一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1. 已知為拋物線上一點，則拋物線的準線方程為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】因為為拋物線上一點，所以，解得，
所拋物線的方程為，所以準線方程為.
故選：C.
2. 已知正項等比數(shù)列的前和為，，則（ ）
A. 85B. 62C. 32D. 31
【答案】B
【解析】根據(jù)題意設(shè)等比數(shù)列公比為，
由可得，即；
因此，解得，所以；
可得.
故選：B
3. 已知雙曲線一條漸近線斜率為2，則該雙曲線的離心率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由雙曲線可知：其中一條漸近線的斜率為，
所以該雙曲線的離心率為.
故選：A.
4. 過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則點到原點距離的最小值為（ ）
A. 1B. C. D.
【答案】B
【解析】圓，設(shè)圓心，圓的半徑為，
因為過點與圓相切的兩條直線的夾角為，則，
所以，又因為，所以，
則，

設(shè)點Px,y，可得，
化簡可得，
設(shè)，
則點到原點距離，
當時，點到原點距離最小值為，
故選：B.
5. 已知等差數(shù)列的前和為，，則（ ）
A. B. C. 3D.
【答案】A
【解析】在中取得，
故，
所以.
故選：A.
6. 已知為坐標原點，雙曲線的左，右焦點分別為．若為雙曲線上一點，為的角平分線，過右焦點的直線與直線垂直，垂足為，則（ ）
A.1B. 2C. D.
【答案】B
【解析】由雙曲線的對稱性不妨設(shè)點在雙曲線的右焦點，
如圖，延長交于點，
因為為的角平分線，，
所以為線段的中點，且，
又為線段的中點，
所以.
故選：B.
7. 在平行六面體中，，，，則下列說法不正確的是( ).
A. 平面
B. 平面
C. 直線與平面所成角為
D. 的余弦值為
【答案】ABD
【解析】對于A選項：設(shè)，由題意可知且，
所以四邊形為平行四邊形，因此，連接和，
因為且，所以四邊形為平行四邊形，故，
又因為平面，平面，所以平面，故A正確；

對于B選項：設(shè)，因為平行六面體，
所以，，
則，
，
，
，
因為且，即垂直于平面內(nèi)相交直線和，
所以平面.故B正確；
對于C選項：設(shè)，因為平行六面體，
，則由對稱性知道在平面的投影一定在上，
則為直線與平面所成角.又，
兩邊平方，
則，
又因為，
所以.
故直線與平面所成角為，則，
所以不是，故C錯誤；
對于D選項：設(shè)，，
所以，又因為，點是中點，所以，
由題可知，所以，
故為二面角的平面角，因為，
則，
則，因為，
所以，
則，由題可知，
故則，故D正確.

故選：ABD.
8. 已知橢圓的左、右焦點分別為、，離心率為，過上頂點和右焦點的直線與橢圓的另一個交點為，且的面積為，則的周長為（ ）
A. 4B. C. D.
【答案】D
【解析】如下圖所示：
由已知，則，，
所以，橢圓的方程為，
易知點、，，
所以，直線的方程為，
聯(lián)立，解得或，即點，
所以，，解得，
所以，，
則的周長為，
故選：D.
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9. 已知數(shù)列的首項為1，前和為，且，則（ ）
A. 數(shù)列是等比數(shù)列
B. 是等比數(shù)列
C.
D. 數(shù)列的前項和為
【答案】BD
【解析】因為①，
所以，
當時，②，
由①②得，即，
又，
所以數(shù)列是從第二項開始，以為公比的等比數(shù)列，故A錯誤；
對于C；當時，，所以，故C錯誤；
對于B，當時，，
當時，，符合上式
所以，
則，所以數(shù)列是等比數(shù)列，故B正確；
對于D，由C選項知，
所以數(shù)列的前項和為，故D正確.
故選：BD.
10. 在正三棱臺中，為線段上一動點，，則（ ）
A. 存在點，使得
B. 存在點，使得
C. 當平面時，為中點
D. 的最小值為
【答案】BCD
【解析】對于A，如圖1由正三棱臺的定義知，與必相交，故與平面必相交，
而平面,故與不可能平行，即A錯誤；
對于B，設(shè)正三棱臺的上下底面中心分別為,連接，則平面，
因平面，則；
連接并延長交于，則，
由正棱臺結(jié)構(gòu)性之可知與延長線交于一點，
所以過與的平面有且只有一個記為平面，
又平面，故平面，
又平面，故，
即當點與點重合時，成立，故B正確；
對于C，若平面，因平面,則，
又平面，且為正三角形，故為的中點，即C正確；
對于D，繞著邊翻折至與共面時，連接交于點(如圖2所示)，
由圖可知當三點共線時的值最小.
如圖3，在梯形中，作于點，則，
因，則，
在中，由余弦定理，，
同理,故，
又，故的最小值為，即D正確.
故選：BCD.
11. 已知橢圓C:x2a2+y2b2=1a>b>0的左，右焦點分別為，上頂點，且°．為橢圓上任意一點（異于左，右頂點），直線分別與橢圓交于，則（ ）
A. 橢圓的離心率為
B. 內(nèi)切圓的半徑為
C. △的外接圓方程為
D. △與△內(nèi)切圓半徑之和的最大值為
【答案】ABD
【解析】A選項，由題意，是等腰直角三角形，因此，，
離心率為，A正確；
B選項，由上知，，直線的方程為，橢圓方程為，
由，解得或，∴，
，，
而，
則，
即為直角三角形，
∴△內(nèi)切圓的半徑為，B正確；
C選項，由題意設(shè)△的外接圓圓心坐標為，則，解得，
即圓心坐標為，半徑為，
圓方程為，C錯；
D選項，設(shè)，的內(nèi)切圓在三邊上的切點分別為，
如圖，

