25平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練—2024屆藝術(shù)班高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)（文字版含答案）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

A．e1＝(0，0)，e2＝(1，2)
B．e1＝(－1，2)，e2＝(5，7)
C．e1＝(3，5)，e2＝(6，10)
D．e1＝(2，－3)，e2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，－\f(3,4)))
解析：選B A選項(xiàng)中，零向量與任意向量都共線(xiàn)，故其不可以作為基底；B選項(xiàng)中，不存在實(shí)數(shù)λ，使得e1＝λe2，故兩向量不共線(xiàn)，故其可以作為基底；C選項(xiàng)中，e2＝2e1，兩向量共線(xiàn)，故其不可以作為基底；D選項(xiàng)中，e1＝4e2，兩向量共線(xiàn)，故其不可以作為基底．故選B．
2．(2023·聊城模擬)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，若a∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c))，則m＝( )
A．eq \f(1,2) B．2
C．－1 D．－2
解析：選A 因?yàn)閍＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，m))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))，c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))，
所以b＋c＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－1，1))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，0))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，1))，
又a∥eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(b＋c))，所以1×1＝2m，解得m＝eq \f(1,2)．
3．(2023·華中師大一附中模擬)已知向量a＝(m，3)，b＝(1，m)，若a與b反向共線(xiàn)，則|a－eq \r(3)b|的值為( )
A．0B．48
C．4eq \r(3) D．3eq \r(6)
解析：選C 由題意m2＝3，得m＝±eq \r(3)，
又a與b反向共線(xiàn)，故m＝－eq \r(3)，此時(shí)a－eq \r(3)b＝(－2eq \r(3)，6)，故|a－eq \r(3)b|＝4eq \r(3)．
4．已知平面向量a＝(x，1)，b＝(－x，x2)，則向量a＋b( )
A．平行于x軸
B．平行于第一、三象限的角平分線(xiàn)
C．平行于y軸
D．平行于第二、四象限的角平分線(xiàn)
解析：選C 由題意得a＋b＝(x－x，1＋x2)＝(0，1＋x2)，易知a＋b平行于y軸．
5．已知向量a＝(2，4)，b＝(1，n)，若a∥b，則|3a－nb|＝( )
A．4 eq \r(5)B．12
C．8D．eq \r(5)
解析：選A 因?yàn)橄蛄縜＝(2，4)，b＝(1，n)，且a∥b，所以2n＝1×4，解得n＝2，所以3a－nb＝(4，8)，所以|3a－nb|＝4eq \r(5)，故選A．
6．(2023·長(zhǎng)沙一模)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(k，12)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(4，5)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(－k，10)，且A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則k的值是( )
A．－ eq \f(2,3) B．eq \f(4,3)
C．eq \f(1,2)D．eq \f(1,3)
解析：選A eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(4－k，－7)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，∴eq \(AB,\s\up6(→))，eq \(AC,\s\up6(→))共線(xiàn)，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－eq \f(2,3)．
7．(2023·濱州一中月考)某同學(xué)因興趣愛(ài)好，自己繪制了一個(gè)迷宮圖，其圖紙如圖所示，該同學(xué)為讓迷宮圖更加美觀(guān)，在繪制過(guò)程中，按單位長(zhǎng)度給迷宮圖標(biāo)記了刻度，該同學(xué)發(fā)現(xiàn)圖中A，B，C三點(diǎn)恰好共線(xiàn)，則m＝( )
A．7 B．eq \f(22,3)
C．eq \f(23,3) D．8
解析：選C 由圖可知，A(3，3)，B(5，6)，
C(m，10)，
所以eq \(AB,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5－3，6－3))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，3))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5，10－6))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5，4))，
因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))∥eq \(BC,\s\up6(→))，所以3eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(m－5))＝2×4，解得m＝eq \f(23,3)．故選：C．
8．(多選)(2022·徐州聯(lián)考)已知向量eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，－3)，eq \(OB,\s\up6(→))＝(2，－1)，eq \(OC,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m可以是( )
A．－2 B．eq \f(1,2)
C．1 D．－1
解析：選ABD 若A，B，C三點(diǎn)不共線(xiàn)即可構(gòu)成三角形．因?yàn)閑q \(AB,\s\up6(→))＝eq \(OB,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(2，－1)－(1，－3)＝(1，2)，eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \(OC,\s\up6(→))－eq \(OA,\s\up6(→))＝(m＋1，m－2)－(1，－3)＝(m，m＋1)．假設(shè)A，B，C三點(diǎn)共線(xiàn)，則1×(m＋1)－2m＝0，即m＝1．所以只要m≠1，則A，B，C三點(diǎn)即可構(gòu)成三角形，故選ABD．
