[數(shù)學(xué)][期中]江蘇省南通市如皋市2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中教學(xué)質(zhì)量調(diào)研試題(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共計40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）
1. 已知集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由題意得，，
，
所以.
故選：C.
2. 若角終點上一點，且，則（）
A. B. C. 4D.
【答案】C
【解析】由題意得：點在角的終邊上，且，
所以：，解得：，（舍），故C項正確.
故選：C.
3. 已知，，，則的大小關(guān)系為（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為，，
而，所以，所以，
故選：D.
4. （）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】.
故選：B.
5. 求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】令，即，解得，
由函數(shù)表示開口向下，且對稱軸為的拋物線，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.
故選：A.
6. 已知函數(shù)在上有且只有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因為函數(shù)在上有且只有一個零點，
所以，即在上有且只有一個實根，
所以與的函數(shù)圖象在時有一個公共點，
由于在單調(diào)遞減，
所以，即.
故選：D.
7. 在內(nèi)函數(shù)的定義域是（）
A B. C. D.
【答案】C
【解析】由函數(shù)，其中有意義，
則滿足，其中，即，其中，
解得，即函數(shù)的定義域為.
故選：C.
8. 已知定義在上的函數(shù)，滿足，且，則（）
A. 1B. 10C. 11D. 1024
【答案】C
【解析】因為定義在上的函數(shù)，滿足，
所以令，得，所以，
令，得，
因為，所以，
所以.
故選：C.
二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．在每小題給出的四個選項中，至少有兩個是符合題目要求的，請把答案填涂在答題卡相應(yīng)位置上.）
9. 下列代數(shù)式的值為1的是（）
A. B.
C. D.
【答案】AD
【解析】對于A，，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，，故C錯誤；
對于D，，
故D正確.
故選：AD.
10. 下列命題正確的有（）
A. 存在正實數(shù)，，使得
B. 對任意的角，都有
C. 是與終邊在同一條直線上的充要條件
D. 函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件
【答案】AD
【解析】對于A，由，
可得，則可以取，此時滿足題意，故A正確；
對于B，對任意的角，都有，故B錯誤；
對于C，當(dāng)時，或，
此時與終邊在同一條直線上，故充分性成立，
當(dāng)與終邊同在直線上時，不存在，
故必要性不成立，
故是與終邊在同一條直線上的充分不必要條件，故C錯誤；
對于D，若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域為關(guān)于原點對稱，則，
用替換，得到，此時定義域為，關(guān)于原點對稱，
則函數(shù)為奇函數(shù)，故充分性成立，
若函數(shù)為奇函數(shù)，設(shè)定義域為關(guān)于原點對稱，則，
用替換，得到，此時定義域為，關(guān)于原點對稱，
則函數(shù)為奇函數(shù)，故必要性成立，
所以函數(shù)為奇函數(shù)是函數(shù)為奇函數(shù)的充要條件，故D正確.
故選：AD.
11. 已知實數(shù)，滿足，則下列不等關(guān)系一定正確的是（）
A. B.
C. D.
【答案】ACD
【解析】對于A，，所以，則，故A正確；
對于B，正負(fù)無法確定，取，則滿足，
但，故B錯誤；
對于C，，則，故C正確；
對于D，由，得，
又因為，
所以，故D正確.
故選：ACD.
12. 已知，則下列結(jié)論正確的是（）
A.
B. 的最大值為2
C. 的增區(qū)間為
D.
【答案】ABC
【解析】對于A，當(dāng)時，，此時函數(shù)周期為，
故，故A正確；
對于B，當(dāng)時，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
所以，又因為當(dāng)時，，函數(shù)周期為，
所以的最大值為2，故B正確；
對于C，當(dāng)時，，此時，
所以在上為偶函數(shù)，
任取，且，
則
，
因為，且，
所以，，
所以，所以，
所以在單調(diào)遞增，
根據(jù)周期性可知，的增區(qū)間為，故C正確；
對于D，取，則，
此時，故D錯誤.
故選：ABC.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共計20分．請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.）
13. 已知扇形的面積為4，半徑為2，則扇形的圓心角為__________弧度.
