1．（2023·湖北鄂州·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，且與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，其中，，下列結(jié)論：①；②；③；④；⑤．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】①由，，且當(dāng)時(shí)，，可畫出圖象草圖，進(jìn)行判斷即可；②可得，進(jìn)行化簡即可；③由時(shí)，，進(jìn)行判斷即可；④由進(jìn)行判斷即可；⑤可求，可化 ，進(jìn)行判斷即可．
【詳解】解：①，，且當(dāng)時(shí)，，
二次函數(shù)的草圖如下：

，，
，
，
，
，
故此項(xiàng)正確；
②由①得：，
，
，
故此項(xiàng)正確；
③當(dāng)時(shí)，，
，
，
故此項(xiàng)正確；
④當(dāng)時(shí)，，
；
當(dāng)時(shí)，，
；
，
故此項(xiàng)正確；
⑤當(dāng)時(shí)，，
，
，
，
，
，
，
，
故此項(xiàng)正確；
綜上所述：共有項(xiàng)正確．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的系數(shù)符號(hào)特征及其性質(zhì)進(jìn)行判斷求解，掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)及系數(shù)符號(hào)判斷方法是解題的關(guān)鍵．
2．（2023·湖北黃岡·統(tǒng)考二模）已知二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，下列結(jié)論：①若圖像對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則；②是方程的一個(gè)根；③若圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間，則；④點(diǎn)，在拋物線上，若，則當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的序號(hào)為（ ）
A．①③④B．①②C．②③D．①②③
【答案】D
【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸計(jì)算公式可判斷①，根據(jù)二次函數(shù)與軸的交點(diǎn)判斷一元二次方程的解，繼而判斷②，根據(jù)圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間，可得拋物線與
軸的交點(diǎn)之間的距離大于3，利用韋達(dá)定理得到之間的關(guān)系，繼而判斷③，根據(jù)可得拋物線開口向上且與軸交于上半軸，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷④，繼而得到答案．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖像經(jīng)過，
，
若圖像對(duì)稱軸在y軸左側(cè)，則，故同號(hào)，
異號(hào)，
，故①正確；
根據(jù)可得，
有一個(gè)根為，
當(dāng)時(shí)，成立，
是方程的一個(gè)根，故②正確；
若圖像與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)在和之間，則，
，
，
可得，
變形可得，故③正確；
若，則拋物線開口向上且與軸交于上半軸，
，
，
對(duì)稱軸為，
時(shí)，的大小關(guān)系無法確定，故④錯(cuò)誤；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，韋達(dá)定理，熟練運(yùn)用韋達(dá)定理是解題的關(guān)鍵．
3．（2023·江蘇南通·統(tǒng)考一模）二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在二次函數(shù)圖象上，且到x軸距離為4，，則a的值為（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】作軸，交x軸于點(diǎn)D，設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1和x2，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)勾股定理進(jìn)行線段之間的轉(zhuǎn)換，列出方程，再根據(jù)韋達(dá)定理，即可解答．
【詳解】
解：如圖，作軸，
設(shè)A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)為x1和x2，設(shè)點(diǎn)，
軸，
，
，
，
，
，
整理得，，
二次函數(shù)的圖象與x軸相交于A，B兩點(diǎn)，
是的解，
，
，
，
∵點(diǎn)在拋物線上，
，
．
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的關(guān)系式與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合題意繪圖解答是解題的關(guān)鍵．
4．（2023·湖北隨州·統(tǒng)考一模）如圖是二次函數(shù)圖像的一部分，且經(jīng)過點(diǎn)，對(duì)稱軸是直線，下列說法：①；②是關(guān)于x的方程的一個(gè)根；③若點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，則；④設(shè)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，若是等腰三角形，則，其中正確的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】根據(jù)拋物線開口方向，對(duì)稱軸以及與軸的交點(diǎn)即可判斷選項(xiàng)①；由圖象得出時(shí)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值等于0，即可判斷②；由二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征即可判斷③；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，分類討論，即可判斷④．
【詳解】解：拋物線開口向下，
，
拋物線與軸正半軸相交，
，
對(duì)稱軸在軸右側(cè)，
，異號(hào)，
，
，故①正確；
圖象過點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)為，
是關(guān)于x的方程的一個(gè)根，故②正確；
∵點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩點(diǎn)，對(duì)稱軸為直線，
∴在拋物線上，
∵當(dāng)時(shí)，隨的增大而減小，，
則故③正確，
設(shè)該拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為，，，
則，，
，
∵是等腰三角形，

當(dāng)時(shí)
在中，，
∴，
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
解得：
當(dāng)時(shí)，

