TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28968" 【題型1 利用根與系數(shù)的關系直接求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc28968 \h 1
\l "_Tc446" 【題型2 利用根與系數(shù)的關系求方程的根】 PAGEREF _Tc446 \h 2
\l "_Tc23813" 【題型3 利用根與系數(shù)的關系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc23813 \h 2
\l "_Tc714" 【題型4 利用根與系數(shù)的關系降次求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc714 \h 2
\l "_Tc3745" 【題型5 由一元二次方程的兩根求值】 PAGEREF _Tc3745 \h 3
\l "_Tc18392" 【題型6 構造一元二次方程求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc18392 \h 3
\l "_Tc18804" 【題型7 由一元二次方程的根判斷另一個一元二次方程的根】 PAGEREF _Tc18804 \h 3
\l "_Tc12938" 【題型8 根與系數(shù)的關系與三角形、四邊形的綜合運用】 PAGEREF _Tc12938 \h 4
\l "_Tc3190" 【題型9 由一元二次方程根的取值范圍求字母的取值范圍】 PAGEREF _Tc3190 \h 4
\l "_Tc25174" 【題型10 一元二次方程中的新定義問題】 PAGEREF _Tc25174 \h 5
知識點1：一元二次方程的根與系數(shù)的關系
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
注意它的使用條件為，a≠0，Δ ≥0.
【題型1 利用根與系數(shù)的關系直接求代數(shù)式的值】
【例1】（23-24九年級·黑龍江綏化·開學考試）已知一元二次方程x2+x=5x+6的兩根分別為m、n，則1m+1n= ．
【變式1-1】（23-24九年級·廣西來賓·期中）若a，b是方程x2?2x?5=0的兩個實數(shù)根，則a?2b?2的值為 ．
【變式1-2】（23-24九年級·四川成都·階段練習）設方程2x2+3x+1=0的根為x1、x2，則x12+x22= ．
【變式1-3】（23-24九年級·浙江寧波·期末）已知 x1，x2 是方程 2x2+3x?7=0 的兩個根，則 x13x2+x1x23 的值為（ ）
A．214B．?2598C．?638D．?1338
【題型2 利用根與系數(shù)的關系求方程的根】
【例2】（23-24九年級·全國·單元測試）若關于x的方程3x?1x?2m=m?12x的兩根之和與兩根之積相等，則方程的根為 ．
【變式2-1】（23-24·山東濟南·二模）若關于x的一元二次方程x2+mx?6=0有一個根為x=2，則該方程的另一個根為x= ．
【變式2-2】（23-24九年級·河北保定·階段練習）若關于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m與2m?6，則m的值為 ，方程的根為 ．
【變式2-3】（23-24九年級·浙江臺州·階段練習）若關于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根為2，則另一根為 ．
【題型3 利用根與系數(shù)的關系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】
【例3】（23-24九年級·山東棗莊·期中）已知m、n是關于x的方程x2?2x?2021=0的根，則代數(shù)式m2?4m?2n+2023的值為（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
【變式3-1】（23-24·江蘇南京·模擬預測）設x1、x2是方程x2?3x?2020=0的兩個根，則x12?2x1+x2= ．
【變式3-2】（23-24九年級·遼寧大連·期中）設α，β是x2+x+18=0的兩個實數(shù)根，則α2+3α+2β的值是 ．
【變式3-3】（23-24九年級·河南新鄉(xiāng)·期末）已知a，b是方程x2?5x+7=0的兩個根，則a2?4a+b?3= ．
【題型4 利用根與系數(shù)的關系降次求代數(shù)式的值】
【例4】（23-24九年級·湖北武漢·階段練習）已知a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的根，則代數(shù)式1a2+1+1b2+1的值是（ ）
A．3B．1C．?3D．?1
【變式4-1】（23-24九年級·云南·期末）已知m,n是方程x2+x?3=0的兩個實數(shù)根，則m3?3m+n+2024的值是 ．
【變式4-2】（23-24九年級·山東淄博·期中）已知x1,x2是方程x2?x?2024=0的兩個實數(shù)根，則代數(shù)式x13?2024x1+x22的值為（ ）
