黑龍江省大慶鐵人中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷（含解析）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

2、請(qǐng)將答案填寫(xiě)在答題卡上，考試結(jié)束后只交答題卡.
第Ⅰ卷選擇題部分
一、單項(xiàng)選擇題（本大題包括8小題，每小題5分，共40分，每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)填涂在答題卡上）
1. 若，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)條件，利用函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義，即可求解.
【詳解】因?yàn)?，則，
所以，
故選：C.
2. 設(shè)，為實(shí)數(shù)，若直線與圓相切，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是（）
A. 在圓上B. 在圓外C. 在圓內(nèi)D. 不能確定
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系得到方程，求出，確定點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.
【詳解】由圓，圓心為，半徑為2，
因?yàn)橹本€與圓相切，
故，故，所以點(diǎn)在圓內(nèi).
故選：C
3. 已知直線，若，則實(shí)數(shù) （）
A. 1B. 3C. 1或3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)直線平行公式求出參數(shù)m的值，驗(yàn)證是否重合.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>解得：或，
當(dāng)時(shí)，，，兩直線平行，滿足題意，
當(dāng)時(shí)，，，兩直線重合，舍，
所以.
故選：A.
4. 正多面體也稱柏拉圖立體，被譽(yù)為最有規(guī)律的立體結(jié)構(gòu)，是所有面都只由一種正多邊形構(gòu)成的多面體（各面都是全等的正多邊形）.數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明世界上只存在五種柏拉圖立體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.已知一個(gè)正八面體ABCDEF的棱長(zhǎng)都是2（如圖），P，Q分別為棱AB，AD的中點(diǎn)，則（）

A. 1B. 2C. 3D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)正八面體的性質(zhì)得到，然后利用線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算律計(jì)算即可.
【詳解】
由正八面體的性質(zhì)可得，，則，
.
故選：A.
5. 已知點(diǎn)P是：上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡方程是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)，結(jié)合橢圓的定義可求出結(jié)果.
【詳解】解：：的圓心C為，半徑，
點(diǎn)，，又的垂直平分線交于點(diǎn)M，
，
的軌跡是以為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為3的橢圓，
，，
，，，
點(diǎn)M的軌跡方程是
故選：
6. 若正項(xiàng)等比數(shù)列前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）
A. 22B. 24C. 26D. 28
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的性質(zhì)，得到，求得，結(jié)合基本不等式的公式，即可求解．
【詳解】由題意，設(shè)等比數(shù)列的公比為，
因?yàn)槌傻缺葦?shù)列，可得，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以的最小值為.
故選：B.
7. 已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別是上的一點(diǎn)（在第一象限），直線與軸交于點(diǎn)，若，且，則的離心率為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】設(shè)，用分別表示，再由得到之間的關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得的關(guān)系，可得離心率.
【詳解】設(shè)，如下圖所示：

由題意可得，；
又，由可得，
即，解得；
所以；
因?yàn)?，所以?br>即，可得，
即，解得.
故選：D
8. 已知正方體的棱長(zhǎng)為1，M為棱的中點(diǎn)，G為側(cè)面的中心，點(diǎn)P，Q分別為直線，上的動(dòng)點(diǎn)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離為（）
A. B. C. 1D.
【答案】A
【解析】
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，根據(jù)，得到，從而得到，再由向量模的坐標(biāo)表示求出的最小值及此時(shí)、的值，最后利用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)，，
所以，，
因?yàn)椋?，即，所以?br>又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，所以，取，
所以當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)Q到平面的距離.
故選：A

