【例1】 （1）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，則cs∠F1PF2＝ ；
（2）已知F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點(diǎn)，A（1，4），P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則｜PF｜＋｜PA｜的最小值為 .
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解題技法
雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面
1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）滿足（x+2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（ ）
A.射線 B.直線
C.橢圓 D.雙曲線的一支
2.雙曲線x216－y29＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過點(diǎn)F1的弦AB的長為5，那么△ABF2的周長是（ ）
A.12 B.16
C.21 D.26
【例2】 （1）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（2，3），且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A.x2－y23＝1 B.x23－y2＝1
C.x2－y23＝1 D.x23－y2＝1
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（－3，0），B（3，0），其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）
A.x24－y25＝1（x＞2）B.x29－y25＝1（x＞3）
C.x29＋y25＝1（0＜x＜2）D.x29＋y24＝1（0＜x＜3）
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解題技法
求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
（1）待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程（組）并求出a，b，c的值；
（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值.
提醒 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.
1.焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線y24－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 .
2.經(jīng)過點(diǎn)P（3，27），Q（－62，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 .
考向1 雙曲線的漸近線
【例3】 （1）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為25，且實(shí)軸長為2，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A.y＝±12x B.y＝±2x
C.y＝±5x D.y＝±52x
（2）（2022·全國甲卷14題）若雙曲線y2－x2m2＝1（m＞0）的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝ .
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解題技法
求雙曲線漸近線方程的方法
（1）求雙曲線中a，b的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；
（2）求a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；
（3）令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程.
提醒 兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱.
考向2 雙曲線的離心率
【例4】 （1）（2021·全國甲卷5題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（ ）
A.72 B.132
C.7 D.13
（2）（2022·全國甲卷15題）記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 .
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解題技法
求雙曲線離心率的兩種方法
1.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是（ ）
A.3x±y＝0B.2x±7y＝0
C.3x±2y＝0D.2x±3y＝0
2.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A.（1，2） B.（1，1＋2）
C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）
3.（多選）已知雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），則（ ）
A.雙曲線C的實(shí)軸長為定值B.雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上
C.雙曲線C的離心率為定值D.雙曲線C的漸近線方程為y＝±22x
參考答案與解析
雙曲線的定義及應(yīng)用
【例1】 （1）已知F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2＝2的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在C上，｜PF1｜＝2｜PF2｜，則cs∠F1PF2＝ 34 ；
（2）已知F是雙曲線x24－y212＝1的左焦點(diǎn)，A（1，4），P是雙曲線右支上的一動(dòng)點(diǎn)，則｜PF｜＋｜PA｜的最小值為 9 .
解析：（1）∵由雙曲線的定義有｜｜PF1｜－｜PF2｜｜＝2a＝22，∴｜PF1｜＝2｜PF2｜＝42，則cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2?|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜＝（42）2＋（22）2－422×42×22＝34.
（2）因?yàn)镕是雙曲線x24－y212＝1的左焦點(diǎn)，所以F（－4，0），設(shè)其右焦點(diǎn)為H（4，0），則由雙曲線的定義可得｜PF｜＋｜PA｜＝2a＋｜PH｜＋｜PA｜≥2a＋｜AH｜＝4＋（4－1）2＋（0－4）2＝4＋5＝9（當(dāng)A，P，H三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)）.
解題技法
雙曲線定義的應(yīng)用主要有兩個(gè)方面
1.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M（x，y）滿足（x+2）2＋y2－（x－2）2＋y2＝4，則動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是（ ）
A.射線 B.直線
C.橢圓 D.雙曲線的一支
解析：A 設(shè)F1（－2，0），F(xiàn)2（2，0），由題意知?jiǎng)狱c(diǎn)M滿足｜MF1｜－｜MF2｜＝4＝｜F1F2｜，故動(dòng)點(diǎn)M的軌跡是射線，故選A.
2.雙曲線x216－y29＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，在左支上過點(diǎn)F1的弦AB的長為5，那么△ABF2的周長是（ ）
A.12 B.16
C.21 D.26
解析：D 依題意知｜AF2｜－｜AF1｜＝2a＝8，｜BF2｜－｜BF1｜＝2a＝8，∴（｜AF2｜－｜AF1｜）＋（｜BF2｜－｜BF1｜）＝16，又｜AB｜＝5，∴｜AF2｜＋｜BF2｜＝16＋（｜AF1｜＋｜BF1｜）＝16＋｜AB｜＝16＋5＝21.∴｜AF2｜＋｜BF2｜＋｜AB｜＝21＋5＝26.即△ABF2的周長是26.故選D.
