2022年10月
時量：120分鐘 總分：150分
一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1．已知集合A={0，1，2，3}，，則（ ）
A．{1，2，3}B．
C．{0，1，2，3，4}D．
【分析】利用并集的定義直接求出．
【解析】解：集合，1，2，，
∴．
故選：．
2．命題“存在，”的否定形式是（ ）
A．任意，B．任意，或
C．存在，D．存在，或
【分析】直接利用特稱命題的否定是全稱命題寫出結(jié)果即可．
【解析】解：因為特稱命題的否定是全稱命題，所以，命題“存在，”的否定形式是“任意，或”．
故選：．
3．已知，則（ ）
A．B．
C．D．
【分析】對于，結(jié)合不等式的性質(zhì)，即可求解，對于，結(jié)合特殊值法，即可求解，對于，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可求解，對于，結(jié)合作差法，即可求解．
【解析】解：對于，，
，，
，故錯誤，
對于，令，，，滿足，但，故錯誤，
對于C，，
，
在上單調(diào)遞增，
，故C正確．
對于D，，
，
，故D錯誤，
故選：C．
4．在下列四組函數(shù)中，與表示同一函數(shù)的是（ ）
A．，
B．，
C．，
D．，
【分析】直接利用同一函數(shù)的定義和函數(shù)的定義域的應(yīng)用判斷、、、的結(jié)論．
【解析】解：對于，，，故錯誤；
對于，，故正確；
對于，，故錯誤；
對于，，，，，，故錯誤．
故選：．
5．當(dāng)時，函數(shù)的最小值為（ ）
A．B．C．D．4
【分析】由，利用基本不等式的性質(zhì)求解即可；
【解析】解：∵，∴
∴
當(dāng)且僅當(dāng)時，即等號成立
∴函數(shù)的最小值為
故選：A．
6．命題“任意，”為真命題的一個必要不充分條件是（ ）
A．B．C．D．
【分析】命題“，”為真命題，可得，令，，，利用二次函數(shù)的單調(diào)性即可得出函數(shù)取得最小值，進而判斷出結(jié)論．
【解析】解：命題“，，”為真命題，
∴
令，，，
則函數(shù)在，上單調(diào)遞增，
∴時，函數(shù)取得最小值，．
∴．
因此命題“任意，”為真命題的一個必要不充分條件是．
故選：A．
7．已知方程有兩個不相等的實數(shù)根，且兩個實數(shù)根都大于2，則實數(shù)m的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】利用二次函數(shù)根的分布求解即可．
【解析】解：令，
則由已知可得函數(shù)與軸有兩個不同的交點，
且都在2的右側(cè)，
如圖所示：
由圖可得：，
解得：，
故的取值范圍為：，
故選：．
8．高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，為了紀(jì)念數(shù)學(xué)家高斯，我們把取整函數(shù)（）稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過x的最大整數(shù)，如，，則點集所表示的平面區(qū)域的面積是（ ）
A．1B．C．D．
【分析】由題意可得或或或，畫出可行域，計算出面積即可．
【解析】解：由題意可得或或或，
畫出可行域，如圖所示，
點集所表示的平面區(qū)域的面積是4，
故選：．
二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出選項中，有多項是符合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分）
9．已知，，且，，則a取值可能為（ ）
A．B．0C．1D．2
【分析】由已知中 且，，代入可構(gòu)造關(guān)于的不等式，解不等式結(jié)合，可得滿足條件的值．
【解析】解： 且，，
即，
解得：，
又，
，或，或，
故滿足條件的的取值集合為，1，，
故選：．
10．下列命題，其中正確的命題是（ ）
A．函數(shù)在（0，）上是增函數(shù)
B．函數(shù)在上是減函數(shù)
C．函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是
D．已知在R上是增函數(shù)，若，則有
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)、反比例函數(shù)的單調(diào)性、以及函數(shù)單調(diào)性的定義逐項判斷即可．
【解析】解：對于的單調(diào)遞增區(qū)間為，故在上是增函數(shù)，故正確；
對于：函數(shù)在，上單調(diào)遞減，故正確；
對于：要求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間，只需，解得，故該函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，，故錯誤；
對于在上是增函數(shù)，若，所以，，所以（a），（b），兩式相加得（a）（b），故正確．
故選：ABD．
11．對于數(shù)集M，若對于任意a，，有，，則稱集合M為閉集合，則下列說法中錯誤的是（ ）
A．集合M={，0，1}為閉集合
B．集合為閉集合
C．正整數(shù)集是閉集合
D．若集合，為閉集合，則為閉集合
【分析】根據(jù)已知新定義對應(yīng)各個選項逐個判斷即可．
【解析】解：選項：因為，，所以集合不是閉集合；
選項：設(shè)，，，，則，，
所以集合為閉集合，故正確；
選項：設(shè)，為任意兩個正整數(shù)，當(dāng)時，不是正整數(shù)，
所以正整數(shù)不是閉集合，故錯誤；
選項：設(shè)，，，，
由可知集合，為閉集合，2，，而，
故不為閉集合，故錯誤．
故選：．
12．若x，，且滿足，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．的最小值是3B．的最小值為6
C．的最小值為2D．的最大值為
【分析】根據(jù)基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性逐項判斷即可．
【解析】解：對于選項：由題干可得：，所以，，，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，所以選項錯誤．
對于選項：由題干可得：，所以
，，當(dāng)且僅當(dāng)取得等號，所以選項正確．
