一、選擇題
1．有一組樣本數(shù)據(jù)9,4,5,7,8,2,則樣本中位數(shù)為( )
A.5B.6C.7D.8
2．已知為等差數(shù)列,若m,n,p,q是正整數(shù),則是的( )
A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分不必要條件
3．每袋食鹽的標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量為500克,現(xiàn)采用自動(dòng)流水線包裝食鹽,抽取一袋食鹽檢測(cè),它的實(shí)際質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量存在一定的誤差,誤差值為實(shí)際質(zhì)量減去標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量.隨機(jī)抽取100袋食鹽,檢測(cè)發(fā)現(xiàn)誤差X（單位：克）近似服從正態(tài)分布,,則X介于－2~2的食鹽袋數(shù)大約為( )
A.4B.48C.50D.96
4．若,是夾角為60°的兩個(gè)單位向量,則向量與的夾角為( )
A.30°B.60°C.90°D.120°
5．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù),則實(shí)數(shù)( )
A.－1B.0C.D.1
6．若復(fù)數(shù)z滿足,則的最小值為( )
A.B.C.1D.
7．已知點(diǎn)在雙曲線上,過點(diǎn)P作雙曲線的漸近線的垂線,垂足分別為A,B,若,,則( )
A.B.2C.D.
8．在中,角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,,則( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知函數(shù),則( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B.函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增
C.函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度所得到的圖象所對(duì)應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)
D.函數(shù)在區(qū)間上恰有3個(gè)零點(diǎn)
10．已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4,點(diǎn)E在線段AB上,.沿DE將折起,使點(diǎn)A翻折至平面BCDE外的點(diǎn)P,則( )
A.存在點(diǎn)P,使得B.存在點(diǎn)P,使得直線平面PDE
C.不存在點(diǎn)P,使得D.不存在點(diǎn)P,使得四棱錐的體積為8
11．甲、乙兩個(gè)口袋各裝有1個(gè)紅球和2個(gè)白球,這些球除顏色外完全相同.把從甲、乙兩個(gè)口袋中各任取一個(gè)球放入對(duì)方口袋中稱為一次操作,重復(fù)n次操作后,甲口袋中恰有0個(gè)紅球,1個(gè)紅球,2個(gè)紅球分別記為事件,,,則( )
A.B.C.D.
三、填空題
12．已知集合,,則中元素的個(gè)數(shù)為__________.
13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中,橢圓的左焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P在橢圓上,PF的中點(diǎn)為Q,若,,則橢圓離心率的值為____________.
14．將“用一條線段聯(lián)結(jié)兩個(gè)點(diǎn)”稱為一次操作,把操作得到的線段稱為“邊”.若單位圓上n個(gè)顏色各不相同的點(diǎn)經(jīng)過k次操作后,從任意一點(diǎn)出發(fā),沿著邊可以到達(dá)其他任意點(diǎn),就稱這n個(gè)點(diǎn)和k條邊所構(gòu)成的圖形滿足“條件T”,并將所有滿足“條件T”的圖形個(gè)數(shù)記為,則____________.
四、解答題
15．已知函數(shù),.
（1）若函數(shù)在點(diǎn)處的切線過原點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值;
（2）若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值.
16．某游戲設(shè)置了兩套規(guī)則,規(guī)則A：拋擲一顆骰子n次,若n次結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)之和大于2時(shí),繼續(xù)下一次拋擲,否則停止拋擲;規(guī)則B：拋擲一顆骰子一次,結(jié)果向上的點(diǎn)數(shù)大于2時(shí),繼續(xù)下一次拋擲,否則停止拋擲.
（1）若執(zhí)行規(guī)則A,求拋擲次數(shù)恰為1次的概率;
（2）若執(zhí)行規(guī)則B,證明：拋擲次數(shù)的數(shù)學(xué)期望不大于3.
17．如圖,在四棱錐中,底面ABCD是菱形,,為等邊三角形,點(diǎn)M,N分別為AB,PC的中點(diǎn).
（1）證明：直線平面PAD;
（2）當(dāng)二面角為120°時(shí),求直線MN與平面PCD所成的角的正弦值.
18．已知拋物線E：,焦點(diǎn)為F,過F作y軸的垂線,點(diǎn)P在x軸下方,過點(diǎn)P作拋物線E的兩條切線,,,分別交x軸于A,B兩點(diǎn),,分別交于C,D兩點(diǎn).
（1）若,與拋物線E相切于C,D兩點(diǎn),求點(diǎn)P的坐標(biāo);
（2）證明：的外接圓過定點(diǎn);
（3）求面積S的最小值.
19．已知數(shù)列滿足,.
