一、選擇題
1．已知Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，則x＝( )
A．2B．5
C．2或5D．2或6
2．如果一個多位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由小到大的順序排列，則稱此數(shù)為“上升”的，那么所有“上升”的正整數(shù)的個數(shù)為( )
A．530B．502
C．503D．505
3．若3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，則n＝( )
A．5B．8
C．7D．6
4．6名同學(xué)參加4項社會實踐活動，要求每項活動至少1人，則不同的參加方式共有( )
A．2 640種B．1 560種
C．1 080種D．480種
5．當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為( )
A．86B．64
C．42D．30
6．若90件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，則至少有一件是次品的取法種數(shù)是( )
A．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,85)B．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,89)
C．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)D．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(2,85)
7．埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類的想象．在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因為142857×2＝285714,142857×3＝428571,142857×4＝571428，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”．該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y，若x＋y＝999，則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x，y)的個數(shù)為( )
A．48B．60
C．96D．120
8．(多選題)某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的有( )
A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Aeq \\al(3,7)
B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)
C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)
D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(1,5)
二、填空題
9．若Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，則Ceq \\al(n,8)＝ .
10．某公司有A，B，C，D，E五幢獨立的大樓，每兩幢大樓的頂樓之間沒有連接的天橋，現(xiàn)公司打算在這五幢樓的頂樓之間共建造3座天橋(每兩幢樓的頂樓之間至多建造一座天橋)，要使A樓的人員能夠通過天橋走到B樓，則3座天橋的建造方法共有 種．
11．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有2個空位相鄰的不同坐法有 種．
三、解答題
12．如圖，一個正方形花圃被分成5份.
(1)若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法？
(2)若向這5個部分放入7個不同的盆栽，要求每個部分都有盆栽，問有多少種不同的放法？
13．從1、3、5、7中任取2個數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字，用這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合M.
(1)求集合M中不含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；
(2)求集合M中含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；
(3)從集合M中隨機(jī)選擇一個元素，求這個元素能被5整除的概率．
14．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( )
A．60種B．63種
C．65種D．66種
15．高中學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6個科目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選3個科目構(gòu)成“選考科目組合”參加高考．已知某班37名學(xué)生關(guān)于選考科目的統(tǒng)計結(jié)果如下：
下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論：①若a＝19，則b＝11；②選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生一定不超過9人；③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合；④選考科目組合為“生物＋歷史＋地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的．其中所有正確結(jié)論的序號是 .
16．在①每個盒子都不空，②恰有一個空盒子，③恰有兩個空盒子，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，問題：將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，若________，求放法的種數(shù)？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-組合與組合數(shù)公式-專項訓(xùn)練【解析版】
時間：45分鐘
一、選擇題
1．已知Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，則x＝( C )
A．2B．5
C．2或5D．2或6
解析：由Ceq \\al(2x,17)＝Ceq \\al(x＋2,17)(x∈N＋)，可得2x＝x＋2或2x＋x＋2＝17，解得x＝2或5.經(jīng)檢驗，符合題意．故選C.
2．如果一個多位數(shù)的各個數(shù)位上的數(shù)字從左到右按由小到大的順序排列，則稱此數(shù)為“上升”的，那么所有“上升”的正整數(shù)的個數(shù)為( B )
A．530B．502
C．503D．505
解析：由題意，“上升”的正整數(shù)包含：兩位數(shù)有Ceq \\al(2,9)個，三位數(shù)有Ceq \\al(3,9)個……九位數(shù)有Ceq \\al(9,9)個，所有“上升”的正整數(shù)個數(shù)為Ceq \\al(2,9)＋Ceq \\al(3,9)＋Ceq \\al(4,9)＋…＋Ceq \\al(9,9)＝29－Ceq \\al(0,9)－Ceq \\al(1,9)＝502，故選B.
3．若3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，則n＝( A )
A．5B．8
C．7D．6
解析：∵3Aeq \\al(3,n)－6Aeq \\al(2,n)＝4Ceq \\al(2,n＋1)，∴3n(n－1)(n－2)－6n(n－1)＝4×eq \f(?n＋1?n,2)，即3(n－1)(n－2)－6(n－1)＝2n＋2，解得n＝5或n＝eq \f(2,3)(舍去)．故選A.
