A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2?a3＝4a5D．a(chǎn)6÷a2＝a3
3．（3分）在同一平面內(nèi)到直線的距離等于2的直線有（ ）
A．1條B．2條C．4條D．無數(shù)條
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，則的值為（ ）
A．B．C．D．3
5．（3分）如圖，一個正方體骰子的六個面上分別標(biāo)有1至6共六個數(shù)字，且相對面數(shù)字之和相同，將骰子按如圖所示方式放置并按箭頭方向無滑動翻轉(zhuǎn)后停止在M處，則停止后骰子朝上面的數(shù)字為（ ）
A．3B．4C．5D．6
6．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．PQ為∠APB的平分線
B．PA＝PB
C．點A、B到PQ的距離不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
7．（2分）一個小正方體的表面積為3×10﹣2平方米，則每個面的面積用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
8．（2分）圖1所示的幾何體是由8個大小相同的小正方體組合而成，現(xiàn)要得到一個幾何體，它的主視圖與左視圖如圖2，則至多還能拿走這樣的小正方體（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
9．（2分）如圖是嘉淇不完整的推理過程，為了使嘉淇的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列添加的條件正確的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
10．（2分）已知兩個不等于0的實數(shù)a、b滿足a+b＝0，則+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝?，則按此規(guī)律推算48﹣1的結(jié)果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
12．（2分）自然數(shù)4，5，5，x，y從小到大排列后，其中位數(shù)為4，如果這組數(shù)據(jù)唯一的眾數(shù)是5，那么，所有滿足條件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
13．（2分）將一個半徑為1的圓形紙片，如圖連續(xù)對折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開，則虛線①所對的圓弧長和展開后得到的多邊形的內(nèi)角和分別為（ ）
A．B．C．D．
14．（2分）在作業(yè)紙上，AB∥EF，點C在AB，EF之間，要得知兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學(xué)提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2），對于方案I、II，說法正確的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
15．（2分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
16．（2分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)，設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
二.填空題（17題3分，18題每空2分，19題第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，則a的取值范圍是 ．
18．（4分）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝ ．
19．（4分）如圖，在?OABC中，點C（3，0），點A（1，3），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，反比例函數(shù)的圖象與BC交于點F，與折線OAB交于點E．
（1）k＝ ；
（2）若?OABC夾在y1，y2之間的整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）有7個（包括邊界），則m的取值范圍為 ．
