1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z滿足方程，則z所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為( )
A. B. C. D.
2.在中，D為邊BC的延長線上一點(diǎn)，且，記，，則( )
A. B. C. D.
3.已知向量與的夾角為，且滿足，，則在上的投影向量為( )
A. 1B. C. D.
4.在中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，若，則是( )
A. 等腰三角形B. 等邊三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形
5.三個內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a、b、c，已知，且，，則的面積等于( )
A. B. C. 2D. 3
6.從裝有若干個大小相同的紅球、白球和黃球的袋中隨機(jī)摸出1個球，摸到紅球、白球和黃球的概率分別為，，，從袋中隨機(jī)摸出一個球，記下顏色后放回，連續(xù)摸3次，則記下的顏色中有紅有白但沒有黃的概率為( )
A. B. C. D.
7.下列說法正確的是( )
A. 空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、垂直和異面
B. 若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面
C. 和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線
D. 若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面
8.在中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，，點(diǎn)D在AC上，，，則的面積的最大值為( )
A. B. C. 4D. 6
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯的得0分。
9.已知復(fù)數(shù)，，則( )
A. 是純虛數(shù)
B. 在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限
C. 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為
D.
10.已知事件A，B滿足，，則( )
A. 事件A與B可能為對立事件B. 若A與B相互獨(dú)立，則
C. 若A與B互斥，則D. 若A與B互斥，則
11.如圖所示，在棱長為2的正方體中，M，N分別為棱，的中點(diǎn).則下列結(jié)論正確的是( )
A. 直線AM與BN是平行直線
B. 直線MN與AC所成的角為
C. 平面AMB與平面ABCD所成二面角的平面角為
D. 平面BMN截正方體所得的截面面積為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量，若，則______.
13.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，則__________.
14.甲、乙、丙三人參加一家公司的招聘面試，面試合格者可正式簽約.甲表示只要面試合格就簽約，乙、丙則約定；兩人面試都合格就一同簽約，否則兩人都不簽約，設(shè)甲面試合格的概率為，乙、丙每人面試合格的概率都是，且三人面試是否合格互不影響.則恰有一人面試合格的概率______；至少一人簽約的概率______.
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.本小題13分
某高中高一500名學(xué)生參加某次測評，根據(jù)男女學(xué)生人數(shù)比例，使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成7組：…，，并整理得到頻率分布直方圖如圖所示.
從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率；
估計(jì)測評成績的分位數(shù)；
已知樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生有5人，其中3名男生；分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生.從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件是否獨(dú)立？請證明你的結(jié)論.
16.本小題15分
為了美化環(huán)境，某公園欲將一塊空地規(guī)劃建成休閑草坪，休閑草坪的形狀為如圖所示的四邊形ABCD，并修建兩條小路AC，路的寬度忽略不計(jì)，其中千米，千米，是以D為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形.設(shè)，
當(dāng)時，求：①小路AC的長度；②草坪ABCD的面積；
當(dāng)草坪ABCD的面積最大時，求此時小路BD的長度.
17.本小題15分
如圖①，在棱長為2的正方體木塊中，E是的中點(diǎn).
要經(jīng)過點(diǎn)A將該木塊鋸開，使截面平行于平面，在該木塊的表面應(yīng)該怎樣畫線？請?jiān)趫D①中作圖，寫出畫法，并證明.
求四棱錐的體積；
18.本小題17分
為迎接第二屆湖南旅發(fā)大會，郴州某校舉辦“走遍五大洲，最美有郴州”知識能力測評，共有1000名學(xué)生參加，隨機(jī)抽取了100名學(xué)生，記錄他們的分?jǐn)?shù)，將數(shù)據(jù)分成4組：并整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)直方圖，估計(jì)這次知識能力測評的平均數(shù)；
用分層隨機(jī)抽樣的方法從兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，再從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，求第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的概率；
學(xué)校決定從知識能力測評中抽出成績最好的兩個同學(xué)甲乙進(jìn)行現(xiàn)場知識搶答賽，比賽共設(shè)三個項(xiàng)目，每個項(xiàng)目勝方得1分，負(fù)方得0分，沒有平局.三個項(xiàng)目比賽結(jié)束后，總得分高的人獲得冠軍.已知甲在三個項(xiàng)目中獲勝的概率分別為，各項(xiàng)目的比賽結(jié)果相互獨(dú)立，甲至少得1分的概率是，甲乙兩人誰獲得最終勝利的可能性大？并說明理由.