二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為（），公差，，是與的等比中項(xiàng)，則下列選項(xiàng)正確的是（）
A B.
C. 當(dāng)或時(shí)，取得最大值D. 當(dāng)時(shí)，最大值為21
【答案】BC
【解析】
【分析】分別運(yùn)用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程可得首項(xiàng)和公差，可判斷，；由配方法，結(jié)合為正整數(shù)，可判斷；由解不等式可判斷．
【詳解】解：由公差，，可得，即，①
由是與的等比中項(xiàng)，可得，即，化簡(jiǎn)得，②
由①②解得，，故A錯(cuò)，B對(duì)；
由
因?yàn)?，可得?1時(shí)，取最大值110，C對(duì)；
由，解得，可得的最大值為20，D錯(cuò)；
故選：BC．
10. 已知圓和直線，點(diǎn)P在直線l上運(yùn)動(dòng)，直線、分別與圓C相切于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）
A. 切線長(zhǎng)的最小值為
B. 四邊形面積的最小值為4
C. 當(dāng)最小時(shí)，弦所在的直線方程為
D. 弦所在直線必過(guò)定點(diǎn)
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓心為，半徑為2，由圓切線的性質(zhì)及勾股定理得，再根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式得出，即可判斷A；結(jié)合A的結(jié)論得出即可判斷B；結(jié)合A的結(jié)論，根據(jù)兩直線交點(diǎn)，中點(diǎn)公式及點(diǎn)斜式方程求得弦所在的直線方程，即可判斷C；設(shè)，得出以為直徑的圓的方程，與圓方程相減即可得出弦所在直線方程，進(jìn)而求得定點(diǎn)，即可判斷D．
【詳解】對(duì)于A，圓的圓心為，半徑為2，
由題意可得，
所以，
，
所以，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，
所以四邊形面積的最小值為4，故B正確；
對(duì)于C，當(dāng)最小時(shí)，，則直線的斜率為，
又，所以直線的斜率為，
的直線方程為，即，
由，解得，，即，
因?yàn)楫?dāng)最小時(shí)，，所以為等腰直角三角形，
所以中點(diǎn)即為中點(diǎn)，
因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以弦的中點(diǎn)為，
所以弦所在的直線方程為，即，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，設(shè)，
則以為直徑的圓的方程為，
展開(kāi)得①，
圓C的方程為，即②，
①②得弦所在直線方程為，即，
令，解得，
所以弦所在直線必過(guò)定點(diǎn)，故D正確；
故選：BD．
11. 雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別，，具有公共焦點(diǎn)的橢圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為P，雙曲線和橢圓的離心率分別為，，的內(nèi)切圓的圓心為Ⅰ，過(guò)作直線PI的垂線，垂足為D，則（）
A. I到x軸的距離為aB. 點(diǎn)D的軌跡是圓
C. 若，則D. 若，則
【答案】BCD
【解析】
【分析】作出基本圖形，結(jié)合內(nèi)切圓的性質(zhì)和切線長(zhǎng)定理，雙曲線的第一定義可證的橫坐標(biāo)為判斷A的真假；結(jié)合雙曲線的定義，判斷點(diǎn)軌跡，可判斷B的真假；由內(nèi)切圓性質(zhì)易得，判斷C項(xiàng)；由，可得為直角三角形，結(jié)合雙曲線、橢圓的第一定義，勾股定理，可判斷D項(xiàng).
【詳解】如圖：
設(shè)圓與的三邊，，的切點(diǎn)為，，.則
，
即，又，所以，所以，即到軸的距離為，故A錯(cuò)誤；
過(guò)作直線的垂線，垂足為D，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，由內(nèi)切圓及垂線性質(zhì)可知，，則為中點(diǎn)且，連接，由中位線定理可知，故點(diǎn)的軌跡在以為圓心，半徑為的圓上，故B正確；
若，則等價(jià)于，即，又為雙曲線的離心率，所以，故，故C正確；
若，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，由可知：為直角三角形，,
因?yàn)椋?，故D正確.
故選：BCD
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題難度較大，作圖，設(shè)切點(diǎn)，連接是關(guān)鍵，重點(diǎn)考查了雙曲線第一定義，橢圓第一定義，內(nèi)切圓的性質(zhì)，切線長(zhǎng)性質(zhì)，主要應(yīng)用了轉(zhuǎn)化與劃歸的數(shù)學(xué)思想，解決此類(lèi)題目，多角度，全方位的看待問(wèn)題至關(guān)重要.可總結(jié)如下：
1、圓錐曲線相關(guān)的幾何問(wèn)題，第一定義，關(guān)系式需優(yōu)先考慮；
2、雙曲線上一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)組成三角形的內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)的絕對(duì)值為.
三、填空題（本題包括3小題，每小題5分，共15分，把正確答案填在答題卡中橫線上）
12. 曲線在處的切線方程為_(kāi)_________.
