一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．已知,,則的值為( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù),則不等式的解集為( )
A.B.C.D.
5．設(shè)是等比數(shù)列的前n項(xiàng)和,若,,成等差數(shù)列,,則的值為( )
A.B.C.D.1
6．已知,,向量在上的投影向量為,則向量與的夾角為( )
A.B.C.D.或
7．已知橢圓的左焦點(diǎn)為F,過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于P,Q兩點(diǎn),若,則橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
8．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式:站在了世界中心位置,AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù),某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻,“AI”視頻占有率為0.001.某團(tuán)隊(duì)決定用AI對(duì)抗AI,研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假.該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98,即在該視頻是偽造的情況下,它有98%的可能鑒定為“AI”;它的誤報(bào)率是0.04,即在該視頻是真實(shí)的情況下,它有4%的可能鑒定為“AI”.已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”,則該視頻是“AI”合成的可能性為( )
A.0.1%B.0.4%C.2.4%D.4%
二、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)隨機(jī)變量,其中,下列說法正確的是( )
A.變量的方差為1,均值為0B.
C.函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)D.
10．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知拋物線,A,B為拋物線C上兩點(diǎn)下列說法正確的是( )
A.若直線AB過點(diǎn),則面積的最小值為2
B.若直線AB過點(diǎn),則點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓外
C.若直線AB過點(diǎn),則以線段AB為直徑的圓與直線相切
D.過A,B兩點(diǎn)分別作拋物線C的切線,若兩切線的交點(diǎn)在直線上,則直線AB過點(diǎn)
11．已知正方體的棱長(zhǎng)為3,E,F,G分別為棱,,的點(diǎn),且,,,若點(diǎn)P為正方體內(nèi)部（含邊界）點(diǎn),滿足:,,為實(shí)數(shù),則下列說法正確的是( )
A.點(diǎn)P的軌跡為菱形AEGF及其內(nèi)部
B.當(dāng)時(shí),點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為
C.最小值為
D.當(dāng)時(shí),直線AP與平面ABCD所成角的正弦值的最大值為
三、填空題
12．已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32,則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為_________.
13．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域?yàn)?則的取值范圍為_________.
14．在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后,再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入n個(gè)小球,這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切,則n的最大值為_________（?。?br>四、解答題
15．已知為公差不為0的等差數(shù)列的前n項(xiàng)和,且.
（1）求的值;
（2）若,求證:.
16．如圖,在四棱錐中,四邊形ABCD為梯形,其中,,,平面平面ABCD.
（1）證明:;
（2）若,且PC與平面ABCD所成角的正切值為2,求平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
17．某班欲從6人中選派3人參加學(xué)?；@球投籃比賽,現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行選拔比賽.經(jīng)分析甲隊(duì)每名隊(duì)員投籃命中概率均為,乙隊(duì)三名隊(duì)員投籃命中的概率分別為,,.現(xiàn)要求所有隊(duì)員各投籃一次（隊(duì)員投籃是否投中互不影響）.
（1）若,求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率;
（2）以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望為依據(jù),若甲隊(duì)獲勝,求的取值范圍.
18．已知函數(shù).
（1）若,求的極小值;
（2）若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切,求a的取值范圍.
19．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為P,過點(diǎn)P且與x軸垂直的直線交一條漸近線于.
（1）求雙曲線.的方程;
（2）過點(diǎn)Q作直線l與雙曲線M相交于A,B兩點(diǎn),直線PA,PB分別交直線于C,D兩點(diǎn),求的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：,,選C.
2．答案：D
解析：,選D.
3．答案：A
解析：解法一:兩角和與差余弦公式+同角平方關(guān)系
,,
,選A.
解法二:平方法+誘導(dǎo)公式
,
,,,選A.
4．答案：A
解析：解法一:,,選A.
解法二:特值當(dāng)時(shí),,排除B,D,當(dāng)時(shí),,排除C,選A.
5．答案：B
解析：解法一:性質(zhì)+特值
,排除C,D;
當(dāng)時(shí),排除A,選B.