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例2】 （1）雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）過點(diǎn)（2，3），且離心率為2，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A.x2－y23＝1 B.x23－y2＝1
C.x2－y23＝1 D.x23－y2＝1
（2）在平面直角坐標(biāo)系中，已知△ABC的頂點(diǎn)A（－3，0），B（3，0），其內(nèi)切圓圓心在直線x＝2上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程為（ ）
A.x24－y25＝1（x＞2）
B.x29－y25＝1（x＞3）
C.x29＋y25＝1（0＜x＜2）
D.x29＋y24＝1（0＜x＜3）
答案：（1）A （2）A
解析：（1）因?yàn)閑＝ca＝2，所以c＝2a，b＝c2－a2＝3a，則雙曲線的方程為x2a2－y23a2＝1，將點(diǎn)（2，3）的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，得2a2－33a2＝1a2＝1，解得a＝1，故b＝3，因此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y23＝1.故選A.
（2）如圖，設(shè)△ABC與圓的切點(diǎn)分別為D，E，F(xiàn)，
則有｜AD｜＝｜AE｜＝5，｜BF｜＝｜BE｜＝1，｜CD｜＝｜CF｜，所以｜CA｜－｜CB｜＝5－1＝4.根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長為4的雙曲線的右支（右頂點(diǎn)除外），即c＝3，a＝2，又c2＝a2＋b2，所以b2＝5，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為x24－y25＝1（x＞2）.
解題技法
求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種方法
（1）待定系數(shù)法：設(shè)出雙曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)已知條件，列出參數(shù)a，b，c的方程（組）并求出a，b，c的值；
（2）定義法：依定義得出距離之差的等量關(guān)系式，求出a的值，由定點(diǎn)位置確定c的值.
提醒 求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，若焦點(diǎn)位置不確定，要注意分類討論，也可以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0）求解.
1.焦點(diǎn)在x軸上，焦距為10，且與雙曲線y24－x2＝1有相同漸近線的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是 x25－y220＝1 .
解析：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y24－x2＝－λ（λ＞0），即x2λ－y24λ＝1，則有4λ＋λ＝25，解得λ＝5，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x25－y220＝1.
2.經(jīng)過點(diǎn)P（3，27），Q（－62，7）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為 y225－x275＝1 .
解析：設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1（mn＜0），因?yàn)樗箅p曲線經(jīng)過點(diǎn)P（3，27），Q（－62，7），所以9m+28n=1，72m+49n=1，解得m＝－175，n＝125.故所求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為y225－x275＝1.
雙曲線的幾何性質(zhì)
考向1 雙曲線的漸近線
【例3】 （1）已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距為25，且實(shí)軸長為2，則雙曲線C的漸近線方程為（ B ）
A.y＝±12x B.y＝±2x
C.y＝±5x D.y＝±52x
（2）（2022·全國甲卷14題）若雙曲線y2－x2m2＝1（m＞0）的漸近線與圓x2＋y2－4y＋3＝0相切，則m＝ 33 .
解析：（1）由題意可知，2c＝25，2a＝2，所以c＝5，a＝1，所以b＝c2－a2＝2，則ba＝2.故該雙曲線C的漸近線方程為y＝±2x.
（2）雙曲線的漸近線方程為x±m(xù)y＝0，圓x2＋y2－4y＋3＝0的方程可化為x2＋（y－2）2＝1，則圓心坐標(biāo)為（0，2），半徑r＝1.∵雙曲線的漸近線與圓相切，∴圓心到漸近線的距離d＝｜0±2m｜1+m2＝1，得m＝33.
解題技法
求雙曲線漸近線方程的方法
（1）求雙曲線中a，b的值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；
（2）求a與b的比值，進(jìn)而得出雙曲線的漸近線方程；
（3）令雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程右側(cè)為0，將所得代數(shù)式化為一次式即為漸近線方程.
提醒 兩條漸近線的傾斜角互補(bǔ)，斜率互為相反數(shù)，且兩條漸近線關(guān)于x軸，y軸對(duì)稱.
考向2 雙曲線的離心率
【例4】 （1）（2021·全國甲卷5題）已知F1，F(xiàn)2是雙曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，則C的離心率為（ A ）
A.72 B.132
C.7 D.13
（2）（2022·全國甲卷15題）記雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為e，寫出滿足條件“直線y＝2x與C無公共點(diǎn)”的e的一個(gè)值 2（答案不唯一，（1，5]內(nèi)的任意值均可） .
解析：（1）設(shè)｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，則｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的離心率e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1|?|PF2｜＝7m2m＝72.
