考點四十三  雙曲線知識梳理1．雙曲線的概念把平面內(nèi)到兩定點F1，F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．定點F1，F2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距．用集合語言表示為：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.說明：定義中，到兩定點的距離之差的絕對值小于兩定點間距離非常重要．令平面內(nèi)一點到兩定點F1，F2的距離的差的絕對值為2a(a為常數(shù))，則只有當2a<|F1F2|且2a≠0時，點的軌跡才是雙曲線；若2a＝|F1F2|，則點的軌跡是以F1，F2為端點的兩條射線；若2a>|F1F2|，則點的軌跡不存在． 2．雙曲線的標準方程和幾何性質(zhì)標準方程－＝1(a>0，b>0)－＝1(a>0，b>0)圖形性質(zhì)范圍x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a對稱性對稱軸：坐標軸　對稱中心：原點頂點A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)漸近線y＝±xy＝±x離心率e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝實虛軸線段A1A2叫作雙曲線的實軸，它的長|A1A2|＝2a；線段B1B2叫作雙曲線的虛軸，它的長|B1B2|＝2b；a叫作雙曲線的實半軸長，b叫作雙曲線的虛半軸長a、b、c的關(guān)系c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)說明：在雙曲線的標準方程中，決定焦點位置的因素是x2或y2的系數(shù)．若x2系數(shù)為正，則焦點在x軸上，若y2的系數(shù)為正，則焦點在y軸上．3．雙曲線與橢圓的區(qū)別(1) 定義表達式不同：在橢圓中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在雙曲線中||PF1|－|PF2||＝2a； (2) 離心率范圍不同：橢圓的離心率e∈(0，1)，而雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)；(3) a，b，c的關(guān)系不同：在橢圓中a2＝b2＋c2，a＞c；而在雙曲線中c2＝a2＋b2， c＞a．典例剖析題型一  雙曲線的定義和標準方程例1　設雙曲線C的兩個焦點為(－，0)，(，0)，一個頂點是(1,0)，則C的方程為________．答案　x2－y2＝1解析　由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝，a＝1，則b2＝c2－a2＝1，所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.變式訓練  與橢圓C：＋＝1共焦點且過點(1，)的雙曲線的標準方程為________．答案　－＝1解析　橢圓＋＝1的焦點坐標為(0，－2)，(0，2)，設雙曲線的標準方程為－＝1(m>0，n>0)，則，解得m＝n＝2.∴雙曲線的標準方程為－＝1.解題要點  求雙曲線的標準方程的基本方法是定義法和待定系數(shù)法．在求解時，注意巧設方程，可以減少討論以及計算的難度，一般來說：(1)與雙曲線－＝1 (a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為－＝t (t≠0)．(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為－＝1 (mn>0)，也可設為Ax2＋By2＝1 (AB<0)，這種形式在解題時更簡便．題型二  雙曲線的離心率例2　已知雙曲線－＝1(a>0)的離心率為2，則a＝________．答案  1解析　由題，c＝2a. ∴c2＝4a2，又c2＝a2＋3，∴4a2＝a2＋3，a2＝1，∵a>0，∴ a＝1．變式訓練  若雙曲線－＝1 (a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為________．答案　解析　由題意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.∴e2＝＝5，∴e＝.解題要點  1.注意雙曲線中a，b，c的關(guān)系，在雙曲線中c2＝a2＋b2， c＞a．2. 注意離心率公式及其變式運用，e＝＝＝，e＝＝  .題型三  雙曲線的漸近線例3　設雙曲線C經(jīng)過點(2，2)，且與－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________．答案  －＝1　y＝±2x解析  設雙曲線C的方程為－x2＝λ，將點(2，2)代入上式，得λ＝－3，∴C的方程為－＝1，其漸近線方程為y＝±2x.變式訓練  已知雙曲線C：－＝1的離心率為，則C的漸近線方程為________．答案  y＝±x解析  由雙曲線的方程－＝1知，雙曲線的焦點在x軸上，∴＝()2＝3，∴n＝，∴a2＝，b2＝4－＝，從而雙曲線的漸近線方程是y＝±x.解題要點  1.已知雙曲線方程－＝1，求漸近線時可直接將1換為0，解方程－＝0求出漸近線．2.雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求．已知漸近線方程時，可得的值，于是e2＝＝＝1＋2，因此可求出離心率e的值；而已知離心率的值，也可求出漸近線的方程，即＝.但要注意，當雙曲線的焦點所在的坐標軸不確定時，上述兩類問題都有兩個解.  當堂練習1．（2015廣東理）已知雙曲線C：－＝1的離心率e＝，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為________．答案　－＝1解析　因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為e＝＝，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為－＝1.2．（2015安徽文）下列雙曲線中，漸近線方程為y＝±2x的是________．①x2－＝1  ②－y2＝1    ③x2－＝1  ④－y2＝1答案　①解析　由雙曲線漸近線方程的求法知；雙曲線x2－＝1的漸近線方程為y＝±2x，故選①.3. （2015福建理）若雙曲線E：－＝1的左、右焦點分別為F1，F2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于________．答案　9解析　由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9.4．（2015山東文）過雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________．