19.本小題17分
如圖，已知四邊形ABCD是等腰梯形，，高，，將它沿對稱軸折疊，使二面角為直二面角．
證明：；
求二面角的正弦值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：由已知，，解得，
則z所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)為
故選：
化簡復(fù)數(shù)z，進(jìn)而可得z所對應(yīng)的向量的坐標(biāo)．
本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
2.【答案】A
【解析】解：為邊BC的延長線上一點(diǎn)，且，記，，
故選：
根據(jù)已知條件，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算，即可求解．
本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．
3.【答案】D
【解析】解：向量與的夾角為，且滿足，，
則向量在上的投影為，向量在上的投影向量為
故選：
利用向量投影的公式求解．
本題主要考查投影向量的公式，屬于基礎(chǔ)題．
4.【答案】C
【解析】解：在中，若，
整理得：，
所以，
整理得：，
利用正弦定理：，
所以，
由于A、，
所以，
，
故
故為直角三角形．
故選：
直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的值，正弦定理的應(yīng)用求出結(jié)果．
本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，三角函數(shù)的值，正弦定理的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于中檔題．
5.【答案】A
【解析】解：，
所以：，
所以：，
整理得：，
解得：
所以
則：
故選：
利用余弦定理和三角形的面積公式求出結(jié)果．
本題考查的知識要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理和余弦定理及三角形面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
6.【答案】C
【解析】【分析】
本題考查n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A恰好發(fā)生k次的概率計(jì)算公式，屬于中檔題.
解題時要認(rèn)真審題，記下的顏色中有紅有白但沒有黃的情況有兩種：2紅1白，1紅2白，由此能求出所求概率．
【解答】
解：記下的顏色中有紅有白但沒有黃的情況有兩種：2紅1白，1紅2白，
則所求概率：
故選：
7.【答案】D
【解析】解：對于A，空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面，故A錯誤；
對于B，若空間中兩直線沒有公共點(diǎn)，則這兩直線異面或平行，故B錯誤；
對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線，故C錯誤；
對于D，如圖，在長方體中，
當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時，a與b相交，
當(dāng)所在直線為a，所在直線為b時，a與b異面，
若兩直線分別是正方體的相鄰兩個面的對角線所在的直線，則這兩直線可能相交，也可能異面，故D正確．
故選：
對于A，空間中兩直線的位置關(guān)系有三種：平行、相交和異面；對于B，這兩直線異面或平行；對于C，和兩條異面直線都相交的兩直線是異面直線或相交直線；對于D，以長方體為載體進(jìn)行判斷求解．
本題考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間思維能力，是中檔題．
8.【答案】A
【解析】解：在中，，
由正弦定理可得，可得，
即，
由于，
所以，由，可得，
設(shè)，則，，
在，，中分別利用余弦定理，可得，，，
由于，可得，
再根據(jù)，可得，
所以，根據(jù)基本不等式可得，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時等號成立，
所以的面積
故選：
由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡已知等式可得，結(jié)合，可求，結(jié)合范圍，可得，設(shè)，則，，在，，中分別利用余弦定理，由，可得，再根據(jù)，可得，可得，根據(jù)基本不等式可得，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解．
本題主要考查了正弦定理，余弦定理，以及三角形的面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了三角函數(shù)恒等變換以及基本不等式的應(yīng)用，考查了化歸和轉(zhuǎn)化思想，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算以及邏輯推理能力，屬于中檔題．
9.【答案】AC
【解析】解：對于A，是純虛數(shù)，故A正確；
對于B，，對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第四象限，故B錯誤；
對于C，復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為，故C正確；
對于D，，故D錯誤．
故選：
對于A，根據(jù)純虛數(shù)的定義即可判斷；
對于B，先計(jì)算，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷；
對于C，根據(jù)復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)的定義即可判斷；
對于D，根據(jù)乘法法則計(jì)算后即可判斷．
本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，純虛數(shù)的定義，復(fù)數(shù)的幾何意義，以及共軛分?jǐn)?shù)復(fù)數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題．
10.【答案】BC
【解析】解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：
對于A，，，，則事件A與B不可能為對立事件，A錯誤；