4．6名同學(xué)參加4項社會實踐活動，要求每項活動至少1人，則不同的參加方式共有( B )
A．2 640種B．1 560種
C．1 080種D．480種
解析：6名同學(xué)參加4項社會實踐活動，要求每項活動至少1人，則有1項社會實踐活動有3人參加或者有2項社會實踐活動有2人參加．先把6人分成4組，有Ceq \\al(3,6)＋eq \f(C\\al(2,6)C\\al(2,4),2)＝65種分法，再把這4組人分配到4項社會實踐活動中，有65Aeq \\al(4,4)＝1 560種分配方式，故選B.
5．當(dāng)前，新冠肺炎疫情進(jìn)入常態(tài)化防控新階段，防止疫情輸入的任務(wù)依然繁重，疫情防控工作形勢依然嚴(yán)峻、復(fù)雜．某地區(qū)安排A，B，C，D，E五名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，且A，B兩人安排在同一個地區(qū)，C，D兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為( D )
A．86B．64
C．42D．30
解析：①當(dāng)兩個地區(qū)各分2人另一個地區(qū)分1人時，總數(shù)有Ceq \\al(1,2)·Aeq \\al(3,3)＝12種；②當(dāng)兩個地區(qū)各分1人另一個地區(qū)分3人時，總數(shù)有Ceq \\al(1,3)·Aeq \\al(3,3)＝18種．故滿足條件的分法共有12＋18＝30種．故選D.
6．若90件產(chǎn)品中有5件次品，現(xiàn)從中任取3件產(chǎn)品，則至少有一件是次品的取法種數(shù)是( C )
A．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,85)B．Ceq \\al(1,5)Ceq \\al(2,89)
C．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)D．Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(2,85)
解析：根據(jù)題意，用間接法分析：從90件產(chǎn)品中任取3件，有Ceq \\al(3,90)種取法，其中沒有次品，即全部為正品的取法有Ceq \\al(3,85)種取法，則至少有一件是次品的取法有Ceq \\al(3,90)－Ceq \\al(3,85)種．故選C.
7．埃及金字塔之謎是人類史上最大的謎，它的神奇遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過了人類的想象．在埃及金字塔內(nèi)有一組神秘的數(shù)字142857，因為142857×2＝285714,142857×3＝428571,142857×4＝571428，…，所以這組數(shù)字又叫“走馬燈數(shù)”．該組數(shù)字還有如下發(fā)現(xiàn)：142＋857＝999,428＋571＝999,285＋714＝999，…，若從這組神秘數(shù)字中任選3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y，若x＋y＝999，則所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x，y)的個數(shù)為( A )
A．48B．60
C．96D．120
解析：在1,4,2,8,5,7這六個數(shù)中，1＋8＝9,2＋7＝9,4＋5＝9，共3組，要使六個數(shù)字中任意取出3個數(shù)字構(gòu)成一個三位數(shù)x，剩下的三個數(shù)字構(gòu)成另一個三位數(shù)y，且x＋y＝999，則從每組數(shù)字中抽取一個構(gòu)成x，所以x共有m＝Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)＝48種情況，x的每個數(shù)字對應(yīng)的同組數(shù)字按順序構(gòu)成對應(yīng)的y，故所有可能的有序?qū)崝?shù)組(x，y)的個數(shù)也為48.故選A.
8．(多選題)某學(xué)生想在物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理、技術(shù)這七門課程中選三門作為選考科目，下列說法錯誤的有( ABD )
A．若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Aeq \\al(3,7)
B．若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)
C．若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)
D．若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)－Ceq \\al(1,5)
解析：若任意選擇三門課程，選法總數(shù)為Ceq \\al(3,7)，故A錯誤；若物理和化學(xué)至少選一門，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故B錯誤；若物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(3,7)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故C正確；若物理和化學(xué)至少選一門，且物理和歷史不能同時選，選法總數(shù)為Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(2,5)＋Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)－Ceq \\al(2,2)Ceq \\al(1,5)，故D錯誤．故選ABD.
二、填空題
9．若Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，則Ceq \\al(n,8)＝28.
解析：由Ceq \\al(3n＋6,18)＝Ceq \\al(4n－2,18)，得3n＋6＝4n－2或3n＋6＋4n－2＝18，解得n＝8(舍去)或n＝2，Ceq \\al(2,8)＝28.