解法二:基本量運(yùn)算
由解法一知,則
,選B.
解法三:二級(jí)結(jié)論
,由,
則,又,
則
或（舍去）,選B.
6．答案：A
解析：向量在上的投影向量為,則,又,則,,選A.
另解:向量在上的投影向量為,排除C,D,觀察選項(xiàng)“顏值”,選A.
7．答案：B
解析：解法一:極化恒等式+解三角形+通徑
,又
,
又,則,選B.
解法二:向量坐標(biāo)運(yùn)算+坐標(biāo)翻譯垂直
不妨設(shè),,
則,,下同解法一（略）,選B.
解法三:對(duì)稱性+焦點(diǎn)三角形
設(shè)右焦點(diǎn),,
又,則,又,則,選B.
解法四:余弦定理的向量形式+極化恒等式
,
,
,,
則,,又,則,選B.
解法五:直線方向向量+解三角形+通徑
,由,,則,下同解法一（略）,選B.
另解:減少字母?jìng)€(gè)數(shù)利于求值,還可c取特值.
8．答案：C
解析：記“視頻是AI合成”為事件A,記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B,
則,,,,由貝葉斯公式得:
,選C.
9．答案：ACD
解析：隨機(jī)變量,,則A正確;
,則B錯(cuò)誤;
隨機(jī)變量,結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù),則C正確;
正態(tài)分布的曲線關(guān)于對(duì)稱,,則D正確,
選ACD.
10．答案：AC
解析：拋物線的焦點(diǎn)弦端點(diǎn)與頂點(diǎn)構(gòu)成三角形,A正確;拋物線,軸點(diǎn)弦的端點(diǎn)與頂點(diǎn)連線互相垂直（充要條件成立）,則點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上,B錯(cuò)誤;
拋物線的焦點(diǎn)弦為直徑的圓與準(zhǔn)線相切,C正確;
拋物線的阿基米德三角形性質(zhì):過準(zhǔn)線上一點(diǎn)作拋物線兩切線,切點(diǎn)恒過焦點(diǎn)（充要條件成立）,則直線AB過點(diǎn),D錯(cuò)誤.故選AC.
11．答案：ABD
解析：在菱形AEFG內(nèi),A正確;
當(dāng)時(shí),在線段EG上,P的軌跡長(zhǎng)度為線段EG的長(zhǎng),即為,B正確;
當(dāng)時(shí),在面AEFG內(nèi),P在FG上時(shí),有最小值為,C錯(cuò)誤;
當(dāng)時(shí),在面內(nèi),P在EG上時(shí),AP與面ABCD所成角的正弦值最大,即為,D正確.故選ABD.另:幾何法和建系也可.
12．答案：10
解析：令,則當(dāng)時(shí),常數(shù)項(xiàng)為.
13．答案：
解析：解法一:換元法
令.
解法二:目標(biāo)函數(shù)+伸縮變換令
,,.
14．答案：10
解析：①“三切”:小球與實(shí)心球,圓錐底面,圓錐側(cè)面皆相切小球擺放態(tài),
②“軌跡”:離散型分布,小球與底面切點(diǎn)在圓錐底面的同心圓上“圓環(huán)手串”模型小球球心在同心圓上,此種轉(zhuǎn)化便于解決問題,
③“誤區(qū)”:兩相切小球的球心與切點(diǎn)三點(diǎn)共線嗎?答案為共線,兩小球切點(diǎn)在圓環(huán)上嗎?答案為否！實(shí)物模型手串理解,放大手串的珠子更直觀,還可作正多邊形,讓正多邊形的頂點(diǎn)為圓心,直徑為正多邊形的邊長(zhǎng)更好理解！
④“計(jì)算”:設(shè)實(shí)心球半徑為R,小球半徑為r,則,“手環(huán)穿”半徑為.
⑤“幾何”:令,,,關(guān)鍵條件的使用.
15．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）解法一:設(shè)的公差為,
由①,得②,
則②-①得,
即,又,則.
解法二:設(shè)的公差為
因?yàn)?br>所以對(duì)恒成立
即對(duì)恒成立
所以
又,則.