（2）雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax，若直線y＝2x與雙曲線C無公共點(diǎn)，則2≥ba，∴b2a2≤4，∴e2＝c2a2＝1＋b2a2≤5，又e＞1，∴e∈（1，5].∴填寫（1，5]內(nèi)的任意值均可.
解題技法
求雙曲線離心率的兩種方法
1.設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，P是雙曲線C右支上一點(diǎn)，若｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，且∠F1PF2＝60°，則雙曲線C的漸近線方程是（ ）
A.3x±y＝0 B.2x±7y＝0
C.3x±2y＝0 D.2x±3y＝0
解析：C ∵F1，F(xiàn)2是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上，∴由雙曲線的定義可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，又知｜PF1｜＋｜PF2｜＝4a，∴｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a.在△PF1F2中，由余弦定理的推論可得cs 60°＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2?|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜，即12＝（3a）2＋a2－4c22×3a×a，∴3a2＝10a2－4c2，即4c2＝7a2，又知b2＋a2＝c2，∴b2a2＝34，∴雙曲線C的漸近線方程為y＝±32x，即3x±2y＝0.
2.已知點(diǎn)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，若△ABF2是銳角三角形，則該雙曲線離心率的取值范圍是（ ）
A.（1，2） B.（1，1＋2）
C.（2，＋∞） D.（1＋2，＋∞）
解析：B 依題意，得0＜∠AF2F1＜π4，故0＜tan∠AF2F1＜1，則b2a2c＝c2－a22ac＜1，即e－1e＜2，e2－2e－1＜0，（e－1）2＜2，又e＞1，所以1＜e＜1＋2.
3.（多選）已知雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），則（ ）
A.雙曲線C的實(shí)軸長為定值
B.雙曲線C的焦點(diǎn)在y軸上
C.雙曲線C的離心率為定值
D.雙曲線C的漸近線方程為y＝±22x
解析：BCD 對(duì)于A、B，由雙曲線C：x22－y2＝λ（λ＜0），整理可得y2－λ－x2－2λ＝1（λ＜0），所以雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，且a2＝－λ，b2＝－2λ（λ＜0），實(shí)軸長不是定值，所以A錯(cuò)誤，B正確；對(duì)于C，離心率e＝ca＝1+b2a2＝3為定值，C正確；對(duì)于D，漸近線的方程為y＝±abx＝±22x，D正確.
1.方程x22+m－y21－m＝1表示雙曲線，則m的取值范圍是（ ）
A.－2＜m＜1 B.m＞1
C.m＜－2 D.－1＜m＜2
解析：A 因?yàn)榉匠蘹22+m－y21－m＝1表示雙曲線，所以（2＋m）（1－m）＞0，即（m＋2）（m－1）＜0，解得－2＜m＜1.故選A.
2.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），離心率e＝2，則雙曲線C的漸近線方程為（ ）
A.y＝2x B.y＝3x
C.y＝±2x D.y＝±3x
解析：D ba＝c2－a2a2＝e2－1＝3，故雙曲線C的漸近線方程為：y＝±3x.
3.若雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）滿足ba＝52，且與橢圓x212＋y23＝1有公共焦點(diǎn)，則雙曲線C的方程為（ ）
A.x24－y25＝1 B.x28－y210＝1
C.x25－y24＝1 D.x24－y23＝1
解析：A 由題意可得橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－3，0），（3，0），則在雙曲線C中，有ba＝52，c=3，c2＝a2＋b2，解得a2=4，b2=5，c2=9，所以雙曲線C的方程為x24－y25＝1.
4.已知點(diǎn)A（0，2），B（0，－2），C（3，2），若動(dòng)點(diǎn)M（x，y）滿足｜MA｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，則點(diǎn)M的軌跡方程為（ ）
A.y2－x23＝1 B.y2－x23＝1（y≤－1）
C.x2－y23＝1 D.x2－y23＝1（x≤－1）
解析：B 設(shè)M（x，y），因?yàn)椋麺A｜＋｜AC｜＝｜MB｜＋｜BC｜，故｜MA｜＋3＝｜MB｜＋32＋[2?(?2）]2，即｜MA｜－｜MB｜＝2＜4.故點(diǎn)M（x，y）的軌跡是以A（0，2），B（0，－2）為焦點(diǎn)的雙曲線的下支，且a＝1，c＝2.故b2＝c2－a2＝3.故方程為y2－x23＝1（y≤－1）.
