C．D．
【答案】B
【解析】構(gòu)造，，則恒成立，
則，
當(dāng)時，，，
當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
因為，所以，，
又，所以，D錯誤，
因為，所以，，
所以，所以，A錯誤，B正確.
令，則，
當(dāng)時，恒成立，
所以在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，，即，
因為，
所以
因為，
所以，
因為在在單調(diào)遞減，
所以，即
因為在上單調(diào)遞減，
所以，C錯誤
故選：B
例2．（2022·山西·懷仁市第一中學(xué)校模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，，若存在，，使得成立，則的最大值為（ ）
A．B．1C．D．
【答案】A
【解析】，，易得在上，則在上單調(diào)遞增，
又，所以即，，所以，則，令，則，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，即時，取得最大值．
故選：A
例3．（2022·廣東·新會陳經(jīng)綸中學(xué)高三階段練習(xí)）已知若對于任意兩個不等的正實數(shù)、，都有恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】不妨設(shè)，可得，可得，
令，則，
所以，函數(shù)在上為增函數(shù)，
對任意的恒成立，所以，，
當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，
所以，.
故選：B.
例4．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知，其中a≠b，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，則，
故當(dāng)時，，當(dāng)時，，而，
不妨設(shè)，則；兩式相減，可得，
則，，，
∴；
令,
設(shè)，則；
令，則，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，則，
故函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，即，
∴函數(shù)在上單調(diào)遞減，
∴，即，即，
故，
故實數(shù)的取值范圍為.
故選：C.
例5．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，且對恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】設(shè)，因為對，當(dāng)時都有恒成立，
等價于，即，
令，則，所以在上為減函數(shù)，
所以在上恒成立，即在上恒成立，
令，則，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，，且，
所以，
所以，解得，
故選：A.
例6．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知在函數(shù)，，若對，恒成立，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】由題意，
令，
則，恒成立，即恒成立，即
令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減.
令
令，即在單調(diào)遞增；
令，即在單調(diào)遞減；
故選：B
例7．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若存在兩個正實數(shù)x，y，使得等式2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0成立，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【解析】由2x+a（y﹣2ex）（lny﹣lnx）＝0得2x+a（y﹣2ex）ln0，
即2+a（2e）ln0，
即設(shè)t，則t＞0，
則條件等價為2+a（t﹣2e）lnt＝0，
即（t﹣2e）lnt有解，
設(shè)g（t）＝（t﹣2e）lnt，
g′（t）＝lnt+1為增函數(shù)，
∵g′（e）＝lne+11+1﹣2＝0，
∴當(dāng)t＞e時，g′（t）＞0，
當(dāng)0＜t＜e時，g′（t）＜0，
即當(dāng)t＝e時，函數(shù)g（t）取得極小值，為g（e）＝（e﹣2e）lne＝﹣e，
即g（t）≥g（e）＝﹣e，
若（t﹣2e）lnt有解，
則e，即e，
則a＜0或a，
故選：C．
例8．（2022·安徽省舒城中學(xué)一模（理））已知函數(shù)．若對任意的，都存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】，
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，
且，
又對任意的，，都存在唯一的，，使得成立，
或，
又，，故，
，解得．
故選：C
例9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)實數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】令，只需要上恒成立，
∵且，
∴，即在上單調(diào)遞增，
∵，，
∴，使，即，
∴時，，單調(diào)遞減；時，，單調(diào)遞增；
故只需，令，
∴，故在上遞減，而，
∴時，恒成立，可知.
故選：C
例10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，若對，，使得成立，則a的取值范圍是______．
【答案】
【解析】因為，
所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以，
因為開口方向向下，
所以在區(qū)間上的最小值的端點處取得，
所以要使對，，使得成立，
只需，即或，
即或，
解得，
所以a的取值范圍是，
故答案為：
例11．（2022·黑龍江·大興安嶺實驗中學(xué)高三期末（理））已知函數(shù)，若，且恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為_________．
【答案】
【解析】由題可知當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，，
當(dāng)時，，設(shè)，則必有，
所以，所以，
所以，
設(shè)，則，
則時，，函數(shù)單調(diào)遞減，
當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以，
所以的最小值為.
所以恒成立，即，
所以.
故答案為：
例12．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.若對任何，，恒成立，求的取值范圍______.
【答案】14,+∞【解析】因為對任何，，
所以對任何，，
所以在上為減函數(shù).
，，
所以恒成立，即對恒成立，
所以，
所以.
即的取值范圍是.
故答案為：.
例13．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知，，，，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是______．
【答案】
【解析】，，使得成立等價于在上，
．
易得，當(dāng)時，，
∴在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為．易知在上單調(diào)遞增，
∴函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，
∴，即實數(shù)的取值范圍是．
故答案為：
例14．（2022·湖北武漢·高三期中）已知函數(shù)，，是函數(shù)的極值點，若對任意的，總存在唯一的，使得成立，則實數(shù)的取值范圍是__________．
【答案】
【解析】，，令，解得.