三.解答題（共71分）
20．（9分）已知n邊形的內(nèi)角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°．甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n．若不對，說明理由；
（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°，用列方程的方法確定x．
21．（9分）在計算題目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”時，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的計算結(jié)果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判斷2M﹣N的化簡結(jié)果是否能為負(fù)數(shù)，并說明理由．
22．（8分）如圖，放在直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD的邊長為4．現(xiàn)做如下實驗：轉(zhuǎn)盤被劃分成4個相同的小扇形，并分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，分別轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)赶虻臄?shù)字作為直角坐標(biāo)系中M點的坐標(biāo)（第一次作橫坐標(biāo)，第二次作縱坐標(biāo)），指針如果指向分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）請你用樹狀圖或列表的方法，求M點落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的概率；
（2）將正方形ABCD平移整數(shù)個單位，則是否存在某種平移，使點M落在正方形ABCD面上的概率為？若存在，指出一種具體的平移過程；若不存在，請說明理由．
23．（9分）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈簧測力計的示數(shù)F拉力（N）與石塊下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)石塊下降的高度為8cm時，求此刻該石塊所受浮力的大小．
（溫馨提示：當(dāng)石塊位于水面上方時，F(xiàn)拉力＝G重力；當(dāng)石塊入水后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．）
24．（11分）某款“不倒翁”的主視圖如圖1，它由半圓O和等邊△PAB組成，直徑AB＝8cm，半圓O的中點為點C，MN為桌面，半圓O與MN相切于點Q，撥動“不倒翁”后它在桌面MN上做無滑動的滾動．
（1）如圖1，AB∥MN，請直接寫出PC的長為 cm（結(jié)果保留根號）；
（2）如圖2，當(dāng)PB⊥MN時，連接OQ，OC．
①直接寫出∠COQ的度數(shù)．
②求點C到桌面MN的距離（結(jié)果保留根號）；
（3）當(dāng)PA或PB垂直于MN時“不倒翁”開始折返，直接寫出從PB⊥MN滾動到PA⊥MN（圖2﹣圖3）過程中，圓心O移動的距離．
25．（12分）已知：如圖拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與y軸交于點（0，4），頂點為點D．點A，B的坐標(biāo)分別為（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②請用含a的式子表示頂點D的坐標(biāo)．
（2）拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與線段AB有一個公共點時，求a的取值范圍；
（3）如圖，連接AD，BD，△ABD的面積是否發(fā)生變化，若不變請直接寫出其面積；若變化，請說明理由．
26．（13分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點E在折線CB﹣BA上運(yùn)動（點E不與點C，A重合），DE的中點為G，將EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF．設(shè)點E的運(yùn)動路徑長為x．
（1）如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點F到直線BC的距離為 ；