5.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A是圓O：x2＋y2＝c2上一點(diǎn)，線段F2A交雙曲線C的右支于點(diǎn)B，｜F2A｜＝a，F(xiàn)2A＝3F2B，則雙曲線C的離心率為（ ）
A.62 B.332
C.362 D.6
解析：A 如圖，由題意可知｜F2B｜＝a3，｜AB｜＝2a3，由雙曲線的定義可知｜BF1｜＝a3＋2a＝7a3，易得∠F1AF2＝90°，則在△ABF1中，由勾股定理可得｜AF1｜＝5a，在Rt△AF1F2中，（5a）2＋a2＝（2c）2，所以e＝62.故選A.
6.（多選）已知雙曲線C的方程為x216－y29＝1，則下列說法正確的是（ ）
A.雙曲線C的實(shí)軸長為8
B.雙曲線C的漸近線方程為y＝±34x
C.雙曲線C的焦點(diǎn)到漸近線的距離為3
D.雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為94
解析：ABC 因?yàn)閍2＝16，所以a＝4，2a＝8，故A正確；因?yàn)閍＝4，b＝3，所以雙曲線C的漸近線方程為y＝±bax＝±34x，故B正確；因?yàn)閏＝a2＋b2＝16+9＝5，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為（－5，0），（5，0），焦點(diǎn)（5，0）到漸近線3x－4y＝0的距離為｜15｜32＋(?4）2＝3，故C正確；雙曲線C上的點(diǎn)到焦點(diǎn)距離的最小值為c－a＝1，故D錯(cuò)誤.
7.雙曲線y2m－x2n＝1（m＞0，n＞0）的漸近線方程為y＝±22x，實(shí)軸長為2，則m－n＝ －1 .
解析：因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為2m，所以2m＝2，所以m＝1，又漸近線方程為y＝±22x，所以mn＝22，解得n＝2，所以m－n＝－1.
8.試寫出一個(gè)中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，漸近線方程為y＝±2x的雙曲線方程為 x2－y24＝1（答案不唯一） .
解析：因?yàn)闈u近線方程為2x±y＝0，設(shè)雙曲線方程為4x2－y2＝λ，λ≠0，所以雙曲線的方程可以為x2－y24＝1.
9.設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F，如圖所示，直線l：x＝a2c與兩條漸近線交于P，Q兩點(diǎn)，N為PQ的中點(diǎn)，如果△PQF是直角三角形，則雙曲線的離心率e＝ 2 .
解析：由題意知右焦點(diǎn)F（c，0），直線l：x＝a2c，漸近線y＝±bax.聯(lián)立x＝a2c，y＝±bax，可得P（a2c，abc），Q（a2c，－abc），∴｜FP｜＝｜FQ｜，即△PQF是等腰三角形.∵△PQF是直角三角形，∴∠PFQ＝90°，N為PQ的中點(diǎn)，∴｜PN｜＝｜FN｜，即abc＝c－a2c，∴a＝b，e＝2.
10.中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點(diǎn)F1，F(xiàn)2，且｜F1F2｜＝213，橢圓的長半軸與雙曲線的實(shí)半軸之差為4，離心率之比為3∶7.
（1）求這兩個(gè)曲線的方程；
（2）若P為這兩個(gè)曲線的一個(gè)交點(diǎn)，求cs∠F1PF2的值.
解：（1）由已知c＝13，設(shè)橢圓的長半軸長、短半軸長分別為a，b，雙曲線的實(shí)半軸長、虛半軸長分別為m，n.則a－m=4，7·13a=3·13m，
解得a＝7，m＝3，所以b＝6，n＝2.所以橢圓的方程為x249＋y236＝1，雙曲線的方程為x29－y24＝1.
（2）不妨設(shè)F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)，P是第一象限的一個(gè)交點(diǎn)，
則｜PF1｜＋｜PF2｜＝14，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，
所以｜PF1｜＝10，｜PF2｜＝4，
又｜F1F2｜＝213，
所以cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2?|F1F2｜22｜PF1｜·｜PF2｜＝102＋42?(213）22×10×4＝45.
11.如圖為陜西博物館收藏的國寶——唐·金筐寶鈿團(tuán)花紋金杯，杯身曲線內(nèi)收，玲瓏嬌美，巧奪天工，是唐代金銀細(xì)作的典范之作.該杯的主體部分可以近似看作是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支與y軸及平行于x軸的兩條直線圍成的曲邊四邊形ABMN繞y軸旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體，若該金杯主體部分的上口外直徑為1033，下底座外直徑為2393，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，則杯身最細(xì)之處的周長為（ ）
A.22π B.3π
C.23π D.4π
解析：C 該金杯主體部分的上口外直徑為1033，下底座外直徑為2393，且杯身最細(xì)之處到上杯口的距離是到下底座距離的2倍，可設(shè)M（533，2m），N（393，－m），代入雙曲線方程可得253a2－4m2b2＝1，133a2－m2b2＝1，即2512a2－m2b2＝14，133a2－m2b2＝1，作差可得2712a2＝34，解得a2＝3，a＝3，所以杯身最細(xì)處的周長為23π.故選C.
