[考試要求] 1.通過(guò)實(shí)例分析，了解平均變化率、瞬時(shí)變化率．了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景.2.通過(guò)函數(shù)圖象，理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義.3.了解利用導(dǎo)數(shù)定義，求基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù).4.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù).5.能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)(形如f(ax＋b))的導(dǎo)數(shù)．
1．導(dǎo)數(shù)的概念
(1)一般地，函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的瞬時(shí)變化率是eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx)，我們稱(chēng)它為函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)，記作f′(x0)或 SKIPIF 1 < 0 ，即f′(x0)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(Δy,Δx)＝eq \(lim,\s\d4(Δx→0)) eq \f(f?x0＋Δx?－f?x0?,Δx).
(2)如果函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的每一點(diǎn)處都有導(dǎo)數(shù)，其導(dǎo)數(shù)值在(a，b)內(nèi)構(gòu)成一個(gè)新函數(shù)，這個(gè)函數(shù)稱(chēng)為函數(shù)y＝f(x)在開(kāi)區(qū)間(a，b)內(nèi)的導(dǎo)函數(shù)．簡(jiǎn)稱(chēng)導(dǎo)數(shù)，記作f′(x)或y′.
2．導(dǎo)數(shù)的幾何意義
函數(shù)y＝f(x)在x＝x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義就是曲線y＝f(x)在點(diǎn)P(x0，f(x0))處的切線的斜率，
相應(yīng)的切線方程為y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
3．基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式
4.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則
若f′(x)，g′(x)存在，則有
[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；
[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(f?x?,g?x?)))′＝eq \f(f′?x?g?x?－f?x?g′?x?,[g?x?]2)(g(x)≠0)；
[cf(x)]′＝cf′(x)．
5．復(fù)合函數(shù)的定義及其導(dǎo)數(shù)
(1)一般地，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過(guò)中間變量u，y可以表示成x的函數(shù)，那么稱(chēng)這個(gè)函數(shù)為函數(shù)y＝f(u)與u＝g(x)的復(fù)合函數(shù)，記作y＝f(g(x))．
(2)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x，即y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)等于y對(duì)u的導(dǎo)數(shù)與u對(duì)x的導(dǎo)數(shù)的乘積．
微思考
1．根據(jù)f′(x)的幾何意義思考一下，隨著|f′(x)|增大，曲線f(x)的形狀有何變化？
提示 |f′(x)|越大，曲線f(x)的形狀越來(lái)越陡峭．
2．函數(shù)f(x)在點(diǎn)P處的切線與函數(shù)f(x)過(guò)點(diǎn)P的切線有什么區(qū)別？
提示 在點(diǎn)P處的切線，點(diǎn)P一定是切點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)P的切線，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)．
題組一 思考辨析
1．判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)
(1)與曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線一定是曲線的切線．( × )
(2)f′(x0)＝[f(x0)]′.( × )
(3)f(x)在某點(diǎn)處的切線與f(x)過(guò)某點(diǎn)處的切線意義相同．( × )
(4)若f(x)＝2x，則f′(x)＝x·2x－1.( × )
題組二 教材改編
2．某跳水運(yùn)動(dòng)員離開(kāi)跳板后， 他達(dá)到的高度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系式是h(t)＝10－4.9t2＋8t(距離單位：米，時(shí)間單位：秒)，則他在0.5秒時(shí)的瞬時(shí)速度為( )
A．9.1米/秒 B．6.75米/秒
C．3.1米/秒 D．2.75米/秒
答案 C
解析 h′(t)＝－9.8t＋8，
∴h′(0.5)＝－9.8×0.5＋8＝3.1.
3．已知函數(shù)f(x)＝xln x＋ax2＋2，若f′(e)＝0，則a＝ .
答案 －eq \f(1,e)
解析 f′(x)＝1＋ln x＋2ax，
∴f′(e)＝2ae＋2＝0，∴a＝－eq \f(1,e).
4．函數(shù)f(x)＝ex＋eq \f(1,x)在x＝1處的切線方程為 ．
答案 y＝(e－1)x＋2
解析 f′(x)＝ex－eq \f(1,x2)，
∴f′(1)＝e－1，
又f(1)＝e＋1，
∴切點(diǎn)為(1，e＋1)，切線斜率k＝f′(1)＝e－1，
即切線方程為y－(e＋1)＝(e－1)(x－1)，
即y＝(e－1)x＋2.
題組三 易錯(cuò)自糾
5．已知函數(shù)f(x)＝xcs x＋asin x在x＝0處的切線與直線3x－y＋1＝0平行，則實(shí)數(shù)a的值為 ．
答案 2
解析 f′(x)＝cs x＋x·(－sin x)＋acs x
＝(1＋a)cs x－xsin x，
∴f′(0)＝1＋a＝3，
∴a＝2.
