一、選擇題(每題2 分,共16 分)
1.如圖,△ABC 的邊 BC 的垂直平分線分別交邊AB,BC 于點 D,E,且AB=9,AC=6,則△ACD 的周長是 ( )
A.10.5 B.12 C.15 D.18
2.如圖,在△ABC中,D,E,F 三點分別在邊 AB,BC,AC上,且四邊形 BEFD 是以DE 為對稱軸的軸對稱圖形，四邊形 CFDE 是以 FE 為對稱軸的軸對稱圖形.若∠C=40°，則∠DFE 的度數(shù)為 ( )
A. 65° B. 70° C.75° D. 80°
3.給出下列四個命題：① 兩邊及其中一邊上的中線對應(yīng)相等的兩個三角形全等；②兩邊及其中一邊上的高對應(yīng)相等的兩個三角形全等；③兩邊及一角對應(yīng)相等的兩個三角形全等；④有兩角及其中一角的平分線對應(yīng)相等的兩個三角形全等.其中真命題的個數(shù)是 ( )
A.1 C.3 B.3 D.4
4.如圖,等邊三角形 ABC 與正方形 DEFG 重疊,其中 D,E 兩點分別在邊AB,BC 上,且 BD=BE.若AB=6,DE=2,則△EFC 的面積為 ( )
A.1 B.2 C.3 D.4
5.如圖,在 Rt△ABC中,AB=9,BC=6,∠B=90°.將△ABC 折疊,使點A與BC 的中點 D 重合,折痕為 MN,則 BN 的長是 ( )
A.4 B. 2 C.6 D. 5
6.如圖,在△ABC 中,AB=BC,∠ABC=120°,E是邊 AC 上一點,連接 BE 并延長至點D,連接DC.若∠BCD=120°,AB=2DC,AE=7,則CE 的長為 ( )
A.2 B.3 C. 72 D. 73
7.如圖,CE 是△ABC 的角平分線,過點 E 作 EF∥BC,分別交 AC 及△ABC的外角∠ACD 的平分線于點M,F.若CM=3,則( CE2+CF2的值為 ( )
A.36 B. 9 C.6 D.18
8.如圖,BD 是△ABC的外角∠ABP的平分線,AD=CD,DE⊥BP 于點 E.若AB=5,BC=3,則BE 的長是 ( )
A.2 B.1.5 C.1 D.0.5
二、填空題(每題2分，共20分)
9.如圖,已知 OM=ON.若可用“SSS”證明△CMO≌△CNO,則需要添加的條件是 .
10.如圖,在 Rt△ABC 中,CD 是斜邊 AB上的中線,∠A=20°,則∠BCD= .
11.如圖,在△ABC 中,AC=BC,∠B=38°,D 是邊AB 上一點,點 B 關(guān)于直線CD的對稱點為 B',則當(dāng) B'D∥AC時,∠BCD 的度數(shù)為 .
12.如圖,AB=CD,線段 AC 的垂直平分線與線段BD 的垂直平分線相交于點 E,連接 BE,DE.若∠CDE=65°,則∠ABE 的度數(shù)為 .
13.如圖,在等邊三角形ABC中,點 D,E 分別在邊 BC,AB 上,且DE∥AC,過點 E 作EF⊥DE,交CB 的延長線于點 F.若 BD=5，則以 EF 為邊的正方形的面積為 .
14.2002年8月，在北京召開的國際數(shù)學(xué)家大會會標取材于我國古代數(shù)學(xué)家趙爽的《勾股圓方圖》，它是由四個全等的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形(如圖①)，且大正方形的面積是 15，小正方形的面積是3，直角三角形的較短直角邊長為a，較長直角邊長為 b.如果將四個全等的直角三角形按如圖②的形式擺放，那么圖②中最大的正方形的面積為 .
15.如圖,已知∠AOB=45°,點P 在∠AOB 內(nèi)部,點 P?與點 P 關(guān)于 OA 對稱,點 P?與點 P 關(guān)于OB 對稱,連接 P?P?,分別交 OA,OB 于點 E,F.若 P1E=12,P1P2=2,則 EF 的長為 .
16.如圖，在長方形 ABCDAD=32AB的對稱軸l 上找一點 P，使得△PAB,△PBC 均為等腰三角形,則滿足條件的點 P 有 個.
17.如圖,OA⊥OM,OA=4,B為射線OM上的一個動點,分別以O(shè)B,AB 為直角邊,B為直角頂點,在OM 兩側(cè)作等腰直角三角形OBF 和等腰直角三角形ABE，連接EF 交OM 于點 P，則當(dāng)點 B在射線OM上運動時，BP 的長是 .