【答案】2
【解析】設(shè)扇形的圓心角為，由題意得，，解得，
所以扇形的圓心角為2弧度.
故答案為：2.
14. 已知冪函數(shù)（其中，）為偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞減，則的值為_______.
【答案】1
【解析】因為函數(shù)冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，
所以，解得，
又，所以或1或2，
當(dāng)或2時，定義域為，
且，此時函數(shù)為奇函數(shù)，不符合題意；
當(dāng)時，定義域為，
且，此時函數(shù)為偶函數(shù)，符合題意；
綜上所述，.
故答案為：1.
15. 希羅平均數(shù)（Hernianmean）是兩個非負(fù)實數(shù)的一種平均，若，是兩個非負(fù)實數(shù)，則它們的希羅平均數(shù).記，，則從小到大的關(guān)系為______.（用“≤”連接）
【答案】
【解析】由基本不等式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立；
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以；
因為，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，所以；
綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
故答案為：.
16. 已知，則________，若，則________.
【答案】
【解析】由題意，得，
所以，
所以，
因為，所以，又因為，得，
所以，得
又因為，所以，，
所以：.
故答案為： .
四、解答題（本大題共6小題，共計70分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答.解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）
17. 已知，求，的值.
解：因為，
所以，
當(dāng)時，，
，則；
當(dāng)時，，
，則；
綜上所述，，或，.
18. 已知函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，.
（1）求的解析式；
（2）求方程的解集.
解：（1）因為函數(shù)為定義在上的偶函數(shù)，當(dāng)時，，
所以任取，則，此時，
所以.
（2）當(dāng)時，令，
即，
令，則，解得或，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
根據(jù)偶函數(shù)對稱性可知，當(dāng)時，符合題意的解為，，
綜上，原方程的解集為.
19. （1）證明：；
（2）已知，求的值.
解：（1）因為，
且，
所以.
（2）因為，
所以，
因為，所以，所以，
所以，
所以.
20. 某企業(yè)為響應(yīng)國家節(jié)水號召，決定對污水進(jìn)行凈化再利用，以降低自來水的使用量.經(jīng)測算，企業(yè)擬安裝一種使用壽命為4年的污水凈化設(shè)備.這種凈水設(shè)備的購置費（單位：萬元）與設(shè)備的占地面積（單位：平方米）成正比，比例系數(shù)為0.2.預(yù)計安裝后該企業(yè)每年需繳納的水費（單位：萬元）與設(shè)備占地面積之間的函數(shù)關(guān)系為.將該企業(yè)的凈水設(shè)備購置費與安裝后4年需繳水費之和合計為（單位：萬元）.
（1）要使不超過7.2萬元，求設(shè)備占地面積的取值范圍；
（2）設(shè)備占地面積為多少時，的值最?。?br>解：（1）由題意得，
要滿足題意，則，即，解得：.
即設(shè)備占地面積的取值范圍為.
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.
所以設(shè)備占地面積為時，的值最小.
21. 已知函數(shù)（其中），且.
（1）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，并用函數(shù)單調(diào)性的定義證明；
（2）解不等式：.
解：（1）函數(shù)在上單調(diào)遞增，證明如下：
因為，所以，所以，
任取，且，
則，
因為，且，所以，
所以，所以在上單調(diào)遞增.
（2）定義域關(guān)于原點對稱，
且，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
所以不等式，即，
又因為在上單調(diào)遞增，，，
所以，即，則，則，
所以或，即不等式的解集為.
22. 已知函數(shù)，.
（1）求的最大值；
（2）若對任意，，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.
解：（1）當(dāng)時，，此時，，
則；
當(dāng)時，單調(diào)遞減，此時，
綜上所述，當(dāng)時，取得的最大值.
（2）因為對任意，，不等式恒成立，
且，
所以對任意，恒成立，
由題意得，，
令，
則不等式可化為，
即對任意恒成立，
令，
則函數(shù)圖象開口向上，對稱軸，
當(dāng)，即時，，解得，
符合題意；
當(dāng)時，即時，，
即，不等式無解，該情況舍去；
當(dāng)時，即時，，
解得，不符合題意，該情況舍去.
綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.

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