6．已知函數(shù)f(x)＝ln(3－2x)＋e2x－3，則f′(x)＝ .
答案 eq \f(2,2x－3)＋2e2x－3
解析 f′(x)＝eq \f(1,3－2x)·(3－2x)′＋e2x－3·(2x－3)′
＝eq \f(2,2x－3)＋2e2x－3.
題型一 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算
1．(多選)下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是( )
A．(sin a)′＝cs a(a為常數(shù))
B．(sin 2x)′＝2cs 2x
C．(eq \r(x))′＝eq \f(1,2\r(x))
D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－eq \f(1,x)＋4x
答案 BCD
解析 ∵a為常數(shù)，∴sin a為常數(shù)，
∴(sin a)′＝0，故A錯(cuò)誤．由導(dǎo)數(shù)公式及運(yùn)算法則知B，C，D正確，故選BCD.
2．已知函數(shù)f(x)＝eq \f(sin x,cs x)＋eq \f(1,x2)，則f′(x)＝ .
答案 eq \f(1,cs2x)－eq \f(2,x3)
解析 f′(x)＝eq \f(?sin x?′·cs x－sin x·?cs x?′,cs2x)＋(x－2)′＝eq \f(cs2x＋sin2x,cs2x)＋(－2)x－3＝eq \f(1,cs2x)－eq \f(2,x3).
3．已知函數(shù)f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，則a＝ .
答案 e2
解析 f′(x)＝eq \f(1,2x－3)·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′
＝eq \f(2,2x－3)＋ae－x－axe－x，
∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，
則a＝e2.
4．(2020·葫蘆島模擬)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，則f(1)＝ .
答案 －eq \f(7,4)
解析 ∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，
∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋eq \f(1,x)，將x＝1代入，
得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝eq \f(5,4).
∴f(x)＝2x2－eq \f(15,4)x＋ln x，
∴f(1)＝2－eq \f(15,4)＝－eq \f(7,4).
思維升華 (1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)運(yùn)算、三角恒等式等對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，盡量避免不必要的商的求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度減少差錯(cuò)．
(2)①若函數(shù)為根式形式，可先化為分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，再求導(dǎo)．
②復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)，應(yīng)由外到內(nèi)逐層求導(dǎo)，必要時(shí)可進(jìn)行換元．
題型二 導(dǎo)數(shù)的幾何意義
命題點(diǎn)1 導(dǎo)數(shù)與函數(shù)圖象
例1 (1)已知函數(shù)y＝f(x)的圖象是下列四個(gè)圖象之一，且其導(dǎo)函數(shù)y＝f′(x)的圖象如圖所示，則該函數(shù)的圖象是( )
答案 B
解析 由y＝f′(x)的圖象是先上升后下降可知，函數(shù)y＝f(x)圖象的切線的斜率先增大后減小，故選B.
(2)已知y＝f(x)是可導(dǎo)函數(shù)，如圖，直線y＝kx＋2是曲線y＝f(x)在x＝3處的切線，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的導(dǎo)函數(shù)，則g′(3)＝ .
答案 0
解析 由題圖可知曲線y＝f(x)在x＝3處切線的斜率等于－eq \f(1,3)，∴f′(3)＝－eq \f(1,3).
∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，
∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，
又由題圖可知f(3)＝1，
∴g′(3)＝1＋3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)))＝0.
命題點(diǎn)2 求切線方程
例2 (1)(2020·全國(guó)Ⅰ)函數(shù)f(x)＝x4－2x3的圖象在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為( )
A．y＝－2x－1 B．y＝－2x＋1
C．y＝2x－3 D．y＝2x＋1
答案 B
解析 f(1)＝1－2＝－1，切點(diǎn)坐標(biāo)為(1，－1)，
f′(x)＝4x3－6x2，
所以切線的斜率為k＝f′(1)＝4×13－6×12＝－2，
切線方程為y＋1＝－2(x－1)，即y＝－2x＋1.
(2)已知函數(shù)f(x)＝xln x，若直線l過(guò)點(diǎn)(0，－1)，并且與曲線y＝f(x)相切，則直線l的方程為 ．
答案 x－y－1＝0
解析 ∵點(diǎn)(0，－1)不在曲線f(x)＝xln x上，
∴設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)．又∵f′(x)＝1＋ln x，
∴直線l的方程為y＋1＝(1＋ln x0)x.
∴由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y0＝x0ln x0，,y0＋1＝?1＋ln x0?x0，))解得x0＝1，y0＝0.
∴直線l的方程為y＝x－1，即x－y－1＝0.
