2024-2025學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)專題1.1 菱形的性質(zhì)與判定【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（原卷版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

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\l "_Tc3291" 【題型1 由菱形的性質(zhì)求角度】 PAGEREF _Tc3291 \h 1
\l "_Tc25563" 【題型2 由菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc25563 \h 2
\l "_Tc1637" 【題型3 由菱形的性質(zhì)求面積】 PAGEREF _Tc1637 \h 3
\l "_Tc2457" 【題型4 菱形在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用】 PAGEREF _Tc2457 \h 4
\l "_Tc23348" 【題型5 菱形中的證明】 PAGEREF _Tc23348 \h 6
\l "_Tc16817" 【題型6 添加條件使四邊形是菱形】 PAGEREF _Tc16817 \h 7
\l "_Tc30083" 【題型7 證明四邊形是菱形】 PAGEREF _Tc30083 \h 8
\l "_Tc30876" 【題型8 由菱形的性質(zhì)與判定求角度】 PAGEREF _Tc30876 \h 9
\l "_Tc22095" 【題型9 由菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)度】 PAGEREF _Tc22095 \h 10
\l "_Tc47" 【題型10 由菱形的性質(zhì)與判定求面積】 PAGEREF _Tc47 \h 12
知識(shí)點(diǎn)1：菱形的性質(zhì)
定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形．
性質(zhì)：①菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；②菱形的四條邊都相等；③菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；④菱形是軸對(duì)稱圖形，它有2條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在直線．
【題型1 由菱形的性質(zhì)求角度】
【例1】（23-24·廣西·三模）如圖，菱形ABCD中，AC交BD于O，CE⊥AB于E，連接OE，若∠DAB=110°，則∠OEC的度數(shù)為 °．
【變式1-1】（23-24九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠ABC=140°，則∠DAC等于（）
A．30°B．25°C．20°D．15°
【變式1-2】（23-24九年級(jí)上·四川成都·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠A=50°，分別以點(diǎn)A，B為圓心，大于12AB的長(zhǎng)為半徑作弧相交于M，N兩點(diǎn)，過(guò)M，N兩點(diǎn)的直線交AD邊于點(diǎn)E（作圖痕跡如圖所示），連接BE，BD．則∠EBC的度數(shù)為．

【變式1-3】（23-24·廣東·二模）如圖，四邊形ABCD為平行四邊形，四邊形BCEF為菱形，BF與CD交于點(diǎn)G，∠A=60°，∠BEC=22°，則∠BGC=（）
A．76°B．82°C．86°D．104°
【題型2 由菱形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度】
【例2】（23-24九年級(jí)下·浙江嘉興·期末）如圖，在菱形紙片ABCD中，AB=2，∠B=60°，將該菱形紙片沿折痕EF翻折，使點(diǎn)D落在AB的中點(diǎn)G處，則DE的長(zhǎng)是．
【變式2-1】（23-24九年級(jí)下·福建寧德·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠D=60°,AC=6，則菱形ABCD的周長(zhǎng)是（）
A．24B．30C．183D．363
【變式2-2】（23-24九年級(jí)下·江蘇無(wú)錫·期中）如圖，邊長(zhǎng)為3的菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上任意一點(diǎn)（P不與B、D重合），以AP和PD為邊作平行四邊形APDQ，則PQ的最小值為．
【變式2-3】（23-24·河北邯鄲·三模）如圖是由5個(gè)邊長(zhǎng)為1，且一個(gè)內(nèi)角為60°的小菱形拼成的圖形，P是其中4個(gè)小菱形的公共頂點(diǎn)．佳佳想到：“一條直線經(jīng)過(guò)平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，則這條直線平分該平行四邊形的面積”就將該圖形沿著過(guò)點(diǎn)P的某條直線剪一刀，把這五個(gè)菱形組成紙片剪成了面積相等的兩部分，則剪痕的長(zhǎng)度是（）

