一、單選題
1．已知集合，則（ ）
A．B．C．D．
2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限
3．已知，，則的值為（ ）
A．B．C．D．
4．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A．B．C．D．
5．設(shè)是等比數(shù)列的前項(xiàng)和，若成等差數(shù)列，，則的值為（ ）
A．B．C．D．1
6．已知，，在上的投影向量為，則與的夾角為（ ）
A．B．C． 或D．
7．已知橢圓的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)且斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，若，則橢圓的離心率為（ ）
A．B．C．D．
8．人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式：站在了世界中心位置，AI換臉是一項(xiàng)深度偽造技術(shù)，某視頻網(wǎng)站利用該技術(shù)摻入了一些“AI”視頻，“AI”視頻占有率為0.001．某團(tuán)隊(duì)決定用AI對抗AI，研究了深度鑒偽技術(shù)來甄別視頻的真假．該鑒偽技術(shù)的準(zhǔn)確率是0.98，即在該視頻是偽造的情況下，它有的可能鑒定為“AI”；它的誤報(bào)率是0.04，即在該視頻是真實(shí)的情況下，它有的可能鑒定為“AI”．已知某個(gè)視頻被鑒定為“AI”，則該視頻是“AI”合成的可能性為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題
9．設(shè)隨機(jī)變量，其中，下列說法正確的是（ ）
A．變量的方差為1，均值為0B．
C．函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)D．
10．在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線為拋物線上兩點(diǎn)下列說法正確的是（ ）
A．若直線過點(diǎn)，則面積的最小值為2
B．若直線過點(diǎn)，則點(diǎn)在以線段為直徑的圓外
C．若直線過點(diǎn)，則以線段為直徑的圓與直線相切
D．過兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，若兩切線的交點(diǎn)在直線上，則直線過點(diǎn)
11．已知正方體的棱長為分別為棱的點(diǎn)，且，若點(diǎn)為正方體內(nèi)部（含邊界）點(diǎn)，滿足：為實(shí)數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．點(diǎn)的軌跡為菱形及其內(nèi)部
B．當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡長度為
C．最小值為
D．當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為
三、填空題
12．已知的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為 ．
13．已知定義在區(qū)間上的函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為 ．
14．在一個(gè)軸截面為正三角形的圓錐內(nèi)放入一個(gè)與側(cè)面及底面都相切的實(shí)心球后，再在該圓錐內(nèi)的空隙處放入個(gè)小球，這些小球與實(shí)心球、圓錐的側(cè)面以及底面都相切，則的最大值為 （取）

四、解答題
15．已知為公差不為0的等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且．
(1)求的值；
(2)若，求證：．
16．如圖，在四棱錐中，四邊形為梯形，其中，，平面平面．

(1)證明：；
(2)若，且與平面所成角的正切值為2，求平面與平面所成二面角的正弦值．
17．某班欲從6人中選派3人參加學(xué)校籃球投籃比賽，現(xiàn)將6人均分成甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行選拔比賽．經(jīng)分析甲隊(duì)每名隊(duì)員投籃命中概率均為，乙隊(duì)三名隊(duì)員投籃命中的概率分別為，．現(xiàn)要求所有隊(duì)員各投籃一次（隊(duì)員投籃是否投中互不影響）．
(1)若，求甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率；
(2)以甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望為依據(jù)，若甲隊(duì)獲勝，求的取值范圍．
18．已知函數(shù)．
(1)若，求的極小值；
(2)若過原點(diǎn)可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．
19．已知雙曲線的右頂點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交一條漸近線于．
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與雙曲線相交于兩點(diǎn)，直線分別交直線于兩點(diǎn)，求的取值范圍．
參考答案：
1．C
【分析】求出集合或明確集合中元素的特征，根據(jù)集合的交集運(yùn)算，即可求得答案.
【詳解】由題意得，被3除余數(shù)為2的整數(shù)，
，
故選：C．
2．D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求得，再求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn).
【詳解】，則對應(yīng)點(diǎn)為，
所以求在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.
故選：D．
3．A
【分析】解法一：利用兩角和（差）的余弦公式展開求出，從而求出；解法二：利用誘導(dǎo)公式得到，將兩邊平方可以得到，再由二倍角公式計(jì)算可得.
【詳解】解法一：因?yàn)椋?br>所以，
即，所以，
所以，所以．
解法二：因?yàn)?，?br>即，
所以，
兩邊平方可得，
所以，所以，
又，所以.
故選：A．
4．A
【分析】解法一：判斷函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性解不等式即可.
解法二：特值排除法.
【詳解】解法一：函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)分別是R上的增函數(shù)和減函數(shù)，
因此函數(shù)是R上的增函數(shù)，由，得，解得，
所以原不等式的解集是.
故選：A
解法二：特值當(dāng)時(shí)，，排除B，D，當(dāng)時(shí)，，排除C，
對A：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)是R上的增函數(shù)，所以，故A成立.
故選A．
5．B
【分析】解法一：根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)判斷；解法二：根據(jù)等比數(shù)列的基本量運(yùn)算；解法三：利用二級結(jié)論求解.
【詳解】解法一：性質(zhì)+特值.
，排除C，D；
當(dāng)時(shí)，，矛盾，
所以，所以，故排除A，
對B：時(shí)，由得，
此時(shí) ，
，
所以成立.
故選：B．
解法二：基本量運(yùn)算.
當(dāng)時(shí)，，矛盾，
所以，
當(dāng)時(shí)，則
，.
故選：B．
解法三：二級結(jié)論.
，
由，則，
又，
則或，
當(dāng)時(shí)，，無解，故舍去.
所以.
故選：B．
6．D
【分析】設(shè)與的夾角為，由在上的投影向量為即可求得的值，結(jié)合向量夾角的范圍即可求解.
【詳解】設(shè)與的夾角為，
則在上的投影向量為，即，
所以，所以，
因?yàn)椋裕?br>故選：D.
7．B
【分析】方法1，根據(jù)向量極化恒等可得，求得，，根據(jù)通徑列式得解；方法2，建系向量坐標(biāo)運(yùn)算，得，同法1運(yùn)算得解；方法3，利用對稱性+焦點(diǎn)三角形求解；方法4，利用余弦定理的向量形式+極化恒等式運(yùn)算得解；方法5, 直線方向向量+解三角形+通徑運(yùn)算得解.
【詳解】解法一：，
，
又，
，
，
又，則.
故選：B．