（2）如圖2，當(dāng)點F落在矩形ABCD的邊（或邊所在的直線）上時，求x的值；
（3）過點F作FN∥DE，交AD延長線于點N（如圖3），設(shè)DN的長為y，請直接寫出y與x的函數(shù)解析式．
2024年河北省邯鄲市冀南新區(qū)育華實驗學(xué)校中考數(shù)學(xué)三模試卷
參考答案與試題解析
一.選擇題（共38分，1-6每題3分，7-16每題2分.）
1．（3分）數(shù)軸上點A表示﹣3，點B表示1，則表示A、B兩點間的距離的算式是（ ）
A．﹣3+1B．﹣3﹣1C．1﹣（﹣3）D．1﹣3
【解答】解：依題意得：1＞﹣3，
∴A、B兩點間的距離為：1﹣（﹣3）．
故選：C．
2．（3分）下列運(yùn)算正確的是（ ）
A．a(chǎn)2+a2＝2a4B．（﹣3a2）3＝﹣9a6
C．4a2?a3＝4a5D．a(chǎn)6÷a2＝a3
【解答】解：A．a(chǎn)2+a2＝2a2，
則A不符合題意；
B．（﹣3a2）3＝﹣27a6，
則B不符合題意；
C．4a2?a3＝4a2+3＝4a5，
則C符合題意；
D．a(chǎn)6÷a2＝a4，
則D不符合題意；
故選：C．
3．（3分）在同一平面內(nèi)到直線的距離等于2的直線有（ ）
A．1條B．2條C．4條D．無數(shù)條
【解答】解：同一平面內(nèi)到直線的距離等于2的直線有2條，
故選：B．
4．（3分）已知a＝+1，b＝﹣1，則的值為（ ）
A．B．C．D．3
【解答】解：∵a＝+1，b＝﹣1，
∴ab＝（+1）（﹣1）
＝2﹣1
＝1，
∴＝＝2．
故選：B．
5．（3分）如圖，一個正方體骰子的六個面上分別標(biāo)有1至6共六個數(shù)字，且相對面數(shù)字之和相同，將骰子按如圖所示方式放置并按箭頭方向無滑動翻轉(zhuǎn)后停止在M處，則停止后骰子朝上面的數(shù)字為（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：∵一個正方體骰子的六個面上分別標(biāo)有1至6共六個數(shù)字，且相對面數(shù)字之和相同，
∴1的對面是6，2的對面是5，3的對面是4，
∴翻轉(zhuǎn)第一次時3朝下，4朝上；翻轉(zhuǎn)第二次時2朝下，5朝上；翻轉(zhuǎn)第三次時4朝下，3朝上；翻轉(zhuǎn)四次時1朝下，6朝上．
故選：D．
6．（3分）觀察圖中尺規(guī)作圖痕跡，下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．PQ為∠APB的平分線
B．PA＝PB
C．點A、B到PQ的距離不相等
D．∠APQ＝∠BPQ
【解答】解：∵由圖可知，PQ是∠APB的平分線，
∴A，B，D正確；
∵PQ是∠APB的平分線，PA＝PB，
∴點A、B到PQ的距離相等，故C錯誤．
故選：C．
7．（2分）一個小正方體的表面積為3×10﹣2平方米，則每個面的面積用科學(xué)記數(shù)法表示為（ ）
A．0.5×10﹣2平方米B．5×10﹣3平方米
C．5×10﹣2平方米D．0.5×10﹣3平方米
【解答】解：∵小正方體有6個面，且每個面都是正方形，
∴（3×10﹣2）÷6＝0.5×10﹣2＝5×10﹣3（平方米），
故選：B．
8．（2分）圖1所示的幾何體是由8個大小相同的小正方體組合而成，現(xiàn)要得到一個幾何體，它的主視圖與左視圖如圖2，則至多還能拿走這樣的小正方體（ ）
A．1個B．2個C．3個D．4個
【解答】解：由題意可知，該幾何體的底層至少需要3個小正方體，上層至少需要2個小正方體，
所以至多還能拿走這樣的小正方體3個．
故選：C．
9．（2分）如圖是嘉淇不完整的推理過程，為了使嘉淇的推理成立，需在四邊形ABCD中添加條件，下列添加的條件正確的是（ ）
A．∠B+∠C＝180°B．AB＝CD
C．∠A＝∠BD．AD＝BC
【解答】解：∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
∵AB＝CD，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．
故選：B．
10．（2分）已知兩個不等于0的實數(shù)a、b滿足a+b＝0，則+等于（ ）
A．﹣2B．﹣1C．1D．2
【解答】解：方法一：+
＝
＝
＝，
∵兩個不等于0的實數(shù)a、b滿足a+b＝0，
∴ab≠0，
當(dāng)a+b＝0時，原式＝＝﹣2，
故選：A．
方法二：∵兩個不等于0的實數(shù)a、b滿足a+b＝0，
∴a＝﹣b，
∴+
＝
＝﹣1+（﹣1）
＝﹣2，
故選：A．