在,，
∴
設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
解得：，
∴是等腰三角形，則或，故④不正確，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用圖中信息解決問題
5．（2023春·廣東·九年級(jí)統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）已知二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)（其中點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），記二次函數(shù)的最低點(diǎn)為點(diǎn)，過點(diǎn)，點(diǎn)作二次函數(shù)的兩條切線（即直線與二次函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)）交于點(diǎn)，則線段的長度為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】令，可得，，由，得該函數(shù)圖像的最低點(diǎn)為，設(shè)函數(shù)圖像過點(diǎn)的切線為，可求得，由，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根則根的判別式的值為，列方程得，求得，則，用同樣的方法可得過點(diǎn)的切線為，再解由兩條切線解析式所構(gòu)成的方程組即可得到，則可得到問題的答案．
【詳解】解：∵二次函數(shù)與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)（其中點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
∴，，
∵，
∴，
設(shè)過點(diǎn)的切線：，
∴，得：，
過點(diǎn)的切線為，
∴，
∴，
由切線的定義可知：直線與二次函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴過點(diǎn)的切線：，
設(shè)過點(diǎn)的切線：，
∴，得：，
過點(diǎn)的切線為，
∴，
∴，
由切線的定義可知：直線與二次函數(shù)有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴過點(diǎn)的切線：，
∵過點(diǎn)，點(diǎn)作二次函數(shù)的兩條切線交于點(diǎn)，
∴，
解得：，
∴，
∴，
∴線段的長度為．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，用待定系數(shù)法求函數(shù)的關(guān)系式，一元二次方程根的判別式等知識(shí)，根據(jù)一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根列方程求出點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．
6．（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）定義：如果兩個(gè)函數(shù)圖象上至少存在一對(duì)點(diǎn)是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則稱這兩個(gè)函數(shù)互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，這對(duì)對(duì)稱的點(diǎn)稱為“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．例如：點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)在函數(shù)上，點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，此時(shí)函數(shù)和互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，點(diǎn)與點(diǎn)則為一對(duì)“關(guān)聯(lián)點(diǎn)”．已知函數(shù)和互為“關(guān)聯(lián)函數(shù)”，則n不可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】設(shè)在，則在上，得出，求得最大值為，即可求解．
【詳解】解：設(shè)在，則在上，
∴
∴
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為,
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
7．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，，在拋物線上．若，則的取值范圍（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由題意可得出拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線，又可得出，即可求出，再根據(jù)拋物線的對(duì)稱性即可得出的取值范圍．
【詳解】解：∵，
∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為直線．
∵點(diǎn)，，在拋物線上，且，
∴，
∴，
∴，
∴，即．
∵點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∴的取值范圍是．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)和函數(shù)圖象上的點(diǎn)的坐標(biāo)滿足其解析式是解題關(guān)鍵．
8．（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線：與拋物線：關(guān)于直線對(duì)稱，則拋物線上的點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在拋物線上取兩點(diǎn)，根據(jù)對(duì)稱性求出對(duì)應(yīng)坐標(biāo)，代入拋物線中計(jì)算出的值即可．
【詳解】∵拋物線：
∴拋物線過，，
∵拋物線：與拋物線：關(guān)于直線對(duì)稱，
∴拋物線：過，，
代入可得，
解得，
∴點(diǎn)
∴拋物線上的點(diǎn)在拋物線上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的圖象與幾何變換，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，根據(jù)對(duì)稱性求出的值是解題的關(guān)鍵．
9．（2023·山東泰安·統(tǒng)考一模）我們定義一種新函數(shù)：形如（，）的函數(shù)叫做“鵲橋”函數(shù)．?dāng)?shù)學(xué)興趣小組畫出一個(gè)“鵲橋”函數(shù)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：① ② ③ ④若m的取值范圍是，則直線與的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，則正確的是（ ）
A．①②③④B．①②C．③④D．②③④
【答案】C
【分析】根據(jù)圖像，可直接判斷的符號(hào)；根據(jù)二次函數(shù)和橫軸的交點(diǎn)坐標(biāo)可得對(duì)稱軸；兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)可直接畫出圖像進(jìn)行判斷．
【詳解】（1）由圖可知，或，故錯(cuò)誤；
（2）由（1）可知，當(dāng)；當(dāng)；而，則或，故錯(cuò)誤；
（3）對(duì)稱軸為，故正確；
（4）如圖，
當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)是直線；當(dāng)時(shí)，一次函數(shù)是直線；由圖可知，時(shí)，直線與的圖象有4個(gè)公共點(diǎn)，故正確；
故選：C
【點(diǎn)睛】此題考查二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，解題關(guān)鍵是此題中的絕對(duì)值表示所有的函數(shù)值非負(fù)，即可畫出圖像，重難點(diǎn)是一次函數(shù)中m的取值范圍影響一次函數(shù)和軸的交點(diǎn)位置，而交點(diǎn)個(gè)數(shù)看圖直接判斷即可．
10．（2023·湖南岳陽·統(tǒng)考一模）若將拋物線F：圖象位于y軸右側(cè)的部分沿著直線l：翻折，其余部分保持不變，組成新圖形H，點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，若，則m的取值范圍是（ ）
A．或B．
C．D．或
【答案】C
【分析】求得的對(duì)稱軸為，與軸交點(diǎn)為，分當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸左側(cè)；當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸為軸；當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸又側(cè)時(shí)進(jìn)行討論即可求解．
【詳解】解：的對(duì)稱軸為：
，
與軸交點(diǎn)為：，
關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為
當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸左側(cè)，如圖：
點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，且，
則位于直線下方，位于直線上方，
則的水平距離大于，
，
解得：；
當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸為軸，如圖：
點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，恒成立，

當(dāng)時(shí)，即對(duì)稱軸在軸又側(cè)，如圖：
與軸交點(diǎn)為：，
關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)為
點(diǎn)為圖形H上兩點(diǎn)，且
則位于直線下方，位于直線上方，
則的水平距離大于，
，
解得：；
綜上所述：；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，翻折的性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性，正確作圖分析．
11．（2023·湖北武漢·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）拋物線（為常數(shù)，其中）經(jīng)過，兩點(diǎn)，下列結(jié)論：
①；
②；
③；
④不等式的解集是或．
其中正確的結(jié)論是________（填寫序號(hào)）．
【答案】
【分析】易得方程的根為，，即對(duì)稱軸為：，結(jié)合，，可得①②正確；根據(jù)，，，可得，，即可判斷③正確；由，可得，確定直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，再確定拋物線與y軸交于點(diǎn)，畫出圖形，即可判斷④正確．
【詳解】∵拋物線（為常數(shù)，其中）經(jīng)過，，
∴方程的根為，，
∴對(duì)稱軸為：，
∵，，
∴，
∴，
即：，，故①錯(cuò)誤，②正確；
∵，，，
∴，，
∴，故③正確；
∵，
∴，
直線，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即直線與x軸交于點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)，
拋物線，當(dāng)時(shí)，，
即拋物線與y軸交于點(diǎn)，
畫出圖形，如下：

