[數(shù)學(xué)][期末]浙江省寧波市奉化區(qū)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期期末考試試題(解析版)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分. 在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 已知復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】易知的實(shí)部為，虛部為，
由題意可知，則.
故選：B.
2. 兩名男生，一名女生排成一排合影，則女生站在中間的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】?jī)擅猩?，一名女生記為?br>兩名男生，一名女生排成一排可能為：，故總可能數(shù)，
女生站在中間的可能為：，故可能數(shù)，
則女生站在中間的概率.
故選：A.
3. 已知平行四邊形，，，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由，，有，
平行四邊形中，有，即，
故選：D.
4. 已知平面，直線，直線不在平面上，下列說法正確的是（）
A. 若，，則B. 若，，則
C. 若，，則D. 若，，則
【答案】A
【解析】對(duì)于A，若，，則，且，則，故A正確；
對(duì)于B，如圖所示，，，，，此時(shí)，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖所示，，，，，此時(shí)異面，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，如圖所示，，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤.
故選：A．
5. 某射擊初學(xué)者在連續(xù)6次射擊練習(xí)中所得到的環(huán)數(shù)：，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)與中位數(shù)相等，則（）
A. B. C. D. 以上答案均有可能
【答案】D
【解析】這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
若中位數(shù)為，則有，解得；
若中位數(shù)為，則有，解得；
若中位數(shù)為，則有，解得.
故選：D.
6. 在中，，則該三角形外接圓半徑與內(nèi)切圓半徑的比值是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】在中，，
由正弦定理可得，
設(shè)，
由余弦定理得，所以，
則，
所以，則，
所以，
故選：C.
7. 已知正四棱臺(tái)中，，球與上底面以及各側(cè)棱均相切，則該球的表面積為（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)過棱臺(tái)上下底面的中心以及一條側(cè)棱作該棱臺(tái)的軸截面如下圖：
正四棱臺(tái)中，，，，
正四棱臺(tái)的高為，
設(shè)球的半徑為，球與側(cè)棱切于，
則在圖中中，，則，
所以，
在圖中中，，
，解得，
球的表面積為．
故選：B.
8. 已知，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是（）
A. 個(gè)B. 個(gè)C. 個(gè)D. 個(gè)
【答案】C
【解析】若是方程的兩個(gè)虛數(shù)根，所以，
且，則，
，
解得，（滿足），
若是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，
且，則，
當(dāng)時(shí)，，
，
當(dāng)時(shí)，，
，
由可得，
令，由于，所以，
故函數(shù)在單調(diào)遞減，且，
故在無實(shí)數(shù)根，
綜上可得，零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.
故選：C.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分.
9. 下列四個(gè)命題為真命題的是（）
A. 已知平面向量，若，，則
B. 若，，則可作為平面向量的一組基底
C. ，，若，則
D. ，，則在方向上的投影向量為
【答案】BD
【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：例如，可知，，
但不共線，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)B：因?yàn)椋芍还簿€，
所以可作為平面向量的一組基底，故B正確；
對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，解得，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于選項(xiàng)D：若，，則，
所以在方向上的投影向量為，故D正確.
故選：BD.
10. 給出下列說法，其中正確的是（）
A. 數(shù)據(jù)的極差與眾數(shù)之和為
B. 從裝有個(gè)紅球，個(gè)白球的袋中任意摸出個(gè)球，事件“至少有個(gè)紅球”，事件“都是白球”，則事件與事件是對(duì)立事件
C. 甲乙兩人投籃訓(xùn)練，甲每次投中的概率為，乙每次投中的概率為，甲乙兩人投籃互不影響，則甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為
D. 一組不完全相同數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為
【答案】AC
【解析】對(duì)于A，數(shù)據(jù)的極差為，眾數(shù)為，它們的和為，故A正確；
對(duì)于B，事件包括“個(gè)紅球1個(gè)白球”和“3個(gè)紅球”兩個(gè)基本事件，與事件“都是白球”不能同時(shí)發(fā)生，可知事件與事件是互斥事件；
但還有可能出現(xiàn)“1個(gè)紅球2個(gè)白球”的情況，所以事件與事件是互斥但不對(duì)立事件，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，由相互獨(dú)立事件的乘法公式可得甲乙各投籃一次同時(shí)投中的概率為，故C正確；
對(duì)于D，設(shè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
則其方差為，
所以數(shù)據(jù)的平均數(shù)為
；
所以方差為
，
故D錯(cuò)誤.
