拋物線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識(shí)的綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)需要運(yùn)用多種基礎(chǔ)知識(shí)，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式.法則固然很重要，但要做到迅速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，特別是拋物線的焦點(diǎn)弦的一些二級(jí)結(jié)論，在考試中經(jīng)常用到，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問題便能迎刃而解.
與拋物線的焦點(diǎn)弦有關(guān)的二級(jí)結(jié)論
(6)以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，以FA為直徑的圓與y軸相切.
(1)已知F是拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過點(diǎn)F作兩條相互垂直的直線l1，l2，直線l1與C相交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C相交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為A.16 B.14 C.12 D.10
考向1　焦半徑、弦長(zhǎng)問題
∴|AB|＋|DE|的最小值為16.
直線l的傾斜角α＝60°，
方法一　(常規(guī)解法)依題意，拋物線C：y2＝16x的焦點(diǎn)為F(4,0)，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
方法二　(活用結(jié)論)依題意知，拋物線y2＝16x，p＝8.
(2022·“四省八?！甭?lián)考)已知拋物線y2＝4x，過焦點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則2|AF|＋|BF|最小值為
考向4　利用平面幾何知識(shí)
如圖，過點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)H，由拋物線的定義有|PF|＝|PH|＝m(m>0)，過點(diǎn)Q作準(zhǔn)線的垂線交于點(diǎn)E，則|EQ|＝|QF|，
∴2|EQ|＝|QM|＝|FQ|＋3m.∴|EQ|＝3m，即|FQ|＝3m，
焦半徑公式和焦點(diǎn)弦面積公式容易混淆，用時(shí)要注意使用的條件；數(shù)形結(jié)合求解時(shí)，焦點(diǎn)弦的傾斜角可以為銳角、直角或鈍角，不能一律當(dāng)成銳角而漏解.
∴F為AB的三等分點(diǎn)，令|BF|＝t，則|AF|＝2t，
(2)(多選)已知拋物線C：x2＝4y，焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，該拋物線的準(zhǔn)線與y軸交于點(diǎn)M，過點(diǎn)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為H，G，如圖所示，則下列說法正確的是A.線段AB長(zhǎng)度的最小值為2B.以AB為直徑的圓與直線y＝－1相切C.∠HFG＝90°D.∠AMO＝∠BMO
如圖，取AB的中點(diǎn)為C，作CD⊥GH，垂足為D，當(dāng)線段AB為通徑時(shí)長(zhǎng)度最小，為2p＝4，故A不正確；∵直線y＝－1為準(zhǔn)線，
故以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線y＝－1相切，故B正確；又|BF|＝|BG|，∴∠BFG＝∠BGF，又BG∥FM，∴∠BGF＝∠MFG，∴∠BFG＝∠MFG，
同理可得∠AFH＝∠MFH，又∠BFG＋∠MFG＋∠MFH＋∠AFH＝180°，∴FG⊥FH.即∠HFG＝90°，故C正確；設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴直線AB：y＝kx＋1，
∴x1x2＝－4，x1＋x2＝4k，
∴∠AMO＝∠BMO，故D正確.
拋物線方程為y2＝2px(p>0)，過(2p，0)的直線與之交于A，B兩點(diǎn)，則OA⊥OB，反之，也成立.
如圖，已知直線與拋物線x2＝2py交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,4)，則p的值為
如圖，令A(yù)B與y軸交于點(diǎn)C，∵OA⊥OB，∴AB過定點(diǎn)C(0,2p)，
即4＋4(4－2p)＝0，
要注意拋物線的焦點(diǎn)位置，焦點(diǎn)不同，定點(diǎn)是不同的；在解答題中用該結(jié)論時(shí)需證明該結(jié)論.
已知拋物線y2＝4x，A，B為拋物線上不同兩點(diǎn)，若OA⊥OB，則△AOB的面積的最小值為_____.
如圖，∵OA⊥OB，∴直線AB過定點(diǎn)(2p，0)，即點(diǎn)C坐標(biāo)為(4,0)，設(shè)直線AB：x＝ty＋4，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝16t2＋64>0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，
∴當(dāng)t＝0時(shí)，Smin＝16.
方法一　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝16t2＋16>0恒成立，
方法二　因?yàn)锳B過拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
2.如圖，過拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線準(zhǔn)線交于C點(diǎn)，若B是AC的中點(diǎn)，則|AB|等于A.8 B.9C.10 D.12
如圖所示，令|BF|＝t，則|BB′|＝t，又B為AC的中點(diǎn)，∴|AA′|＝|AF|＝2t，∴|BC|＝|AB|＝|AF|＋|BF|＝3t，又△CBB′∽△CFE，
∵OA⊥OB，∴直線過定點(diǎn)(2p，0)設(shè)直線l的方程為x＝y(tǒng)＋2p，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
Δ＝4p2－4×(－4p2)＝20p2>0，∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－4p2，
∴p＝2，∴拋物線C的方程為y2＝4x.
4.直線l過拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且|AF|＝3|BF|，過A，B分別作拋物線C的準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為A′，B′，則四邊形ABB′A′的面積為
不妨令直線l的傾斜角為θ，
∴|AA′|＝6，|BB′|＝2，
5.(多選)(2022·聊城模擬)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過F的直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，則A.C的準(zhǔn)線方程為x＝－2
因?yàn)閽佄锞€C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，所以p＝2，所以拋物線方程為y2＝4x，則焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線為x＝－1，故A錯(cuò)誤；
設(shè)直線AB的傾斜角為α，α∈(0，π)，
∴α＝30°或150°，
對(duì)于D，若x軸平分∠HFB，則∠OFH＝∠OFB，又AH∥x軸，所以∠AHF＝∠OFH＝∠OFB＝∠AFH，所以HF＝AF＝AH，
所以|AF|＝xA＋1＝4，故D正確.
6.(多選)(2022·武漢模擬)斜率為k的直線l經(jīng)過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F，且與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)M(－1，－1)是拋物線C的準(zhǔn)線與以AB為直徑的圓的公共點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是
由題意知，拋物線C的準(zhǔn)線為x＝－1，
∵p＝2，所以拋物線C的方程為y2＝4x，其焦點(diǎn)為F(1,0)，∵以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，∴點(diǎn)M(－1，－1)為切點(diǎn)，∴圓心的縱坐標(biāo)為－1，即AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為－1，設(shè)AB：x＝ty＋1，
Δ＝16t2＋16>0，∴y1＋y2＝4t＝－2，
∴MF⊥AB，故選項(xiàng)C正確；
過A作AA1⊥x軸，過B作BB1⊥x軸，拋物線的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)C，設(shè)∠BFB1＝θ，
7.已知拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于M，N兩點(diǎn)，且|MF|＝2|NF|，則直線l的斜率為______.
設(shè)直線l的傾斜角為θ，∴k＝tan θ，
8.(2022·攀枝花模擬)如圖所示，已知拋物線C1：y2＝2px過點(diǎn)(2,4)，圓C2：x2＋y2－4x＋3＝0.過圓心C2的直線l與拋物線C1和圓C2分別交于P，Q，M，N，則|PM|＋4|QN|的最小值為________.
由題設(shè)知，16＝2p×2，則2p＝8，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝8x，則焦點(diǎn)F(2,0)，
圓C2：(x－2)2＋y2＝1的圓心為(2,0)，半徑為1，|PM|＋4|QN|＝|PF|－1＋4(|QF|－1)＝|PF|＋4|QF|－5

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