由圖可知：不等式的解集為：或，
即不等式的解集是或，故④正確；
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，利用圖解法解關(guān)于x的不等式的解集等知識(shí)，注重?cái)?shù)形結(jié)合，掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，是解答本題的關(guān)鍵．
12．（2023·廣東廣州·校考二模）已知二次函數(shù)滿足：（1）； （2）；（3）圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間的距離小于2；則以下結(jié)論中正確的有_____．
①； ②； ③； ④．
【答案】①②④
【分析】由可得圖像過點(diǎn)，由、可得可判斷①；圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間的距離小于2，則另一交點(diǎn)坐標(biāo)在右側(cè)，再代入解析式可判斷②且圖像對(duì)稱軸一定在x軸的正半軸，即；再結(jié)合a，b異號(hào)可判定③；由可得，再代入可得，然后再根據(jù)不等式的性質(zhì)給兩邊同除以即可解答．
【詳解】解：∵
∴圖像過點(diǎn)
∵，，
∴，故①正確；
∵圖像與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，且兩交點(diǎn)間的距離小于2
∴圖像一定不過，且另一交點(diǎn)坐標(biāo)在右側(cè)，
∴，即②正確；
∴圖像對(duì)稱軸一定在x軸的正半軸，
∴，
∵a，b異號(hào)，
∴，故③此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，故④選項(xiàng)正確．
故答案為①②④．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，理解二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．
13．（2023·安徽安慶·校考三模）已知，是二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)．
（1）若，，則實(shí)數(shù)a的值是___________；
（2）若，當(dāng)時(shí)，恒有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________．
【答案】
【分析】（1）利用拋物線的對(duì)稱性即可得出對(duì)稱軸為直線，且，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得，均位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)，即，且，即可求解得到a的取值范圍．
【詳解】（1）∵，是二次函數(shù)圖象上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且
∴，關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱
∴
∵
∴
∵
∴
故答案為：．
（2）由題意知，拋物線的對(duì)稱軸是直線
∵當(dāng)，時(shí)，恒有
∴，均位于拋物線對(duì)稱軸的右側(cè)
∴
解得
即實(shí)數(shù)a的取值范圍為
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
14．（2023·安徽蕪湖·統(tǒng)考三模）二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．
（1）該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是________；
（2）一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，若，的取值范圍是________．
【答案】
【分析】（1）把代入求出，再將解析式化為頂點(diǎn)式即可得出答案；
（2）先求出一次函數(shù)解析式，把代入一次函數(shù)得出，把代入得出，再由，得出關(guān)于的不等式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解不等式的解集即可．
【詳解】（1）∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
∴該二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．
故答案是．
（2）∵一次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，
∴．
∴．
∴．
∵點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，
∴．
∵點(diǎn)在二次函數(shù)的圖象上，
∴．
∵，
∴，即．
令，
當(dāng)時(shí)，，
解得：，，
∴拋物線與橫軸交點(diǎn)為，．
∵拋物線開口向上，
∴的解集為．
故答案是．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握待定系數(shù)法，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求一元二次不等式的解集是解題的關(guān)鍵．
15．（2023秋·九年級(jí)單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)和點(diǎn)在拋物線上，若，則________；若，則m的取值范圍是________．
【答案】 或
【分析】若，先求二次函數(shù)的對(duì)稱軸，再利用二次函數(shù)的對(duì)稱性對(duì)稱兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和的一半等于對(duì)稱軸橫坐標(biāo)即可解答；若，分兩種情況：當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)，當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，結(jié)合二次函數(shù)圖象的特性分別進(jìn)行解答即可．
【詳解】解：二次函數(shù)圖象開口向上，對(duì)稱軸是直線，
①∵，
∴點(diǎn)P、Q關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
∴，解得；
②∵拋物線與y軸的交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，或，
∴與關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，
當(dāng)對(duì)稱軸在y軸右側(cè)時(shí)，，
∵，
∴，且，
解得；
當(dāng)對(duì)稱軸在y軸左側(cè)時(shí)，，此時(shí)，
P、Q兩點(diǎn)都在對(duì)稱軸的右側(cè)，y的值隨x值增大而增大，
∵，
∴，
解得；
∴綜上，m的取值范圍是或．
故答案為：；或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象與性質(zhì)，并能夠熟練運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．
16．（2023·四川成都·統(tǒng)考二模）某投球發(fā)射裝置斜向上發(fā)射進(jìn)行投球?qū)嶒?yàn)，球離地面的高度（米）與球運(yùn)行時(shí)間（秒）之間滿足函數(shù)關(guān)系式，該裝置的發(fā)射點(diǎn)離地面10米，球筐中心點(diǎn)離地面35米．如圖，若某次投球正好中心入筐，球到達(dá)球筐中心點(diǎn)所需時(shí)間為5秒，那么這次投球過程中球離地面的高度（米）與球運(yùn)行時(shí)間（秒）之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為______．（不要求寫自變量的取值范圍）；我們把球在每2秒內(nèi)運(yùn)行的最高點(diǎn)離地面的高度與最低點(diǎn)離地面的高度的差稱為“投射矩”，常用字母“”表示．那么在這次投球過程中，球入筺前的取值范圍是______．
【答案】
【分析】由題意可知該二次函數(shù)過點(diǎn)，，再利用待定系數(shù)法即可求出其解析式；由題意可知，再根據(jù)t的取值范圍，即得出的取值范圍．
【詳解】解：如圖，
由題意可知，．
則，
解得：，
∴球離地面的高度（米）與球運(yùn)行時(shí)間（秒）之間滿足的函數(shù)關(guān)系式為；
由題意可知，
∵，
∴，
∴，即．
故答案為：，．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，絕對(duì)值的性質(zhì)，不等式的性質(zhì)．理解題意，正確求出與之間的函數(shù)關(guān)系式和與之間的函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵．
17．（2023·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線（是常數(shù)），過頂點(diǎn)兩點(diǎn)，且下列四個(gè)結(jié)論：①；
②；
③若點(diǎn)在拋物線上，，且，則；
④當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，方程的兩根為，，則．正確的是______________（填寫序號(hào)）．
【答案】①③④
【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)逐個(gè)分析即可．
【詳解】∵拋物線（是常數(shù)），過頂點(diǎn)兩點(diǎn)，且，
∴二次函數(shù)開口向上，頂點(diǎn)在第三象限，與y軸交點(diǎn)位于正半軸，對(duì)稱軸為直線，
∴，，，
∴，故①正確；
∵對(duì)稱軸為直線，
∴當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)有最小值，即最小，
∵當(dāng)時(shí)，，
∴，
整理得，故②錯(cuò)誤；
∵，且，
∴，，
當(dāng)時(shí)在對(duì)稱軸右邊，y隨x的增大而增大，此時(shí)，
當(dāng)時(shí)，由對(duì)稱軸為直線，可得經(jīng)過，此時(shí)，且y隨x的增大而增大，此時(shí)，故③正確；
當(dāng)圖象經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，由對(duì)稱軸為直線，可得經(jīng)過，
∴方程的兩根為，則，故④正確．
綜上所述，正確的是①③④；
故答案為：①③④．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，一元二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解二次函數(shù)的性質(zhì)，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題．
18．（2023·江西撫州·金溪一中?？寄M預(yù)測(cè)）二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在直線上，該圖象與直線，在內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【答案】或
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在直線上，確定，代入解析式中，分兩種情況：①當(dāng)拋物線的左半部分與兩直線在內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，滿足：時(shí)，，時(shí)，，列不等式組求出解集；②當(dāng)拋物線的右半部分與兩直線在內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，則滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，列不等式組求出解集即可．
【詳解】解：二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)在直線上，
，
，
，
如圖所示：分兩種情況：
①當(dāng)拋物線的左半部分與兩直線在內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，
則滿足時(shí)，，
時(shí)，，
即，
解得：；
②當(dāng)拋物線的右半部分與兩直線在內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn)，
則滿足：當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：；
綜上所述，則的取值范圍是：或；
故答案為：或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，考查了二次函數(shù)和一次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，有難度，根據(jù)已知條件，利用數(shù)形結(jié)合的思想解決此題，并與不等式組相結(jié)合，利用不等式組的解集確定的取值范圍．
19．（2023·福建廈門·福建省廈門第六中學(xué)?？家荒＃佄锞€的對(duì)稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，則a的取值范圍是__________．
【答案】
【分析】先利用對(duì)稱軸得出，再利用拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離得出a與c之間的數(shù)量關(guān)系，從而將方程表示成只含有字母參數(shù)a的一元二次方程，已知該方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得到一個(gè)不等式；將方程轉(zhuǎn)化成一個(gè)函數(shù)表達(dá)式的形式，然后把和分別代入這個(gè)函數(shù)表達(dá)式中，分和兩種情況，利用函數(shù)圖象及性質(zhì)，得到不等式組，然后與上面由根與系數(shù)的關(guān)系得到的不等式進(jìn)行聯(lián)立，求解即可．
【詳解】∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，
∴，即．
∵拋物線的對(duì)稱軸是直線，該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的距離為4，
∴該拋物線與x軸兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入，
得，
∴方程可轉(zhuǎn)化為．
∵方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，，且，
∴．
將方程轉(zhuǎn)化成g關(guān)于x的函數(shù)為．
把代入，
得；
把代入，
得．
當(dāng)時(shí)，解得；
當(dāng)時(shí)，無解．
綜上可知，a的取值范圍是．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：二次函數(shù)跟x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，就是相對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根，還考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、解不等式組、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等，綜合性較強(qiáng)，解題的關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，注意數(shù)形結(jié)合．
20．（2023春·湖北武漢·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝4，D為邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（B點(diǎn)除外），以CD為一邊作正方形CDEF，連接BE，則△ABC的面積是 _____，△BDE面積的最大值為 _____．
【答案】 10
【分析】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的面積可求出，繼而根據(jù)勾股定理求出，從而求得的長，然后證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，設(shè)，則，繼而根據(jù)三角形的面積公式可得，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得答案．
【詳解】如圖，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，過點(diǎn)作于，
，，，
，
，
，
即，
，
在中，，
，
，
四邊形是正方形，
，，
，
，
又，
，
，
設(shè)，則，
，
，
的最大值為，
故答案為，．
【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，二次函數(shù)的應(yīng)用等，綜合性較強(qiáng)，有一定的難度，正確添加輔助線，熟練運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21（2023·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）乒乓球被譽(yù)為中國國球．2023年的世界乒乓球標(biāo)賽中，中國隊(duì)包攬了五個(gè)項(xiàng)目的冠軍，成績的取得與平時(shí)的刻苦訓(xùn)練和精準(zhǔn)的技術(shù)分析是分不開的．如圖，是乒乓球臺(tái)的截面示意圖，一位運(yùn)動(dòng)員從球臺(tái)邊緣正上方以擊球高度為的高度，將乒乓球向正前方擊打到對(duì)面球臺(tái)，乒乓球的運(yùn)行路線近似是拋物線的一部分．
乒乓球到球臺(tái)的豎直高度記為（單位：），乒乓球運(yùn)行的水平距離記為（單位：）．測(cè)得如下數(shù)據(jù)：
(1)在平面直角坐標(biāo)系中，描出表格中各組數(shù)值所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，并畫出表示乒乓球運(yùn)行軌跡形狀的大致圖象；

