注意事項：1．本試卷共8頁，總分120分，考試時間120分鐘。
2．答卷前將密封線左側(cè)的項目填寫清楚。
3．答案須用黑色字跡的鋼筆、簽字筆或圓珠筆書寫。
一、選擇題（本大題共16個小題，共38分．1～6小題每題3分，7～16小題每題2分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．表示（ ）
A．的相反數(shù)B．的倒數(shù)C．2024的相反數(shù)D．2024的倒數(shù)
2．如圖，博物館在點北偏西的方向上，測得商廈，在點南偏西的方向上，則（ ）
A．B．C．D．
3．若是的81倍，則“？”的值是（ ）
A．31B．32C．33D．34
4．如圖，和是以點為位似中心的位似圖形，如果和的面積比為，則應(yīng)將放大為原圖形的（ ）倍．
A．1B．2C．3D．4
5．與相等的是（ ）
A．B．C．D．
6．已知四邊形是平行四邊形，若，要使得四邊形是正方形，則需要添加條件（ ）
A．B．C．D．
7．計算：，若使計算結(jié)果最小，則“”中的符號是（ ）
A．B．C．D．
8．下面圖案中是中心對稱圖形的有（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．2023年度，按常規(guī)口徑監(jiān)測，哈爾濱市共接待總游客量1.35億人次，將數(shù)據(jù)1.35億人次用科學(xué)記數(shù)法表示為人次．下列說法正確的是（ ）
A．，B．，
C．，D．，
10．如圖，點在三角板的斜邊上，，以為半徑作圓，交斜邊于另一點，其中為．則的值是（ ）
A．B．C．D．1
11．如圖，在菱形中，，，則菱形的面積為（ ）
A．B．1C．D．
12．為喜迎國慶，某校團委準(zhǔn)備從本校嘉嘉和琪琪兩名同學(xué)中，挑選一名優(yōu)秀的朗誦者參加比賽，他們對嘉嘉和琪琪進行了五次測試（滿分為10分），把他們的成績繪制成如下統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中信息，下列說法正確的是（ ）
A．嘉嘉的成績越來越好，如果再朗讀一次，一定還會得10分
B．嘉嘉的第三次成績與第二次成績相比，提高
C．琪琪的成績比嘉嘉的成績穩(wěn)定
D．兩人的成績穩(wěn)定性一樣
13．為了響應(yīng)國家“雙減”政策，育華中學(xué)適當(dāng)改變學(xué)習(xí)方式，通過各學(xué)科知識的綜合，進行探究性活動，達到寓教于樂，融會貫通的學(xué)習(xí)效果．如圖，化學(xué)課上用值表示溶液酸堿性的強弱程度，當(dāng)時溶液呈堿性，當(dāng)時溶液呈酸性，若將給定的溶液加水稀釋，那么在下列圖象中，能大致反映溶液的與所加水的體積之間對應(yīng)關(guān)系的是（ ）
A．B．C．D．
14．如圖，在中，以點為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點．分別以點為圓心，大于長為半徑畫弧，交于內(nèi)一點．連結(jié)并延長，交于點．連結(jié)．
強強得出的結(jié)論是：當(dāng)時，；
晴晴得出的結(jié)論是：當(dāng)時，；
琪琪得出的結(jié)論是：當(dāng)時，．
根據(jù)這三個人的結(jié)論，判斷下面說法正確的是（ ）
A．只有強強和琪琪得出的結(jié)論都對B．只有強強和晴晴得出的結(jié)論都對
C．只有晴晴和琪琪得出的結(jié)論都對D．這三個人得出的結(jié)論都對
15．如圖，上下底面為全等的正六邊形禮盒，其主視圖與左視圖均由矩形構(gòu)成，主視圖中大矩形邊長如圖所示，左視圖中包含兩個全等的矩形，如果用彩色膠帶如圖包扎禮盒，所需膠帶長度約為（ ）．（參考數(shù)據(jù)：）
A．B．C．D．
16．七巧板是一種開發(fā)智力的玩具，為提高學(xué)生的感知能力，老師投影演示如下：在正方形紙板中，為對角線，分別為的中點，分別交，于兩點，分別為的中點，連接，沿圖中實線剪開即可得到一副七巧板．通過觀察演示過程，
甲同學(xué)得出：圖中的三角形都是等腰直角三角形；
乙同學(xué)得出：四邊形MPEB是菱形；
丙同學(xué)得出：四邊形的面積占正方形面積的．
則正確的是（ ）
A．只有甲答的對B．甲、丙答案合在一起才完整
C．甲、乙答案合在一起才完整D．三人答案合在一起才完整
