子數(shù)列問題包括數(shù)列中的奇偶項(xiàng)、公共數(shù)列以及分段數(shù)列，是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，一般方法是構(gòu)造新數(shù)列，利用新數(shù)列的特征(等差、等比或其他特征)求解原數(shù)列.
(1)證明：數(shù)列{bn＋2}為等比數(shù)列，并求出{bn}的通項(xiàng)公式；
由題意可知b1＝a1＝1，bn＋1＝a2n＋1＝2a2n＝2(a2n－1＋1)＝2a2n－1＋2＝2bn＋2，
故{bn＋2}是以b1＋2＝3為首項(xiàng)，以q＝2為公比的等比數(shù)列，所以bn＋2＝3×2n－1，n∈N*，故bn＝3×2n－1－2，n∈N*.
(2)求數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和.
由(1)知，bn＝3×2n－1－2，n∈N*，即a2n－1＝3×2n－1－2，n∈N*，
故a2n＝a2n－1＋1，n∈N*，故數(shù)列{an}的前2n項(xiàng)和 S2n＝(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a2n) ＝2(a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1)＋n ＝2[3(20＋21＋22＋…＋2n－1)－2n]＋n
(1)數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問題的常見題型①數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))；②含有(－1)n的類型；③含有{a2n}，{a2n－1}的類型；④已知條件明確的奇偶項(xiàng)問題.(2)對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶不同的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.
(2022·山東學(xué)期聯(lián)考)已知數(shù)列{an}滿足an－1－an＝an－an＋1(n≥2)，且a1＝1，a7＝13；數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；
由已知可得，2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，則數(shù)列{an}為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d，由a7＝a1＋6d＝13，解得d＝2，∴an＝2n－1，在數(shù)列{bn}中，當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝S1＝1，
當(dāng)n＝1時(shí)，滿足上式，∴bn＝3n－1.
則當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1＋5＋…＋2n－3＋3＋…＋3n－1
當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立.
(1)求{an}與{bn}的通項(xiàng)公式；
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝3n－1，當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以an＝3n－1，由Tn＝ 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝T1＝2，
當(dāng)n＝1時(shí)，上式也成立，所以bn＝2n.
(2)把數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)由小到大排成的數(shù)列記為{cn}，求c1＋c2＋…＋c20的值.
數(shù)列{an}和{bn}的公共項(xiàng)依次為21，23，25，27，…，∴21，23，25，27，…構(gòu)成首項(xiàng)為2，公比為4的等比數(shù)列，∴cn＝2×4n－1，
兩個(gè)等差數(shù)列的公共項(xiàng)是等差數(shù)列，且公差是兩等差數(shù)列公差的最小公倍數(shù)，兩個(gè)等比數(shù)列的公共項(xiàng)是等比數(shù)列，公比是兩個(gè)等比數(shù)列公比的最小公倍數(shù).
(2020·新高考全國(guó)Ⅰ)將數(shù)列{2n－1}與{3n－2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{an}，則{an}的前n項(xiàng)和為________.
方法一　(觀察歸納法)數(shù)列{2n－1}的各項(xiàng)為1,3,5,7,9,11,13，…；數(shù)列{3n－2}的各項(xiàng)為1,4,7,10,13，….觀察歸納可知，兩個(gè)數(shù)列的公共項(xiàng)為1,7,13，…，是首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列，則an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
方法二　(引入?yún)⒆兞糠?令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，則2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必為奇數(shù).令m＝2t－1，則n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
已知公比大于1的等比數(shù)列{an}滿足a2＋a4＝20，a3＝8.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
由于數(shù)列{an}是公比大于1的等比數(shù)列，設(shè)首項(xiàng)為a1，公比為q，
所以an＝2n，所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n.
(2)記bm為{an}在區(qū)間(0，m](m∈N*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列{bm}的前100項(xiàng)和S100.
方法一　由題意知，2n≤m，即n≤lg2m，當(dāng)m＝1時(shí)，b1＝0.當(dāng)m∈[2k，2k＋1－1)時(shí)，bm＝k，k∈N*，則S100＝b1＋(b2＋b3)＋(b4＋b5＋…＋b7)＋…＋(b32＋b33＋…＋b63)＋(b64＋b65＋…＋b100)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.方法二　由題意知bm＝k，m∈[2k，2k＋1)，因此，當(dāng)m＝1時(shí)，b1＝0；當(dāng)m∈[2,4)時(shí)，bm＝1；
當(dāng)m∈[4,8)時(shí)，bm＝2；當(dāng)m∈[8,16)時(shí)，bm＝3；當(dāng)m∈[16,32)時(shí)，bm＝4；當(dāng)m∈[32,64)時(shí)，bm＝5；當(dāng)m∈[64,128)時(shí)，bm＝6.所以S100＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b100＝0＋(1＋1)＋(2＋2＋2＋2)＋…＋(6＋6＋…＋6)＝0＋1×2＋2×4＋3×8＋4×16＋5×32＋6×37＝480.所以數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和S100＝480.