(2)①當(dāng)乒乓球到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是__________，當(dāng)乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是__________；
②求滿足條件的拋物線解析式；
(3)技術(shù)分析：如果只上下調(diào)整擊球高度，乒乓球的運(yùn)行軌跡形狀不變，那么為了確保乒乓球既能過網(wǎng)，又能落在對(duì)面球臺(tái)上，需要計(jì)算出的取值范圍，以利于有針對(duì)性的訓(xùn)練．如圖②．乒乓球臺(tái)長為274，球網(wǎng)高為15.25．現(xiàn)在已經(jīng)計(jì)算出乒乓球恰好過網(wǎng)的擊球離度的值約為1.27．請(qǐng)你計(jì)算出乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值（乒乓球大小忽略不計(jì)）．
【答案】(1)見解析
(2)①；；②
(3)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為
【分析】（1）根據(jù)描點(diǎn)法畫出函數(shù)圖象即可求解；
（2）①根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性求得對(duì)稱軸以及頂點(diǎn)，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，可得當(dāng)時(shí)，；
②待定系數(shù)法求解析式即可求解；
（3）根據(jù)題意，設(shè)平移后的拋物線的解析式為，根據(jù)題意當(dāng)時(shí)，，代入進(jìn)行計(jì)算即可求解．
【詳解】（1）解：如圖所示，