11．（2分）已知48﹣1＝（44+1）（44﹣1）＝?，則按此規(guī)律推算48﹣1的結(jié)果一定能（ ）
A．被12整除B．被13整除C．被14整除D．被15整除
【解答】解：48﹣1
＝（44+1）（44﹣1）
＝（44+1）（42+1）（42﹣1）
＝（44+1）（42+1）×15．
故選：D．
12．（2分）自然數(shù)4，5，5，x，y從小到大排列后，其中位數(shù)為4，如果這組數(shù)據(jù)唯一的眾數(shù)是5，那么，所有滿足條件的x，y中，x+y的最大值是（ ）
A．3B．4C．5D．6
【解答】解：唯一的眾數(shù)是5，中位數(shù)為4，故x，y不相等且x＜4，y＜4．
x、y的取值為0，1，2，3，則x+y的最大值為2+3＝5．
故選：C．
13．（2分）將一個半徑為1的圓形紙片，如圖連續(xù)對折三次之后，用剪刀沿虛線①剪開，則虛線①所對的圓弧長和展開后得到的多邊形的內(nèi)角和分別為（ ）
A．B．C．D．
【解答】解：根據(jù)題意得虛線①所對的圓弧對的圓心角為45°，展開后得到的多邊形為正八邊形，
所以虛線①所對的圓弧長為＝，
展開后得到的多邊形的內(nèi)角和為180°×（8﹣2）＝1080°．
故選：C．
14．（2分）在作業(yè)紙上，AB∥EF，點C在AB，EF之間，要得知兩相交直線AB，CD所夾銳角的大小，發(fā)現(xiàn)其交點不在作業(yè)紙內(nèi)，無法直接測量．兩同學(xué)提供了如下間接測量方案（如圖1和圖2），對于方案I、II，說法正確的是（ ）
A．I可行，II不可行B．I不可行，II可行
C．I、II都可行D．I、II都不可行
【解答】解：如圖1，延長CD交AB于Q，過C作CM∥AB，而AB∥EF，
∴AB∥CM∥EF，
∴∠AQC＝∠QCM，∠E＝∠MCE，
∴∠AQC＝∠QCM＝∠DCE﹣∠MCE＝∠DCE﹣∠E，
∴I方案可行，
如圖2，延長CD交AB于Q，
∵AB∥EF，
∴∠AQC＝∠CME，
∴II方案可行，
故選：C．
15．（2分）如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置．已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形的面積9．若AA′＝1，則A′D等于（ ）
A．2B．3C．4D．
【解答】解：設(shè)A′B′交BC于E，A′C′交BC于F．
∵S△ABC＝16、S△A′EF＝9，且AD為BC邊的中線，
∴S△A′DE＝S△A′EF＝，S△ABD＝S△ABC＝8，
∵將△ABC沿BC邊上的中線AD平移得到△A'B'C'，
∴A′E∥AB，
∴△DA′E∽△DAB，
則（）2＝，即（）2＝，
解得A′D＝3或A′D＝﹣（舍），
故選：B．
16．（2分）如圖，在?ABCD中，對角線AC，BD相交于點O，AC⊥BC，BC＝4，∠ABC＝60°．若EF過點O且與邊AB，CD分別相交于點E，F(xiàn)，設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【解答】解：過O點作OM⊥AB于M，
∵AC⊥BC，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°，
∵BC＝4，
∴AB＝8，AC＝，
∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AO＝AC＝，
∴OM＝AO＝，
∴AM＝，
設(shè)BE＝x，OE2＝y(tǒng)，則EM＝AB﹣AM﹣BE＝8﹣3﹣x＝5﹣x，
∵OE2＝OM2+EM2，
∴y＝（x﹣5）2+3，
∴拋物線開口方向向上，頂點坐標(biāo)為（5，3），與y軸的交點為（0，28），
∵0≤x≤8，
∴當(dāng)x＝8時y＝12，
故符合解析式的圖象為：
故選：C．
二.填空題（17題3分，18題每空2分，19題第一空3分，第二空1分，共11分）
17．（3分）由x＜y得到ax＞ay，則a的取值范圍是 ．
【解答】解：∵x＜y，ax＞ay，
∴a＜0．
故答案為：a＜0．
18．（4分）如圖，線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，若∠1＝39°，則∠AOC＝ ．
【解答】解：解法一：連接BO，并延長BO到P，
∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，
∴AO＝OB＝OC，∠BDO＝∠BEO＝90°，
∴∠DOE+∠ABC＝180°，
∵∠DOE+∠1＝180°，
∴∠ABC＝∠1＝39°，
