【課程標(biāo)準(zhǔn)】
1.掌握橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱(chēng)性、頂點(diǎn)、離心率).
2.掌握橢圓幾何性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用.
【核心素養(yǎng)】
數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理.
【命題說(shuō)明】
【必備知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)】
知識(shí)梳理·歸納
橢圓的幾何性質(zhì)
微思考 橢圓的范圍經(jīng)常在什么情況下使用?
提示:在解答求值域、最值范圍是否存在等題目時(shí),使用范圍這個(gè)性質(zhì).
微點(diǎn)撥
(1)橢圓焦點(diǎn)位置與x2,y2的系數(shù)有關(guān).
(2)離心率表示橢圓的扁平程度,e越接近0,橢圓越接近于圓;e越接近1,橢圓越扁平.
常用結(jié)論
1.設(shè)P為橢圓上不同于長(zhǎng)軸兩端點(diǎn)的點(diǎn),F1,F2為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),則
①b≤|OP|b>0)上的任意一點(diǎn),F1(-c,0),F2(c,0)為橢圓的左、右焦點(diǎn),則|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0,其中e=ca.
5.橢圓系方程:
①與x2a2+y2b2=1共焦點(diǎn)的橢圓系為x2a2-k+y2b2-k=1(k0).
基礎(chǔ)診斷·自測(cè)
1.(思考辨析)(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)
(1)橢圓的頂點(diǎn)坐標(biāo),長(zhǎng)軸長(zhǎng),短軸長(zhǎng),離心率都與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸有關(guān).( × )
提示:(1)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)、離心率都與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無(wú)關(guān),故(1)錯(cuò)誤;
(2)橢圓的焦點(diǎn)一定在長(zhǎng)軸上.( √ )
提示:(2)橢圓的焦點(diǎn)一定在長(zhǎng)軸上,故(2)正確;
(3)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的參數(shù)ba不能刻畫(huà)橢圓的扁平程度,而ca能刻畫(huà)橢圓的扁平程度.( × )
提示:(3)橢圓x2a2+y2b2=1(a>b>0)中的參數(shù)ba,ca均能刻畫(huà)橢圓的扁平程度,故(3)錯(cuò)誤;
(4)橢圓x24+y23=1比橢圓x216+y215=1更扁一些.( √ )
提示:(4)橢圓x24+y23=1的離心率為12,橢圓x216+y215=1的離心率為14.所以橢圓x24+y23=1比橢圓x216+y215=1更扁一些.故(4)正確.
2.(選擇性必修第一冊(cè)人AP112練習(xí)T4變形式)已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,-32b),且C的離心率為12,則C的方程是( )
A.x24+y23=1 B.x28+y26=1
C.x24+y22=1 D.x28+y24=1
【解析】選A.由題可知,1a2+3b24b2=1ca=1-b2a2=12,解得a2=4b2=3,
所以橢圓的方程為x24+y23=1.
3.(2023·新高考Ⅰ卷)設(shè)橢圓C1:x2a2+y2=1(a>1),C2:x24+y2=1的離心率分別為e1,e2.若e2=3e1,則a=( )
A.233B.2C.3D.6
【解析】選A.由e2=3e1,得e22=3e12,即4-14=3×a2-1a2,解得a=233.
4.(橢圓的相關(guān)概念不清致誤)若橢圓x2+my2=1的焦點(diǎn)在y軸上,且長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則m的值為_(kāi)_______,焦點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____________.
【解析】設(shè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,焦距為2c,
由題意可得:2a=2×2b,則a2=4b2,
因?yàn)闄E圓方程為x2+my2=1,即x2+y21m=1,
且焦點(diǎn)在y軸上,則a2=1m,b2=1,
可得a2=1m=4,解得m=14,
所以c=a2-b2=3,即焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±3).
答案:14 (0,±3)
【核心考點(diǎn)·分類(lèi)突破】
考點(diǎn)一由橢圓的性質(zhì)求方程
[例1](1)(多選題)(2024·天水模擬)橢圓以x軸和y軸為對(duì)稱(chēng)軸,經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可能為( )
A.x24+y2=1 B.y24+x2=1
C.y216+x24=1 D.x216+y24=1
【解析】選AC.設(shè)長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2a,短軸長(zhǎng)為2b,
因?yàn)殚L(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)的2倍,則2a=2×2b,即a=2b,
又因?yàn)闄E圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),則有:
若橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,可知a=2,b=1,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1;
若橢圓的焦點(diǎn)在y軸上,可知a=4,b=2,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y216+x24=1.