（2）①觀察表格數(shù)據(jù)，可知當(dāng)和時(shí)，函數(shù)值相等，則對(duì)稱軸為直線，頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
又拋物線開口向下，可得最高點(diǎn)時(shí)，與球臺(tái)之間的距離是，
當(dāng)時(shí)，，
∴乒乓球落在對(duì)面球臺(tái)上時(shí)，到起始點(diǎn)的水平距離是；
故答案為：；．
②設(shè)拋物線解析式為，將代入得，
，
解得：，
∴拋物線解析式為；
（3）∵當(dāng)時(shí)，拋物線的解析式為，
設(shè)乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為，則平移距離為，
∴平移后的拋物線的解析式為，
依題意，當(dāng)時(shí)，，
即，
解得：．
答：乒乓球恰好落在對(duì)面球臺(tái)邊緣點(diǎn)B處時(shí)，擊球高度的值為．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，畫二次函數(shù)圖象，二次函數(shù)圖象的平移，熟練掌握二次函數(shù)圖象的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
22．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)校考期末）已知拋物線（a為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過原點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上運(yùn)動(dòng)．

(1)求a的值．
(2)若點(diǎn)和點(diǎn)都是這個(gè)拋物線上的點(diǎn)，且有，求t的取值范圍．
(3)設(shè)點(diǎn)A位于x軸的下方且在這個(gè)拋物線的對(duì)稱軸的左側(cè)運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)A作x軸的平行線交拋物線于另一點(diǎn)D，過點(diǎn)A作軸，垂足為點(diǎn)B，過點(diǎn)D作軸，垂足于點(diǎn)C，試問四邊形的周長是否存在最大值？如果存在，請(qǐng)求出這個(gè)最大值和對(duì)應(yīng)的x值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)；
(2)；
(3)存在，當(dāng)時(shí)，四邊形ABCD的周長最大為．
【分析】（1）將坐標(biāo)代入拋物線計(jì)算求值即可；
（2）由的值可得拋物線解析式，從而可得，的表達(dá)式，再根據(jù)解不等式即可；
（3）由可得函數(shù)的對(duì)稱軸，根據(jù)、兩點(diǎn)的對(duì)稱性設(shè)，，再由兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上可得的表達(dá)式；根據(jù)坐標(biāo)的定義求得四邊形周長的表達(dá)式再配方即可解答；
【詳解】（1）解：將原點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線可得：
，
，
∵，
∴；
（2）解：把代入拋物線可得：
，
點(diǎn)P和點(diǎn)Q代入拋物線解析式可得：
，
，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：由拋物線解析式可得對(duì)稱軸為，
平行于軸，設(shè)且，，
由拋物線的對(duì)稱性可知、兩點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)在對(duì)稱軸上，
∴，
∴，
∵和都和軸垂直，平行于軸，
∴四邊形是矩形，
由函數(shù)圖象可知點(diǎn)縱坐標(biāo)，
∴四邊形的周長為：，
∴當(dāng)時(shí)四邊形周長有最大值；
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，不等式的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，坐標(biāo)的定義等知識(shí)；掌握二次函數(shù)的對(duì)稱性是解題關(guān)鍵．
23．（2022秋·廣東惠州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，點(diǎn)，，均在拋物線上，點(diǎn)在軸上，且，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)后兩邊與軸、軸分別相交于點(diǎn)，．

(1)求拋物線的解析式；
(2)能否經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)？若能，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)；若不能，請(qǐng)說明理由；
(3)若是等腰三角形，求點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)；
(2)能，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
(3)點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解；
（2）作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，求得頂點(diǎn)坐標(biāo)，求得直線即的解析式，得出點(diǎn)的坐標(biāo)，證明，據(jù)此求解即可；
（3）證明，求得，分三種情況討論，即可求解．
【詳解】（1）解：由拋物線與軸的兩個(gè)交點(diǎn)，的坐標(biāo)，可以由兩根式設(shè)拋物線解析式為，
然后將點(diǎn)坐標(biāo)代入得：，
解得：，
故拋物線解析式為；
（2）解：作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)，

，
∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴直線即的解析式為，
點(diǎn)坐標(biāo)為．
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴能經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為；
（3）解：同理求得直線方程為，
作軸于點(diǎn)，軸于點(diǎn)．

∵，
∴四邊形是正方形，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
則是等腰三角形可以有三種情形：
①．則，，則點(diǎn)坐標(biāo)為；
②，則點(diǎn)坐標(biāo)為；
③，設(shè)．
∵，即，，
∴，
解得，
∴，
綜上，點(diǎn)的坐標(biāo)為或或．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到了正方形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，用待定系數(shù)法求解析式等，充分考查學(xué)生的綜合運(yùn)用能力和數(shù)形結(jié)合的思想方法．
24．（2022秋·廣東珠海·九年級(jí)?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)，且與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在直線下方的二次函數(shù)圖像上，過點(diǎn)作于點(diǎn)．