二．填空題（本大題共3個小題，共10分．17小題2分，18～19小題各4分，每空2分）
17．在平面直角坐標(biāo)系中，將點繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得到點，若點恰好在反比例函數(shù)的圖象上，則的值是______．
18．在“探索一次函數(shù)的系數(shù)與圖象的關(guān)系”活動中，老師給出了直角坐標(biāo)系中的三個點：，，．同學(xué)們畫出了經(jīng)過這三個點中每兩個點的一次函數(shù)的圖象，并得到對應(yīng)的函數(shù)表達式，，．
則______；______．（選填“”“”或“”）
19．如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，已知且滿足，．
圖19-1 圖19-2
（1）若，，則圖19-1陰影部分的面積是______；
（2）若圖19-1陰影部分的面積為9，圖19-2四邊形的面積為15，則圖19-2陰影部分的面積是______．
三、解答題（本大題有7個小題，共72分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
20．（本小題滿分9分）
【發(fā)現(xiàn)】如果一個整數(shù)的個位數(shù)字能被2整除，那么這個整數(shù)就能被2整除．
【驗證】如：，
又和10都能被2整除，2能被2整除，
能被2整除，
即：542能被2整除．
（1）請你照著上面的例子驗證653不能被2整除；
（2）把一個千位是、百位是、十位是、個位是的四位數(shù)記為．請照例說明：只有是偶數(shù)時，四位數(shù)才能被2整除．
【遷移】設(shè)是一個四位數(shù)，請證明：當(dāng)能被3整除時，能被3整除．
21．（本小題滿分9分）
現(xiàn)有甲、乙、丙三種規(guī)格的卡片各若干張，已知甲卡片是邊長為的正方形，乙卡片是寬為1，長為的矩形，丙卡片是邊長為1的正方形，如圖21-1所示（）．嘉嘉分別用6張卡片拼出了兩個矩形（不重疊，無縫隙），如圖21-2和圖21-3，其面積分別為．
圖21-1 圖21-2 圖21-3
（1）請用含的式子分別表示______，______；
（2）比較與的大小，并說明理由；
（3）當(dāng)時，求的值．
22．（本小題滿分9分）
為驗收某校對學(xué)生“消防安全教育”的教學(xué)質(zhì)量，教育局工作組在該校隨機抽取了10名學(xué)生進行“消防安全”知識質(zhì)量檢測（得分均為整數(shù)分，滿分100分）．并規(guī)定：若學(xué)生成績的平均分或中位數(shù)小于80分，則該校此項工作不合格．把成績進行整理分析后，制成如下統(tǒng)計圖：
（1）求學(xué)生此次檢測成績的平均數(shù)和中位數(shù)，并判斷該校此項工作是否合格；
（2）工作組從余下的學(xué)生中又隨機抽取了兩名進行答題，并和之前10名同學(xué)的數(shù)據(jù)整合在一起，重新計算后，發(fā)現(xiàn)數(shù)據(jù)的平均數(shù)變小，但中位數(shù)沒有改變；已知這兩名學(xué)生的分?jǐn)?shù)相同，求這兩名學(xué)生分?jǐn)?shù)的最大值；
（3）若對該校全體學(xué)生1200人進行檢測，請你根據(jù)（2）題中的數(shù)據(jù)，估計該校能得滿分的學(xué)生人數(shù)．
23．（本小題滿分10分）
某實驗中學(xué)為培養(yǎng)學(xué)生對數(shù)學(xué)的興趣，舉辦“數(shù)學(xué)素養(yǎng)”探究活動，在這次探究活動中，同學(xué)們探討了下面的問題：
【材料閱讀】
如右圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，對于點，如果點滿足條件：以線段為對角線的四邊形是正方形，且正方形的邊分別與軸，軸平行，那么稱點為點的“和諧點”．
【問題探究】
已知點，，，．
（1）在點中，是點的“和諧點”的是______；
（2）已知點的坐標(biāo)為，如果點為點的“和諧點”，求的值；
（3）已知點，如果線段上存在一個點，使得點是點的“和諧點”，直接寫出的取值范圍．
24．（本小題滿分10分）
如圖，，，，分別以點，點為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，與相交于點．
