TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc28968" 【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc28968 \h 1
\l "_Tc446" 【題型2 利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的根】 PAGEREF _Tc446 \h 3
\l "_Tc23813" 【題型3 利用根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc23813 \h 5
\l "_Tc714" 【題型4 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc714 \h 6
\l "_Tc3745" 【題型5 由一元二次方程的兩根求值】 PAGEREF _Tc3745 \h 9
\l "_Tc18392" 【題型6 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】 PAGEREF _Tc18392 \h 11
\l "_Tc18804" 【題型7 由一元二次方程的根判斷另一個(gè)一元二次方程的根】 PAGEREF _Tc18804 \h 13
\l "_Tc12938" 【題型8 根與系數(shù)的關(guān)系與三角形、四邊形的綜合運(yùn)用】 PAGEREF _Tc12938 \h 15
\l "_Tc3190" 【題型9 由一元二次方程根的取值范圍求字母的取值范圍】 PAGEREF _Tc3190 \h 18
\l "_Tc25174" 【題型10 一元二次方程中的新定義問(wèn)題】 PAGEREF _Tc25174 \h 20
知識(shí)點(diǎn)1：一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
若一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c為常數(shù)，a≠0）的兩根為x1，x2，則x1+x2=?ba，x1?x2=ca．
注意它的使用條件為，a≠0，Δ ≥0.
【題型1 利用根與系數(shù)的關(guān)系直接求代數(shù)式的值】
【例1】（23-24九年級(jí)·黑龍江綏化·開學(xué)考試）已知一元二次方程x2+x=5x+6的兩根分別為m、n，則1m+1n= ．
【答案】?23．
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0,，若x1，x2是該方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1+x2=?ba,x1x2=ca.
直接根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=4，mn=?6，再根據(jù)1m+1n=m+nmn進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：∵一元二次方程x2+x=5x+6可化為x2?4x?6=0，
這個(gè)方程的兩根分別為m，n，
∴m+n=4，mn=?6，
∴1m+1n=m+nmn=4?6=?23，
故答案為：?23．
【變式1-1】（23-24九年級(jí)·廣西來(lái)賓·期中）若a，b是方程x2?2x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則a?2b?2的值為 ．
【答案】?5
【分析】本題考查了一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系可得a+b=2，ab=?7，代入即可求解，熟練掌握一元二次方程根于系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵a，b是方程x2?2x?5=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴a+b=2，ab=?7，
∴a?2b?2=ab?8a+b+4=-5?7×2+4=?5．
故答案為：?5．
【變式1-2】（23-24九年級(jí)·四川成都·階段練習(xí)）設(shè)方程2x2+3x+1=0的根為x1、x2，則x12+x22= ．
【答案】54
【分析】利用根與系數(shù)的關(guān)系求出兩根之和與兩根之積，原式利用完全平方公式變形后代入計(jì)算即可求出值．
【詳解】解：∵方程2x2+3x+1=0的根為x1、x2，
∴x1+x2=?32，x1x2=12，
則x12+x22=(x1+x2)2?2x1x2=(?32)2?2×12=94?1=54．
故答案為：54．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系，解一元二次方程?因式分解法，以及完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系．
【變式1-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）已知 x1，x2 是方程 2x2+3x?7=0 的兩個(gè)根，則 x13x2+x1x23 的值為（ ）
A．214B．?2598C．?638D．?1338
【答案】B
【分析】本題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2和x1x2，再利用整體思想即可解決問(wèn)題，熟知一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【詳解】∵x1，x2是方程2x2+3x?7=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=?32，x1x2=?72，
∴x13x2+x1x23