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；
(2)求的最大值；
(3)①當(dāng)時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；
②當(dāng)為等腰直角三角形時(shí)，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．
【答案】(1)二次函數(shù)的表達(dá)式為
(2)的最大值為
(3)①當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；②是等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為
【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法即可求解；
（2）如圖所示，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，設(shè)，在中，，在中，，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解；
（3）①如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交拋物線與點(diǎn)，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，設(shè)直線的解析式為，可求出直線的解析式為，聯(lián)立直線與拋物線為方程組求解即可；②為等腰直角三角形，當(dāng)，為等腰直角三角形，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，圖形結(jié)合分析即可求解．
【詳解】（1）解：∵直線與軸交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，
∴令時(shí)，；令時(shí)，；
∴，，
∵二次函數(shù)的圖像經(jīng)過兩點(diǎn)，且與軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)，
∴，解得，，
∴二次函數(shù)的表達(dá)式為．
（2）解：如圖所示，過點(diǎn)作軸，交直線于點(diǎn)，
∵，，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線的圖像上，
∴設(shè)，
∵軸，點(diǎn)在直線的圖像上，且點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
∴，解得，，
∴，
∴，
∵軸，
∴，
在中，，
∴，則，
∵，即，
∴在中，，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為，
∴，
∴當(dāng)時(shí)，的最大值為．
（3）解：①如圖所示，作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交拋物線與點(diǎn)，
∴，，
∴，則點(diǎn)為所求點(diǎn)，
∵，
∴，設(shè)直線的解析式為，且，
∴，解得，，
∴直線的解析式為，
∵，
∴設(shè)所在直線的解析為，
∴，
∴直線的解析式為，
∵直線與拋物線交于點(diǎn)，
∴聯(lián)立方程組得，解得，或，
∵動(dòng)點(diǎn)在直線下方的二次函數(shù)圖像上，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：，
∴不符合題意，舍去，
∴當(dāng)時(shí)，點(diǎn)的坐標(biāo)為；
②當(dāng)，為等腰直角三角形，如圖所示，
過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸，交延長線于點(diǎn)，
∵為等腰直角三角形，，
∴，，
∴，，，
∴，
在中，
，
∴，
∴，
∵點(diǎn)在直線的圖像上，設(shè)，
∴，，
∴，
∴，，
∴，，
∵動(dòng)點(diǎn)在直線下方的二次函數(shù)圖像上，即點(diǎn)的橫坐標(biāo)的范圍為：，
∴，
將代入拋物線得，，解得，（舍去）或，
∴；
∴是等腰直角三角形，點(diǎn)的坐標(biāo)為．
【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)與幾何圖形的綜合，掌握待定系數(shù)法求解析式的方法，二次函數(shù)圖像的性質(zhì)，幾何圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，等角的三角函數(shù)的計(jì)算方法的綜合運(yùn)用是解得關(guān)鍵．
25．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)長沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國語學(xué)校校考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，且．

(1)求拋物線的解析式；
(2)如圖①，若點(diǎn)P為第一象限的拋物線上一點(diǎn)，直線交x軸于點(diǎn)D，且平分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)如圖②，點(diǎn)Q為第四象限的拋物線上一點(diǎn)，直線BQ交y軸于點(diǎn)M，過點(diǎn)B作直線，交y軸于點(diǎn)N，當(dāng)Q點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段MN的長度是否會(huì)變化？若不變，請(qǐng)求出其長度；若變化，請(qǐng)求出其長度的變化范圍．
【答案】(1)
(2)
(3)線段的長度不會(huì)改變，線段的長度為12
【分析】（1）將代入中，得，令，即，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出的值；
（2）設(shè)交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，利用角平分線的性質(zhì)可得，證明是等腰直角三角形，可得，然后求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線解析式，然后把直線解析式和拋物線解析式聯(lián)立方程組即可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）設(shè)，分別求出直線、直線的解析式，根據(jù)可得的解析式，可得出、的坐標(biāo)，即可得線段的長度．
【詳解】（1）解：由圖象，可知，
將代入中，得，
點(diǎn)，
，
令，即，
解得，，
點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)，
點(diǎn)，，
，
又，
，
解得，
拋物線的解析式為；
（2）解：設(shè)交x軸于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作于點(diǎn)E，
，
平分，，
，
又，
，
，
，
，
又，
，
解得，
，
設(shè)直線解析式為，
則，
解得，
∴，
聯(lián)立方程組，
解得（舍去），，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；
（3）解：設(shè)，
，
設(shè)直線的解析式為，
，解得，
直線的解析式為，
當(dāng)時(shí)，
，
同理得：直線的解析式為，
∵，
設(shè)的解析式為，
，
，解得，
的解析式為，
當(dāng)是，，
，
線段的長度為，
線段的長度不會(huì)改變，線段的長度為12．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題．考查了運(yùn)用待定系數(shù)法求直線及拋物線的解析式、角平分線的性質(zhì)、勾股定理、求直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)等知識(shí)，掌握數(shù)形結(jié)合的思想把代數(shù)和幾何圖形結(jié)合起來，利用點(diǎn)的坐標(biāo)的意義表示線段的長度是解題的關(guān)鍵．
26（2023春·湖南長沙·八年級(jí)?？计谀┠晟俚臍q月里，約定是令人欣喜的！我們不妨約定：關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一對(duì)點(diǎn)（不重合）稱為一對(duì)“雙子星”，圖象至少經(jīng)過一對(duì)“雙子星”的函數(shù)稱為“雙子星函數(shù)”．
(1)若和是一對(duì)“雙子星”，則s＝_______，t＝_______；
(2)已知關(guān)于x的函數(shù)和（其中k，p為常數(shù)）
①求出“雙子星函數(shù)”圖象上所有的“雙子星”；
②關(guān)于x的函數(shù)的圖象是否存在“雙子星”，如果有，指出共有多少對(duì)“雙子星”，如果沒有，請(qǐng)說明理由；
(3)已知“雙子星函數(shù)”（其中a，b，c為常數(shù)，）的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)和，（其中m，n為常數(shù)）并且滿足以下2個(gè)條件：①；②當(dāng)時(shí)，該函數(shù)的最小值為，求二次項(xiàng)系數(shù)a的值．
【答案】(1)，或；
(2)①和；②若，它有無數(shù)個(gè)“雙子星”點(diǎn)；若，它沒有“雙子星”點(diǎn)；
(3)
【分析】（1）根據(jù)和是一對(duì)“雙子星”，根據(jù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系可構(gòu)造方程求解；
（2）①設(shè)點(diǎn)和是“雙子星函數(shù)”圖象上所有的“雙子星”，代入可得關(guān)于m，n的方程組，解方程組即可解決；
②設(shè)點(diǎn)和是關(guān)于x的函數(shù)的圖象上的“雙子星”點(diǎn)，代入可得關(guān)于m，n的方程組，整理得．根據(jù)p的值分兩種情況討論m的值，從而得到函數(shù)的圖象上“雙子星”點(diǎn)的情況；
（3）設(shè)設(shè)“雙子星函數(shù)”的圖象上的“雙子星”點(diǎn)為和，代入則有方程組，整理可得，由得到．根據(jù)函數(shù)的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)和得到對(duì)稱軸為，因此，由得到，從而函數(shù)解析式為．由于時(shí)，函數(shù)的最小值為，因此分三種情況討論：①當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，求解得到a的值，再根據(jù)進(jìn)行判斷；②當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，求解得到a的值，再根據(jù)進(jìn)行判斷；③當(dāng)，函數(shù)在對(duì)稱軸時(shí)取得最小值，則，求解a，再判斷．綜合即可得到a的值．
【詳解】（1）∵點(diǎn)和是一對(duì)“雙子星”，即它們關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
∴，，
解得：，或．
故答案為：，或
（2）①設(shè)點(diǎn)和是“雙子星函數(shù)”圖象上所有的“雙子星”，
∴，
∴解得或，
∴“雙子星函數(shù)”圖象上所有的“雙子星”為和．
②設(shè)點(diǎn)和是關(guān)于x的函數(shù)的圖象上的“雙子星”點(diǎn)，
則有，
兩式相減，得，
∴．
若，則m有無數(shù)個(gè)解，即函數(shù)的圖象上有無數(shù)個(gè)“雙子星”點(diǎn)；
若，則無解，即函數(shù)的圖象上沒有“雙子星”點(diǎn)．
∴對(duì)于函數(shù)的圖象，若，它有無數(shù)個(gè)“雙子星”點(diǎn)；若，它沒有“雙子星”點(diǎn)．
（3）設(shè)“雙子星函數(shù)”（其中a，b，c為常數(shù)，）的圖象上的“雙子星”點(diǎn)為和，則
，
兩式相加，得，
∵，
∴，
∵，
∴，即．
∵函數(shù)的圖象經(jīng)過不同的兩點(diǎn)和，
∴對(duì)稱軸為，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴函數(shù)為．
∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為，
∴分三種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，
解得：（舍去）或或，
若，則，，不合題意，舍去；
若，則，，滿足題意．
②當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，
解得：（舍去）或或，
若，則，，不合題意，舍去；
若，則，，不合題意，舍去．
③當(dāng)，時(shí)，函數(shù)取得最小值，則，
解得，不合題意，舍去．
綜上所述，．
【點(diǎn)睛】本題考查關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律，二次函數(shù)的圖象性質(zhì)，解整式方程與分式方程，綜合運(yùn)用各個(gè)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
27．（2023·廣東深圳·統(tǒng)考中考真題）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．如圖，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形和拋物線構(gòu)成，其中，，取中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段的垂直平分線交拋物線于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為x軸，為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
請(qǐng)回答下列問題：
(1)如圖，拋物線的頂點(diǎn)，求拋物線的解析式；