解法二： 不妨設(shè)，則，
下同解法一（略）.
故選：B．
解法三：設(shè)右焦點(diǎn)，
，
又，則，又，則.
故選：B．
解法四： ，
，
，
，
則，
又，則.
故選：B．
解法五： ，
由，則，下同解法一（略）.
故選：B．
8．C
【分析】根據(jù)題意，由貝葉斯公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】記“視頻是AI合成”為事件，記“鑒定結(jié)果為AI”為事件B，
則，
由貝葉斯公式得：，
故選：C．
9．ACD
【分析】由正態(tài)分布的表示可判斷A；由正態(tài)曲線及可判斷B，根據(jù)正態(tài)曲線的性質(zhì)可判斷C，根據(jù)正態(tài)曲線的對稱性可判斷D.
【詳解】隨機(jī)變量，則A正確；
，則B錯(cuò)誤；
隨機(jī)變量，結(jié)合正態(tài)曲線易得函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，則C正確；
正態(tài)分布的曲線關(guān)于對稱，，則D正確，
故選：ACD．
10．AC
【分析】設(shè)出的方程為，代入拋物線的方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求得中點(diǎn)的橫坐標(biāo)和中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，以及面積表達(dá)式，可判斷AC；設(shè)出的方程為，代入拋物線的方程由可判斷B；設(shè)直線的方程為，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出切線方程求出交點(diǎn)P坐標(biāo)，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷D．
【詳解】拋物線的焦點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，
對AC選項(xiàng)：設(shè)的方程為，代入拋物線，可得，
易知，，，
故 ,
當(dāng)?shù)忍柍闪?，故A正確；
而，
則弦長，
設(shè)的中點(diǎn)為，到準(zhǔn)線的距離為，
所以以為直徑的圓與準(zhǔn)線相切，故C正確；
對B選項(xiàng)：又設(shè)的方程為，代入拋物線可得，
易知，，，
，
則點(diǎn)在以線段為直徑的圓上，B錯(cuò)誤；
對D選項(xiàng)：不妨設(shè)在第一象限，在第四象限，則，
則點(diǎn)處切線斜率
，，則點(diǎn)處切線斜率，
則點(diǎn)處切線方程為，
同理點(diǎn)處切線方程為，
聯(lián)立兩直線求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)為，故，
設(shè)直線的方程為，代入拋物線可得，
則，故（負(fù)值舍去），即直線的方程為，
則直線過點(diǎn)，故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11．ABD
【分析】由空間向量基本定理，共線定理和線面角的定義對選項(xiàng)一一判斷即可得出答案.
【詳解】對于A，因?yàn)?，由空間向量基本定理可知，
所以在菱形內(nèi)，A正確；
對于B，取上一點(diǎn)，使得，連接，，
易證四邊形和四邊形是平行四邊形，所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
當(dāng)時(shí)，,
所以，即，
在線段上，的軌跡長度為線段的長，即為，B正確；
對于C，由知，在菱形內(nèi)，
所以的最小值即為點(diǎn)到平面的距離，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，
可得
設(shè)平面的法向量為，則，
取，可得，所以，
所以到平面的距離為：，故C錯(cuò)誤；
對于D，當(dāng)時(shí)，,
分別取的中點(diǎn)，連接，在線段上，
，所以，可得，
平面的法向量為，，
設(shè)與面所成角為，
所以，
設(shè)，因?yàn)椋瑒t，
則代入化簡可得，
當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值的最大值為，D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于立體幾何的綜合問題的解答方法：
（1）立體幾何中的動(dòng)態(tài)問題主要包括：空間動(dòng)點(diǎn)軌跡的判斷，求解軌跡的長度及動(dòng)態(tài)角的范圍等問題，解決方法一般根據(jù)線面平行，線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理，結(jié)合圓或圓錐曲線的定義推斷出動(dòng)點(diǎn)的軌跡，有時(shí)也可以利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；
（2）對于線面位置關(guān)系的存在性問題，首先假設(shè)存在，然后在該假設(shè)條件下，利用線面位置關(guān)系的相關(guān)定理、性質(zhì)進(jìn)行推理論證，尋找假設(shè)滿足的條件，若滿足則肯定假設(shè)，若得出矛盾的結(jié)論，則否定假設(shè)；
（3）對于探索性問題用向量法比較容易入手，一般先假設(shè)存在，設(shè)出空間點(diǎn)的坐標(biāo)，轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程是否有解的問題，若有解且滿足題意則存在，若有解但不滿足題意或無解則不存在.
12．10
【分析】由展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為32，令，求出，然后利用通項(xiàng)公式中的指數(shù)為，求出，進(jìn)而得出常數(shù)項(xiàng).
【詳解】令，則當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為．
故答案為：10.
13．
【分析】先求出的范圍，考慮其右邊界的取值范圍即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>其中，
相鄰的后面一個(gè)使得成立的值為：，
且，當(dāng)且僅當(dāng)，解得：．
故答案是：.
14．10
【分析】在圓錐的軸截面中求出大球、小球半徑及正三角形邊長的關(guān)系，然后再根據(jù)空隙處放入個(gè)小球相切的關(guān)系，利用三角函數(shù)性質(zhì)求出小球最多的個(gè)數(shù).
【詳解】由題意知，圓錐的軸截面為正三角形，設(shè)邊長為.

