考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必用黑色簽字筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號、座位號在答題卡上填寫清楚；
2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，在試卷上作答無效；
3.考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。
一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 設(shè) ，是向量，則“”是“或”的（ ）．
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件
C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積分析可知等價于，結(jié)合充分、必要條件分析判斷.
【詳解】因為，可得，即，
可知等價于，
若或，可得，即，可知必要性成立；
若，即，無法得出或，
例如，滿足，但且，可知充分性不成立；
綜上所述，“”是“且”的必要不充分條件.
故選：B.
2. 設(shè)，則有（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，借助特殊值0，可得最小，再利用得出大小.
【詳解】由可得，
，，
下面比較，
因為，所以，
所以，
而，故，所以，
綜上，.
故選：B
3. 已知函數(shù),若，且，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出的圖象，得到，問題轉(zhuǎn)化為，換元后進行求解，得到答案.
【詳解】作出的圖象，如圖所示：

由，可得，
則，
令，
則，
故．
故選：D．
4. 希波克拉底是古希臘醫(yī)學(xué)家，他被西方尊為“醫(yī)學(xué)之父”，除了醫(yī)學(xué)，他也研究數(shù)學(xué)．特別是與“月牙形”有關(guān)的問題．如圖所示．陰影郭分的月牙形的邊緣都是圓弧，兩段圓弧分別是的外接圓和以AB為直徑的圓的一部分，若，，則該月牙形的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出的外接圓半徑，得弓形面積，再求得大的半圓面積，相減可得結(jié)論．
【詳解】因為，，
所以，所以，
設(shè)的外接圓的圓心為O，半徑為R，如圖所示，
由正弦定理得，所以，
內(nèi)側(cè)圓弧為的外接圓的一部分，且其對應(yīng)的圓心角為，
則弓形的面積為，
外側(cè)的圓弧以為直徑，所以半圓的面積為，
則月牙形的面積為.
故選：A．
5. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則的最小值是（ ）
A. B. C. D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】由正弦定理得，再通過兩角和的正切公式得，最后使用基本不等式求解即可.
【詳解】因為，
由正弦定理得，
所以，
又因，
所以，
所以，
即.
所以，
顯然必為正（否則和都為負(fù)，就兩個鈍角），
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即取等號.
所以.
故選：B.
6. 已知正方形的邊長為2，點P在以A為圓心，1為半徑的圓上，則的最小值為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】不妨設(shè)，，根據(jù)兩點間距離公式結(jié)合正弦函數(shù)的最值分析求解.
【詳解】不妨設(shè)，
因為，設(shè)，
則
，
因為，則，
可知當(dāng)，即時，取得最小值，
所以的最小值為.
故選：D.
【點睛】結(jié)論點睛：以為圓心，半徑為的圓上的任一點可設(shè)為
7. 在棱長為5的正方體 中，是中點，點在正方體的內(nèi)切球的球面上運動，且，則點的軌跡長度為（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，作出輔助線，得到⊥平面，由點到平面的距離和球的半徑得到點的軌跡為以為半徑的圓，從而求出點的軌跡長度.
【詳解】以點為原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
球心，取的中點，的中點，連接，
則，，
，
故，，
又，平面，
故⊥平面，
故當(dāng)位于平面與內(nèi)切球的交線上時，滿足，
此時到平面的距離為
，
，其中為平面截正方體內(nèi)切球所得截面圓的半徑，
故點的軌跡為以為半徑的圓，
故點的軌跡長度為.
故選：B
8. 若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則和的可能取值為（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】二次求導(dǎo)得到在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，只需，再逐項檢驗.
【詳解】，且，且，
，令，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
要想在上單調(diào)遞增，
只需，即只需，
對A, 令，，
則在上恒成立，
故在上單調(diào)遞增，
故，即，則 ，A錯誤；
對B, ，B錯誤；
對C, 令，，
則恒成立，
故在上單調(diào)遞減，
故，即，C錯誤；
對D，令，
當(dāng)， φx單調(diào)遞減，
故，即
因為，
即，D正確．
故選：D．
【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，關(guān)鍵是利用二次導(dǎo)數(shù)判斷出.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，若只有2個正確選項，每選對1個得3分；若只有3個正確選項，每選對1個得2分.
9. 關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（ ）
A. 定義域為
B. 是偶函數(shù)
C. 的圖象關(guān)于點對稱
D. 在上單調(diào)遞增
【答案】ACD
【解析】
【分析】由可求定義域判斷A；根據(jù)定義域是否關(guān)于原點對稱判斷B；計算是否為0判斷C；由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷D.
【詳解】對于A，由得或，故定義域為，A正確；
對于B，因為定義域不關(guān)于原點對稱，故不是偶函數(shù)，B錯誤；
對于C，因為
，
所以圖象關(guān)于點對稱，正確；
對于D，，
因為函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，且在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，D正確.
故選：ACD.