∵OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ABO，∠OBC＝∠C，
∵∠AOP＝∠A+∠ABO，∠COP＝∠C+∠OBC，
∴∠AOC＝∠AOP+∠COP＝∠A+∠ABC+∠C＝2×39°＝78°；
解法二：
連接OB，
∵線段AB、BC的垂直平分線l1、l2相交于點O，
∴AO＝OB＝OC，
∴∠AOD＝∠BOD，∠BOE＝∠COE，
∵∠DOE+∠1＝180°，∠1＝39°，
∴∠DOE＝141°，即∠BOD+∠BOE＝141°，
∴∠AOD+∠COE＝141°，
∴∠AOC＝360°﹣（∠BOD+∠BOE）﹣（∠AOD+∠COE）＝78°；
故答案為：78°．
19．（4分）如圖，在?OABC中，點C（3，0），點A（1，3），反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點B，反比例函數(shù)的圖象與BC交于點F，與折線OAB交于點E．
（1）k＝ ；
（2）若?OABC夾在y1，y2之間的整數(shù)點（橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點）有7個（包括邊界），則m的取值范圍為 ．
【解答】解：（1）∵OC＝3，點A（1，3），
∴將點A向右平移3個單位長度得到點B（4，3），
將點B（4，3）代入中，得k＝12；
（2）?OABC中的整數(shù)點如圖所示：
將點A（1，3）代入，得m＝3；將點（1，2）代入，得m＝2；
∴若?OABC夾在y1，y2之間的整數(shù)點有7個（包括邊界），則m的取值范圍為2＜m≤3，
故答案為：（1）12；（2）2＜m≤3．
三.解答題（共71分）
20．（9分）已知n邊形的內(nèi)角和θ＝（n﹣2）×180°．
（1）甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°．甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n．若不對，說明理由；
（2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了540°，用列方程的方法確定x．
【解答】解：（1）∵360°÷180°＝2，
630°÷180°＝3……90°，
∴甲的說法對，乙的說法不對，
360°÷180°+2
＝2+2
＝4．
答：甲同學(xué)說的邊數(shù)n是4；
（2）依題意有（n+x﹣2）×180°﹣（n﹣2）×180°＝540°，
解得x＝3．
故x的值是3．
21．（9分）在計算題目：“已知：M＝3x2﹣4x+2，N＝■，求2M﹣N”時，嘉淇把“2M﹣N”看成“M﹣2N”，得到的計算結(jié)果是﹣x2+4x﹣4．
（1）求整式N；
（2）判斷2M﹣N的化簡結(jié)果是否能為負(fù)數(shù)，并說明理由．
【解答】解：（1）根據(jù)題意得：N＝[3x2﹣4x+2﹣（﹣x2+4x﹣4）]＝2x2﹣4x+3；
（2）2M﹣N＝2（3x2﹣4x+2）﹣（2x2﹣4x+3）＝6x2﹣8x+4﹣2x2+4x﹣3＝4x2﹣4x+1＝（2x﹣1）2，
∵（2x﹣1）2≥0．
∴2M﹣N的化簡結(jié)果不能為負(fù)數(shù)．
22．（8分）如圖，放在直角坐標(biāo)系中的正方形ABCD的邊長為4．現(xiàn)做如下實驗：轉(zhuǎn)盤被劃分成4個相同的小扇形，并分別標(biāo)上數(shù)字1，2，3，4，分別轉(zhuǎn)動兩次轉(zhuǎn)盤，轉(zhuǎn)盤停止后，指針?biāo)赶虻臄?shù)字作為直角坐標(biāo)系中M點的坐標(biāo)（第一次作橫坐標(biāo)，第二次作縱坐標(biāo)），指針如果指向分界線上，則重新轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤．
（1）請你用樹狀圖或列表的方法，求M點落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的概率；
（2）將正方形ABCD平移整數(shù)個單位，則是否存在某種平移，使點M落在正方形ABCD面上的概率為？若存在，指出一種具體的平移過程；若不存在，請說明理由．
【解答】解：（1）正方形四個頂點的坐標(biāo)分別是A（﹣2，2）；B（﹣2，﹣2）；C（2，﹣2）；D（2，2），
列表得：

M點的坐標(biāo)所有的情況有共16種，
其中落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的有（1，1），（1，2），（2，1），（2，2），共4種，所以M點落在正方形ABCD面上（含內(nèi)部與邊界）的概率是＝；