A．3B．13C．133D．273
【題型3 由菱形的性質(zhì)求面積】
【例3】（23-24九年級(jí)下·浙江嘉興·期末）如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E,F分別是邊DC,AD的中點(diǎn)，連接BE,EF,BF．若菱形ABCD的面積為16，則△BEF的面積為（）
A．8B．7C．6D．5
【變式3-1】（23-24九年級(jí)下·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于點(diǎn)H，連接OH，若OA=6，OH=4，則菱形ABCD的面積為（）
A．247B．48C．72D．96
【變式3-2】（23-24九年級(jí)下·廣西賀州·期末）如圖，在菱形ABCD中，∠B=60°，AB=2cm，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，連接EF，則△ECF的面積為（）

A．34B．32C．334D．3
【變式3-3】（23-24九年級(jí)上·山東青島·期末）如圖所示，第一個(gè)菱形OBCD的邊長(zhǎng)為2，∠BOD=60°，且點(diǎn)D落在y軸上，延長(zhǎng)CB交x軸于A，以CA為邊作第二個(gè)菱形AB1C1C；延長(zhǎng)C1B1交x軸于點(diǎn)A1，以C1A1為邊作第三個(gè)菱形A1B2C2C1…，按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，若點(diǎn)D、C、C1、C2…都在一條直線上．
【探究】
(1)A1C1=______AC；
(2)An?2Cn?2=______BC=______；
(3)則第n個(gè)菱形的面積為_(kāi)_____．
【題型4 菱形在平面直角坐標(biāo)系中的運(yùn)用】
【例4】（23-24九年級(jí)下·山東聊城·期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A?2，0，點(diǎn)B在y軸上，菱形OBCD的頂點(diǎn)D4，3．

(1)求直線OC的解析式；
(2)點(diǎn)P是對(duì)角線OC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AP+BP取到最小值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)y軸上是否存在一點(diǎn)Q，使△QAD的面積等于菱形OBCD的面積，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由．
【變式4-1】（23-24九年級(jí)下·山東聊城·期末）在如圖所示的直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊長(zhǎng)是2，E(0,2)為BC的中點(diǎn)．y軸垂直平分BC，垂足為點(diǎn)E．請(qǐng)分別求出點(diǎn)A，B，C，D的坐標(biāo)．

【變式4-2】（23-24九年級(jí)下·湖北咸寧·期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知A0,2，B(0,?3)，C(4,0)，P(?2,0)，且以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．
(1)直接寫(xiě)出D點(diǎn)的坐標(biāo)______；
(2)請(qǐng)用無(wú)刻度直尺作直線l，使直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P且平分菱形的面積，保留作圖痕跡；
(3)已知點(diǎn)T是CD邊上一點(diǎn)，若線段OT將菱形ABCD的面積分為2：3兩部分，直接寫(xiě)出點(diǎn)T的坐標(biāo)．
【變式4-3】（23-24九年級(jí)下·河南駐馬店·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(?2,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(2,0)，點(diǎn)D在y軸上，∠DAB=60°．

(1)求點(diǎn)C和點(diǎn)D的坐標(biāo)．
(2)點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)OP+BP最短時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
【題型5 菱形中的證明】
【例5】（23-24·福建三明·一模）如圖，菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊CD,AD.上，AF=CE，求證：AE=CF．
【變式5-1】（23-24·廣東廣州·一模）如圖，菱形ABCD中，過(guò)點(diǎn)C分別作邊AB，AD上的高CE，CF，求證：BE=DF．
【變式5-2】（23-24九年級(jí)下·北京海淀·期末）如圖，在菱形ABCD中，E為AB邊上一點(diǎn)，EF∥BC交BD于點(diǎn)M，交CD于點(diǎn)F．求證：CF=EM．

【變式5-3】（23-24九年級(jí)下·安徽安慶·期末）如圖，將菱形ABCD沿著EF，GH折疊后，點(diǎn)B，D重合于對(duì)角線BD上一點(diǎn)M，求證：四邊形AEMG是平行四邊形．