=x1x2x12+x22
=x1x2x1+x22?2x1x2
=?72×?322?2×?72
=?2598，
故選：B．
【題型2 利用根與系數(shù)的關(guān)系求方程的根】
【例2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·單元測(cè)試）若關(guān)于x的方程3x?1x?2m=m?12x的兩根之和與兩根之積相等，則方程的根為 ．
【答案】x=9±37
【分析】將已知方程化簡(jiǎn)成一般形式，再根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件，列出關(guān)于m的方程，解出方程，求出m的值，再將m代入原來(lái)方程，解出方程．
【詳解】解：將已知方程化簡(jiǎn)可得：3x2＋（9－7m）x＋6m＝0，
根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得x1＋x2＝-9-7m3，x1x2＝2m，
根據(jù)已知條件可得∶-9-7m3＝2m，
解出：m＝9，
將m＝9代入化簡(jiǎn)后的方程可得：x2－18x＋18＝0，
化成完全平方得：（x－9）2＝63，
解得x＝9±37．
故答案為∶ x=9±37．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次方程的根與一元二次系數(shù)的關(guān)系，解此題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的根與一元二次系數(shù)的關(guān)系．
【變式2-1】（23-24·山東濟(jì)南·二模）若關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0有一個(gè)根為x=2，則該方程的另一個(gè)根為x= ．
【答案】?3
【分析】本題考查的是一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，直接利用：一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0兩根分別是x1,x2，則x1+x2=?ba,x1x2=ca，進(jìn)行解題即可．
【詳解】解：設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2+mx?6=0的另一個(gè)根為t，
則2t=?6 ，
解得t=?3，
故答案為?3
【變式2-2】（23-24九年級(jí)·河北保定·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m與2m?6，則m的值為 ，方程的根為 ．
【答案】 2 x1=2,x2=?2
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1,x2，則x1+x2=?ba,x1·x2=ca．
【詳解】解：整理方程得：ax2?b=0
由題意得：m+2m?6=0
∴m=2
故兩個(gè)根為：x1=m=2,x2=2m?6=?2
故答案為：2；x1=2,x2=?2
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解這兩個(gè)根和為0是解題的關(guān)鍵．
【變式2-3】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=c(a≠0)的一根為2，則另一根為 ．
【答案】?2
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到2+m=0是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：設(shè)方程的另一個(gè)根為m，
則2+m=0，
解得：m=?2，
故答案為：?2．
【題型3 利用根與系數(shù)的關(guān)系和一元二次方程的解求代數(shù)式的值】
【例3】（23-24九年級(jí)·山東棗莊·期中）已知m、n是關(guān)于x的方程x2?2x?2021=0的根，則代數(shù)式m2?4m?2n+2023的值為（ ）
A．2022B．2023C．4039D．4040
【答案】D
【分析】根據(jù)一元二次方程解的定義及根與系數(shù)的關(guān)系得出m2?2m=2021，m+n=?ba=2，將原式化簡(jiǎn)求值即可．
【詳解】解：∵m、n是關(guān)于x的方程x2?2x?2021=0的根，
∴m2?2m=2021，m+n=?ba=2，
m2?4m?2n+2023
=m2?2m?2(m+n)+2023
=2021?2×2+2023
=4040，
故選：D．
【點(diǎn)睛】題目主要考查一元二次方程的根及根與系數(shù)的關(guān)系，求代數(shù)式的值，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題關(guān)鍵．
【變式3-1】（23-24·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)x1、x2是方程x2?3x?2020=0的兩個(gè)根，則x12?2x1+x2= ．
【答案】2023
【分析】本題主要考查一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的定義，掌握一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，方程解的定義是解題的關(guān)鍵．
首先根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系得到x1+x2=3，之后將x1代入方程中得到x12?3x1?2020=0，變形為x12?3x1=2020，兩式相加即可得到答案．
【詳解】解：∵x1、x2是方程x2?3x?2020=0的兩個(gè)根，