18.如圖,在等邊三角形ABC中,高 AD=10,E 是線段AD上一動點.現(xiàn)有一動點 P 沿著折線A—E—C運動，在AE上的速度是每秒4 個單位長度，在 EC上的速度是每秒2個單位長度，則點 P 從點A 運動到點C 至少需 s.
三、解答題(共64分)
19.(4分)如圖,點 E,F 在線段 BC 上,AB∥CD,∠A=∠D,BE=CF.求證:AE=DF.
20.(4分)如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,點 E 在 AC 的延長線上,ED⊥AB 于點 D.若 BC=ED,求證:CE=DB.
21.(6分)如圖,在直角三角形 ABC 中,∠C=90°.G
(1)作∠ABC 的平分線 BD交 AC 于點 D,過點 D 作 AB 的垂線交 AB 于點E;(要求:尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法)
(2)若△ADE 的周長為 10,BC=4,求△ABC 的周長.
22.(4分)如圖,△ABC的外角∠ABD 的平分線與∠ACB 的平分線交于點O,直線 MN 經(jīng)過點O,分別交 AB,AC 于點M,N,且MN∥BC.求證:MN=CN-BM.
23.(6分)如圖,在等腰三角形ABC 中,AB=AC,BC=5,D為AC 上一點,且BD=4,CD=3.
(1) 求證:BD⊥AC;
(2)求 AB 的長.
C
24.(6分)如圖,在四邊形 ABCD 中,對角線 AC,BD 相交于點 E,且AC⊥BD,作 BF⊥CD,垂足為 F,BF 與AC 相交于點G,∠BGE=∠ADE.
(1) 求證:AD=CD;
(2)若 BH 是△ABE 的中線,AE=2DE,DE=EG,在不添加任何輔助線的情況下,請直接寫出圖中的四個三角形，使寫出的每個三角形的面積都等于△ADE 面積的2 倍.
25.(8分)我們規(guī)定：三角形任意兩邊的“極化值”等于第三邊上的中線與第三邊一半的平方差.如圖①，在 △ABC中,OA 是邊 BC 上的中線,AB 與AC 的“極化值”就等于 OA2?OB2的值，可記為 AB△AC=OA2?OB2.在圖②中,若∠BAC=90°,AB=8,AC=6,OA是邊 BC 上的中線，求下面各式的值：
(1)AB△AC;
(2) OC△OA.
26.(8分)如圖,在△ABC中,AB=AC,D 是BC 的中點,以AC 為腰向外作等腰直角三角形ACE,∠EAC=90°,連接 BE,分別交 AD,AC 于點F,G,連接CF.
(1) 若∠BAC=50°,則∠AEB= ;
(2)求證:∠AEB=∠ACF;
(3)若AB=3,求 EF2+BF2的值.
27.(8分)如圖①,已知AC⊥AB,BD⊥AB,AB=4cm,AC=BD=3cm,點P 在線段AB 上以1cm/s的速度由點 A 向點 B 運動,同時點 Q 在線段BD 上由點 B 向點D運動，當(dāng)其中一點到達終點時，另一點也同時停止運動.設(shè)運動的時間為 t s.
(1)若點 Q 的速度與點 P 的速度相同,則當(dāng)t=1時,△ACP 與△BPQ是否全等?請說明理由,并判斷此時 PC 和 PQ 之間的位置關(guān)系；
(2)如圖②,將原題中的“AC⊥AB,BD⊥AB”改為“∠CAB=∠DBA=60°”,其他條件不變.設(shè)點 Q 的速度為xcm/s,則是否存在滿足題意的 x,使得△ACP 與△BPQ 全等? 若存在,求出相應(yīng)的 x，t 的值；若不存在，請說明理由.
28.(10分)如圖,在△ABC中,CD⊥AB 于點D,且BD:AD:CD=2:3:4,S△ABC=40 cm2.
(1) 求證:△ABC 為等腰三角形;
(2)動點 M 從點 B 出發(fā),以1 cm/s的速度沿線段 BA 向點 A 運動,同時動點 N 從點A 出發(fā),以相同的速度沿線段 AC 向點C 運動.設(shè)點 M 運動的時間為t s.
①若△DMN 的一條邊與BC 平行,求t 的值;
②若 E 是 AC 的中點，問：在點 M 運動的過程中，△MDE 能否成為等腰三角形? 若能，求出t的值；若不能，請說明理由.

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