1.了解數(shù)列的概念和幾種簡(jiǎn)單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù).
3.數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的函數(shù)，其自變量是 ，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是 ，記為an＝f(n).
判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)數(shù)是同一個(gè)概念.(　　)(2)數(shù)列1,2,3與3,2,1是兩個(gè)不同的數(shù)列.(　　)(3)任何一個(gè)數(shù)列不是遞增數(shù)列，就是遞減數(shù)列.(　　)(4)若數(shù)列用圖象表示，則從圖象上看是一群孤立的點(diǎn).(　　)
1.(多選)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝9＋12n，則在下列各數(shù)中，是{an}的項(xiàng)的是A.21 B.33 C.152 D.153
由數(shù)列的通項(xiàng)公式得，a1＝21，a2＝33，a12＝153.
2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝n2＋n，則a2的值是A.2 B.4 C.5 D.6
由題意，S2＝22＋2＝6，S1＝1＋1＝2，所以a2＝S2－S1＝6－2＝4.
3.在數(shù)列1,1,2,3,5,8,13,21，x,55，…中，x＝____.
通過(guò)觀察數(shù)列各項(xiàng)的規(guī)律，發(fā)現(xiàn)從第三項(xiàng)起，每項(xiàng)都等于它前兩項(xiàng)之和，因此x＝13＋21＝34.
例1　(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝2，Sn＋1＝2Sn－1，則a10等于A.128 B.256 C.512 D.1 024
由an與Sn的關(guān)系求通項(xiàng)公式
∵Sn＋1＝2Sn－1，∴當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1－1，兩式相減得an＋1＝2an.當(dāng)n＝1時(shí)，a1＋a2＝2a1－1，又a1＝2，∴a2＝1.∴數(shù)列{an}從第二項(xiàng)開(kāi)始為等比數(shù)列，公比為2.則a10＝a2×28＝1×28＝256.
(2)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn＝2n＋2－3，則an＝____________.
根據(jù)題意，數(shù)列{an}滿足Sn＝2n＋2－3，當(dāng)n≥2時(shí)，有an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2－3)－(2n＋1－3)＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，有a1＝S1＝8－3＝5，不符合an＝2n＋1，
Sn與an的關(guān)系問(wèn)題的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含Sn，Sn－1的關(guān)系式，再求解.(2)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)轉(zhuǎn)化為只含an，an－1的關(guān)系式，再求解.
∴an＝n2(n≥2)，①
∴an＝n2，n∈N*.
(2)設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，則Sn＝_____.
因?yàn)閍n＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1，所以由兩式聯(lián)立得Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.
由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)公式
例2　設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[－3.14]＝－4，[3.14]＝3.已知數(shù)列{an}滿足：a1＝1，an＋1＝an＋n＋1(n∈N*)，則等于A.1 B.2C.3 D.4
由an＋1＝an＋n＋1，得an－an－1＝n(n≥2).又a1＝1，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1滿足上式，
例3　在數(shù)列{an}中，a1＝1，an＝ (n≥2，n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_______.
以上(n－1)個(gè)式子相乘得，
跟蹤訓(xùn)練2　(1)在數(shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ ，則an等于A.2＋ln n B.2＋(n－1)ln nC.2＋nln n D.1＋n＋ln n
所以a2－a1＝ln 2－ln 1，a3－a2＝ln 3－ln 2，a4－a3＝ln 4－ln 3，…an－an－1＝ln n－ln(n－1)(n≥2)，把以上各式相加得an－a1＝ln n－ln 1，則an＝2＋ln n(n≥2)，且a1＝2也滿足此式，因此an＝2＋ln n(n∈N*).
lg2an＝________.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1適合此式，
例4　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且?n∈N*，an＋1>an，Sn≥S6.請(qǐng)寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝_________________________.
n－6，n∈N*(答案不唯一)
由?n∈N*，an＋1>an可知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又Sn≥S6，故數(shù)列{an}從第7項(xiàng)開(kāi)始為正.而a6≤0，因此不妨設(shè)數(shù)列是等差數(shù)列，公差為1，a6＝0，所以an＝n－6，n∈N*(答案不唯一).