(2)如圖，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置，，若，求兩個(gè)正方形裝置的間距的長；

(3)如圖，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為，求的長．

【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】（1）根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)函數(shù)解析式為，求出點(diǎn)坐標(biāo)，待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式即可；
（2）求出時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值，得到的長，再減去兩個(gè)正方形的邊長即可得解；
（3）求出直線的解析式，進(jìn)而設(shè)出過點(diǎn)的光線解析式為，利用光線與拋物線相切，求出的值，進(jìn)而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出的長．
【詳解】（1）解：∵拋物線的頂點(diǎn)，
設(shè)拋物線的解析式為，
∵四邊形為矩形，為的中垂線，
∴，，
∵，
∴點(diǎn)，代入，得：
，
∴，
∴拋物線的解析式為；
（2）∵四邊形，四邊形均為正方形，，
∴，
延長交于點(diǎn)，延長交于點(diǎn)，則四邊形，四邊形均為矩形，

∴，
∴，
∵，當(dāng)時(shí)，，解得：，
∴，，
∴，
∴；
（3）∵，垂直平分，
∴，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
則：，解得：，
∴，
∵太陽光為平行光，
設(shè)過點(diǎn)平行于的光線的解析式為，
由題意，得：與拋物線相切，
聯(lián)立，整理得：，
則：，解得：；
∴，當(dāng)時(shí)，，
∴，
∵，
∴．
【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用．讀懂題意，正確的求出二次函數(shù)解析式，利用數(shù)形結(jié)合的思想，進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵．
28．（2023·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）已知：關(guān)于的函數(shù)．

(1)若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，且，則的值是___________；
(2)如圖，若函數(shù)的圖象為拋物線，與軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，，并與動(dòng)直線交于點(diǎn)，連接，，，，其中交軸于點(diǎn)，交于點(diǎn)．設(shè)的面積為，的面積為．
①當(dāng)點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，求的面積；
②探究直線在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，說明理由．
【答案】(1)0或2或
(2)①6，②存在，
【分析】（1）根據(jù)函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)情況，分情況討論函數(shù)為一次函數(shù)和二次函數(shù)的時(shí)候，按照?qǐng)D像的性質(zhì)以及與坐標(biāo)軸交點(diǎn)的情況即可求出值．
（2）①根據(jù)和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出拋物線的解析式，即可求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，再利用和的坐標(biāo)點(diǎn)即可求出的直線解析式，結(jié)合即可求出點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出長度，最后利用面積法即可求出的面積．
②觀察圖形，用值表示出點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)平行線分線段成比例求出長度，利用割補(bǔ)法表示出和，將二者相減轉(zhuǎn)化成關(guān)于的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式，利用取值范圍即可求出的最小值．
【詳解】（1）解：函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，
，
，
，
當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，
，
若函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)，即與軸，軸分別只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，
，
．
當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)公共點(diǎn)， 即其中一點(diǎn)經(jīng)過原點(diǎn)，
，
，
．
綜上所述，或0．
故答案為：0或2或．
（2）解：①如圖所示，設(shè)直線與交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)．