所以，，為增函數(shù).
所以時，.
，，
因為是函數(shù)的極值點，所以，解得.
所以.
所以，，為增函數(shù)，
，，為減函數(shù)，且
因為對任意的，總存在唯一的，使得成立，
所以，
即，解得.
故答案為：
例15．（2022·遼寧·沈陽市第三十一中學(xué)高三階段練習(xí)），均有成立，則的取值范圍為___________.
【答案】
【解析】不妨設(shè)，則，
由可得，
所以，
即，
所以，
令，則，
因為，所以在上單調(diào)遞減，
所以對于恒成立，
所以對于恒成立，
可得對于恒成立，
所以，因為在上單調(diào)遞減，
所以，
所以，
故答案為：
例16．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，當(dāng)，恒成立，則的最大值為___________.
【答案】1
【解析】令，則，，
當(dāng)，恒成立，
則有，，
由得，
因為任意的，都有，所以，，
結(jié)合，得.
當(dāng)時，，
令，，則，
由得，；由得，；
所以在上遞減，在上遞增，的最小值為，
由，得，對恒成立.
所以，
取，有恒成立.
綜上可知，的最大值為1.
故答案為：1.
例17．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（），且有兩個極值點．
(1)求實數(shù)的取值范圍；
(2)是否存在實數(shù)，使成立，若存在求出的值，若不存在，請說明理由．
【解析】(1)由題設(shè)，知函數(shù)的定義域為，
且，
因為函數(shù)有兩個極值點，
所以在上有兩個不等的實數(shù)根，
即在上有兩個不等的實數(shù)根，
則有，
解得，即所求實數(shù)的取值范圍是．
(2)由題意，得，
又由（1）知，
所以
．
要使成立，只需．
由（1）知，則只需，
即．（※）
由于，所以不妨設(shè)，
則（※）式成立，等價于成立．
設(shè)（），
則，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，
所以
所以無實數(shù)解，即（※）式不成立，
所以不存在實數(shù)a，使成立．
例18．（2022·河南濮陽·高三開學(xué)考試（理））已知函數(shù)，．
(1)求的最小值；
(2)證明：，，不等式恒成立．
【解析】(1)由題可知．
令，則．
令，得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增，即單調(diào)遞增
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，即單調(diào)遞減．
則，
又，，所以存在，使得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
又，，故．
(2)由（1）知，對任意的恒成立，
即對任意的恒成立．
要證，只需證．
令，，則，
即在區(qū)間上單調(diào)遞增，則．
令，.則．
令，.則在上恒成立，
則在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減．
又，，所以，使得．
所以當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減．
又因為，所以，
即在上恒成立，即，
則恒成立
故，，不等式恒成立．
例19．（2022·陜西安康·高三期末（文））已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個極值點，且這兩個極值點分別為，，若不等式恒成立，求的值.
【解析】(1)由題意可知的定義域為，.
當(dāng)時，由，得；由，得.
則在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，由，得或；由，得.
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，恒成立，則在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，由，得或；由，得.
則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
綜上，當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；
當(dāng)時，在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由（1）可知或，且兩個極值點分別是1和，不妨設(shè)，，
則，，
故恒成立，即恒成立.
當(dāng)時，，則，
因為，所以，則；
當(dāng)時，，則，
因為，所以，則.
綜上，.
例20．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；
(2)若對，，不等式恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．
【解析】(1)當(dāng)時，，，
則，，
所以曲線在點處的切線方程為．
(2)，令得或，
∵，所以，
當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，
則，，
∵對，不等式恒成立，
∴，
即對恒成立，
令，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以只需．所以．
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（其中且為常數(shù)，為自然對數(shù)的底數(shù)，．
(1)若函數(shù)的極值點只有一個，求實數(shù)的取值范圍；
(2)當(dāng)時，若（其中恒成立，求的最小值的最大值．
【解析】(1)函數(shù)的定義域為，
其導(dǎo)數(shù)為．
由或，
設(shè)，，
當(dāng)時，；當(dāng)時，．
即在區(qū)間上遞增，在區(qū)間上遞減，
，
又當(dāng)時，，當(dāng)時，且恒成立．
當(dāng)或時，方程無根，函數(shù)只有一個極值點．
當(dāng)時，方程的根也為，此時的因式恒成立，
故函數(shù)只有一個極值點．
當(dāng)時，方程有兩個根、且，，
函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增；單調(diào)遞減；，單調(diào)遞增，此時函數(shù)有、1、三個極值點．
綜上所述，當(dāng)或時，函數(shù)只有一個極值點．
(2)依題意得，令，則對，都有成立．
，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
注意到，
若，，有成立，這與恒成立矛盾；
當(dāng)時，因為在上為減函數(shù)，且，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
，
若對，都有成立，則只需成立，
，
當(dāng)時，則的最小值，
，
函數(shù)在上遞增，在上遞減，
，即的最小值的最大值為；
綜上所述，的最小值的最大值為．
例22．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，.