命題點(diǎn)1　數(shù)列的單調(diào)性
命題點(diǎn)2　數(shù)列的周期性
因此數(shù)列{an}是周期為4的周期數(shù)列，
(1)解決數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題的方法用作差比較法，根據(jù)an＋1－an的符號(hào)判斷數(shù)列{an}是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列還是常數(shù)列.(2)解決數(shù)列周期性問(wèn)題的方法先根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，再根據(jù)周期性求值.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)觀察數(shù)列1，ln 2，sin 3,4，ln 5，sin 6,7，ln 8，sin 9，…，則該數(shù)列的第11項(xiàng)是A.1 111 B.11 C.ln 11 D.sin 11
由數(shù)列得出規(guī)律，按照1，ln 2，sin 3，…，是按正整數(shù)的順序排列，且以3為循環(huán)，由11÷3＝3余2，所以該數(shù)列的第11項(xiàng)為ln 11.
因此數(shù)列{an}前20項(xiàng)中的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)分別為第11項(xiàng)，第10項(xiàng).a11＝3，a10＝－1.
A.遞減數(shù)列 B.遞增數(shù)列C.常數(shù)列 D.擺動(dòng)數(shù)列
易知數(shù)列{an}是遞增數(shù)列.
2.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，且a1＝2，那么a7等于A.128 B.16 C.32 D.64
因?yàn)閿?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足SnS1＝Sn＋1(n∈N*)，a1＝2，
所以數(shù)列{Sn}是以2為公比，以2為首項(xiàng)的等比數(shù)列，所以Sn＝2×2n－1＝2n.所以當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.所以a7＝26＝64.
3.已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an－an＋1＝nanan＋1(n∈N*)，則an等于
4.設(shè)數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝1－ ，記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)之積為Pn，則P2 024等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
所以數(shù)列{an}是周期為3的周期數(shù)列.且P3＝－1,2 024＝3×674＋2，所以P2 024＝(－1)674×a1a2＝1.
5.大衍數(shù)列，來(lái)源于我國(guó)的《乾坤譜》，是世界數(shù)學(xué)史上第一道數(shù)列題，主要用于解釋中國(guó)傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.其前11項(xiàng)依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,60，則大衍數(shù)列的第41項(xiàng)為A.760　　　B.800　　　C.840　　　D.924
A.數(shù)列{an}的最小項(xiàng)是a1B.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a4C.數(shù)列{an}的最大項(xiàng)是a5D.當(dāng)n≥5時(shí)，數(shù)列{an}遞減
又n∈N*，所以n＝4或n＝5，
故數(shù)列{an}中a4與a5均為最大項(xiàng)，
7.Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且lg2(Sn＋1)＝n＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為_(kāi)_____________.
由lg2(Sn＋1)＝n＋1，得Sn＋1＝2n＋1，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝3；當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n，顯然當(dāng)n＝1時(shí)，不滿足上式.
8.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－10n(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________，數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第_____項(xiàng).
∵Sn＝n2－10n，∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－11；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－9也適合上式.∴an＝2n－11(n∈N*).
記f(n)＝nan＝n(2n－11)＝2n2－11n，
∴當(dāng)n＝3時(shí)，f(n)取最小值.∴數(shù)列{nan}中數(shù)值最小的項(xiàng)是第3項(xiàng).
9.在①nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)；②Sn＝2n2－1這兩個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面的橫線上，并解答.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，且數(shù)列{an}滿足________.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.(1)求a2，a3；
選擇①：a2－2a1＝1×2，則a2＝4.2a3－3a2＝2×3，則a3＝9.選擇②：a2＝S2－S1＝2×22－1－1＝6.a3＝S3－S2＝2×32－1－2×22＋1＝10.
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.
選擇①：由nan＋1－(n＋1)an＝n(n＋1)，
所以an＝n2.選擇②：當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n2－1－[2(n－1)2－1]＝4n－2；當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝1，不符合上式，
所以cn≠1，cn≠0，
(2)求證：Snb7>…，故A不正確；
同理可得b4

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