1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足方程z+1=2i?z，則z所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為( )
A. (25,15)B. (?15,?25)C. (13,23)D. (?23,?13)
2.在△ABC中，D為邊BC的延長線上一點(diǎn)，且BC=3CD，記AB=a，AC=b，則AD=( )
A. ?13a+43bB. ?13a?23bC. 43a?13bD. ?23a+13b
3.已知向量a與b的夾角為π3，且滿足|a|=2，|b|=1，則a在b上的投影向量為( )
A. 1B. 12C. aD. b
4.在△ABC中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若a+ba=2cs2C2，則△ABC是( )
A. 等腰三角形B. 等邊三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
5.△ABC三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知sinB=2sinC，且a= 6，csA=78，則△ABC的面積等于( )
A. 152B. 15C. 2D. 3
6.從裝有若干個大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機(jī)摸出1個球，摸到紅球、白球和黃球的概率分別為12，13，16，從袋中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回，連續(xù)摸3次，則記下的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為( )
A. 536B. 13C. 512D. 12
7.下列說法正確的是( )
A. 空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面
B. 若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面
C. 和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D. 若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
8.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，bcs A=c?12a，點(diǎn)D在AC上，2AD=DC，BD=2，則△ABC的面積的最大值為( )
A. 3 32B. 3C. 4D. 6
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知復(fù)數(shù)z1=1?i，z2=2i，則( )
A. z2是純虛數(shù)
B. z1?z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. 復(fù)數(shù)z1的共軛復(fù)數(shù)為1+i
D. z1z2=2i?2
10.已知事件A，B滿足P(A)=0.2，P(B)=0.6，則( )
A. 事件A與B可能為對立事件B. 若A與B相互獨(dú)立，則P(A?B)=0.48
C. 若A與B互斥，則P(A∪B)=0.8D. 若A與B互斥，則P(AB)=0.12
11.如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，M，N分別為棱C1D1，C1C的中點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是( )
A. 直線AM與BN是平行直線
B. 直線MN與AC所成的角為60°
C. 平面AMB與平面ABCD所成二面角的平面角為45°
D. 平面BMN截正方體所得的截面面積為32
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(2,4),b=(1,0)，若(a?kb)⊥b，則k= ______．
13.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a?ba?c=sinCsinA+sinB，則B= ．
14.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定；兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)甲面試合格的概率為34，乙、丙每人面試合格的概率都是13，且三人面試是否合格互不影響.則恰有一人面試合格的概率______；至少一人簽約的概率______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示．
(1)從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率；
(2)估計測評成績的75%分位數(shù)；
(3)已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生.從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件是否獨(dú)立？請證明你的結(jié)論．
16.(本小題15分)
為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD，并修建兩條小路AC，BD(路的寬度忽略不計)，其中AB= 5千米，AD=2千米，△BCD是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.設(shè)∠BAD=θ，θ∈(π2,π)．
(1)當(dāng)sinθ=2 55時，求：①小路AC的長度；②草坪ABCD的面積；
(2)當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度．
17.(本小題15分)
如圖①，在棱長為2的正方體ABCD?A1B1C1D1木塊中，E是CC1的中點(diǎn)．

(1)要經(jīng)過點(diǎn)A將該木塊鋸開，使截面平行于平面BD1E，在該木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？請在圖①中作圖，寫出畫法，并證明．
(2)求四棱錐E?ABC1D1的體積；
18.(本小題17分)
為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)根據(jù)直方圖，估計這次知識能力測評的平均數(shù)；
(2)用分層隨機(jī)抽樣的方法從[60,70)，[90,100]兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[60,70]的概率；
(3)學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設(shè)三個項目，每個項目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍.已知甲在三個項目中獲勝的概率分別為12,25,p，各項目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是4750，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由．
19.(本小題17分)
如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，AB=3CD，高?= 3，tanA= 32，將它沿對稱軸OO1折疊，使二面角A?OO1?B為直二面角．
(1)證明：AC⊥BO1；
(2)求二面角O?AC?O1的正弦值．
參考答案
1.B
2.A
3.D
4.C
5.A
6.C
7.D
8.A
9.AC
10.BC
11.BC
12.2
13.π3
14.49 79
15.解：(1)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：
(0.02+0.04+0.02)×10=0.8，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為1?0.8=0.2，
所以從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計其分?jǐn)?shù)小于60的概率為0.2；
(2)由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為0.4，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為0.8，
則測試成績的75%分位數(shù)落在區(qū)間[70,80)上，
估計測評成績的75%分位數(shù)為：70+10×；
(3)“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件不獨(dú)立．
證明：由已知可得分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，1名女生，
30分到40分的學(xué)生有3人，其中2名男生，1名女生，
設(shè)“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”為事件A，“抽到的學(xué)生是男生”為事件B，
則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為PA=25，
從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生是男生”的概率為PB=35，
則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”且“抽到的學(xué)生是男生”的概率為PAB=15，
則有P(AB)≠P(A)P(B)，
則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件不獨(dú)立．
16.解：(1)由sinθ=2 55，θ∈(π2,π)，故csθ=? 1?(2 55)2=? 55，
由余弦定理可得BD2=AB2+AD2?2AB?ADcsθ=5+4+4= 13，
即BD=CD= 13，由正弦定理可得ABsin∠ADB=BDsinθ，
即sin∠ADB=ABBD?sinθ= 5 13×2 55=2 1313，
則cs∠ADC=cs(π2+∠ADB)=?sin∠ADB=?2 1313，
故有AC2=AD2+CD2?2AD?CDcs∠ADC=4+13?2×2× 13×(?2 1313)=25，
故AC=5，
S草坪ABCD=S△ABD+S△BCD=12AB?ADsinθ+12BD2=12× 5×2×2 55+12×( 13)2=172；
(2)S△ABD=12AB?ADsinθ= 5sinθ，
BD2=AB2+AD2?2AB?ADcsθ=5+4?4 5csθ=9?4 5csθ，
故S△BCD=12BD2=92?2 5csθ，
則S草坪ABCD=S△ABD+S△BCD= 5sinθ+92?2 5csθ=5sin(θ?φ)+92，
其中sinφ=2 55，φ∈(0,π2)，則當(dāng)θ?φ=π2，
即csθ=cs(φ+π2)=?sinφ=?2 55時，草坪ABCD的面積最大，
此時BD2=9?4 5×(?2 55)=17，
即此時小路BD的長度為 17．
17.解：(1)取棱DD1的中點(diǎn)F，連接AF、CF、AC，則FC，F(xiàn)A，CA就是所求作的線．