命題點(diǎn)3 求參數(shù)的值(范圍)
例3 (1)(2019·全國(guó)Ⅲ)已知曲線y＝aex＋xln x在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y＝2x＋b，則( )
A．a(chǎn)＝e，b＝－1 B．a(chǎn)＝e，b＝1
C．a(chǎn)＝e－1，b＝1 D．a(chǎn)＝e－1，b＝－1
答案 D
解析 因?yàn)閥′＝aex＋ln x＋1，所以y′|x＝1＝ae＋1，
所以曲線在點(diǎn)(1，ae)處的切線方程為y－ae＝(ae＋1)(x－1)，即y＝(ae＋1)x－1，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(ae＋1＝2，,b＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＝e－1，,b＝－1.))
(2)(2020·淄博聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝ln x＋2x2－ax的圖象上存在與直線2x－y＝0平行的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ．
答案 [2，＋∞)
解析 直線2x－y＝0的斜率k＝2，
又曲線f(x)上存在與直線2x－y＝0平行的切線，
∴f′(x)＝eq \f(1,x)＋4x－a＝2在(0，＋∞)內(nèi)有解，
則a＝4x＋eq \f(1,x)－2，x>0.
又4x＋eq \f(1,x)≥2eq \r(4x·\f(1,x))＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq \f(1,2)時(shí)取“＝”．
∴a≥4－2＝2.
∴a的取值范圍是[2，＋∞)．
思維升華 (1)處理與切線有關(guān)的參數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵是根據(jù)曲線、切線、切點(diǎn)的三個(gè)關(guān)系列出參數(shù)的方程：
①切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率；②切點(diǎn)在切線上；③切點(diǎn)在曲線上．
(2)注意區(qū)分“在點(diǎn)P處的切線”與“過(guò)點(diǎn)P處的切線”：在“點(diǎn)P處的切線”，說(shuō)明點(diǎn)P為切點(diǎn)，點(diǎn)P既在曲線上，又在切線上；“過(guò)點(diǎn)P處的切線”，說(shuō)明點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P一定在切線上，不一定在曲線上．
跟蹤訓(xùn)練 (1)已知曲線f(x)＝x3－x＋3在點(diǎn)P處的切線與直線x＋2y－1＝0垂直，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A．(1,3) B．(－1,3)
C．(1,3)或(－1,3) D．(1，－3)
答案 C
解析 設(shè)切點(diǎn)P(x0，y0)，
f′(x)＝3x2－1，
又直線x＋2y－1＝0的斜率為－eq \f(1,2)，
∴f′(x0)＝3xeq \\al(2,0)－1＝2，
∴xeq \\al(2,0)＝1，
∴x0＝±1，
又切點(diǎn)P(x0，y0)在y＝f(x)上，
∴y0＝xeq \\al(3,0)－x0＋3，
∴當(dāng)x0＝1時(shí)，y0＝3；
當(dāng)x0＝－1時(shí)，y0＝3.
∴切點(diǎn)P為(1,3)或(－1,3)．
(2)函數(shù)y＝eq \f(x－1,x＋1)在點(diǎn)(0，－1)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的封閉圖形的面積為( )
A.eq \f(1,8) B.eq \f(1,4) C.eq \f(1,2) D．1
答案 B
解析 ∵y＝eq \f(x－1,x＋1)，
∴y′＝eq \f(?x＋1?－?x－1?,?x＋1?2)＝eq \f(2,?x＋1?2)，
∴k＝y(tǒng)′|x＝0＝2，
∴切線方程為y＋1＝2(x－0)，即y＝2x－1，
令x＝0，得y＝－1；
令y＝0，得x＝eq \f(1,2)，
故所求的面積為eq \f(1,2)×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,4).
(3)(2021·樂(lè)山調(diào)研)已知曲線f(x)＝e2x－2ex＋ax－1存在兩條斜率為3的切線，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) B．(3，＋∞)
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) D．(0,3)
答案 A
解析 f′(x)＝2e2x－2ex＋a，
依題意知f′(x)＝3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
即2e2x－2ex＋a＝3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
即a＝－2e2x＋2ex＋3有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
令t＝ex，
∴t>0，
∴a＝－2t2＋2t＋3(t>0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)解，
∴y＝a與φ(t)＝－2t2＋2t＋3(t>0)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
φ(t)＝－2t2＋2t＋3＝－2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t－\f(1,2)))2＋eq \f(7,2)，
∵t>0，∴φ(t)max＝φeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))＝eq \f(7,2)，
又φ(0)＝3，
故30，
故A錯(cuò)誤，B正確．
設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，
則f(3)－f(2)＝eq \f(f?3?－f?2?,3－2)＝kAB，
由圖知f′(3)0，
解得a>0或a

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