依題意得：，解得：
拋物線的解析式為：．
點(diǎn)為拋物線頂點(diǎn)時(shí)，，，
，，
由，得直線的解析式為，
在直線上，且在直線上，則的橫坐標(biāo)等于的橫坐標(biāo)，
，
，，
，
．
故答案為：6．
②存在最大值，理由如下：
如圖，設(shè)直線交軸于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及到函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，二次函數(shù)與面積問題，平行線分線段成比例，解題的關(guān)鍵在于分情況討論函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，以及二次函數(shù)最值問題．
29．（2023春·湖南長沙·八年級(jí)校考期末）“厚德樓”、“博學(xué)樓”分別是我校兩棟教學(xué)樓的名字，“厚德”出自《周易大傳》：天行健，君子以自強(qiáng)不息；地勢(shì)坤，君子以厚德載物，“博學(xué)”源自《論語·雍也》：君子博學(xué)于文，約之以禮，博學(xué)乃華夏古今治學(xué)之基礎(chǔ)，我們不妨約定：在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)稱為“厚德點(diǎn)”，橫、縱坐標(biāo)互為相反數(shù)的點(diǎn)稱為“博學(xué)點(diǎn)”．把函數(shù)圖象至少經(jīng)過一個(gè)“厚德點(diǎn)”和一個(gè)“博學(xué)點(diǎn)”的函數(shù)稱為“厚德博學(xué)函數(shù)”．
(1)一次函數(shù)是一個(gè)“厚德博學(xué)函數(shù)”，分別求出該函數(shù)圖象上的“厚德點(diǎn)”和“博學(xué)點(diǎn)”；
(2)已知二次函數(shù)圖象可以由二次函數(shù)平移得到，二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是一個(gè)“厚德點(diǎn)”，并且該函數(shù)圖象還經(jīng)過一個(gè)“博學(xué)點(diǎn)”，求該二次函數(shù)的解析式；
(3)已知二次函數(shù)（，為常數(shù)，）圖象的頂點(diǎn)為，與軸交于點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)，的直線上存在無數(shù)個(gè)“厚德點(diǎn)”，當(dāng)，函數(shù)有最小值，求的值．
【答案】(1)“厚德點(diǎn)”為：，“博學(xué)點(diǎn)”為：；
(2)或；
(3)或
【分析】（1）直接根據(jù)一次函數(shù)是一個(gè)“厚德博學(xué)函數(shù)”即可 得出結(jié)論；
（2）先由平移確定出二次函數(shù)的a值，再由二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是一個(gè)“厚德點(diǎn)”，得出，二次函數(shù)圖象經(jīng)過一個(gè)“博學(xué)點(diǎn)”得出，然后代入，即可得出結(jié)論；
（3）先確定直線l上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，得出N點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，將代入，得出 ，根據(jù)時(shí)，函數(shù)有最小值，分情況討論即可得到答案．
【詳解】（1）∵一次函數(shù)是一個(gè)“厚德博學(xué)函數(shù)”，
∴根據(jù)定義得：或，
∴或，
∴一次函數(shù)圖象上的“厚德點(diǎn)”為：，“博學(xué)點(diǎn)”為：；
（2）∵二次函數(shù)圖象可以由二次函數(shù)平移得到，
∴，
∵二次函數(shù)的頂點(diǎn)就是一個(gè)“厚德點(diǎn)”，
∴，
∴二次函數(shù)解析可變?yōu)椋?br>∵二次函數(shù)圖象經(jīng)過一個(gè)“博學(xué)點(diǎn)”，
∴，
∴，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為，
∴將代入得，
∴，
∴二次函數(shù)解析為或；
（3）∵經(jīng)過點(diǎn)M，N的直線l上存在無數(shù)個(gè)“厚德點(diǎn)”，
∴直線l上的點(diǎn)橫縱坐標(biāo)相等，
∵二次函數(shù)（c，d為常數(shù)，）的頂點(diǎn)為M，與y軸的交點(diǎn)為N，
∴，N點(diǎn)坐標(biāo)為原點(diǎn)，為“厚德點(diǎn)”，
∴二次函數(shù)解析式可變?yōu)?，二次函?shù)的圖象經(jīng)過“厚德點(diǎn)”，
∴將N代入，
∴，
∴，（舍去），
∴二次函數(shù)解析式可變?yōu)椋瑢?duì)稱軸為直線，
當(dāng)時(shí)，時(shí)，y取最小值，
∴
解得：，，
∵，
∴；
當(dāng)時(shí)，在時(shí)，y取最小值，
∴
解得：，，
∵，
∴，
∴
綜上，或．
【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)圖象和性質(zhì)在新定義中的應(yīng)用，新定義“厚德點(diǎn)”和“博學(xué)點(diǎn)”的理解和掌握，用方程的思想解決問題是解本題的關(guān)鍵．
30．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)，，與軸交于點(diǎn)．

(1)求拋物線的解析式；
(2)已知為拋物線上一點(diǎn)，為拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；
(3)如圖，為第一象限內(nèi)拋物線上一點(diǎn)，連接交軸于點(diǎn)，連接并延長交軸于點(diǎn)，在點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過程中，是否為定值？若是，求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【答案】(1)
(2)或或
(3)，理由見解析
【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）先求得拋物線的對(duì)稱軸為直線，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，證明，設(shè)，則，，進(jìn)而得出點(diǎn)的坐標(biāo)，代入拋物線解析式，求得的值，同理可求得當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時(shí)的坐標(biāo)；當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，求得另一個(gè)解，進(jìn)而即可求解；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，求得解析式，然后求得，即可求解．
【詳解】（1）解：將點(diǎn)，，代入
得
解得：，
∴拋物線解析式為；
（2）∵點(diǎn)，，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線：，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或,
∴，
如圖所示，設(shè)與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)

∵以，，為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形，且，
∴，
∵，
∴，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∵點(diǎn)在拋物線上
∴
解得：（舍去）或，
∴，
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，如圖所示，

∵，是等腰直角三角形，且，
∴
此時(shí)，
綜上所述，或或；
（3）設(shè)，直線的解析式為，的解析式為，
∵點(diǎn)，，，
∴，
解得：，
∴直線的解析式為，的解析式為，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，
對(duì)于，當(dāng)時(shí)，，即，
∵在拋物線上，則
∴
∴為定值．
【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)綜合問題，待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，一次函數(shù)與坐標(biāo)軸交點(diǎn)問題，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
水平距離x/
豎直高度y/

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