∴x1+x2=3，x12?3x1?2020=0
∴x12?3x1=2020
∴x12?2x1+x2=x12?3x1+x1+x2=2020+3=2023．
故答案為：2023．
【變式3-2】（23-24九年級(jí)·遼寧大連·期中）設(shè)α，β是x2+x+18=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則α2+3α+2β的值是 ．
【答案】?20
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時(shí)，則x1+x2=?ba，x1x2=ca．利用整體代入法是本題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵α，β是x2+x+18=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴α2+α=?18，α+β=?1，
∴α2+3α+2β=α2+α+2α+β=?18+2×(?1)=?20，
故答案為：?20．
【變式3-3】（23-24九年級(jí)·河南新鄉(xiāng)·期末）已知a，b是方程x2?5x+7=0的兩個(gè)根，則a2?4a+b?3= ．
【答案】?5
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，掌握ax2+bx+c=0的兩根x1，x2滿足x1+x2=?ba，x1x2=ca是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：∵a，b是方程x2?5x+7=0的兩個(gè)根，
∴a2?5a=?7，a+b=5，
∴a2?5a+a+b?3=?7+5?3=?5，
故答案為：?5．
【題型4 利用根與系數(shù)的關(guān)系降次求代數(shù)式的值】
【例4】（23-24九年級(jí)·湖北武漢·階段練習(xí)）已知a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的根，則代數(shù)式1a2+1+1b2+1的值是（ ）
A．3B．1C．?3D．?1
【答案】B
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系可得a+b=3，ab=1，再整體代入求解即可．
【詳解】解：∵a、b是一元二次方程x2?3x+1=0的根，
∴a+b=3，ab=1，
∴1a2+1+1b2+1
=1a2+ab+1b2+ab
=1aa+b+1ba+b
=13a+13b
=a+b3ab
=33×1
=1，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、分式的化簡(jiǎn)求值，熟練掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．
【變式4-1】（23-24九年級(jí)·云南·期末）已知m,n是方程x2+x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則m3?3m+n+2024的值是 ．
【答案】2020
【分析】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系、一元二次方程的解，正確理解一元二次方程的解的定義是解題的關(guān)鍵．
由一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得m+n=?1，m2?3=?m，再代入求值即可．
【詳解】解：∵m，n是方程x2+x?3=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴m+n=?1，
將x=m代入方程x2+x?3=0，得m2+m?3=0，
即m2?3=?m，m2=3?m
∴m3?3m+n+2024
=mm2?3+n+2024
=?m2+n+2024，
∵m2=3?m，
∴?m2+n+2024
=?3+m+n+2024
=m+n+2021，
∵m+n=?1，
∴m+n+2021=?1+2021=2020．
故答案為：2020．
【變式4-2】（23-24九年級(jí)·山東淄博·期中）已知x1,x2是方程x2?x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式x13?2024x1+x22的值為（ ）
A．4049B．4048C．2024D．1
【答案】A
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)一元二次方程的解，以及一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系即可求解．
【詳解】解：解：∵x1，x2是方程x2?x?2024=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x12?2024=x1，x1x2=?2024，x1+x2=1
x13?2024x1+x22 =x1x12?2024+x22=x12+x22=x1+x22?2x1x2=1?2×?2024 =4049
故選A
【變式4-3】（23-24九年級(jí)·江蘇蘇州·階段練習(xí)）已知：m、n是方程x2+3x?1=0的兩根，則m3?5m+5n= ．
【答案】?18
【分析】先根據(jù)一元二次方程的解的定義得到m2+3m?1=0，即m2=?3m+1，m3=?3m2+m，再把m3?5m+5n化簡(jiǎn)為用m和n的一次式表示得到5m+n?3，再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得到m+n=?3，然后利用整體代入的方法計(jì)算即可．
【詳解】解：∵m、n是方程x2+3x?1=0的兩根，
∴m2+3m?1=0，且m≠0，m+n=?3，
∴m2=?3m+1，
∴m3=?3m2+m，
∴m3?5m+5n
=?3m2+m?5m+5n
=?3?3m+1?4m+5n
=5m+5n?3