A．4049B．4048C．2024D．1
【變式4-3】（23-24九年級·江蘇蘇州·階段練習）已知：m、n是方程x2+3x?1=0的兩根，則m3?5m+5n= ．
【題型5 由一元二次方程的兩根求值】
【例5】（23-24九年級·河北保定·階段練習）若關于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個根分別是m與2m?6，則m的值為 ，方程的根為 ．
【變式5-1】（23-24九年級·四川成都·期末）已知關于x的方程2x2+bx+c=0的根為x1=?2，x2=3，則b+c的值是（ ）
A．-10B．-7C．-14D．-2
【變式5-2】（23-24九年級·江蘇連云港·階段練習）在解一元二次方程x2+px+q＝0時，小明看錯了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；小紅看錯了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，則p＝ ．
【變式5-3】（23-24九年級·四川廣安·階段練習）已知關于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．設x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，則k的值為 ．
【題型6 構造一元二次方程求代數(shù)式的值】
【例6】（23-24九年級·江蘇無錫·階段練習）已知s滿足2s2?3s?1=0，t滿足2t2?3t?1=0，且s≠t，則s+t= ．
【變式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若兩個不同的實數(shù)m、n滿足m2=m+1，n2?n=1，則m2+n2= ．
【變式6-2】（23-24九年級·全國·競賽）已知實數(shù)a、b分別滿足a=16a2+13和12b2=3b?1，那么ba+ab的值是 ．
【變式6-3】（23-24九年級·浙江寧波·期末）若a4?3a2=1，b2?3b=1，且a2b≠1，則ba2的值是 ．
【題型7 由一元二次方程的根判斷另一個一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年級·浙江臺州·期末）若關于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一個根為m，則方程a（x?1）2+2a（x?1）+c=0的兩根分別是（ ）．
A．m+1，?m?1B．m+1，?m+1
C．m+1，m+2 D．m?1 ，?m+1
【變式7-1】（23-24九年級·安徽合肥·期中）已知關于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個根都大1，則a+b+c的值是 ．
【變式7-2】（23-24九年級·浙江·自主招生）設a、b、c、d是4個兩兩不同的實數(shù)，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，則a+b+c+d的值為 ．
【變式7-3】（23-24九年級·安徽合肥·期末）關于x的一元二次方程x2+px+q=0有兩個同號非零整數(shù)根，關于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有兩個同號非零整數(shù)根，則下列說法正確的是（ ）
A．p是正數(shù)，q是負數(shù)B．(p?2)2+(q?2)2＜8
C．q是正數(shù)，p是負數(shù)D．(p?2)2+(q?2)2>8
【題型8 根與系數(shù)的關系與三角形、四邊形的綜合運用】
【例8】（23-24九年級·山東·課后作業(yè)）已知菱形ABCD的邊長為5，兩條對角線交于O點，且OA、OB的長分別是關于x的方程x2+(2m?1)x+m2+3=0的根，則m等于( )
A．?3B．5C．5或?3D．?5或3
【變式8-1】（23-24九年級·黑龍江齊齊哈爾·期末）已知三角形的兩邊長分別是方程x2?11x+30=0的兩個根，則該三角形第三邊m的取值范圍是 ．
【變式8-2】（23-24九年級·安徽六安·階段練習）已知正方形ABCD的兩鄰邊AB，AD的長度恰為方程x2?mx+1=0的兩個實數(shù)根，則正方形ABCD的周長為（ ）
A．2B．4C．6D．8
【變式8-3】（23-24九年級·浙江杭州·期中）已知關于x的一元二次方程x2?3x+k=0有兩個實根x1和x2．
(1)求實數(shù)k的取值范圍；
(2)是否存在矩形，x1和x2是這個矩形兩鄰邊的長，且矩形的對角線長為2？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由．
【題型9 由一元二次方程根的取值范圍求字母的取值范圍】
【例9】（23-24·浙江寧波·模擬預測）已知關于x的一元二次方程x2+ax+b=0有兩個根x1，x2，且滿足10且q

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