1．橢圓的概念
把平面內(nèi)到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的集合叫作橢圓．這兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫作橢圓的焦點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2間的距離叫作橢圓的焦距．
橢圓定義用集合語(yǔ)言表示如下：
P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c為常數(shù)．
在橢圓定義中，特別強(qiáng)調(diào)到兩定點(diǎn)的距離之和要大于|F1F2|．當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和等于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡是線段F1F2；當(dāng)?shù)絻啥c(diǎn)的距離之和小于|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡不存在．
2．橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)
說(shuō)明：當(dāng)焦點(diǎn)的位置不能確定時(shí)，橢圓方程可設(shè)成Ax2＋By2＝1的形式，其中A，B是不相等的正常數(shù)，或設(shè)成eq \f(x2,m2)＋eq \f(y2,n2)＝1(m2≠n2)的形式．
3．點(diǎn)P(x0，y0)和橢圓的關(guān)系
(1)點(diǎn)P(x0，y0)在橢圓內(nèi)?eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)1.
3．橢圓的焦點(diǎn)三角形有關(guān)結(jié)論
橢圓上一點(diǎn)與兩焦點(diǎn)所構(gòu)成的三角形稱為焦點(diǎn)三角形，與之有關(guān)的常用結(jié)論有：
(1)|PF1|＋|PF2|＝2a；
(2)4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cs θ；(其中，θ＝∠F1PF2)
(3)當(dāng)P為短軸端點(diǎn)時(shí)，θ最大．
(4)S△PF1F2＝eq \f(1,2)|PF1||PF2|sin θ＝eq \f(sin θ,1＋cs θ)·b2＝b2tan eq \f(θ,2)＝c·|y0|.
當(dāng)y0＝±b，即P為短軸端點(diǎn)時(shí)，S△PF1F2有最大值為bc.
(5)焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)為2(a＋c)．
4．橢圓中的弦長(zhǎng)公式
(1)若直線y＝kx＋b與橢圓相交于兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則
|AB|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|＝ eq \r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|.
(2)焦點(diǎn)弦(過(guò)焦點(diǎn)的弦)：最短的焦點(diǎn)弦為通徑長(zhǎng)eq \f(2b2,a)，最長(zhǎng)為2a.
5．橢圓中點(diǎn)弦有關(guān)的結(jié)論
AB為橢圓eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中點(diǎn)M(x0，y0)．
(1)斜率：k＝－eq \f(b2x0,a2y0).
(2)弦AB的斜率與弦中點(diǎn)M和橢圓中心O的連線的斜率之積為定值－eq \f(b2,a2).
典例剖析
題型一 橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程
例1 (1)已知中心在原點(diǎn)的橢圓C的右焦點(diǎn)為F(1，0)，離心率等于eq \f(1,2)，則C的方程是________．
(2) 設(shè)P是橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,16)＝1上的點(diǎn)，若F1、F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則△PF1F2的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．
答案 (1) eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1 (2) 16
解析 (1)由題意知c＝1，e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，所以a＝2，b2＝a2－c2＝3.故所求橢圓方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2) △PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c＝10＋6＝16.
變式訓(xùn)練 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，以坐標(biāo)軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(eq \r(6)，1)，
P2(－eq \r(3)，－eq \r(2))，則橢圓的方程為_(kāi)_______．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1
解析 設(shè)橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)．
∵橢圓經(jīng)過(guò)P1，P2兩點(diǎn)，∴P1，P2點(diǎn)坐標(biāo)適合橢圓方程，
則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(6m＋n＝1， ①,3m＋2n＝1， ②))
①②兩式聯(lián)立，解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m＝\f(1,9)，,n＝\f(1,3).))∴所求橢圓方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,3)＝1.
解題要點(diǎn) 1.求解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程一般用待定系數(shù)法，如果能確定焦點(diǎn)位置，則設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程為
eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)或eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1(a＞b＞0)，若焦點(diǎn)位置不明確，可設(shè)橢圓的方程為Ax2＋By2＝1(A＞0，B＞0，A≠B)．
2.若P是橢圓上一點(diǎn)，則由橢圓定義可知，|PF1|＋|PF2|＝2a，從而△PF1F2的周長(zhǎng)為|PF1|＋|PF2|＋|F1F2|＝2a＋2c．
題型二 二次方程表示橢圓的條件
例2 “20，,m－2≠6－m，))
∴20)的左、右焦點(diǎn)為F1、F2，離心率為eq \f(\r(3),3)，過(guò)F2的直線l交C于A、B兩點(diǎn)．若△AF1B的周長(zhǎng)為4eq \r(3)，則C的方程為_(kāi)_______．
答案 eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1
解析 由e＝eq \f(\r(3),3)，得eq \f(c,a)＝eq \f(\r(3),3)①.又△AF1B的周長(zhǎng)為4eq \r(3)，由橢圓定義，得4a＝4eq \r(3)，得a＝eq \r(3)，代入①得c＝1，
∴b2＝a2－c2＝2，故C的方程為eq \f(x2,3)＋eq \f(y2,2)＝1.