=5m+n?3，
∴原式=5×?3?3=?18，
故答案為：?18．
【點(diǎn)睛】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0a≠0的兩根時(shí)，則x1+x2=?ba，x1x2=ca．掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)鍵是解題的關(guān)鍵，也考查一元二次方程的解的定義，運(yùn)用了整體代入和恒等變換的思想．
【題型5 由一元二次方程的兩根求值】
【例5】（23-24九年級(jí)·河北保定·階段練習(xí)）若關(guān)于x的一元二次方程ax2=b(ab>0)的兩個(gè)根分別是m與2m?6，則m的值為 ，方程的根為 ．
【答案】 2 x1=2,x2=?2
【分析】若一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根為x1,x2，則x1+x2=?ba,x1·x2=ca．
【詳解】解：整理方程得：ax2?b=0
由題意得：m+2m?6=0
∴m=2
故兩個(gè)根為：x1=m=2,x2=2m?6=?2
故答案為：2；x1=2,x2=?2
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解這兩個(gè)根和為0是解題的關(guān)鍵．
【變式5-1】（23-24九年級(jí)·四川成都·期末）已知關(guān)于x的方程2x2+bx+c=0的根為x1=?2，x2=3，則b+c的值是（ ）
A．-10B．-7C．-14D．-2
【答案】C
【分析】根據(jù)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系分別求出b，c的值即可得到結(jié)論．
【詳解】解：∵關(guān)于x的方程2x2+bx+c=0的根為x1=?2，x2=3，
∴x1+x2=?b2，x1x2=c2
∴?2+3=?b2，?2×3=c2，即b=-2，c=-12
∴b+c=?2?12=?14．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程兩個(gè)為x1，x2，則x1+x2=-ba，x1?x2=ca．
【變式5-2】（23-24九年級(jí)·江蘇連云港·階段練習(xí)）在解一元二次方程x2+px+q＝0時(shí)，小明看錯(cuò)了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；小紅看錯(cuò)了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，則p＝ ．
【答案】﹣2
【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系及兩同學(xué)得出的結(jié)論，即可求出p，q的值．
【詳解】解：由小明看錯(cuò)了系數(shù)p，解得方程的根為1和﹣3；
可得q＝1×（﹣3）＝﹣3，
小紅看錯(cuò)了系數(shù)q，解得方程的根為4和﹣2，可得﹣p＝4﹣2，
解得p＝﹣2，
故答案為：﹣2．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一元二次方程的解，牢記“兩根之和等于﹣ba，兩根之積等于ca．”是解題的關(guān)鍵．
【變式5-3】（23-24九年級(jí)·四川廣安·階段練習(xí)）已知關(guān)于x的一元二次方程x2﹣2kx+12k2﹣2＝0．設(shè)x1，x2是方程的根，且x12﹣2kx1+2x1x2＝5，則k的值為 ．
【答案】±14
【分析】先計(jì)算出一元二次方程判別式，即△=2k2+8，從而得到△＞0，于是可判斷不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；再利用方程的解的定義得到x12-2kx1=-12k2+2，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得x1x2=12k2-2，則-12k2+2+2·(12k2-2)=5，然后解關(guān)于k的方程即可.
【詳解】（1）證明：△=(-2k)2-4(12k2-2)=2k2+8＞0，
所以不論k為何值，方程總有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根；
（2）∵x1是方程的根，
∴x12-2kx1+12k2-2=0，
∴x12-2kx1=-12k2+2，
∵x12-2kx1+2x1x2=5，x1x2=12k2-2，
∴-12k2+2+2·(12k2-2)=5，
整理得k2-14=0，
∴k=±14．
故答案為±14.
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的判別式，關(guān)鍵是熟練掌握一元二次方程根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系.
【題型6 構(gòu)造一元二次方程求代數(shù)式的值】
【例6】（23-24九年級(jí)·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）已知s滿足2s2?3s?1=0，t滿足2t2?3t?1=0，且s≠t，則s+t= ．
【答案】32
【分析】本題主要考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，正確得到s+t=32,st=?12是解題的關(guān)鍵．由題意可知實(shí)數(shù)s、t是關(guān)于x的方程2x2?3x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由此可得答案．
【詳解】解：∵實(shí)數(shù)s、t滿足2s2?3s?1=0，2t2?3t?1=0，且s≠t，