設(shè)實(shí)心球半徑為，由得：，
，，，.
設(shè)小球的半徑為，同理，，，，
到直線的距離為.
空隙處放入個(gè)小球相鄰相切，排在一起，則球心在一個(gè)半徑為的圓上，如下圖所示：

為相鄰兩球的切點(diǎn)，，分別為球心，
設(shè)，則，，
由三角函數(shù)性質(zhì)可知：，，
，，又，，
故小球個(gè)數(shù)最多為10個(gè),即的最大值為.
故答案為：
15．(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）解法一：設(shè)的公差為，利用等差數(shù)列的定義可得答案；解法二：設(shè)的公差為，轉(zhuǎn)化為對恒成立，可得答案.
（2）求出，利用裂項(xiàng)相消求和可得答案.
【詳解】（1）解法一：設(shè)的公差為，
由①，得②，
則②-①得，
即，又，則；
解法二：設(shè)的公差為，
因?yàn)椋?br>所以對恒成立，
即對恒成立，
所以，
又，則；
（2）由得，即，
所以，
又即，則，
因此
則
．
16．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)題意，由面面垂直的性質(zhì)定理即可得到平面，再由線面垂直的性質(zhì)定理即可證明；
（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可得到結(jié)果；法二：根據(jù)面面角的定義，先找出所求的二面角，然后代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】（1）因?yàn)?，所以為等邊三角形?br>所以，
又四邊形為梯形，，則，
在中，由余弦定理可知，
，
根據(jù)勾股定理可知，，即．
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面平面?br>所以平面，又因?yàn)槠矫?br>所以．
（2）法一：由（1）可知，
又因?yàn)椋云矫妫?br>所以就是與平面所成角，所以，
所以；
以為正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則有取，
由題意得為平面的法向量，
所以，
即平面與平面所成二面角的正弦值．
法二：在平面內(nèi)，延長與相交于點(diǎn)，
連接，則為平面與平面的交線，
在平面內(nèi)，過點(diǎn)作，垂足為，連接，