2．(2015新課標(biāo)Ⅰ文)已知橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq \f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|等于________．
答案 6
解析 因?yàn)閑＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，所以c＝2，a＝4，故橢圓方程為eq \f(x2,16)＋eq \f(y2,12)＝1，將x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3，所以|AB|＝6.
3. 橢圓Γ：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，焦距為2c.若直線y＝eq \r(3)(x＋c)與橢圓Γ的一個(gè)交點(diǎn)M滿足∠MF1F2＝2∠MF2F1，則該橢圓的離心率等于__________．
答案 eq \r(3)－1
解析 ∵直線y＝eq \r(3)(x＋c)過(guò)左焦點(diǎn)F1，且其傾斜角為60°，
∴∠MF1F2＝60°，∠MF2F1＝30°，
∴∠F1MF2＝90°，即F1M⊥F2M.
∵|MF1|＝c，|MF1|＋|MF2|＝2a，∴|MF2|＝2a－c.
∵|MF1|2＋|MF2|2＝|F1F2|2.∴c2＋(2a－c)2＝4c2，即c2＋2ac－2a2＝0.
∴e2＋2e－2＝0，解得e＝eq \r(3)－1.
4．橢圓x2＋my2＝1的焦點(diǎn)在y軸上，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的兩倍，則m的值為_(kāi)_______．
答案 eq \f(1,4)
解析 將原方程變形為x2＋eq \f(y2,\f(1,m))＝1，由題意知a2＝eq \f(1,m)，b2＝1，
∴a＝eq \r(\f(1,m))，b＝1.∴eq \r(\f(1,m))＝2，∴m＝eq \f(1,4).
5．已知△ABC中，A、B的坐標(biāo)分別為(2,0)和(－2,0)，若三角形的周長(zhǎng)為10，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是________．
答案 eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1(y≠0)
解析 點(diǎn)C到兩個(gè)定點(diǎn)A、B的距離之和為6,6>4，故所求點(diǎn)C的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，其中2a＝6,2c＝4，則b2＝5.所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,5)＝1，
又A、B、C三點(diǎn)不共線，即y≠0.
課后作業(yè)
填空題
1． (2015廣東文)已知橢圓eq \f(x2,25)＋eq \f(y2,m2)＝1(m>0)的左焦點(diǎn)為F1(－4,0)，則m等于________．
答案 3
解析 由題意知25－m2＝16，解得m2＝9，又m>0，所以m＝3.
2．過(guò)點(diǎn)A(3，－2)且與橢圓eq \f(x2,9)＋eq \f(y2,4)＝1有相同焦點(diǎn)的橢圓的方程為_(kāi)_______．
答案 eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1
解析 由題意得c2＝9－4＝5，又已知橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，
故所求橢圓方程可設(shè)為eq \f(x2,λ＋5)＋eq \f(y2,λ)＝1(λ＞0)，代入點(diǎn)A的坐標(biāo)得eq \f(9,λ＋5)＋eq \f(4,λ)＝1，
解得λ＝10或λ＝－2(舍去)．故所求橢圓的方程為eq \f(x2,15)＋eq \f(y2,10)＝1.
3．設(shè)e是橢圓eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,k)＝1的離心率，且e∈(eq \f(1,2)，1)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是________．
答案 (0,3)∪(eq \f(16,3)，＋∞)
解析 當(dāng)k>4時(shí)，c＝eq \r(k－4)，由條件知eq \f(1,4)b>0)
eq \f(y2,a2)＋eq \f(x2,b2)＝1
(a>b>0)
圖形
性
質(zhì)
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對(duì)稱性
對(duì)稱軸：坐標(biāo)軸 對(duì)稱中心：原點(diǎn)
頂點(diǎn)
A1(－a,0)，A2(a,0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b,0)，B2(b,0)
軸
長(zhǎng)軸A1A2的長(zhǎng)為2a；短軸B1B2的長(zhǎng)為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝eq \f(c,a)∈(0,1)
a，b，c
的關(guān)系
c2＝a2－b2

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