綜上所述:橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y2=1或y216+x24=1.
(2)(2024·南昌模擬)已知橢圓的離心率為12,焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),則橢圓方程為( )
A.x236+y227=1 B.x236-y227=1
C.x227+y236=1 D.x227-y236=1
【解析】選A.由橢圓的焦點(diǎn)是(-3,0),(3,0),得橢圓的半焦距c=3,由離心率為12,得ca=12,
即a=6,因此橢圓的短半軸b=a2-c2=62-32=33,所以橢圓方程為x236+y227=1.
解題技法
求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟
對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練
求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)長(zhǎng)軸在x軸上,長(zhǎng)軸的長(zhǎng)為12,離心率為23;
【解析】(1)由已知,2a=12,e=ca=23,得:a=6,c=4,從而b2=a2-c2=20.
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x236+y220=1.
(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(-6,0)和Q(0,8).
【解析】(2)由橢圓的幾何性質(zhì)知,以坐標(biāo)軸為對(duì)稱(chēng)軸的橢圓與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)就是橢圓的頂點(diǎn),所以點(diǎn)P,Q分別是橢圓的短軸和長(zhǎng)軸的一個(gè)端點(diǎn),于是有b=6,a=8.
又短軸、長(zhǎng)軸分別在x軸和y軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為y264+x236=1.
【加練備選】
求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:
(1)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)分別為8和6;
【解析】(1)由題意得:2a=8,2b=6,所以a=4,b=3,結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓方程為x216+y29=1.
(2)中心在原點(diǎn),一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,5),短軸長(zhǎng)為4;
【解析】(2)由題意得:c=5,2b=4,故a2=b2+c2=4+25=29,因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸上,故橢圓方程為y229+x24=1.
(3)對(duì)稱(chēng)軸都在坐標(biāo)軸上,長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為10,離心率是0.6;
【解析】(3)由題意得:a=10,e=ca=0.6,
所以c=6,b2=a2-c2=100-36=64,當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),橢圓方程為x2100+y264=1;當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),橢圓方程為y2100+x264=1;
(4)中心在原點(diǎn),焦點(diǎn)在x軸上,右焦點(diǎn)到短軸端點(diǎn)的距離為2,到右頂點(diǎn)的距離為1.
【解析】(4)由題意得:a=2,a-c=1,
所以c=1,b2=a2-c2=4-1=3,結(jié)合焦點(diǎn)在x軸上,故橢圓方程為:x24+y23=1.
考點(diǎn)二 橢圓的幾何性質(zhì)
考情提示
高考對(duì)橢圓性質(zhì)的考查是歷年的重點(diǎn),主要以離心率或與橢圓有關(guān)的最值問(wèn)題為載體考查邏輯推理與運(yùn)算求解能力.
角度1 橢圓的離心率
[例2](1)(2024·湛江模擬)若橢圓b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0)的左焦點(diǎn)為F,右頂點(diǎn)為A,上頂點(diǎn)為B,若∠ABF=90°,則橢圓的離心率為( )
A.22 B.5-12 C.32 D.3-12
【解析】選B.由b2x2+a2y2=a2b2(a>b>0),得x2a2+y2b2=1,
由題意可得:AF2=AB2+BF2,所以(a+c)2=a2+b2+a2,
因?yàn)閍2+2ac+c2=2a2+a2-c2?e2+e-1=0.所以e=5-12(負(fù)值舍去).
(2)(2024·成都模擬)已知F1,F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn),滿(mǎn)足MF1·MF2=0的點(diǎn)M總在橢圓內(nèi)部,則橢圓離心率的取值范圍是( )
A. (0,22) B. (0,12] C.(0,1) D.[22,1)
【解析】選A.設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)、半焦距分別為a,b,c,
因?yàn)?MF1·MF2=0?MF1⊥MF2,
所以M點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)O為圓心,半焦距c為半徑的圓,
又M點(diǎn)總在橢圓內(nèi)部,所以該圓內(nèi)含于橢圓,即c

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