對于B，若A與B相互獨(dú)立，則，B正確；
對于C，若A與B互斥，則，C正確；
對于D，若A與B互斥，則，D錯誤．
故選：
根據(jù)題意，由對立事件的定義分析A，由相互獨(dú)立事件的性質(zhì)分析B，由互斥事件的定義分析C和D，綜合可得答案．
本題考查互斥事件、相互獨(dú)立事件的性質(zhì)，涉及概率的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．
11.【答案】BC
【解析】解：對于A，由圖可知直線AM，BN異面，故A錯誤；
對于B，連接，，則直線MN與AC所成角為或其補(bǔ)角，
為等邊三角形，，
直線MN與AC所成角為，故B對；
對于C，分別取AB，CD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，連接ME，MF，EF，
四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點(diǎn)，
，且，
，四邊形AEFD為矩形，
，且，同理可證，且，
平面ABCD，則平在ABCD，
平面ABCD，則，
平面AMB與平面ABCD所成二面角的平面角為，
平面ABCD，平面ABCD，，
，為等腰直角三角形，，
平面AMB與平面ABCD所成二面角的平面角為，故C正確；
對于D，由題意知，同理，，
，且，則四邊形為等腰梯形，
分別過點(diǎn)M，N在平面內(nèi)作，，垂足分別為P，Q，
，，，
，，
，，，則四邊形MNQP為矩形，
，，
，
由A選項(xiàng)得平面BMN截正方體所得的截面為梯形，
故截面面積為，故D錯誤．
故選：
根據(jù)圖形可直接判斷A選項(xiàng)；利用異面直線所成角的定義可判斷B選項(xiàng)；利用二面角的定義可判斷C選項(xiàng)；計(jì)算出梯形的面積，可判斷D選項(xiàng)．
本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系、異面直線所成角、二面角的定義及求法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題．
12.【答案】2
【解析】解：已知向量，若，
則
故答案為：
根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算與垂直關(guān)系的坐標(biāo)表示求解即可．
本題考查了平面向量數(shù)量積的運(yùn)算，屬中檔題．
13.【答案】
【解析】【分析】
利用正弦定理，結(jié)合余弦定理，轉(zhuǎn)化求解即可．
本題考查三角形的解法，正弦定理以及余弦定理的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．
【解答】
解：在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知，
可得，可得，
可得，因?yàn)锽是三角形內(nèi)角，所以
故答案為：
14.【答案】
【解析】解：由題意，恰有一個人面試合格的概率為：
，
甲簽約，乙、丙沒有簽約的概率為，
甲未簽約，乙、丙都簽約的概率為，
甲乙丙三人都簽約的概率為，
所以至少一人簽約的概率為
故答案為：；
利用互斥事件的概率加法和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，求得恰有一人面試合格的概率，在分別求得甲簽約，乙、丙沒有簽約、甲未簽約，乙、丙都簽約和甲乙丙三人都簽約的概率，即可求得至少一人簽約的概率．
本題主要考查了獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．
15.【答案】解：由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)不小于60的頻率為：
，則分?jǐn)?shù)小于60的頻率為，
所以從總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，估計(jì)其分?jǐn)?shù)小于60的概率為；
由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)小于70的頻率為，分?jǐn)?shù)小于80的頻率為，
則測試成績的分位數(shù)落在區(qū)間上，
估計(jì)測評成績的分位數(shù)為：；
“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件不獨(dú)立．
證明：由已知可得分?jǐn)?shù)小于30的學(xué)生有2人，其中1名男生，1名女生，
30分到40分的學(xué)生有3人，其中2名男生，1名女生，
設(shè)“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”為事件A，“抽到的學(xué)生是男生”為事件B，
則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”的概率為，
從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生是男生”的概率為，
則從樣本中分?jǐn)?shù)小于40的學(xué)生中隨機(jī)抽取一人，“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”且“抽到的學(xué)生是男生”的概率為，
則有，
則“抽到的學(xué)生分?jǐn)?shù)小于30”與“抽到的學(xué)生是男生”這兩個事件不獨(dú)立．
【解析】本題考查概率、頻數(shù)、眾數(shù)、分位數(shù)、頻率分布直方圖，相互獨(dú)立事件的概率乘法公式，屬于中檔題．
由對立事件結(jié)合頻率分布直方圖，即可求出分?jǐn)?shù)小于60的頻率，則可得出總體的500名學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，其分?jǐn)?shù)小于60的概率估計(jì)值．
先得出從前到后的頻率之和為是在哪個區(qū)間，再通過頻率求出測評成績的分位數(shù)．
驗(yàn)證獨(dú)立性公式是否成立．
16.【答案】解：由，，故，
由余弦定理可得，
即，由正弦定理可得，
即，
則，
故有，
故，
；
，
，
故，
則，
其中，，則當(dāng)，
即時，草坪ABCD的面積最大，
此時，
即此時小路BD的長度為
【解析】借助余弦定理與正弦定理，結(jié)合面積公式計(jì)算即可得；
借助表示出及后，結(jié)合輔助角公式與余弦定理計(jì)算即可得．
本題考查正弦定理，余弦定理的應(yīng)用，三角形面積公式的應(yīng)用，屬于中檔題．