【答案】
【解析】
【分析】對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求出處的導(dǎo)函數(shù)值，即為所求切線斜率，再求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再利用點(diǎn)斜式方程即可得切線方程．
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
，
所以曲線的切線的斜率，切點(diǎn)，
故切線方程為，
即
故答案為：
13. 設(shè)為拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，記到直線，的距離分別，，則的最小值為_(kāi)_______.
【答案】
【解析】
分析】根據(jù)拋物線定義可得，再根據(jù)結(jié)論兩點(diǎn)之間線段最短求結(jié)果.
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，
因?yàn)闉閽佄锞€上的動(dòng)點(diǎn)，到直線，的距離分別，，
所以，，
因?yàn)殛P(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，
所以，
所以，
又，
當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)等號(hào)成立，
所以當(dāng)點(diǎn)為線段與拋物線的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，
的最小值為，
故答案為：.
14. 已知數(shù)列滿足，是，的等比中項(xiàng)，則數(shù)列的通項(xiàng)公式______.
【答案】
【解析】
【分析】由已知求得，然后由等比中項(xiàng)定義求出，再分為奇函數(shù)，偶數(shù)分別求出通項(xiàng)公式.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，，
又是的比例中項(xiàng)，所以，即，
顯然且，故解得；
當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，，，
所以，而，
所以數(shù)列是等比數(shù)列，
則，即；
當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，則；
綜上可得.
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵是首先推導(dǎo)出的值，另外就是當(dāng)是奇數(shù)時(shí)求出通項(xiàng)公式.
四、解答題（本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
15. 已知雙曲線的焦距為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).
（1）求的方程；
（2）已知斜率為且不經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)在直線上，求的值.
【答案】（1）.
（2）.
【解析】
【分析】根據(jù)焦距可得的值，再由已知條件將點(diǎn)代入曲線可列出關(guān)于的方程，最后聯(lián)立關(guān)系求解即可得到雙曲線的方程；
設(shè)出直線的方程，與雙曲線的方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理及中點(diǎn)坐標(biāo)公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，即，所以，
因?yàn)殡p曲線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以代入可得，
解得，，
所以的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
設(shè)直線的方程為，，，的中點(diǎn)為.
聯(lián)立，消去整理得：，
所以，，
則，，所以.
因?yàn)樵谥本€上，所以，又，所以.
【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的方程、直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力，屬于中檔題.
16. 設(shè)是等比數(shù)列的公比大于0，其前n項(xiàng)和為，是等差數(shù)列，已知，，，.
（1）求，的通項(xiàng)公式
（2）設(shè)，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求并證明.
【答案】（1），
（2），證明見(jiàn)解析
【解析】
【分析】（1）利用等差和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算求解即得；
（2）利用裂項(xiàng)相消法求和，并利用數(shù)列的單調(diào)性證明不等式.
【小問(wèn)1詳解】
設(shè)的公比，因?yàn)?，所以?br>即，解得或（舍），
所以.
設(shè)的公差為d，因?yàn)?，?br>所以，，
所以，
解得，
所以．
【小問(wèn)2詳解】
，
所以
，
因?yàn)閚為正整數(shù)，所以，所以，
又因?yàn)閿?shù)列單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，
所以，所以.
17. 如圖①，在等腰梯形中，,分別為的中點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．現(xiàn)將四邊形沿折起，使平面平面，得到如圖②所示的多面體．在圖②中：