∴實(shí)數(shù)s、t是關(guān)于x的方程2x2?3x?1=0的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
∴s+t=32．
故答案為：32．
【變式6-1】（23-24·湖南常德·一模）若兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)m、n滿足m2=m+1，n2?n=1，則m2+n2= ．
【答案】3
【分析】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，完全平方公式的應(yīng)用，先根據(jù)已知條件得到m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，然后根據(jù)根和系數(shù)的關(guān)系得到結(jié)果，再根據(jù)完全平方公式計(jì)算即可，理解m、n是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：由題可得：m2?m?1=0，n2?n?1=0，
∴m、n是關(guān)于x的一元二次方程x2?x?1=0的兩個(gè)不等實(shí)數(shù)根，
∴m+n=1,mn=?1，
∴m2+n2=m+n2?2mn=12?2×?1=3，
故答案為：3．
【變式6-2】（23-24九年級(jí)·全國(guó)·競(jìng)賽）已知實(shí)數(shù)a、b分別滿足a=16a2+13和12b2=3b?1，那么ba+ab的值是 ．
【答案】2或16
【分析】本題考查一元二次方程的根，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系等，分情況討論，當(dāng)a=b時(shí)，ba+ab=2；當(dāng)a≠b時(shí)， a和b是方程x2?6x+2=0的兩個(gè)根，再由根與系數(shù)的關(guān)系求出a+b和ab，再將ba+ab變形為a+b2?2abab，即可求解．
【詳解】解：分兩種情況：
當(dāng)a=b時(shí)，ba+ab=1+1=2；
當(dāng)a≠b時(shí)，
∵ 12b2=3b?1，
∴ b=16b2+13，
∴ b2?6b+2=0，
又∵ a=16a2+13，
∴ a2?6a+2=0，
∴a和b是方程x2?6x+2=0的兩個(gè)根，
∴ a+b=??61=6，ab=2，
∴ ba+ab=b2+a2ab=a+b2?2abab=62?2×22=16，
故答案為：2或16．
【變式6-3】（23-24九年級(jí)·浙江寧波·期末）若a4?3a2=1，b2?3b=1，且a2b≠1，則ba2的值是 ．
【答案】?1
【分析】本題考查一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)題意先化為1a4?3a2?1=0，b2?3b?1=0，可以得到1a2和b是方程x2?3x?1=0的兩根，然后根據(jù)兩根之積為ca解題即可．
【詳解】解：∵a4?3a2=1，
∴1a4?3a2?1=0，
∵a2b≠1，
又∵b2?3b?1=0，
∴1a2和b是方程x2?3x?1=0的兩根，
∴ba2=?1，
故答案為：?1．
【題型7 由一元二次方程的根判斷另一個(gè)一元二次方程的根】
【例7】（23-24九年級(jí)·浙江臺(tái)州·期末）若關(guān)于x的一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一個(gè)根為m，則方程a（x?1）2+2a（x?1）+c=0的兩根分別是（ ）．
A．m+1，?m?1B．m+1，?m+1
C．m+1，m+2 D．m?1 ，?m+1
【答案】A
【分析】根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出方程ax2+2ax+c=0 的另一個(gè)根，設(shè)x?1=t，根據(jù)方程ax2+2ax+c=0 的根代入求值即可得到答案；
【詳解】解：∵一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的一個(gè)根為m，設(shè)方程另一根為n，
∴n+m=?2aa=?2，
解得：n=?2?m，
設(shè)x?1=t，方程a（x?1）2+2a（x?1）+c=0變形為at2+2at+c=0，
由一元二次方程ax2+2ax+c=0 (a≠0)的根可得，
t1=m，t2=?2?m，
∴x?1=?2?m，x?1=m，
∴x1=?m?1，x2=1+m，
故答案為：A．
【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及換元法解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是用換元法變形方程代入求解．
【變式7-1】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期中）已知關(guān)于x的一元二次方程x2+cx+a=0的兩個(gè)整數(shù)根恰好比方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根都大1，則a+b+c的值是 ．
【答案】-3或29
【分析】設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根為α，β，其中α，β為整數(shù)，且α≤β，則方程x2+cx+a=0的兩根為α+1，β+1，根據(jù)題意列出式子，再進(jìn)行變形即可求出．
【詳解】解：設(shè)方程x2+ax+b=0的兩個(gè)根為α，β，其中α，β為整數(shù)，且α≤β，則方程x2+cx+a=0的兩根為α+1，β+1，由題意得
α+β=?a,(α+1)(β+1)=a，
兩式相加得αβ+2α+2β+1=0，
即α+2β+2=3，
所以{α+2=1，β+2=3；或{α+2=?3，β+2=?1.
解得{α=?1，β=1；或{α=?5，β=?3.