10．某公司有A，B，C，D，E五幢獨立的大樓，每兩幢大樓的頂樓之間沒有連接的天橋，現(xiàn)公司打算在這五幢樓的頂樓之間共建造3座天橋(每兩幢樓的頂樓之間至多建造一座天橋)，要使A樓的人員能夠通過天橋走到B樓，則3座天橋的建造方法共有63種．
解析：①A直接連B，還剩兩座天橋未連，
有eq \f(?C\\al(2,5)－1??C\\al(2,5)－2?,2)＝36種；
②A通過一幢樓作為中介連B，可選中介有C、D、E三種，共有3×(2＋3＋2)＝21種；
③A通過兩幢樓作為中介連B，可選中介有CD、CE、DE三種，其中CD又有A－C－D－B，A－D－C－B兩種，即共有3×2＝6種．
綜上所述，一共有36＋21＋6＝63種．
11．有6個座位連成一排，現(xiàn)有3人就坐，則恰有2個空位相鄰的不同坐法有72種．
解析：當(dāng)相鄰兩個空位在兩端時，必有一個人坐在空位旁邊，余下兩個人坐三個空位中的兩個，則有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)種坐法；當(dāng)相鄰兩個空位不在兩端時，有三種情況，必有兩人坐在空位旁邊，余下一人坐兩個空位中的一個，則有Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(1,2)種坐法，所以共有Ceq \\al(1,2)Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3)Aeq \\al(2,3)Aeq \\al(1,2)＝72種不同的坐法．
三、解答題
12．如圖，一個正方形花圃被分成5份.
(1)若給這5個部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，求有多少種不同的種植方法？
(2)若向這5個部分放入7個不同的盆栽，要求每個部分都有盆栽，問有多少種不同的放法？
解：(1)先對A部分種植，有4種不同的種植方法；再對B部分種植，有3種不同的種植方法；對C部分種植進(jìn)行分類：
①C若與B相同，D有2種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×1×2×2＝48種種植方法；
②C若與B不同，C有2種不同的種植方法，D有1種不同的種植方法，E有2種不同的種植方法，共有4×3×2×1×2＝48種種植方法．綜上，共有96種種植方法．
(2)將7個盆栽分成5組，有2種分法：
①若分成2－2－1－1－1的5組，有eq \f(C\\al(2,7)C\\al(2,5),A\\al(2,2))種分法；
②若分成3－1－1－1－1的5組，有Ceq \\al(3,7)種分法；將分好的5組全排列，對應(yīng)5個部分，
則一共有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(C\\al(2,7)C\\al(2,5),A\\al(2,2))＋C\\al(3,7)))·Aeq \\al(5,5)＝16 800種放法．
13．從1、3、5、7中任取2個數(shù)字，從0、2、4、6、8中任取2個數(shù)字，用這四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，所有這些四位數(shù)構(gòu)成集合M.
(1)求集合M中不含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；
(2)求集合M中含有數(shù)字0的元素的個數(shù)；
(3)從集合M中隨機(jī)選擇一個元素，求這個元素能被5整除的概率．
解：(1)M中不含有數(shù)字0的元素：從1、3、5、7中任取2個數(shù)字有Ceq \\al(2,4)種取法，從2、4、6、8中任取2個數(shù)字有Ceq \\al(2,4)種取法，將前兩步所得的四個數(shù)字全排列有Aeq \\al(4,4)個四位數(shù)，所以M中共有不含有數(shù)字0的元素Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(4,4)＝864個．
(2)M中含有數(shù)字0的元素：從1、3、5、7中任取2個數(shù)字有Ceq \\al(2,4)種取法，從2、4、6、8中任取1個數(shù)字有Ceq \\al(1,4)種取法，將前兩步所得的四個數(shù)字全排列，排除0在第一位的元素有Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3)個四位數(shù)，所以M中共有含有數(shù)字0的元素Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)(Aeq \\al(4,4)－Aeq \\al(3,3))＝432個．
(3)由(1)(2)知：M中共有1 296個元素，M中能被5整除的元素，即個位為0或5的元素，個位為0的元素有Ceq \\al(2,4)Ceq \\al(1,4)Aeq \\al(3,3)＝144個，個位為5的元素有Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(2,4)Aeq \\al(3,3)＋Ceq \\al(1,3)Ceq \\al(1,4)Ceq \\al(1,2)Aeq \\al(2,2)
＝156個，所以M中能被5整除的元素有300個，則隨機(jī)選擇一個元素能被5整除的概率是eq \f(25,108).