（1）證明：；
（2）求平面與平面夾角的余弦值．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)折疊前后垂直的關(guān)系不變可得，由線面垂直的判定定理可得平面，由線面垂直性質(zhì)可得；
（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)可知以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用二面角的空間向量求法可得平面與平面夾角的余弦值為.
【小問(wèn)1詳解】
由題意知在等腰梯形中，，
又分別為的中點(diǎn)，所以，
即折疊后，
，所以平面，
又平面，
所以．
【小問(wèn)2詳解】
∵平面平面，平面平面，且，
所以平面，平面,
，兩兩垂直，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
易知，
所以，
則
設(shè)平面的法向量，
則，取，則，得；

設(shè)平面的法向量
則，取，則，可得，
，由圖易知平面與平面夾角為銳角，
所以平面與平面夾角的余弦值為．
18. 已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，是橢圓的左、右焦點(diǎn)，的離心率為，點(diǎn)是上一點(diǎn)，的最小值為.
（1）求橢圓的方程；
（2）已知是橢圓的左、右頂點(diǎn)，不與軸平行或重合的直線交橢圓于兩點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，且.
①證明：直線過(guò)定點(diǎn)；
②設(shè)的面積為，求的最大值.
【答案】（1）
（2）①證明見(jiàn)解析；②.
【解析】
【分析】（1）應(yīng)用離心率公式及焦點(diǎn)到橢圓距離的最值列方程組求解，即可求出橢圓方程；
（2）①設(shè)直線方程聯(lián)立方程組得出韋達(dá)定理再應(yīng)用斜率公式得出，再結(jié)合韋達(dá)定理計(jì)算求出即可得出定點(diǎn)；②先表示面積計(jì)算化簡(jiǎn)結(jié)合對(duì)勾函數(shù)得出最值.
小問(wèn)1詳解】
由題可知，，解得，
，
橢圓的方程為.
【小問(wèn)2詳解】
①證明：設(shè)直線的方程為，，
由得，
，即，
，
在橢圓上，
，即，
，
，即，
在直線上，
，
，
，即，
此時(shí)，
直線的方程為，即直線過(guò)定點(diǎn).
②解：記直線過(guò)定點(diǎn)，
，
，
，
，
令，則，
在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，有最大值.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵點(diǎn)是構(gòu)造對(duì)勾函數(shù)形式應(yīng)用函數(shù)的單調(diào)性得出函數(shù)的最值進(jìn)而求出面積的最大值.
19. 已知數(shù)列，，，，且，，若是一個(gè)非零常數(shù)列，則稱是一階等差數(shù)列；若是一個(gè)非零常數(shù)列，則稱是二階等差數(shù)列.
（1）若，，，試寫(xiě)出二階等差數(shù)列的前4項(xiàng)，并求；
（2）若，且滿足，
（i）判斷是否為二階等差數(shù)列，并證明你的結(jié)論；
（ii）記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若不等式時(shí)于恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）1，4，9，16；，；
（2）（i）不是，證明見(jiàn)解析；（ii）
【解析】
【分析】（1）由二階等差數(shù)列的定義，計(jì)算可得數(shù)列的前4項(xiàng)，由數(shù)列恒等式和等差數(shù)列的求和公式，可得；
（2）（i）由數(shù)列的遞推式推得，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得，，，由二階等差數(shù)列的定義，可得結(jié)論；（ii）由等比數(shù)列的求和公式可得，由數(shù)列的單調(diào)性和不等式恒成立思想，可得所求取值范圍．
【小問(wèn)1詳解】
若，，，
則，即，
由，可得，
則，可得，，解得，
由，
可得，
上式對(duì)也成立，即有，；
【小問(wèn)2詳解】
（i）若，且滿足，可得，
即，即有，
可得數(shù)列是首項(xiàng)和公比均為3的等比數(shù)列，即有，即，
可得，，不為非零常數(shù)，故不為二階等差數(shù)列；
（ii）數(shù)列的前n項(xiàng)和，
不等式，即，即為對(duì)恒成立．
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得，即有，
可得數(shù)列中最小項(xiàng)為，
則，即有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

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