對于選項：由題干可得：，，，，
，當(dāng)且僅當(dāng)，取得等號，所以正確．
對于選項：由題干可得：，令，則有知．
原式在上單減，所以時即時有最大值，所以正確．
故選：．
三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）
13．已知集合，若函數(shù)，，則函數(shù)的值域是________．
【分析】先求解，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性進行求解即可．
【解析】解：，
當(dāng)時，，
即的值域為，，
故答案為：，
14．若，，則的取值范圍為________．
【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合不等式的基本性質(zhì)，即可求解．
【解析】解：，
，
，
，
，
故的取值范圍為．
故答案為：
15．已知集合，若集合A中所有整數(shù)元素之和為18，則實數(shù)a的取值范圍是________．
【分析】先由二次不等式求出集合，根據(jù)已知集合中所有整數(shù)的元素和為18可判斷的范圍
【解析】解；由可得
①若，則，則其中所有整數(shù)的元素的和不可能是18，舍去
②若，則，不符合題意
③若，則，由知中的整數(shù)有3，4，5，6，
∴
故答案為：
16．函數(shù)的定義域為D，若對于任意，，當(dāng)時都有，則稱函數(shù)在D上為非減函數(shù)，設(shè)在[0，1]上為非減函數(shù)，且滿足以下三個條件：①；②；③；
則________；等于________．
【分析】由新定義可知（1），，，當(dāng)，時，，從而求得．
【解析】解：，，
（1），，
（1），，
當(dāng)，時，，
故，
故，
故，
故答案為：1；
四、解答題（本題共6小題，共70分．解答題應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）
17．（本題滿分10分）
已知全集U={2，4，6，8，10}，．
（1）若中有3個元素，求實數(shù)t的取值范圍；
（2）若中有四個元素，求實數(shù)t的值．
【分析】
（1）若中有3個元素，則集合A中有2個元素，根據(jù)一元二次方程根的關(guān)系即可求t的值；
（2）若中有4個元素，則等價為為單元素集合，然后進行求解即可．
【解析】
解：（1）全集U={2，4，6，8，10}，
由中有3個元素，則集合A中有2個元素，即方程有兩個不相等的實數(shù)解，
∴，
∴或，
（2）中有四個元素，為單元素集合，由，
解得，
當(dāng)時，方程化為，解得，所以，滿足條件；
當(dāng)時，方程化為，解得，所以，不滿足條件；
綜上知，．
18．（本題滿分12分）
已知集合，．
（1）若，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若是的必要不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍．
【分析】
（1）先求出集合，，若，則有，解不等式組即可；
（2）根據(jù)條件便知，所以便有，或，所以解不等式即可得到的取值范圍．
【解析】
解：（1）；
∴
若，則：；
解得；
的取值范圍為；
（2）是的必要不充分條件；
能得到，而得不到；
；
∴或；
∴或；
∴實數(shù)的取值范圍為R．
19．（本題滿分12分）
如圖，有一塊半徑為2的半圓形紙片，計劃剪裁成等腰梯形ABCD的形狀，它的下底AB是圓O的直徑，上底CD的端點在圓周上，設(shè)CD=2x，梯形ABCD的周長為y．
（1）求出y關(guān)于x的函數(shù)的解析式；
（2）若周長y大于9，求上底CD長的取值范圍．
【分析】
（1）作，分別垂直，交于，，連結(jié)，求出，又在直角中，進一步求出，從而求出梯形的周長與間的函數(shù)解析式，根據(jù)，，可求出定義域；
（2）利用二次函數(shù)在給定區(qū)間上求出最值的知識可求出函數(shù)的最大值．
【解析】
解：（1）作，分別垂直，交于，，
連結(jié)．由圓的性質(zhì)，是中點，設(shè)，
．
又在直角中，，
，其定義域是；
（2）令，則，且，
，
∵周長y大于9
∴，解得：
∴，
∴，
∴，
∴上底CD長的取值范圍
20．（本題滿分12分）
（1）若的解集為，求實數(shù)a，b的值；
（2）當(dāng)時，求關(guān)于x的不等式的解集．
【分析】
（1）題意轉(zhuǎn)化為1，是方程的解，從而列方程解得；
（2）根據(jù)不等式，再分類討論求不等式的解集．
【解析】
解：（1）的解集為，
，是方程的解，
故，
解得，；
（2）∵，
①當(dāng)時，
不等式的解集為或，
②當(dāng)時，
不等式的解集為，
③當(dāng)時，
不等式的解集為或，
④當(dāng)時，不等式的解集為．
21．（本題滿分12分）
已知，．
（1）①求的值；
②當(dāng)時，求；
（2）當(dāng)時，求的解析式；
（3）求方程的解．
【分析】
（1）根據(jù)自變量的范圍選擇對應(yīng)的解析式代入求解；
（2）代范圍求出解析式；
（3）先將方程化簡一下，再求解．
【解析】
解：（1）①
②當(dāng)時，，，
故．
（2）由（1）知，當(dāng)時，．
當(dāng)時，，，故．
當(dāng)時，，，故．
所以當(dāng)時，的解析式為．
（3），，
所以方程為
解得或．
22．（本題滿分12分）
已知函數(shù)，a為實數(shù)．
（1）當(dāng)時，判斷并用定義證明函數(shù)在區(qū)間（0，1]上的單調(diào)性；
（2）是否存在實數(shù)a（），使得在閉區(qū)間上的最大值為2，若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．
【分析】
（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可求出．
（2）化簡函數(shù)為分段函數(shù)，通過討論的范圍，列出關(guān)系式求解即可．
【解析】
解：（1）當(dāng)時，，
當(dāng)，時，，
，
在，上恒成立，
在，上單調(diào)遞減；
（2），，
，（先用特殊值約束范圍），
，在上遞增，
必在區(qū)間，上取最大值2．
當(dāng)，即時，則，，成立，
當(dāng)，即時，，則（舍，
綜上，．

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