（1）已知,
①若,求;
②若關(guān)于m的不等式的解集為M,集合M中的最小元素為8,求的取值范圍;
（2）若,是否存在正整數(shù),使得,若存在,求出k的最小值,若不存在,請(qǐng)說明理由.
參考答案
1．答案：B
解析：2,4,5,7,8,9,中位數(shù),故選：B.
2．答案：A
解析：時(shí),,
充分時(shí),,
時(shí),與不一定相等,不必要,
故選：A.
3．答案：D
解析：,,則,
,,
故選：D.
4．答案：D
解析：,
,
,夾角120°,
故選：D.
5．答案：C
解析：為奇函數(shù),為偶函數(shù),,
, ,,,
故選：C.
6．答案：B
解析：令,, ,
,
時(shí)取最小值,
故選：B.
7．答案：C
解析： ,,
解得,;
,,
解得,,
,,
,
,
故選：C.
8．答案：A
解析：,
,
,
,,
∴,
故選：A.
9．答案：BCD
解析：,對(duì)稱中心縱坐標(biāo)為1,A錯(cuò).
,則, 的一個(gè)單調(diào)增區(qū)間為,
而, 在,B對(duì).
為偶函數(shù),C對(duì).
,則,或,
或,,;,;,,
在有三個(gè)零點(diǎn),D對(duì),
故選：BCD.
10．答案：AC
解析：若,又,則面PCD,則,
而,,有解,A對(duì).
若平面PDE,平面BCDE,平面平面,
,矛盾,舍去.
取PC中點(diǎn)N, ,則,若,則面DEN,
則,則矛盾,不存在P使得,C對(duì).
,A到DE距離,
,存在,D錯(cuò),
故選：AC.
11．答案：ABD
解析：方法一：,A對(duì).
,B對(duì).
,C錯(cuò).
,
,
,D對(duì),
故選：ABD.
方法二：甲：1紅2白,乙：1紅2白.
對(duì)于A,重復(fù)1次操作,甲口袋中有1紅的概率,A正確.
對(duì)于B,,,
（：甲：3白乙2紅1白,：甲2白1紅;乙1紅2白）
,B正確.
或（甲：2白1紅,乙1紅2白）
對(duì)于C,,C錯(cuò).
對(duì)于D,
,D正確.
故選：ABD.
12．答案：2
解析：B表示為圓心1為半徑的圓,A表示直線,,
直線與圓相交有兩個(gè)公共點(diǎn),的元素的個(gè)數(shù)為2.
13．答案：
解析：取右焦點(diǎn),Q為PF中點(diǎn),,
則為等腰三角形,, 為直角三角形,
,,,.
14．答案：30
解析：情形1：有3個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn),另2個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn),.
情形2：有1個(gè)點(diǎn)是3條邊的端點(diǎn),有1個(gè)點(diǎn)是2條邊的端點(diǎn),
另3個(gè)點(diǎn)是1條邊的端點(diǎn),
,.
15．答案：（1）
（2）5
解析：（1）切點(diǎn),,.
切線過,
, .
（2）,,
,或3,
在,,
,, .
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）若執(zhí)行規(guī)則A,拋擲次數(shù)恰為1次的概率.
（2）若執(zhí)行規(guī)則B,拋擲次數(shù)X的所有可能取值為1,2,3,…
,,,…,
,
記①,
②,
①－②
,
..
17．答案：（1）見解析
（2）
解析：（1）證明：取PD中點(diǎn)E,連接AE,NE,N為PC中點(diǎn),
,又, ,
四邊形AMNE為平行四邊形, ,
平面PAD,平面PAD, 平面PAD.
（2）取AD中點(diǎn)F,如圖建系,設(shè),
,,,,
,,,
,,,
設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量,∴,
設(shè)MN與平面PCD所成角為, .
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）∵,與拋物線E相切于C,D兩點(diǎn), ,,
此時(shí)方程：,即.
方程：,聯(lián)立得.
（2）設(shè)過P的兩條切線分別與拋物線切于,,
PQ方程：,同理PR方程：,
且,,
設(shè)外接圓方程為：,
它過P, ,
, ,
,
整理得,
,
令, 的外接圓過定點(diǎn).
（3）, ,,
,
P到CD的距離為, ,
設(shè),,,由,
,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.
,
令,,
在上;上,
.
19．答案：（1）
（2）11
解析：（1）①, 或2,
而.若, 或2.
若, 或4,經(jīng)檢驗(yàn)均符合. 或2或3或4.
②由條件知,
, ,
或,或或或
或,,,…,,
…
或,…,,或,…或
.
（2）或,,…,,,
令,,, ,
當(dāng)時(shí),,,
存在這樣的k,.

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