(1)討論的單調(diào)性；
(2)若有兩個零點，，且實數(shù)b滿足恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】(1)的定義域為且.
①當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增；
②當(dāng)時，令，則，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
(2)由（1）可知，當(dāng)時，單調(diào)遞增，至多有一個零點，舍去；
若時，由，，，，
則要使有兩個零點，只需，從而.
故時，有兩個零點，，不妨設(shè).
由（1）易知，
∴∴，∴，
，
即.
令，∴在上恒成立.
因為，，易知，
令，則，.
令，，對稱軸.
①若，即時，，故，在上單調(diào)遞減，
則，符合題意；
②若，即時，，故存在唯一，有，
從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而，不合題意.
綜上所述，的取值范圍是.
例23．（2022·天津·南開中學(xué)高三階段練習(xí)）已知，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)．
(1)若在處取得極值，求a的值；
(2)求的單調(diào)區(qū)間；
(3)設(shè)，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍．
【解析】(1)，，
由已知，解得，
此時，
在區(qū)間上，，在區(qū)間上，，
函數(shù)在處取得極小值，因此時符合題意.
(2)，，
當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減；
當(dāng)時，，
①若，即，
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增；
②若，即，則在區(qū)間上單調(diào)遞減；
綜上所述，當(dāng)，則在區(qū)間上單調(diào)遞減.
當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減；在區(qū)間上單調(diào)遞增.
(3)當(dāng)時，由（2）可知，當(dāng)時，函數(shù)取得最小值，且；
，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
時，函數(shù)取得最大值，且，
存在，使得成立，
必有對于，，
又，聯(lián)立可得，
解得，
實數(shù)a的取值范圍為
例24．（2022·山東·高三階段練習(xí)）設(shè)函數(shù)，.
（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求的極小值；
（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
【解析】（1）因為，則.
曲線在點處的切線與直線平行，此切線的斜率為，
即，解得，則，
，
由，得，由，得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時，取得極小值，故的極小值為；
（2）對任意，恒成立等價于：對任意，
恒成立，
設(shè)，
則對任意，，即，
所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
在上恒成立，
在上恒成立，，
故實數(shù)的取值范圍是.
例25．（2022·安徽省舒城中學(xué)三模（文））設(shè)函數(shù)，.
（1）求導(dǎo)數(shù)，并證明有兩個不同的極值點?；
（2）若不等式成立，求的取值范圍.
【解析】（1）∵，
∴.
令得方程，
因，故方程有兩個不同實根?，
不妨設(shè)，由可判斷的符號如下：
當(dāng)時，；
當(dāng)時，；
當(dāng)時，.
因此是極大值點，是極小值點.
（2）因，故得不等式
.
即.
又由（1）知，.
代入前面不等式，兩邊除以，并化簡得.
解不等式得或（舍去）.
因此，當(dāng)時，不等式成立.
例26．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知兩函數(shù)，，若對，，，，恒有成立，求的取值范圍.
【解析】若對，，，，恒有成立，
只需在，上，即可.
，
，，
在，，，，
故與，是單調(diào)遞增區(qū)間.
在，，
故，是單調(diào)遞減區(qū)間.
因此的極小值為又，
所以
所以，
解得的范圍為.
例27．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知實數(shù)，設(shè)函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若有兩個極值點，，且恒成立，求正實數(shù)k的最大值．
【解析】（1），
令,則,所以在內(nèi),在內(nèi),
,當(dāng)x趨近于0時，趨近于0，，當(dāng)x趨近于+∞時，趨近于正無窮.
當(dāng)時，時，恒成立，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減，
當(dāng)時，時，存在，，，
函數(shù)f(x)在和內(nèi)單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
當(dāng)時，，存在x0>1,使得
在(0,x0)內(nèi)2xlnx+a

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新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)恒成立與有解問題題型練習(xí)專題02 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的恒成立與有解問題（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)恒成立與有解問題題型練習(xí)專題02 與函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的恒成立與有解問題（2份，原卷版+解析版）
新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)恒成立與有解問題題型練習(xí)專題01 與二次型有關(guān)的恒成立與有解問題（2份，原卷版+解析版）

新高考數(shù)學(xué)二輪培優(yōu)恒成立與有解問題題型練習(xí)專題01 與二次型有關(guān)的恒成立與有解問題（2份，原卷版+解析版）
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