10. 下列說法正確的有（ ）
A. 若復(fù)數(shù)，滿足，則
B. 若復(fù)數(shù)，滿足，則
C. 若向量，滿足，則
D. 若復(fù)數(shù)滿足，則
【答案】CD
【解析】
【分析】對于AB：舉反例說明即可；對于C：根據(jù)模長結(jié)合數(shù)量積的運算律分析求解；對于D：由整理可得，即可得結(jié)果.
【詳解】對于選項AB：例如，，
則，但，不能比較大小，即不成立，故A錯誤；
且，滿足，
但，故B錯誤；
對于選項C：因為，即，
可得，整理得，故C正確；
對于選項D：因為，則，整理得，
依此類推可得，故D正確；
故選：CD.
11. 甲?乙?丙?丁四人玩報數(shù)游戲：第一輪，甲報數(shù)字1，乙報數(shù)字2，3，丙報數(shù)字4，5，6，丁報數(shù)字7，8，9，10；第二輪，甲報數(shù)字11，12，13，14，15，依次循環(huán)，直到報出數(shù)字10000，游戲結(jié)束，則（ ）
A. 甲在第10輪報了33個數(shù)字
B. 數(shù)字2023是丁報的
C. 甲共報了37輪
D. 甲在前四輪所報數(shù)字之和為1540
【答案】BD
【解析】
【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)和求和公式，依次判斷每個選項得到答案.
【詳解】甲乙丙丁第輪的報數(shù)個數(shù)分別為，
前輪共報數(shù)個數(shù)為，
對選項A：甲在第10輪報了個數(shù)字，錯誤；
對選項B：當(dāng)時，；當(dāng)時，；
故在第輪報數(shù)中，，故數(shù)字2023是丁報的，正確；
對選項C：當(dāng)時，；
當(dāng)時，；故甲報了輪，錯誤；
對選項D：甲在前四輪所報數(shù)字之和為：
，正確；
故選：BD.
【點睛】思路點睛：從數(shù)列到數(shù)陣，盡管數(shù)的排列形式發(fā)生了變化，但問題的實質(zhì)仍然是數(shù)列問題，只要我們抓住每行首項，找準(zhǔn)每行變化規(guī)律，從數(shù)陣中構(gòu)造新數(shù)列，那么解決問題的思想和方法仍然不變，可謂“形散神不散”.
三、填空題：本大題共3個小題，每小題5分，共15分.
12. 設(shè)，記函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，若對任意，都有，則實數(shù)的最大值為__________.
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)在內(nèi)單調(diào)遞增，分析可知或，整理得關(guān)于的不等式或的解集為，可得，運算求解即可.
【詳解】因為，則在內(nèi)單調(diào)遞增，
則在內(nèi)單調(diào)遞增，
又因為在區(qū)間上的最大值為，
可得或，
由題意可知：或，
則或，
整理得或，
即關(guān)于的不等式或的解集為，
可知，
整理得，則，
又因為，解得，所以的最大值為.
故答案為：．
【點睛】方法點睛：恒成立問題解題方法指導(dǎo)：
方法1：分離參數(shù)法求最值.
(1)分離變量．構(gòu)造函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．
(2)恒成立?；
恒成立?；
能成立?；
能成立?.
方法2：根據(jù)不等式恒成立構(gòu)造函數(shù)轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值問題，一般需討論參數(shù)范圍，借助函數(shù)單調(diào)性求解．
13. 在中，，D為BC的中點，則的最大值為______．
【答案】
【解析】
【分析】先設(shè)，由三角形三邊關(guān)系得到，再利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式與余弦定理得到，從而利用換元與基本不等式求得的最小值，結(jié)合與在上的單調(diào)性即可求得的最大值.
【詳解】設(shè)，則，
因為為的中點，，所以，
由三角形三邊關(guān)系，可知且，解得，
在中，由余弦定理，得，
在中，由余弦定理，得，
因為，所以,
所以，解得，
則，，
令，則，，，
則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，此時，解得，
因為，所以．
因為在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)取得最小值時，取得最大值，
此時，則，
所以的最大值為.
故答案為：.
.
【點睛】關(guān)鍵點睛：本題中突破口為，由此得到，再結(jié)合余弦定理得到，最后利用基本不等式即可得解.
14. 將一個圓形紙片裁成兩個扇形，再分別卷成甲?乙兩個圓錐的側(cè)面，甲?乙兩個圓錐的側(cè)面積分別為和，體積分別為和.若，則__________.
【答案】##
【解析】
【分析】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式可得，再結(jié)合圓心角之和可將分別用表示，再利用勾股定理分別求出兩圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式即可得解.
【詳解】設(shè)母線長為，甲圓錐底面半徑為，乙圓錐底面圓半徑為，
則，所以，
又，則，所以，
所以甲圓錐的高，
乙圓錐的高，
所以.
故答案為：.
四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，其中
（1）求函數(shù)的解析式；
（2）若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，求出實數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得的解析式.
（2）對進行分類討論，根據(jù)的單調(diào)性求得的取值范圍.
【小問1詳解】
由是定義在上的奇函數(shù)，所以，
又時，，
所以時，，
所以，
所以函數(shù)的解析式為.