知識(shí)點(diǎn)2：菱形的判定
①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形；②四條邊都相等的四邊形是菱形．
③對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形（或“對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形”）．
【題型6 添加條件使四邊形是菱形】
【例6】（23-24九年級(jí)下·北京東城·期末）如圖，下列條件之一能使?ABCD是菱形的為（）

①AC=BD；②AC平分∠BAD；③AB=BC；④AC⊥BD；
A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④
【變式6-1】（17-18九年級(jí)下·全國(guó)·單元測(cè)試）如圖，△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，要判定四邊形DBFE是菱形，還需要添加的條件是（）
A．AB=ACB．AD=BDC．BE⊥ACD．BE平分∠ABC
【變式6-2】（23-24九年級(jí)下·河北秦皇島·階段練習(xí)）已知如圖，在?ABCD中，AD>AB，∠ABC為銳角，將△ABC沿對(duì)角線AC邊平移，得到△A′B′C′，連接AB′和C′D，若使四邊形AB′C′D是菱形，需添加一個(gè)條件，現(xiàn)有三種添加方案，甲方案：AB′=DC′；乙方案：B′D⊥AC′；丙方案：∠A′C′B′=∠A′C′D；其中正確的方案是（）
A．甲、乙、丙B．只有乙、丙C．只有甲、乙D．只有甲
【變式6-3】（23-24·河北承德·模擬預(yù)測(cè)）依據(jù)所標(biāo)識(shí)的數(shù)據(jù)，下列平行四邊形一定為菱形的是（）
A． B．
C． D．
【題型7 證明四邊形是菱形】
【例7】（23-24九年級(jí)下·廣東珠?！て谥校┤鐖D1，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于點(diǎn)C，BD平分∠ABC，且交AE于點(diǎn)D，連接CD

求證：四邊形ABCD是菱形；
【變式7-1】（23-24九年級(jí)下·重慶沙坪壩·期中）如圖，在?ABCD中，點(diǎn)E在邊BC上，連接AE．
(1)利用尺規(guī)作圖，在邊AD求作一點(diǎn)F，使得∠DCF=∠BAE；（保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法）
(2)若AE=EC，證明：四邊形AECF為菱形．
證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴______________________AB=CD，BC=AD．
∵∠BAE=∠DCF，
∴△ABE≌△CDF（ASA）．
∴AE=CF，______________________．
∵BC=AD，
∴BC?BE=AD?DF，
∴______________________
∵AE=CF，
∴四邊形AFCE是平行四邊形（______________________）．（填推理依據(jù)）
∵AE=EC，
∴四邊形AFCE是菱形（______________________）．（填推理依據(jù)）
【變式7-2】（23-24九年級(jí)下·廣東汕尾·期中）已知：如圖，在□ABCD中，AE是BC邊上的高，將△ABE沿BC方向平移，使點(diǎn)E與點(diǎn)C重合，得△GFC．

(1)求證：BE=DG；
(2)若∠B=60°，當(dāng)AB與BC滿足什么數(shù)量關(guān)系時(shí)，四邊形ABFG是菱形？證明你的結(jié)論．
【變式7-3】（23-24九年級(jí)下·河南鶴壁·期中）如圖，AC∥BD，AE平分∠BAC交BD于點(diǎn)E．
(1)【實(shí)踐與操作】過(guò)點(diǎn)B作AE的垂線，垂足為點(diǎn)O（要求尺規(guī)作圖，保留痕跡，不寫(xiě)作法）；
(2)【猜想與證明】設(shè)（1）中的垂線交AC于點(diǎn)F，連接EF，試猜想四邊形ABEF的形狀，并證明．
【題型8 由菱形的性質(zhì)與判定求角度】
【例8】（23-24·四川成都·一模）如圖，在△ABC中，AB=AC，分別以C、B為圓心，取AB的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D．連接BD、AD．若∠ABD=130°，則∠CAD= ．
【變式8-1】（23-24九年級(jí)下·湖北恩施·期末）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，每一個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，其頂點(diǎn)我們稱為格點(diǎn)，△ABC，△ABD為格點(diǎn)三角形．

