1．已知函數(shù)f(x)＝mex－x2．
(1)若m＝1，求曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程；
(2)若關于x的不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
2．設函數(shù)f(x)＝ln x＋eq \f(a,x)(a為常數(shù))．
(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；
(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
3．已知函數(shù)f(x)＝x2－aln x．
(1)當a＝2時，試判斷函數(shù)f(x)的單調性；
(2)當a>0時，若對任意的x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))，f(x)>x2－ex＋a恒成立，求a的取值范圍．
4．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(ln x,x－1)(x>1)．
(1)判斷函數(shù)f(x)的單調性；
(2)是否存在實數(shù)a，使得關于x的不等式ln x0在x∈(0，e]上恒成立；
(2)若g(x)＝eq \f(f?x?,x)＋eq \f(ln x,x)＋eq \f(1,2)，是否存在實數(shù)a，使得g(x)在x∈(0，e]的最小值是3，若存在，求a的值；若不存在，請說明理由．
課時過關檢測(十七)
恒成立與有解問題【解析版】
1．已知函數(shù)f(x)＝mex－x2．
(1)若m＝1，求曲線y＝f(x)在(0，f(0))處的切線方程；
(2)若關于x的不等式f(x)≥x(4－mex)在[0，＋∞)上恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
解：(1)當m＝1時，f(x)＝ex－x2，則f′(x)＝ex－2x．
所以f(0)＝1，且斜率k＝f′(0)＝1．
故所求切線方程為y－1＝x，即x－y＋1＝0．
(2)由mex－x2≥x(4－mex)得mex(x＋1)≥x2＋4x．
故問題轉化為當x≥0時，m≥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(x2＋4x,ex?x＋1?)))max．
令g(x)＝eq \f(x2＋4x,ex?x＋1?)，x≥0，
則g′(x)＝eq \f(－?x＋2??x2＋2x－2?,?x＋1?2ex)，x≥0，
由g′(x)＝0及x≥0，得x＝eq \r(3)－1．
當x∈(0，eq \r(3)－1)時，g′(x)>0，g(x)單調遞增；
當x∈(eq \r(3)－1，＋∞)時，g′(x)0，∴x－a>0，∴f′(x)>0，
∴f(x)在定義域(0，＋∞)上單調遞增；
當a>0時，若x>a，則f′(x)>0，∴f(x)單調遞增；
若0x2－ex＋a恒成立，求a的取值范圍．
解：(1)當a＝2時，f(x)＝x2－2ln x(x>0)，因為f′(x)＝2x－eq \f(2,x)＝eq \f(2?x2－1?,x)．
所以令f′(x)>0得x>1；令f′(x)0，
所以當a>0時，對任意x∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,e)，＋∞))，a

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