【小問2詳解】
當(dāng)時，，
若，由知，上遞增，不合題意；
，，
所以在上先減再增，符合函數(shù)在上不單調(diào)，
綜上，實數(shù)的取值范圍為.
16. 某研究小組經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)某種疾病的患病者與未患病者的某項醫(yī)學(xué)指標(biāo)有明顯差異，已知該疾病的患病率為，經(jīng)過大量調(diào)查，得到如圖的患病者和未患病者該指標(biāo)的頻率分布直方圖：

利用該指標(biāo)制定一個檢測標(biāo)準(zhǔn)，需要確定臨界值，將該指標(biāo)大于的人判定為陽性，小于或等于的人判定為陰性.將患病者判定為陰性或?qū)⑽椿疾≌吲卸殛栃跃鶠檎`診.假設(shè)數(shù)據(jù)在組內(nèi)均勻分布，以事件發(fā)生的頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率.
（1）當(dāng)臨界值時，已知某人是患病者，求該人被誤診的概率；
（2）當(dāng)時，求利用該指標(biāo)作為檢測標(biāo)準(zhǔn)的誤診率的解析式，并求使最小的臨界值.
【答案】（1）
（2），
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意矩形面積即可解出；
（2）根據(jù)題意確定分段點100，即可得出f(c)的解析式，再根據(jù)分段函數(shù)的最值求法即可解出.
【小問1詳解】
患病者被誤診即被判定為陰性的概率為：.
【小問2詳解】
當(dāng)時，
，
當(dāng)時，
，
在單調(diào)遞減，所以時，最小.
17. 如圖，在公園內(nèi)有一塊邊長為100米的等邊三角形空地（記為），現(xiàn)修成草坪，圖中把草坪分成面積相等的兩部分，點在上，點在上．
（1）若米，求長；
（2）如果是灌溉水管，為了節(jié)約成本，希望灌溉水管最短，請確定點的位置，并求的最小值．
【答案】（1）米；（2）當(dāng)米時，的最小值為米．
【解析】
【分析】（1）利用題中的條件三角形的面積是三角形面積的一半，即可解出；
（2）設(shè)，則利用三角形的面積是三角形面積的一半，可將的長度用表示出，再利用余弦定理即可解出．
【詳解】解：（1）由，，
設(shè)，則，
，即的長為．
（2）設(shè)，，
在中由余弦定理可得，
又，，
，
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號；
即當(dāng)，分別在，上距離點米時距離最小，最小值為．
18. 如圖，在多面體中，都是等邊三角形，平面為的中點.
（1）證明：；
（2）求與平面所成角的正弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）.
【解析】
【分析】（1）由全等三角形的判斷方法和線面垂直的判定定理可得平而，進而可得，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明即可；
（2）由（1），利用空間向量法求解線面角即可.
【小問1詳解】
由都是等邊三角形，，
可得.
取的中點為，則，
又，所以，
所以，即，
又平而，故平而.
因為，所以.
因為平面，平面，
所以，又，所以兩兩垂直，
以為原點，所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，
所以，
所以，則.
【小問2詳解】
由（1）知，
設(shè)平面的法向量為，
則即
取，則，所以，
設(shè)與平面所成的角為，
則，
所以與平面所成角的正弦值為.
19. 已知數(shù)列前項和為，且滿足.
（1）證明：.
（2）當(dāng)時，求證：；
（3）是否存在常數(shù)，使得為等比數(shù)列？若存在，求出所有滿足條件的的值；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）證明見解析
（2）證明見解析 （3）存在，
【解析】
【分析】（1）令，求出，即可證得.
（2）法一：根據(jù)當(dāng)時，因為，可得，求出，然后進行放縮可得利用累加法，即可證得.
法二：根據(jù)當(dāng)時，因為，兩式相減，可得
求得，然后進行放縮可得，利用累加法可得，從而證得，然后證明從而證得結(jié)論.
（3）假設(shè)存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列，設(shè)其公比為，列出關(guān)于的方程組，即可解得.
【小問1詳解】
證明：當(dāng)時，此時，從而，
因為，所以，即.
【小問2詳解】
證明：法一：因為，所以，
當(dāng)時，，因，解得，
當(dāng)時，因為，又因為，所以，
即，，因為，
從而，
從而，累加可得，
又，故，故當(dāng)時，.
又，時，也成立，故.
法二：由題意有，從而當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，兩式相減可得，
即
從而，則
即時，，，，，
累加可得，又因為，則，
，從而.
又即時，.
又，時，也成立，故.
【小問3詳解】
若存在實數(shù)，使得為等比數(shù)列，不妨設(shè)其公比為.
則即，可得，
又，可得，從而，
整理得對任意均成立，
即對任意均成立，故或.
當(dāng)時，，舍去：
當(dāng)時，，特別地，，因為，
所以，
解得（舍去）或.
當(dāng)時，，適合題意.
故存在實數(shù)，使得是公比為的等比數(shù)列.
【點睛】方法點睛：數(shù)列不等式的證明方法主要有：
（1）作差比較法：不等式兩邊作差與0比較大??；（2）放縮比較法：對表達式適當(dāng)放縮，證出不等式.

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