（2）若使點M落在正方形ABCD面上的概率為，則只有4個點不在正方形內(nèi)部，所以可把正方形ABCD向右平移2個單位長度，再向上平移1個單位長度或者向右平移1個單位長度，向上平移2個單位長度即可．
23．（9分）在測浮力的實驗中，將一長方體石塊由玻璃器皿的上方，向下緩慢移動浸入水里的過程中，彈簧測力計的示數(shù)F拉力（N）與石塊下降的高度x（cm）之間的關(guān)系如圖所示．
（1）求AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式；
（2）當(dāng)石塊下降的高度為8cm時，求此刻該石塊所受浮力的大?。?br>（溫馨提示：當(dāng)石塊位于水面上方時，F(xiàn)拉力＝G重力；當(dāng)石塊入水后，F(xiàn)拉力＝G重力﹣F浮力．）
【解答】解：（1）設(shè)AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為F拉力＝kx+b，將（6，4），（10，2.5）代入得：
，
解得，
∴AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為F拉力＝﹣x+；
（2）在F拉力＝﹣x+中，令x＝8得F拉力＝﹣×8+＝，
∵4﹣＝（N），
∴當(dāng)石塊下降的高度為8cm時，該石塊所受浮力為N．
24．（11分）某款“不倒翁”的主視圖如圖1，它由半圓O和等邊△PAB組成，直徑AB＝8cm，半圓O的中點為點C，MN為桌面，半圓O與MN相切于點Q，撥動“不倒翁”后它在桌面MN上做無滑動的滾動．
（1）如圖1，AB∥MN，請直接寫出PC的長為 cm（結(jié)果保留根號）；
（2）如圖2，當(dāng)PB⊥MN時，連接OQ，OC．
①直接寫出∠COQ的度數(shù)．
②求點C到桌面MN的距離（結(jié)果保留根號）；
（3）當(dāng)PA或PB垂直于MN時“不倒翁”開始折返，直接寫出從PB⊥MN滾動到PA⊥MN（圖2﹣圖3）過程中，圓心O移動的距離．
【解答】解：（1）由題意得：當(dāng)AB∥MN時，P，O，C三點在一條直線上，
∵直徑AB＝8cm，
∴OC＝AB＝4cm，
∵△PAB為等邊三角形，
∴PA＝AB＝PB＝8cm，∠PAB＝60°，
∵OA＝OB，
∴PO⊥AB，
∴PO＝PA?sin60°＝8×＝4（cm），
∴PC＝PO+OC＝（4+4）cm．
故答案為：4+4；
（2）①∠COQ的度數(shù)＝30°．
∵半圓O與MN相切于點Q，
∴OQ⊥MN，
∵PB⊥MN，
∴PB∥OQ，
∴∠QOB＝∠PBA＝90°，
∵半圓O的中點為點C，
∴∠BOC＝90°，
∴∠COQ＝∠BOC﹣∠BOQ＝30°．
②過點C作CH⊥MN于點H，CK⊥OQ于點K，如圖，
∵∠COQ＝30°，CK⊥OQ，
∴CK＝OC＝2cm，
∴OK＝＝2（cm），
∴QK＝OQ﹣OK＝（4﹣2）cm，
∵CH⊥MN，CK⊥OQ，OQ⊥MN，
∴四邊形CHQK為矩形，
∴CH＝QK＝（4﹣2）cm．
∴點C到桌面MN的距離為（4﹣2）cm．
（3）從PB⊥MN滾動到PA⊥MN（圖2﹣圖3）過程中，圓心O移動的距離為cm．
∵撥動“不倒翁”后它在桌面MN上做無滑動的滾動，
∴滾動過程中始終與桌面MN相切，
∴圓心O到桌面的距離總等于圓的半徑，
∴從PB⊥MN滾動到PA⊥MN過程中，圓心O移動的距離為的長度的2倍，
由（2）①知：∠COQ＝30°，
∴圓心O移動的距離＝＝（cm）．
25．（12分）已知：如圖拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與y軸交于點（0，4），頂點為點D．點A，B的坐標(biāo)分別為（4，1），（6，4）．
（1）①c＝ ；
②請用含a的式子表示頂點D的坐標(biāo)．
（2）拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與線段AB有一個公共點時，求a的取值范圍；
（3）如圖，連接AD，BD，△ABD的面積是否發(fā)生變化，若不變請直接寫出其面積；若變化，請說明理由．
【解答】解：（1）①∵拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與y軸交于點（0，4），
∴c＝4，
故答案為：4；
②拋物線解析式為y＝ax2+3x+4，
根據(jù)頂點坐標(biāo)公式：x＝﹣，
y＝a（﹣）2+3（﹣）+4＝＝﹣，
∴D（﹣，﹣+4）；
（2）設(shè)線段AB的解析式為y＝kx+b，將A（4，1）、B（6，4）代入得：
，解得，