(1)請(qǐng)你僅用無(wú)刻度的直尺，在這個(gè)4×4的正方形網(wǎng)格中，畫(huà)出個(gè)以AD為邊的不是正方形的菱形，并簡(jiǎn)單說(shuō)明理由；
(2)求∠ADB+∠ACB的大?。?br>【變式8-2】（23-24九年級(jí)下·四川德陽(yáng)·期末）如圖，在菱形ABCD的外側(cè)，作等邊△DCE，連接AE、DE．若對(duì)角線AC＝AB，則∠DEA＝度．
【變式8-3】（23-24九年級(jí)下·吉林長(zhǎng)春·階段練習(xí)）如圖，在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB=DA，對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，且AC平分∠BAD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AB交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．
(1)求證：四邊形ABCD是菱形；
(2)連結(jié)OE，交CB于點(diǎn)F，若∠ACB=20°，則∠CFE=______度．
【題型9 由菱形的性質(zhì)與判定求線段長(zhǎng)度】
【例9】（23-24九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖，四邊形ABCD中AD∥BC，∠C=90°，AB=AD，連接BD，∠BAD的角平分線交BD，BC分別于點(diǎn)O、E，若EC=3，CD=4，則BO的長(zhǎng)為（）

A．4B．33C．523D．25
【變式9-1】（23-24九年級(jí)上·山東煙臺(tái)·期末）如圖，BD是?ABCD的對(duì)角線，AM⊥BC于點(diǎn)M，交BD于點(diǎn)E，連接CE．若點(diǎn)M為BC的中點(diǎn)，EA=EC，BE=1，則?ABCD的周長(zhǎng)為．
【變式9-2】（23-24九年級(jí)下·福建廈門(mén)·階段練習(xí)）如圖，E，F(xiàn)是平行四邊形ABCD對(duì)角線BD上兩點(diǎn)，且BE＝DF，若∠BAF＝90°，AB＝4，AF＝AE＝3，則AC的長(zhǎng)為（）
A．2.4B．3.6C．4.8D．6
【變式9-3】（23-24九年級(jí)下·河南南陽(yáng)·期末）如圖，將邊長(zhǎng)為4的正方形紙片ABCD沿EF對(duì)折再展平，沿折痕剪開(kāi)，得到矩形ABEF和矩形CEFD，再將矩形ABEF繞點(diǎn)E順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)．使點(diǎn)A與點(diǎn)D重合，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F′，則圖②中陰影部分的周長(zhǎng)為．

【題型10 由菱形的性質(zhì)與判定求面積】
【例10】（23-24九年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期中）如圖在直角△ABC中，∠BAC=90°，點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，連接AD，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AF∥BC交線段BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．
(1)求證：AF=DC；
(2)在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫(xiě)出與△ACD面積相等的三角形（不包含△ACD）．
【變式10-1】（23-24·吉林長(zhǎng)春·一模）如圖，在?ABCD中，按如下步驟操作：①以點(diǎn)A為圓心，AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交AD于點(diǎn)F；②再分別以點(diǎn)B、F為圓心，大于12BF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于一點(diǎn)P；③連接AP并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)E，連接EF．若BF=6，AB=5，則四邊形ABEF的面積為．

【變式10-2】（23-24九年級(jí)下·貴州六盤(pán)水·期末）如圖，在?ABCD中，AB=BC，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且E，F(xiàn)分別是BC和CD的中點(diǎn)，連接AC，若AE=AF=3，則△AEF的面積等于（）

A．983B．323C．943D．923
【變式10-3】（23-24·河北·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知△ABC，直線PQ垂直平分AC，與邊AB交于點(diǎn)E，連接CE，過(guò)點(diǎn)C作CF∥BA交PQ于點(diǎn)F，連接AF．
(1)求證：△AED≌△CFD；
(2)求證：四邊形AECF是菱形，
(3)若ED=6，AE=10，則菱形AECF的面積是多少？

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