證明如下：在正方體ABCD?A1B1C1D1中，
∵E是CC1的中點(diǎn)，F(xiàn)為DD1的中點(diǎn)，則EC//D1F，且EC=D1F，
于是得四邊形CED1F是平行四邊形，有D1E//CF，而D1E?平面BD1E，CF?平面BD1E，
因此CF/?/平面BD1E.
連接EF，可得EF/?/CD/?/AB，且EF=CD=AB，得四邊形ABEF為平行四邊形，則AF/?/BE，
又BE?平面BD1E，AF?平面BD1E，于是有AF//平面BD1E，
而CF∩AF=F，CF，AF?平面AFC，從而得平面AFC//平面BD1E.
(2)在正方體ABCD?A1B1C1D1中，連接CB1，交BC1于O，可得CO⊥平面ABC1D1，
∵E是CC1的中點(diǎn)，∴E到平面ABC1D1的距離等于12CO= 22，
又四邊形ABC1D1的面積S=2×2 2=4 2，
∴四棱錐E?ABC1D1的體積V=13×4 2× 22=43．
18.(1)解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計算公式，估計這次知識能力測評的平均數(shù)：
x?=(65×0.01+75×0.015+85×0.045+95×0.03)×10=84.5分．
(2)解：由頻率分布直方圖，可得[60,70)的頻率為0.1，[90,100]的頻率為0.3，
所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從[60,70)，[90,100]兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，
可得從[60,70)抽取1人，即為a，從[90,100]中抽取3人，即為1，2，3，
從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有(a,1)，(a,2)，(a,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，(1,a)，(2,a)，(3,a)，(2,1)，(3,1)，(3,2)，共有12個基本事件；
其中第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間[60,70]的有：(1,a)，(2,a)，(3,a)，共有3個，
所以概率為P=312=14．
(3)解：甲最終獲勝的可能性大．
理由如下：由題意，甲至少得(1分)的概率是4750，
可得1?(1?12)(1?25)(1?p)=4750，其中0≤p≤1，解得p=45，
則甲的(2分)或(3分)的概率為：P=12×25×(1?45)+12×(1?25)×45+(1?12)×25×45+12×25×45=35，
所以乙得分為(2分)或(3分)的概率為25，
因?yàn)?5>25，所以甲最終獲勝的可能性更大．
19.證明：(1)由題知OA⊥OO1，OB⊥OO1，
所以∠AOB是所折成的直二面角的平面角，即OA⊥OB，
因?yàn)镺O1∩OB=O，
所以AO⊥平面OBCO1，
所以O(shè)C是AC在平面OBCO1內(nèi)的射影，
在四邊形ABCD是等腰梯形中，AB=3CD，高?= 3，tanA= 32，
得AB=6，CD=2，OO1= 3，
在Rt△OO1B和Rt△OO1C中，tan∠OO1B=OBOO1=3 3= 3，tan∠O1OC=O1COO1=1 3= 33，
所以∠OO1B=60°，∠O1OC=30°，
所以O(shè)C⊥BO1，
因?yàn)锳O⊥平面OBCO1，BO1?平面OBCO1，
所以AO⊥BO1，
因?yàn)锳O∩OC=O，
所以BO1⊥平面AOC，
因?yàn)锳C?平面AOC，
所以AC⊥BO1；
解：(2)由(1)知AC⊥BO1，OC⊥BO1，所以BO1⊥平面AOC，
設(shè)OC∩O1B=E，過點(diǎn)E作EF⊥AC于點(diǎn)F，連接O1F，
因?yàn)镋F∩O1B=E，
所以AC⊥平面O1EF，
因?yàn)镺1F?平面O1EF，
所以O(shè)1F⊥AC，
所以∠O1FE是二面角O?AC?O1的平面角，
由(1)知得，AB=3CD，高?= 3，tanA= 32，
得AB=6，CD=2，
所以O(shè)A=3，OO1= 3，O1C=1，
所以O(shè)1A=2 3，AC= 13，
因?yàn)槠矫鍭OO1D⊥平面BOO1C，平面AOO1D∩平面BOO1C=OO1，OO1⊥CO1，
所以CO1⊥平面AOO1D，
因?yàn)锳O1?平面AOO1D，
所以CO1⊥AO1，
所以O(shè)1F=O1A?O1CAC=2 3 13，
又O1E=OO1?sin30°= 32，
所以sin∠O1FE=O1EO1F= 134，
所以二面角O?AC?O1的正弦值為 134．

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