9．(多選)(2023·石家莊模擬)設(shè)a是已知的平面向量且a≠0，關(guān)于向量a的分解，有如下四個(gè)命題(向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn))，則真命題是( )
A．給定向量b，總存在向量c，使a＝b＋c
B．給定向量b和c，總存在實(shí)數(shù)λ和μ，使a＝λb＋μc
C．給定單位向量b和正數(shù)μ，總存在單位向量c和實(shí)數(shù)λ，使a＝λb＋μ c
D．給定正數(shù)λ和μ，總存在單位向量b和單位向量c，使a＝λb＋μ c
解析：選AB 因?yàn)橄蛄縝，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)，所以b≠0，c≠0，給定向量a和b，只需求得其向量差a－b，即為所求的向量c，故總存在向量c，使a＝b＋c，故A正確；
當(dāng)向量b，c和a在同一平面內(nèi)且兩兩不共線(xiàn)時(shí)，向量{b，c}可作基底，由平面向量基本定理可知a＝λb＋μ c成立，故B正確；
取a＝(4，4)，μ＝2，b＝(1，0)，無(wú)論λ取何值，向量λb都平行于x軸，而向量μ c的模恒等于2，要使a＝λb＋μ c成立，根據(jù)平行四邊形法則，向量μc的縱坐標(biāo)一定為4，故找不到這樣的單位向量c使等式成立，故C錯(cuò)誤；
因?yàn)棣撕挺虨檎龜?shù)，所以λb和μc代表與原向量同向的且有固定長(zhǎng)度的向量，這就使得向量a不一定能用兩個(gè)單位向量的組合表示出來(lái)，故不一定能使a＝λb＋μc成立，故D錯(cuò)誤．故選A、B．
10．線(xiàn)段AB的端點(diǎn)為Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x，5))，Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－2，y))，直線(xiàn)AB上的點(diǎn)Ceq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，1))，使eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，則x＋y＝________．
解析：由已知得eq \(AC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－x，－4))，eq \(BC,\s\up6(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，1－y))，
由eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(AC,\s\up6(→))))＝2eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\(BC,\s\up6(→))))，可得eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))或eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))．
①當(dāng)eq \(AC,\s\up6(→))＝2eq \(BC,\s\up6(→))時(shí)，可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝6，,2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－y))＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝－5，,y＝3，))此時(shí)，x＋y＝－2；
②當(dāng)eq \(AC,\s\up6(→))＝－2eq \(BC,\s\up6(→))時(shí)，
可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(1－x＝－6，,－2（1－y）＝－4，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝7，,y＝－1，))
此時(shí)x＋y＝6．
綜上所述，x＋y＝－2或x＋y＝6．
答案：－2或6
11．已知a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(1，λ)，且c⊥(a＋b)，則λ＝________．
解析：由題意(a＋b)＝(3，1)，又c⊥(a＋b)，則c·(a＋b)＝(1，λ)·(3，1)＝3＋λ＝0，故λ＝－3．
答案：－3
12．(2022·大連適應(yīng)性考試)已知向量a＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)sin x，1))，b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(cs x，－1))．
(1)若a∥b，求tan 2x的值；
(2)若feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋b))·b，當(dāng)x∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))時(shí)，求函數(shù)feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x))的最大值及對(duì)應(yīng)的x值．
解：(1)由題意，向量a＝(eq \r(3)sin x，1)，b＝(cs x，－1)，
因?yàn)閍∥b，所以1×cs x＝－1×(eq \r(3)sin x)，整理得cs x＝－eq \r(3)sin x，顯然cs x≠0，故tan x＝－eq \f(\r(3),3)，所以tan 2x＝eq \f(2tan x,1－tan2x)＝eq \f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)))\s\up12(2))＝eq \f(－\f(2\r(3),3),1－\f(1,3))＝－eq \r(3)．
(2)因?yàn)閒(x)＝(a＋b)·b，
可得f(x)＝eq \r(3)sin xcs x＋cs2x＝eq \f(\r(3),2)sin 2x＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2)＝sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,6)))＋eq \f(1,2)，
因?yàn)閤∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，所以2x＋eq \f(π,6)∈eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(7π,6)))，
當(dāng)2x＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,2)，即x＝eq \f(π,6)時(shí)，函數(shù)取最大值為1＋eq \f(1,2)＝eq \f(3,2)．

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