一方面，，
另一方面，記的內(nèi)切圓半徑為，，
所以，，事實上，不論點在軸上方還是下方，都有與同號，所以，從而，
則的內(nèi)切圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，
△與△內(nèi)切圓半徑之和為，
設(shè)直線方程為，
由得，
，
，
所以當，即時，取得最大值，D正確，
故選：ABD．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12. 在正四面體中，為的中點，則異面直線與所成角的余弦值為_______．
【答案】
【解析】取的中點，連接如圖所示：
因為點分別是的中點，所以，
即與所成的角為異面直線與所成角，
設(shè)正四面體的棱長為，
則，
在中，，
所以異面直線與所成角的余弦值為，
故答案為：.
13. 已知，則數(shù)列前11項之和為_______．
【答案】249
【解析】由題意：，
，
所以前11項之和為，故答案為：249
14. 已知為坐標原點，為雙曲線上一點，分別為雙曲線的左，右頂點，且直線與直線的斜率之積為，則______.
【答案】30
【解析】由題意，，，為雙曲線上一點，則，
解得，又點在雙曲線上，則，解得，
，，則，，所以.
故答案為：30.
四、解答題：本題共5小題，共計77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15. 已知點為拋物線的焦點，為拋物線上兩點，且直線與直線斜率之和為0．
（1）求拋物線的方程；
（2）若為拋物線上一動點，直線，且，求到直線距離的最小值．
解：（1）拋物線的焦點
因為直線與直線斜率之和為0，
所以點關(guān)于軸對稱點與三點在同一直線上，

設(shè)直線的方程為，
與拋物線聯(lián)立可得，消去得，
由是方程的兩根，
所以，解得，所以拋物線的方程為；
（2）因為在拋物線上，所以，所以，
所以，又，所以，又且直線，
所以的方程為，
設(shè)，所以點到直線距離；
當時，到直線距離取最小值，最小值為.
16. 已知等比數(shù)列的前項和為，且．
（1）求；
（2）若，求數(shù)列的前項和．
解：（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，
由題意，得，
解得，
∴或
（2）∵，由（1）知，，，
令①
則②
得
即
所以.
17. 如圖，在三棱柱中，側(cè)棱底面，底面是直角三角形，，點分別在上，且．
（1）證明：平面；
（2）若平面，求．
解：（1）因為側(cè)棱底面，底面，所以，
又，，平面，
所以平面；
（2）因為，所以確定唯一平面，
設(shè)平面，連接，
因為平面，所以，
又因為，底面，底面，所以底面，
又平面，平面底面，
所以，所以，所以，
又因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，
所以，所以.
18. 已知數(shù)列的前項和為，，且．
（1）求；
（2）若從數(shù)列中刪除中的項，余下的數(shù)組成數(shù)列．
①求數(shù)列的前項和；
②若成等比數(shù)列，記數(shù)列的前項和為，證明：．
解：（1）∵，∴當時，，
兩式相減得，，整理得，即，
∴當時，，滿足此式，
∴.
（2）①由（1）得，，
∴，，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列.
當為奇數(shù)時，為偶數(shù)，為的整數(shù)倍，是數(shù)列中的項，
當為偶數(shù)時，為奇數(shù)，不是數(shù)列中的項，
∴數(shù)列中的項為數(shù)列的偶數(shù)項，且，
∴數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列，
∴，
∴，，
∴.
②由①得，，∴，
∵成等比數(shù)列，∴，即，
∴，∴，
∴.
19. 已知圓與雙曲線只有兩個交點，過圓上一點的切線與雙曲線交于兩點，與軸交于點．當與重合時，．
（1）求雙曲線的方程；
（2）若直線的斜率為，求；
（3）當時，求的最小值．
解：（1）由圓與雙曲線只有兩個交點可知：，
又根據(jù)題意，雙曲線過點，所以，
所以雙曲線的標準方程為：.
（2）如圖：
因為直線的斜率為，且直線與直線垂直，所以直線的斜率為，
設(shè)直線的方程為：，即，
由，
不妨令，則直線的方程為：，
代入得：，
整理得：，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，，
所以，
所以，
若，亦可得，
綜上：.
（3）設(shè)直線的方程為，由，
不妨設(shè)點在第二象限，因為，則的兩個端點為，，
則，因為，
所以，，
將代入雙曲線可得：，
整理得：，
設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，則，，
因為，所以，
所以，
所以，
又，
所以，
因為，所以，
即的最小值為.

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