答案　2＋解析　把x＝2a代入－ ＝1；得y＝±b.不妨取P(2a，－b)．又∵雙曲線右焦點F2的坐標為(c,0)，∴kF2P＝.由題意，得＝.∴(2＋)a＝c.∴雙曲線C的離心率為e＝＝2＋.5．（2015北京文）已知(2,0)是雙曲線x2－＝1(b＞0)的一個焦點，則b＝________.答案　解析　由題意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝.課后作業(yè)一、    填空題1． （2015天津文）已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0 )的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________．答案　x2－＝12．（2015湖南文）若雙曲線－＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________．答案　解析　由條件知y＝－x過點(3，－4)，∴＝4，即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝.3．（2015新課標II理）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為________．答案　解析　如圖，設雙曲線E的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內(nèi)，過M作MN⊥x軸于點N(x1,0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acos 60°＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入－＝1，可得a2＝b2，∴e＝＝＝.4．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于，則C的方程是________．答案  －＝1解析  由曲線C的右焦點為F(3,0)，知c＝3.由離心率e＝，知＝，則a＝2，故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線C的方程為－＝1.5．已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為，則C的漸近線方程為________．答案  y＝±x解析  ∵e＝＝，∴e2＝＝＝.∴a2＝4b2，＝.∴漸近線方程為y＝±x＝±x.6．（2015新課標Ⅰ理）已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F1，F2是C的兩個焦點，若·<0，則y0的取值范圍是________．答案　解析　由雙曲線方程可求出F1，F2的坐標，再求出向量，，然后利用向量的數(shù)量積公式求解．由題意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F2(，0)，∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．∵·<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0，即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線上，∴－y＝1，即x＝2＋2y，∴2＋2y－3＋y<0，∴－<y0<.7．（2015重慶文）設雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的右焦點是F，左、右頂點分別是A1，A2，過F作A1A2的垂線與雙曲線交于B，C兩點，若A1B⊥A2C，則該雙曲線的漸近線的斜率為________．答案　±1解析　雙曲線－＝1的右焦點F(c,0)，左、右頂點分別為A1(－a,0)，A2(a,0)，易求B，C，則kA2C＝，kA1B＝，又A1B與A2C垂直，則有kA1B·kA2C＝－1，即·＝－1，∴＝1，∴a2＝b2，即a＝b，∴漸近線斜率k＝±＝±1.8．（2015新課標II文）已知雙曲線過點(4，)，且漸近線方程為y＝±x，則該雙曲線的標準方程為________．答案　－y2＝1解析　由雙曲線漸近線方程為y＝±x，可設該雙曲線的標準方程為－y2＝λ(λ≠0)，已知該雙曲線過點(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求雙曲線的標準方程為－y2＝1.9． （2015天津文）雙曲線－y2＝1的焦距是______，漸近線方程是________________．答案　2　y＝±x解析　由雙曲線方程得a2＝2，b2＝1，∴c2＝3，∴焦距為2，漸近線方程為y＝±x.10．（2015湖南理）設F是雙曲線C：－＝1的一個焦點，若C上存在點P，使線段PF的中點恰為其虛軸的一個端點，則C的離心率為________．答案　解析　不妨設F(c,0)，則由條件知P(－c，±2b)，代入－＝1得＝5，∴e＝.11．（2015新課標Ⅰ文）已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當△APF周長最小時，該三角形的面積為________．答案　12解析　設左焦點為F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2，∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|，△APF周長最小即為|AP|＋|PF1|最小，當A、P、F1在一條直線時最小，過AF1的直線方程為＋＝1.與x2－＝1聯(lián)立，解得P點坐標為(－2,2)，此時S＝＝12.二、解答題12．已知橢圓D：＋＝1與圓M：x2＋(y－5)2＝9，雙曲線G與橢圓D有相同焦點，它的兩條漸進線恰好與圓M相切，求雙曲線G的方程．解析 橢圓D的兩個焦點為F1(－5,0)，F2(5,0)，∴雙曲線中心在原點，焦點在x軸上，且c＝5.設雙曲線G的方程為－＝1(a＞0，b＞0)，∴漸近線方程為bx±ay＝0且a2＋b2＝25，又圓心M(0,5)到兩條漸近線的距離為r＝3.∴＝3，得a＝3，b＝4，∴雙曲線G的方程為－＝1.13．已知雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，且與圓x2＋y2＝10相交于點P(3，－1)，若此圓過點P的切線與雙曲線的一條漸近線平行，求此雙曲線的方程．解析  切點為P(3，－1)的圓x2＋y2＝10的切線方程是3x－y＝10.∵雙曲線的一條漸近線與此切線平行，且雙曲線關(guān)于兩坐標軸對稱，∴兩漸近線方程為3x±y＝0.設所求雙曲線方程為9x2－y2＝λ(λ≠0)．∵點P(3，－1)在雙曲線上，代入上式可得λ＝80，∴所求的雙曲線方程為－＝1.

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