數(shù)學(xué)（新高考通用01）-2025屆新高三開學(xué)摸底考試卷

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一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12． 13． 14．6
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸。
15．（13分）【詳解】（1）由題意，則，
因?yàn)椋?，?分）
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面?br>且平面，
所以平面，（2分）
因?yàn)槠矫?，所以，?分）
且平面，所以平面，（4分）
又平面，所以平面平面；（5分）
（2）如圖，以A為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過點(diǎn)A作平面ABC的垂線為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，

則，（7分，建系、設(shè)點(diǎn)各一分）
所以，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
則，令，得，（9分）
設(shè)平面的法向量，
則，令，得，（11分）
設(shè)平面與平面的夾角為，則，（12分）
所以平面與平面夾角的正弦值為．（13分）
16．（15分）【詳解】（1）易知，所以根據(jù)正態(tài)分布區(qū)間公式有，（3分）
即每個(gè)地區(qū)大于該地區(qū)的人均生產(chǎn)總值的概率為，
則，（4分，不寫不扣分）
所以：；（6分）
（2）因?yàn)?，由題意可知，每年的人均生產(chǎn)總值分別依次為：
，
，（8分）
所以，（10分）
則，（12分）
由公式可知，（14分）
即.（15分）
17．（15分）【詳解】（1）設(shè)，則，因?yàn)榈闹匦模?br>故有：，（2分）
解得，代入，化簡(jiǎn)得，（4分）
又，故，所以的軌跡方程為.（5分）
（2）因?yàn)榈拇剐?，故有?br>又，所以，（7分）
故設(shè)直線的方程為，
與聯(lián)立消去得：，（8分）
由得，（9分）
設(shè)，則，（10分）
由，得，所以，（12分）
所以，
所以，化簡(jiǎn)得，（13分）
解得（舍去）或（滿足），（14分）
故直線的方程為.（15分）
18．（17分）【詳解】（1）由題意得，，則，（1分）
由，解得．（2分）
顯然，
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；（3分）
若，則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增．（4分）
綜上，當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．（5分）
（2）（i）由，得，
設(shè)，由(1)得在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，（6分）
又，當(dāng)時(shí)，，且當(dāng)時(shí)，，（8分）
所以當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的根，即方程有兩個(gè)不同的根，故的取值范圍是．（9分）
（ii）不妨設(shè)，則，且．（10分）
設(shè)，，
則，（11分）
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，
又，
所以，即．（13分）
又，所以，（14分）
又在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
所以，即，（16分）
又，所以，得證．（17分）
19．（17分）【詳解】（1）存在，理由如下：
由已知得，，，（1分）
（2分）
即 （3分）
對(duì)，當(dāng)正整數(shù)時(shí)，存在，使得成立，
即數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”；（4分）
（2），
當(dāng)時(shí)，，（5分）
當(dāng)時(shí)，，（6分）
（i）若數(shù)列為“階可分拆數(shù)列”，則存在正整數(shù)使得成立，
當(dāng)時(shí)，，即，解得，（7分）
當(dāng)時(shí)，，即，（8分）
因，所以，又，（9分）
故方程無解.
綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)a的值為. （10分）
（ii）證明：，
當(dāng)時(shí)，，
，（11分）
，（12分）
由（i）知，所以，
①，
②，（13分）
由①-②可得
（14分）
，（15分）
，
，（16分）
，
當(dāng)且時(shí)， 成立.（17分）
1
2
3
4
5
6
7
8
D
C
C
B
A
A
B
C
9
10
11
BCD
ACD
AC