解法三:利用必要性解題
取求出結(jié)果,將代回驗(yàn)證
（2）由得,即,
所以,
又即,則,
因此
則
.
16．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）因?yàn)?,所以為等邊三角形,
所以,
又四邊形ABCD為梯形,,則,
在中,由余弦定理可知,
,
根據(jù)勾股定理可知,,即.
因?yàn)槠矫嫫矫鍭BCD,平面平面
,平面ABCD,
所以平面PBD,又因?yàn)槠矫鍼BD,
所以.
（2）法一:由（1）可知,
又因?yàn)?,所以平面ABCD,
所以就是PC與平面ABCD所成角,所以,
所以;
以為正交基底,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
則,,,
所以,,
設(shè)平面PBC的法向量為,
則有取,
由題意得為平面PAD的法向量,
所以,
即平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
法二:在平面ABCD內(nèi),延長(zhǎng)BC與AD相交于點(diǎn)M,
連接PM,則PM為平面PBC與平面PAD的交線,
在平面PDM內(nèi),過點(diǎn)D作,垂足為N,連接BN.
由（1）得,
因?yàn)?,且均在面ABCD內(nèi)
所以面ABCD
因?yàn)槊鍭BCD,所以
又因?yàn)?,且均在面PAD內(nèi)
所以面PAD,即面PDM
因?yàn)槊鍼DM,所以
因?yàn)?,且均在面BDN內(nèi)
所以面BDN,由面BDN,所以
所以
在直角三角形PND中
在直角三角形BND中
所以平面PBC與平面PAD所成二面角的正弦值.
所以就是二面角的平面角
又因?yàn)槠矫鍭BCD,
所以就是PC與平面ABCD所成角,
所以,所以
因?yàn)?所以.
17．答案：（1）
（2）見解析
解析：（1）記“甲,乙兩隊(duì)共投中5次”為事件A,
則可以是甲隊(duì)投中3次,乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次,乙隊(duì)投中3次.
則,
答:甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率為.
（2）記甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)分別為X,Y,
則,所以;
Y的取值為0,1,2,3,則,
,
,
,
所以,Y的分布列為
另解:
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
令得,則在上單調(diào)遞減,
令得,則在上單調(diào)遞增,
則的極小值為
（2）,
設(shè)切點(diǎn)分別為,,
則在處的切線方程為,
又切點(diǎn)過原點(diǎn),所以,
即,同理,
所以,為方程兩個(gè)不同的根,
設(shè),則,
若,,則在單調(diào)遞減,不符合題意;
若,令得,,在單調(diào)遞減,
令得,在單調(diào)遞增,
所以,
若,即,
此時(shí)方程沒有兩個(gè)不同的根,不符合題意;
若,即,,
因?yàn)?所以,所以,,
令,則,
所以在上單調(diào)遞增,,
即,
又的圖像是不間斷的曲線,
所以存在,滿足使得,
所以a的取值范圍是.
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為,
所以解得,
所以雙曲線M的方程為.
（2）解法一:由題知,設(shè)AB方程為,A斜率存在,
聯(lián)立得,
則且,所以且
,
因?yàn)镻A的方程為,由題意得,則,
所以
令得,同理
所以,
所以
當(dāng)時(shí),C,D都在點(diǎn)Q右側(cè),則
當(dāng)時(shí),C,D在點(diǎn)Q兩側(cè),此時(shí)與異號(hào),
則
又
所以
綜上,的取值范圍為.
解法二:齊次化處理
（2）由題知,直線AB必經(jīng)過點(diǎn)P,故可設(shè)AB方程為,
設(shè),,
因?yàn)橹本€AB過點(diǎn)Q,所以
設(shè),,,
由得
即
所以,是上述關(guān)于k方程的兩個(gè)不等根
所以
又直線AB不平行與漸近線,所以
所以
直線與聯(lián)立得點(diǎn),同理
所以,
所以
①當(dāng)時(shí),,所以
②當(dāng)時(shí)
所以
綜上,的取值范圍為.
0
1
2
3
P

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