14．若從1,2,3，…，9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù)，其和為偶數(shù)，則不同的取法共有( D )
A．60種B．63種
C．65種D．66種
解析：滿足題設(shè)的取法可分為三類：一是四個奇數(shù)相加，其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)1,3,5,7,9中，任意取4個，有Ceq \\al(4,5)＝5種取法；二是兩個奇數(shù)加兩個偶數(shù)其和為偶數(shù)，在5個奇數(shù)中任取2個，再在4個偶數(shù)2,4,6,8中任取2個，有Ceq \\al(2,5)Ceq \\al(2,4)＝60種取法；三是四個偶數(shù)相加，其和為偶數(shù)，4個偶數(shù)的取法有1種，所以滿足條件的取法共有5＋60＋1＝66種取法．故選D.
15．高中學(xué)生要從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這6個科目中，依照個人興趣、未來職業(yè)規(guī)劃等要素，任選3個科目構(gòu)成“選考科目組合”參加高考．已知某班37名學(xué)生關(guān)于選考科目的統(tǒng)計結(jié)果如下：
下面給出關(guān)于該班學(xué)生選考科目的四個結(jié)論：①若a＝19，則b＝11；②選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生一定不超過9人；③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合；④選考科目組合為“生物＋歷史＋地理”的學(xué)生人數(shù)一定是所有選考科目組合中人數(shù)最少的．其中所有正確結(jié)論的序號是①②③.
解析：①所有學(xué)生選的科目總數(shù)為37×3＝111，則a＋b＝111－24－28－14－15＝30，若a＝19，則b＝11，故①對；②選化學(xué)的學(xué)生有28人，37－28＝9人，則選考科目組合為“歷史＋地理＋政治”的學(xué)生一定不超過9人，故②對；③在選考化學(xué)的所有學(xué)生中，學(xué)生還須選另外兩科，則從五種里面選兩種，共有Ceq \\al(2,5)＝10種選法，最多出現(xiàn)10種不同的選考科目組合，故③對；④因為地理、政治人數(shù)不確定，選考科目組合為“生物＋歷史＋政治”的學(xué)生人數(shù)不一定比選考科目組合為“生物＋歷史＋地理”的學(xué)生人數(shù)多，故④錯．
16．在①每個盒子都不空，②恰有一個空盒子，③恰有兩個空盒子，這三個條件中任選一個，補(bǔ)充在下面問題中，問題：將6個相同的小球放入4個編號為1,2,3,4的盒子，若________，求放法的種數(shù)？
注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分．
解：若選①，先把6個相同的小球排成一行，在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，然后在小球之間5個空隙中任選3個空隙各插一塊隔板，有Ceq \\al(3,5)＝10種插法．
若選②，恰有一個空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選2個空隙各插一塊隔板，如|○|○○○|○○|，有Ceq \\al(2,5)種插法，然后將剩下的一塊隔板與前面任意一塊并放形成空盒，如|○|○○○||○○|，有Ceq \\al(1,4)種插法，故共有Ceq \\al(2,5)·Ceq \\al(1,4)＝40種插法．
若選③，恰有兩個空盒子，插板分兩步進(jìn)行．先在首尾兩球外側(cè)放置一塊隔板，并在5個空隙中任選1個空隙各插一塊隔板，有Ceq \\al(1,5)種插法，如|○○|○○○○|，然后將剩下的兩塊隔板插入形成空盒．
①這兩塊板與前面三塊板形成不相鄰的兩個盒子，
如||○○||○○○○|，有Ceq \\al(2,3)種插法．
②將兩塊板與前面三塊板之一并放，如|○○|||○○○○|，有Ceq \\al(1,3)種插法．故共有Ceq \\al(1,5)·(Ceq \\al(2,3)＋Ceq \\al(1,3))＝30種不同的插法．
選考科目名稱
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
選考該科人數(shù)
24
28
14
15
a
b
選考科目名稱
物理
化學(xué)
生物
歷史
地理
政治
選考該科人數(shù)
24
28
14
15
a
b

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