∴直線AB的解析式為y＝，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點A時，如圖，此時有：1＝a×42+3×4+4，
解得：a＝﹣，
當(dāng)拋物線經(jīng)過點B時，如圖，此時有：4＝a×62+3×6+4，
解得：a＝﹣，
當(dāng)拋物線的頂點在直線AB上時，
，
此方程無解，
∴a的取值范圍為：；
（3）不變，理由如下：
分別過點A，B，D作AE⊥x軸，BF⊥x軸，DG⊥x軸，
∴S△ABD＝S梯形BFGD﹣S梯形BFEA﹣S梯形AEGD
＝（4+4﹣）（6+）﹣×（4+1）×（6﹣4）﹣（1+4﹣）（4+）
＝24﹣﹣﹣10++﹣5
＝9．
26．（13分）如圖，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，點E在折線CB﹣BA上運(yùn)動（點E不與點C，A重合），DE的中點為G，將EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF．設(shè)點E的運(yùn)動路徑長為x．
（1）如圖1，當(dāng)點E與點B重合時，點F到直線BC的距離為 ；
（2）如圖2，當(dāng)點F落在矩形ABCD的邊（或邊所在的直線）上時，求x的值；
（3）過點F作FN∥DE，交AD延長線于點N（如圖3），設(shè)DN的長為y，請直接寫出y與x的函數(shù)解析式．
【解答】解：（1）如圖1，
作FH⊥BC于H，
∴∠FHE＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠ABC＝90°，
∴∠FHE＝∠A，
∵EG繞點E順時針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，
∴EF＝EG，∠DEF＝90°，
∴∠GEF＝∠ABC，
∴∠ABD＝∠FEH，
∴△ABD∽△HEF，
∴，
∵G是DE的中點，
∴DE＝2EG＝2EF，
∴，
∴FH＝＝，
故答案為：；
（2）如圖2，
當(dāng)點E在BC上，點F在CD所在的直線是上時，
∵∠DEF＝90°，
∴∠FEC+∠DEC＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠ECF＝∠DCE＝90°，CD＝AB＝4，
∴∠DEC+∠CDE＝90°，
∴∠CDE＝∠FEC，
∴△ECF∽△DEC，
∴，
∴CE＝，
∴x＝2，
如圖3，
當(dāng)點E在AB上，當(dāng)F在BC上時，
同理上可得，
△EBF∽△DAE，
∴，
∴BE＝AD＝，
∴x＝BC+BE＝2+，
綜上所述：x＝2或；
（3）如圖3，
當(dāng)點E在BC上時，作DH⊥FN于H，作EQ⊥AD于Q，
∴∠DHN＝∠DHF＝90°，
∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴四邊形ABEQ是矩形，
∴EQ＝AB＝4，
∵∠DEF＝90°，F(xiàn)N∥DE，
∴∠F＝180°﹣∠DEF＝90°，
∴四邊形DEFH是矩形，
∴DH＝EF，∠HDE＝90°，DH＝EF，
∴∠HDN+∠EDQ＝90°，
∵∠DHN＝∠EQD＝90°，
∴∠QED+∠EDQ＝90°，
∴∠QED＝∠HDN，
∴△DHN∽△EQD，
∴，
∴DN＝，
∵DH＝EF＝ED，
∴y＝＝ED2，
∵ED2＝DQ2+EQ2＝CE2+EQ2＝x2+16，
∴y＝（0＜x≤3），
如圖4，
當(dāng)點E在AB上時，
同理可得，
△DHN∽△EAD，
∴，
∴DE＝，
∵AE＝7﹣x，ED2＝AE2+AD2＝（7﹣x）2+9，
∴y＝（3＜x＜7），
綜上所述：y＝．
∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_(dá)____，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

∵∠A+∠D＝180°，
∴AB∥CD，
又∵_(dá)____，
∴四邊形ABCD是平行四邊形．

a
b
1
2
3
4
1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）
2
（1，2）
（2，2）
（3，2）
（4，2）
3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）
4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）

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