.GH與EF是異面直線
解析由圖可知,還原正方體后,C∈GH;CD∥EF,即CD與EF是共面直線;AB∩EF=B,即AB與EF不平行;GH與EF是異面直線,故A,B,D正確,C錯誤.故選ABD.
(2)(2024湖北武漢模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA=PB=PC=8, ∠APB=∠APC=∠BPC=40°,過點A作截面,分別交側(cè)棱PB,PC于E,F兩點,則△AEF周長的最小值為　　　.?
解析 如圖,沿著側(cè)棱PA把三棱錐P-ABC展開在一個平面內(nèi),如圖所示,則AA'的長度即為△AEF的周長的最小值.在△PAA'中,∠APA'=3×40°=120°,PA=A'P=8,由余弦定理得
考點二　空間幾何體的表面積與體積(多考向探究預(yù)測)
考向1空間幾何體的表面積例2(1)攢尖是中國古建筑中屋頂?shù)囊环N結(jié)構(gòu)形式,常見的有圓形攢尖、三角攢尖、四角攢尖、八角攢尖等,多見于亭閣式建筑,蘭州市著名景點三臺閣的屋頂部分也是典型的攢尖結(jié)構(gòu).某研究性學(xué)習(xí)小組制作的三臺閣仿真模型的屋頂部分如圖所示,它可以看作是不含下底面的正四棱臺和正三棱柱的組合體,已知正四棱臺上底面邊長、下底面邊長、側(cè)棱長(單位:dm)分別為2,6,4,正三棱柱各棱長均相等,則該結(jié)構(gòu)表面積為(　　)
(2)(2024河南信陽二模)已知一個圓柱的底面半徑為2,高為3,上底面的同心圓半徑為1,以這個圓面為上底面,圓柱下底面為下底面的圓臺被挖去,剩余的幾何體表面積等于(　　)
解析 剩余幾何體的表面積等于圓環(huán)的面積加上圓臺的側(cè)面積再加上圓柱的側(cè)面積,所以圓環(huán)的面積為π×(22-12)=3π.
規(guī)律方法空間幾何體表面積的類型及求法
[對點訓(xùn)練2](1)(2024福建漳州一模)如圖,石磨是用于把米、麥、豆等糧食加工成粉、漿的一種機械,通常由兩個圓石做成.磨是平面的兩層,兩層的接合處都有紋理,糧食從上方的孔進(jìn)入兩層中間,沿著紋理向外運移,在滾動過程中被磨碎,形成粉末.如果一個石磨近似看作兩個完全相同的圓柱體拼合而成,每個圓柱體的底面圓的直徑是高的2倍,若石磨的側(cè)面積為64π,則圓柱底面圓的半徑為(　　)A.4B.2C.8D.6
解析 設(shè)圓柱底面圓的半徑為r>0,則圓柱的高為r,則石磨的側(cè)面積為2×2πr×r=64π,解得r=4.
(2)(2024浙江湖州模擬)廡殿式屋頂是中國古代建筑中等級最高的屋頂形式,分為單檐廡殿頂與重檐廡殿頂.單檐廡殿頂主要有一條正脊和四條垂脊,前后左右都有斜坡,類似如圖所示的五面體FE-ABCD的形狀.若四邊形ABCD是矩形,AB∥EF,且AB=CD=2EF=2BC=8,EA=ED=FB=FC=3,則五面體FE-ABCD的表面積為　　　　.?
解析 如圖,分別取AD,BC的中點G,H,連接GH,FH,
過點F作AB的垂線FI,垂足為I.
考向2空間幾何體的體積例3極目一號是中國科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器.2022年5月,“極目一號”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測,最高升空至9 050米,超過珠穆朗瑪峰,創(chuàng)造了浮空艇原位大氣科學(xué)觀測海拔最高的世界紀(jì)錄,彰顯了中國的實力.“極目一號”Ⅲ型浮空艇長55米,高19米,若將它近似看作一個半球、一個圓柱和一個圓臺的組合體,如圖所示,則“極目一號”Ⅲ型浮空艇的體積約為(　　)(參考數(shù)據(jù):9.52≈90,315×1 005≈316 600,π≈3.14)
A.9 060立方米B.9 004立方米C.8 944立方米D.8 884立方米
[對點訓(xùn)練3](2024遼寧丹東模擬)某?？萍忌缋?D打印技術(shù)制作實心模型.如圖,該模型的上半部分是圓臺,下半部分是半球.其中半球的體積V為144π cm3,圓臺的上底面半徑及高均是下底面半徑的一半.打印所用原料密度ρ為1.6 g/cm3,不考慮打印損耗,制作該模型所需原料的質(zhì)量m約為(　 ) (1.6π≈5,m=ρV)A.3 240 gB.1 665 gC.1 035 gD.315 g
考點三　幾何體的外接球與內(nèi)切球
例4(1)(2022新高考Ⅱ,7)已知正三棱臺的高為1,上、下底面的邊長分別為3 和4 ,其頂點都在同一球面上,則該球的表面積為(　　)A.100πB.128πC.144πD.192π
(2)(2024廣東深圳一模)已知某圓臺的上、下底面半徑分別為r1,r2,且r2=2r1,若半徑為2的球與圓臺的上、下底面及側(cè)面均相切,則該圓臺的體積為(　)
解析 如圖,設(shè)圓臺上、下底面圓心分別為O1,O2,則圓臺內(nèi)切球的球心O一定在O1O2的中點處,
設(shè)球O與母線AB切于點M,所以O(shè)M⊥AB,OM=OO1=OO2=2,所以△AOO1≌△AOM,所以AM=r1.同理BM=r2,所以AB=r1+r2=3r1.過A作AG⊥BO2,垂足為G,則BG=r2-r1=r1,AG=O1O2=4,所以AG2=AB2-BG2,
解 設(shè)該正三棱錐為V-ABC,點M為△ABC的中心,連接VM,CM.易知正三棱錐外接球的球心位于VM的延長線上,設(shè)為O,連接OC.設(shè)外接球的半徑為R,則OV=OC=R,VM=1,所以O(shè)M=R-1, 在Rt△OMC中,有R2=(R-1)2+42,解得R= ,所以外接球的表面積為4πR2=289π.
[對點訓(xùn)練4](2024山東濰坊一模)已知直三棱柱ABC-A1B1C1外接球的直徑為6,且AB⊥BC,BC=2,則該棱柱體積的最大值為(　　)A.8B.12C.16D.24

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