解決此類問題的關(guān)鍵是通過閱讀、理解題意求分段數(shù)列的通項(xiàng)，要弄清楚為什么要分段，從什么地方開始分段.常見的題型有取整問題、求絕對(duì)值數(shù)列的和、添加部分?jǐn)?shù)列或刪除部分?jǐn)?shù)列等.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
所以T100＝a1－a3＋a5－a7＋…＋a97－a99
1.(2022·青島模擬)已知{an}為等比數(shù)列，a1，a2，a3分別是下表第一、二、三行中的數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個(gè)數(shù)都不在下表的同一列，{bn}為等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝b3－2b1，S7＝7a3.
(1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
由題意知a1＝2，a2＝4，a3＝8，所以等比數(shù)列{an}的公比q＝2，an＝a1qn－1＝2n，設(shè)等差數(shù)列{bn}的公差為d，則2＝b3－2b1＝2d－b1，
所以b4＝8＝b1＋3d，所以b1＝2，d＝2，bn＝2n.
(2)若cn＝[lg bn]，其中[x]是高斯函數(shù)(表示不超過x的最大整數(shù))，如[lg 2]＝0，[lg 98]＝1，求數(shù)列{cn}的前100項(xiàng)的和T100.
由(1)知cn＝[lg (2n)]，則T100＝c1＋c2＋…＋c100＝[lg 2]＋[lg 4]＋[lg 6]＋[lg 8]＋[lg 10]＋…＋[lg 98]＋[lg 100]＋…＋[lg 200]＝4×0＋45×1＋51×2＝147.
2.(2022·濟(jì)寧模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a5＝9，S7＝49.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1.
所以數(shù)列{bn}的前100項(xiàng)和為(b1＋b2＋…＋b10)＋(b11＋b12＋…＋b20)＋(b21＋b22＋…＋b30)＋…＋(b91＋b92＋…＋b100)＝(a1＋a2＋…＋a10)＋2(a1＋a2＋…＋a10)＋22(a1＋a2＋…＋a10)＋…＋29(a1＋a2＋…＋a10)＝(1＋2＋22＋…＋29)(a1＋a2＋…＋a10)
3.已知等比數(shù)列{bn}和遞增的等差數(shù)列{an}滿足a1＝12，b1＝1，a2＝5b2，a3＝2b3.(1)求數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
設(shè)等比數(shù)列{bn}和遞增的等差數(shù)列{an}的公比和公差分別為q，d(d>0)，故由a1＝12，b1＝1，a2＝5b2，a3＝2b3，
故an＝12＋3(n－1)＝3n＋9，bn＝3n－1.
(2)數(shù)列{an}和數(shù)列{bn}中的所有項(xiàng)分別構(gòu)成集合A和B，將A∪B的所有元素按從小到大依次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列{cn}，求數(shù)列{cn}的前63項(xiàng)和S63.
b1＝1，b2＝3，b3＝9，b4＝27，b5＝81，b6＝243，∴b4＝a6，b5＝a24，b6＝a78，∴b4，b5是公共項(xiàng)，∴S63＝(b1＋b2＋b3＋b4＋b5)＋(a1＋…＋a60)－(b4＋b5)
4.(2022·山東聯(lián)考)已知數(shù)列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋2＝kan(k≠1)，n∈N*，a2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列.(1)求k的值和{an}的通項(xiàng)公式；
因?yàn)閍2＋a3，a3＋a4，a4＋a5成等差數(shù)列，所以2(a3＋a4)＝a2＋a3＋a4＋a5，得a5－a3＝a4－a2，得(k－1)a2＝(k－1)a3，因?yàn)閗≠1，所以a2＝a3＝2，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k，k∈N*，可得Sn＝S2k＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，設(shè)n＝2k－1，k∈N*，可得Sn＝S2k－1＝b1＋b3＋…＋b2k－1＋b2＋b4＋…＋b2k－2

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