17.【答案】解：取棱的中點(diǎn)F，連接AF、CF、AC，則FC，F(xiàn)A，CA就是所求作的線．
證明如下：在正方體中，
是的中點(diǎn)，F(xiàn)為的中點(diǎn)，則，且，
于是得四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，
因此平面
連接EF，可得，且，得四邊形ABEF為平行四邊形，則，
又平面，平面，于是有平面，
而，CF，平面AFC，從而得平面平面
在正方體中，連接，交于O，可得平面，
是的中點(diǎn)，到平面的距離等于，
又四邊形的面積，
四棱錐的體積
【解析】取棱的中點(diǎn)F，連接AF、CF、AC，則FC，F(xiàn)A，CA就是所求作的線，再由平面與平面平行的判定證明；
求出E到平面的距離及四邊形的面積，再由棱錐體積公式求解．
本題考查平面與平面平行的判定，考查空間想象能力與思維能力，訓(xùn)練了多面體體積的求法，是中檔題．
18.【答案】解：由頻率分布直方圖，根據(jù)平均數(shù)的計(jì)算公式，估計(jì)這次知識能力測評的平均數(shù)：
分．
解：由頻率分布直方圖，可得的頻率為，的頻率為，
所以用分層隨機(jī)抽樣的方法從兩個區(qū)間共抽取出4名學(xué)生，
可得從抽取1人，即為a，從中抽取3人，即為1，2，3，
從這4名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名依次進(jìn)行交流分享，有，，，，，，，，，，，，共有12個基本事件；
其中第二個交流分享的學(xué)生成績在區(qū)間的有：，，，共有3個，
所以概率為
解：甲最終獲勝的可能性大．
理由如下：由題意，甲至少得分的概率是，
可得，其中，解得，
則甲的分或分的概率為：，
所以乙得分為分或分的概率為，
因?yàn)?，所以甲最終獲勝的可能性更大．
【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的平均數(shù)的計(jì)算公式，即可求解；
根據(jù)分層抽樣的分法，得到從抽取1人，即為a，從中抽取3人，即為1，2，3，利用列舉法求得基本事件的總數(shù)和所有事件中包含的基本事件的個數(shù)，結(jié)合古典摡型的概率計(jì)算公式，即可求解；
根據(jù)題意求得，分別求得甲乙得到分和分的概率，即可得到答案．
本題考查頻率分布直方圖、古典概率、列舉法、相互獨(dú)立事件概率乘法公式等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
19.【答案】證明：由題知，，
所以是所折成的直二面角的平面角，即，
因?yàn)椋?br>所以平面，
所以O(shè)C是AC在平面內(nèi)的射影，
在四邊形ABCD是等腰梯形中，，高，，
得，，，
在和中，，，
所以，，
所以，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以，
因?yàn)椋?br>所以平面AOC，
因?yàn)槠矫鍭OC，
所以；
解：由知，，所以平面AOC，
設(shè)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，
因?yàn)椋?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
所以是二面角的平面角，
由知得，，高，，
得，，
所以，，，
所以，，
因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫?br>所以，
所以，
又，
所以，
所以二面角的正弦值為
【解析】由題意可知是所折成的直二面角的平面角，則平面，得OC是AC在平面內(nèi)的射影，然后由已知的數(shù)據(jù)可求出，，所以得，從而可得結(jié)論；
設(shè)，過點(diǎn)E作于點(diǎn)F，連接，可得是二面角的平面角，然后結(jié)合已知數(shù)據(jù)在中求解即可．
本題考查了線線垂直的證明和二面角的計(jì)算，屬于中檔題．

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[數(shù)學(xué)]2023～2024學(xué)年福建福州晉安區(qū)福建省福州鼓山中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(原題版+解析版)：

這是一份[數(shù)學(xué)]2023～2024學(xué)年福建福州晉安區(qū)福建省福州鼓山中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷(原題版+解析版)，文件包含數(shù)學(xué)2023～2024學(xué)年福建福州晉安區(qū)福建省福州鼓山中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷解析版pdf、數(shù)學(xué)2023～2024學(xué)年福建福州晉安區(qū)福建省福州鼓山中學(xué)高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷原題版pdf等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共12頁， 歡迎下載使用。

2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓山中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案）：

這是一份2023-2024學(xué)年福建省福州市鼓山中學(xué)高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含答案），共9頁。試卷主要包含了單選題，多選題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版）：

這是一份福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（原卷版+解析版），文件包含福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷原卷版docx、福建省福州市鼓山中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷解析版docx等2份試卷配套教學(xué)資源，其中試卷共20頁， 歡迎下載使用。

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