由（1）得，，
因?yàn)榍揖诿鎯?nèi)，
所以面，
因?yàn)槊?，所以?br>又因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),
所以面，即面,
因?yàn)槊妫?
因?yàn)榍揖诿鎯?nèi),
所以面，由面所以,
所以,
在直角三角形中,
在直角三角形中，
所以平面與平面所成二面角的正弦值．
所以就是二面角的平面角，
又因?yàn)槠矫妫?br>所以就是與平面所成角，
所以，所以，
因?yàn)?，所以?br>17．(1)
(2)
【分析】（1）分甲隊(duì)投中3次，乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次，乙隊(duì)投中3次兩種情況，利用概率的乘法求解．
（2）分別求出甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)的期望，比較大小求得的取值范圍．
【詳解】（1）記“甲，乙兩隊(duì)共投中5次”為事件，
則可以是甲隊(duì)投中3次，乙隊(duì)投中2次或者甲隊(duì)投中2次，乙隊(duì)投中3次．
則，
甲、乙兩隊(duì)共投中5次的概率為．
（2）記甲、乙兩隊(duì)投中次數(shù)分別為，
則，所以；
的取值為0，1，2，3，則，
，
，
，
所以，的分布列為
所以
若甲隊(duì)獲勝，則，故.
18．(1)
(2)
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；
（2）設(shè)切點(diǎn)分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉(zhuǎn)化為方程兩個(gè)不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值的表達(dá)式，分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理，即可求得答案.
【詳解】（1）由，得，
令得，則在上單調(diào)遞減，
令得，則在上單調(diào)遞增，
則的極小值為;
（2），
設(shè)切點(diǎn)分別為，
則在處的切線方程為，
又切點(diǎn)過原點(diǎn)，所以，
即，同理，
所以為方程兩個(gè)不同的根，
設(shè)，則，
若，則在單調(diào)遞減，不可能有兩個(gè)不同的根，不符合題意；
若，令得，在單調(diào)遞減，
令得在單調(diào)遞增，
所以，
若，即，則，
此時(shí)方程沒有兩個(gè)不同的根，不符合題意；
若，即，，
因?yàn)?，所以，所以?br>令，則，
所以在上單調(diào)遞增，，
即，又的圖象是不間斷的曲線，
所以存在滿足使得，
所以的取值范圍是．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：難點(diǎn)在于根據(jù)切線的條數(shù)求解參數(shù)范圍。解答時(shí)將問題轉(zhuǎn)化為方程兩個(gè)不同的根的問題，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，求得函數(shù)最小值，分類討論，結(jié)合零點(diǎn)存在定理求解即可.
19．(1)
(2)
【分析】（1）利用雙曲線的頂點(diǎn)與漸近線性質(zhì)得到關(guān)于的方程，從而得解；
（2）解法一：聯(lián)立直線與雙曲線的方程，得到與的取值范圍，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式即可得解；解法二：通過分析可得是上述關(guān)于方程的兩個(gè)不等根，從而求得的值，再將所求轉(zhuǎn)化為關(guān)于的表達(dá)式即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為．
（2）解法一：
由題知，直線的斜率存在，

設(shè)方程為，，
聯(lián)立，得，
則且，
所以且，則，
因?yàn)榈姆匠虨椋深}意得，則，
所以，
令得，同理
所以，，
所以，
當(dāng)時(shí)，都在點(diǎn)右側(cè)，
則
，
當(dāng)時(shí)，在點(diǎn)兩側(cè)，此時(shí)與異號，
則
，
又，
所以，
綜上，的取值范圍為.
解法二：
由題知，直線必經(jīng)過點(diǎn)，故可設(shè)方程為，
設(shè)，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，
設(shè)，
由得，
即，
所以是上述關(guān)于方程的兩個(gè)不等根，
所以，
又直線不平行與漸近線，所以，
所以，
直線與聯(lián)立得點(diǎn)，同理
所以，
所以，
①當(dāng)時(shí)，，所以，
②當(dāng)時(shí)，，
，
所以，
綜上，的取值范圍為.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
0
1
2
3

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江蘇省宿遷市2024年高三年級一模調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題(附參考答案)：

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江蘇省宿遷市2024年高三年級一模調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題（附參考答案）：

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江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷及答案：

這是一份江蘇省宿遷市2024屆高三下學(xué)期第一次調(diào)研測試數(shù)學(xué)試卷及答案，共14頁。試卷主要包含了考生必須保持答題卡的整潔，人工智能領(lǐng)域讓貝葉斯公式等內(nèi)容，歡迎下載使用。

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