又因?yàn)閍=?(α+β),b=αβ,c=?[(α+1)+(β+1)]
所以a=0，b=?1，c=?2；或者a=8，b=15，c=6，
故a+b+c=?3或29．
故答案為-3或29
【點(diǎn)睛】主要考查一元二次方程的整數(shù)根與有理根，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用；利用根與系數(shù)的關(guān)系得到兩根之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵；
【變式7-2】（23-24九年級(jí)·浙江·自主招生）設(shè)a、b、c、d是4個(gè)兩兩不同的實(shí)數(shù)，若a、b是方程x2?8cx?9d=0的解，c、d是方程x2?8ax?9b=0的解，則a+b+c+d的值為 ．
【答案】648
【分析】由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b，c+d的值，兩式相加得的值，根據(jù)一元二次方程根的定義可得a2?8ac?9d=0，代入可得a2?72a+9c?8ac=0，同理可得c2?72c+9a?8ac=0，兩式相減即可得a+c的值，進(jìn)而可得a+b+c+d的值．
【詳解】解：由根與系數(shù)的關(guān)系得a+b=8c，c+d=8a，兩式相加得a+b+c+d=8a+c．
因?yàn)閍是方程x2?8cx?9d=0的根，所以a2?8ac?9d=0，又d=8a?c，
所以a2?72a+9c?8ac=0①
同理可得c2?72c+9a?8ac=0②
①-②得a?ca+c?81=0．
因?yàn)閍≠c，所以a+c=81，所以a+b+c+d=8a+c=648．
故答案為648
【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程根的定義，根據(jù)等式的性質(zhì)變形是解題的關(guān)鍵．
【變式7-3】（23-24九年級(jí)·安徽合肥·期末）關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q=0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p=0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．p是正數(shù)，q是負(fù)數(shù)B．(p?2)2+(q?2)2＜8
C．q是正數(shù)，p是負(fù)數(shù)D．(p?2)2+(q?2)2>8
【答案】D
【分析】設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．根據(jù)方程解的情況，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系可得出x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，即可判斷A與C；②由方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根結(jié)合根的判別式得出p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，利用不等式的性質(zhì)以及完全平方公式得出（p﹣2）2+（q﹣2）2＞8，即可判斷B與D．
【詳解】解：設(shè)方程x2+px+q＝0的兩根為x1、x2，方程y2+qy+p＝0的兩根為y1、y2．
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，
∴x1?x2＝q＞0，y1?y2＝p＞0，
故選項(xiàng)A與C說(shuō)法均錯(cuò)誤，不符合題意；
∵關(guān)于x的一元二次方程x2+px+q＝0有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，關(guān)于y的一元二次方程y2+qy+p＝0也有兩個(gè)同號(hào)非零整數(shù)根，
∴p2﹣4q≥0，q2﹣4p≥0，
∴（p﹣2）2+（q﹣2）2＝p2﹣4q+4+q2﹣4p+4＞8（p、q不能同時(shí)為2，否則兩個(gè)方程均無(wú)實(shí)數(shù)根），
故選項(xiàng)B說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意；選項(xiàng)D說(shuō)法正確，符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及根的判別式，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)說(shuō)法的正誤是解題的關(guān)鍵．
【題型8 根與系數(shù)的關(guān)系與三角形、四邊形的綜合運(yùn)用】
【例8】（23-24九年級(jí)·山東·課后作業(yè)）已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為5，兩條對(duì)角線交于O點(diǎn)，且OA、OB的長(zhǎng)分別是關(guān)于x的方程x2+(2m?1)x+m2+3=0的根，則m等于( )
A．?3B．5C．5或?3D．?5或3
【答案】A
【分析】由題意可知：菱形ABCD的邊長(zhǎng)是5，則AO2+BO2=25，則再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=?2m+1，AO×BO=m2+3；代入AO2+BO2中，得到關(guān)于m的方程后，求得m的值．
【詳解】由直角三角形的三邊關(guān)系可得：AO2+BO2=25，
又有根與系數(shù)的關(guān)系可得：AO+BO=?2m+1,AO×BO=m2+3，
∴AO2+BO2=(AO+BO)2?2AO×BO=(?2m+1)2?2(m2+3)=25，
整理得：m2?2m?15=0，
解得：m=?3或5.
又∵Δ>0,
∴(2m?1)2?4(m2+3)>0, 解得m

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