（1）求證：；
（2）當(dāng)直線與圓相切時，求的值；
（3）當(dāng)時，求陰影部分的面積．（結(jié)果保留）
25．（本小題滿分12分）
如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸交于點，與軸交于點，二次函數(shù)的圖象過兩點，且與軸交于另一點，點為線段上的一個動點，過點作直線平行于軸交于點，交二次函數(shù)的圖象于點．
（1）求一次函數(shù)及二次函數(shù)的表達式；
（2）求的面積；
（3）當(dāng)以點為頂點的三角形與相似時，求線段的長度．
26．（本小題滿分13分）
已知在中，，是邊上的一點，將沿著過點的直線折疊，使點落在邊的點處（不與點重合），折痕交邊于點．
圖26-1 圖26-2 圖26-3
【特例感知】如圖26-1，若，是的中點，求證：；
【變式求異】如圖26-2，若，，，過點作于點，求和的長；
【化歸探究】如圖26-3，若，，且當(dāng)時，存在兩次不同的折疊，使點落在邊上兩個不同的位置，請直接寫出的取值范圍．
數(shù)學(xué)（沖刺型）答案
17．18． 19．（1）100 （2）
20．（本小題滿分9分）
解：（1），
100和10都能被2整除，3不能被2整除，
不能被2整除，
即653不能被2整除：
（2）．
1000和100和10都能被2整除，
當(dāng)是偶數(shù)時能被2整除時，能被2整除；
【遷移】證明：，
，
能被3整除，
若“”能被3整除，則能被3整除．
21．（本小題滿分9分）
解：（1）由題圖可知，
；
（2），理由如下：
，
，，；
（3）當(dāng)時，，
，或（舍去）
22．（本小題滿分9分）
解（1）共有10名學(xué)生，分?jǐn)?shù)從小到大排序后第5個和第6個均為80分，
中位數(shù)為（分）
平均數(shù)為
（分）
中位數(shù)和平均數(shù)都不小于80分，
該校此項工作合格。
（2）設(shè)這兩名學(xué)生的分?jǐn)?shù)為分，
依題意得
解得，
又分?jǐn)?shù)是整數(shù)分，且中位數(shù)為80，
這兩名學(xué)生分?jǐn)?shù)的最大值為80分。
（3）（人）．
該校能得滿分的學(xué)生人數(shù)為100人．
23．（本小題滿分10分）
解：（1）如圖，在中，是點的“和諧點”的是點，點．
故答案為：．
（2）如圖，點的坐標(biāo)為，點為點的“和諧點”，
觀察圖形可知或．
或．
（3）或．
如圖，
觀察圖形可知，
點在線段上，
點的“和諧點”在線段上，，，
點在線段上，
或．
24．（本小題滿分10分）
（1）證明：，
，，
在和中，，
，，
又，；
（2）解：直線與圓相切，
，，
，
，
在中，，，
，
；
（3）解：過作于，
，
，
，
，
陰影部分的面積的面積扇形的面積
．
25．（本小題滿分12分）
解：（1）直線與軸交于點，與軸交于點，
，解得：，
一次函數(shù)的表達式為：；
把，，代入得：
，解得：，
二次函數(shù)的表達式為；
（2）在中，令，得或，
，，，
；
（3）如圖，連接，
，，
，，，
，
以為頂點的三角形與相似，和為對應(yīng)點，
設(shè)，則，
，
，
①當(dāng)時，，
或（舍去），．
②當(dāng)時，，
，
解得或，（舍去）
，
綜上所述，或．
26．（本小題滿分13分）
【特例感知】
證明：，，
是等邊三角形，
，．
由題意，得，，
，是等邊三角形，
．
【變式求異】
解：，，
，
，，，
，，
．
將沿過點的直線折疊，
情形一：當(dāng)點落在線段上的點處時，如答圖26-1中，
答題26-1
，
，
．
情形二：當(dāng)點落在線段上的點處時，如答圖26-2中，
答圖26-2
同法可證，
，
綜上所述，滿足條件的的值為或．
【化歸探究】．
【管案提示】
如答圖26-3中，過點作于，過點作于．
答圖26-3
，，
，
當(dāng)時，設(shè)，則，
，，，
，
觀察圖形可知，當(dāng)時，存在兩次不同的折疊，使點落在邊上兩個不同的位置．1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
B
B
A
B
D
B
C
C
C
C
D
C
B
B
A
B

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