12.（多選）雙曲線C：x24－y22＝1的右焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在雙曲線C的一條漸近線上，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列說法正確的是（ ）
A.雙曲線C的離心率為62
B.雙曲線y24－x28＝1與雙曲線C的漸近線相同
C.若PO⊥PF，則△PFO的面積為2
D.｜PF｜的最小值為2
解析：ABC 因?yàn)閍＝2，b＝2，所以c＝a2＋b2＝6，所以e＝ca＝62，故A正確；雙曲線y24－x28＝1的漸近線方程為y＝±22x，雙曲線C的漸近線方程為y＝±22x，故B正確；因?yàn)镻O⊥PF，點(diǎn)F（6，0）到漸近線2x－2y＝0的距離d＝｜2×6｜6＝2，所以｜PF｜＝2，所以｜PO｜＝（6）2?(2）2＝2，所以△PFO的面積為12×2×2＝2，故C正確；｜PF｜的最小值即為點(diǎn)F到漸近線的距離，即｜PF｜min＝2，故D不正確.
13.已知雙曲線x216－y24＝1的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2.
（1）若點(diǎn)M在雙曲線上，且MF1·MF2＝0，求點(diǎn)M到x軸的距離；
（2）若雙曲線C與已知雙曲線有相同的焦點(diǎn)，且過點(diǎn)（32，2），求雙曲線C的方程.
解：（1）不妨設(shè)M在雙曲線的右支上，M點(diǎn)到x軸的距離為h，
∵M(jìn)F1·MF2＝0，∴MF1⊥MF2.
設(shè)｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，
由雙曲線的定義知m－n＝2a＝8. ①
在Rt△F1MF2中，由勾股定理得m2＋n2＝（2c）2＝80， ②
由①②得m·n＝8.
∵S△MF1F2＝12mn＝4＝12×2ch，∴h＝255.
即點(diǎn)M到x軸的距離為255.
（2）設(shè)雙曲線C的方程為x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵雙曲線C過點(diǎn)（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，
解得λ＝4或λ＝－14（舍去），
∴雙曲線C的方程為x212－y28＝1.
14.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線右支上且不與頂點(diǎn)重合，過F2作∠F1PF2的平分線的垂線，垂足為A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若｜OA｜＝2b，則該雙曲線的離心率為 62 .
解析：如圖，記直線F2A交PF1于點(diǎn)Q，因?yàn)镻A是∠F1PF2的平分線，所以｜AQ｜＝｜AF2｜，｜PQ｜＝｜PF2｜.又O是F1F2的中點(diǎn)，所以QF1∥AO，且｜QF1｜＝2｜OA｜＝22b.由雙曲線的定義，知2a＝｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PF1｜－｜PQ｜＝｜QF1｜，所以2a＝22b，即a＝2b，a2＝2b2＝2（c2－a2），即3a2＝2c2，所以該雙曲線的離心率e＝ca＝62.
15.已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點(diǎn)為F（c，0）.
（1）若雙曲線的一條漸近線方程為y＝x且c＝2，求雙曲線的方程；
（2）以原點(diǎn)O為圓心，c為半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)為A，過A作圓的切線，斜率為－3，求雙曲線的離心率.
解：（1）因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為y＝±bax，所以a＝b，所以c2＝a2＋b2＝2a2＝4，所以a2＝b2＝2，
所以雙曲線方程為x22－y22＝1.
（2）設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x0，y0），所以直線AO的斜率滿足y0x0·（－3）＝－1，所以x0＝3y0， ①
依題意，圓的方程為x2＋y2＝c2，
將①代入圓的方程得3y02＋y02＝c2，
即y0＝12c，所以x0＝32c，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（32c，12c），
代入雙曲線方程得34c2a2－14c2b2＝1，
即34b2c2－14a2c2＝a2b2， ②
又因?yàn)閍2＋b2＝c2，
所以將b2＝c2－a2代入②式，整理得34c4－2a2c2＋a4＝0，所以3（ca）4－8（ca）2＋4＝0，所以（3e2－2）（e2－2）＝0，
因?yàn)閑＞1，所以e＝2。
雙曲線的定義及應(yīng)用
雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程
雙曲線的幾何性質(zhì)

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