故選：AC.
11. 在中，，，下列結(jié)論正確的是（）
A. 若，則
B. 若，則
C. 若有兩解，則
D. 若是銳角三角形，則
【答案】ACD
【解析】對(duì)于A，在中，，，，則由余弦定理得
，所以A正確；
對(duì)于B，在中，，，，則由正弦定理得
，，得，
因?yàn)椋?，所以或，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，如圖，過作于，則，
因?yàn)橛袃山?，所以，即，所以C正確；
對(duì)于D，由正弦定理得，，
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，得，
所以，所以，
所以，即，所以D正確.
故選：ACD.
12. 如圖，棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)分別是在線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（）
A. 異面直線與所成角為
B. 平面
C. 三棱錐的體積是定值
D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】正方體中，，，
則四邊形為平行四邊形，有，
異面直線與所成角等于直線與所成角，
正方體中，為等邊三角形，
所以異面直線與所成角為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
正方體中，平面，平面，，
正方形中，有，
平面，，則有平面，
平面，則，
同理，
平面，，所以平面，B選項(xiàng)正確；
，平面，平面，則平面，
點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為定值，
是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，面積為定值，
所以三棱錐的體積是定值，C選項(xiàng)正確；
正方形中，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，也是線段的中點(diǎn)，
以為軸，把和旋轉(zhuǎn)到同一平面內(nèi)，
則的最小值為，
由，，，，
，平面四邊形為矩形，
是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上靠近的四等分點(diǎn)，設(shè)為的中點(diǎn)，
則中，，，
所以，D選項(xiàng)正確.
故選：BCD.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13. 已知，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為____.
【答案】
【解析】由，得，
則，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.
故答案：.
14. 已知圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半徑為的半圓，則該圓錐的體積為____.
【答案】
【解析】設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為2，它的側(cè)面展開圖為半圓，
半圓的弧長(zhǎng)為：，即圓錐的底面周長(zhǎng)為：，
設(shè)圓錐的底面半徑是r，高為，則得到，解得：，
這個(gè)圓錐的底面半徑是1，所以圓錐的高.
所以圓錐的體積為：.
故答案為：.
15. 如圖，相距米的，之間是一條小路（，可看作兩條平行直線），為測(cè)量點(diǎn)到的距離（，在點(diǎn)的同側(cè)），某研究小組在一側(cè)東邊選擇點(diǎn)，作為測(cè)量起始位置，與交于點(diǎn)，從點(diǎn)出發(fā)向西走米到達(dá)，測(cè)得，繼續(xù)向西走米到達(dá)點(diǎn)，與交于點(diǎn)，繼續(xù)向西走米到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得，則___.
【答案】
【解析】由題意知相距米的，之間是一條小路，
所以，，，，
所以，
則，
在中根據(jù)正弦定理知，解得，
由，得到.
故答案為：.
16. 平面內(nèi)的點(diǎn)、直線可以通過平面向量及其運(yùn)算來表示，數(shù)學(xué)中我們經(jīng)常會(huì)用到類比的方法，把平面向量推廣到空間向量，利用空間向量表示空間點(diǎn)、直線、平面等基本元素，經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)，平面向量中的加減法、數(shù)乘與數(shù)量積運(yùn)算法則同樣也適用于空間向量.在四棱錐中，已知是平行四邊形，，且面，則向量在向量方向上的投影向量是____(結(jié)果用表示).
【答案】
【解析】向量在向量方向上的投影向量為，
運(yùn)用運(yùn)用余弦定理求得，
，，
，展開化簡(jiǎn)得到，
，
由于且面，則，
則，
代入，得到.則向量在向量方向上的投影向量為.
故答案為：.
17. 已知平面向量，滿足，且與的夾角為.
（1）求的值；
（2）求與夾角的余弦值.
解：（1）由可得，
即可得.
（2）易知，
所以，
即可得與夾角的余弦值為.
18. 全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽是由中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)主辦的獲得教育部批準(zhǔn)的全國(guó)性賽事，相應(yīng)的賽區(qū)初賽也是該項(xiàng)活動(dòng)的一個(gè)環(huán)節(jié).按照中國(guó)數(shù)學(xué)會(huì)有關(guān)全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽組委會(huì)的精神，以及浙江省科協(xié)的要求，2024年5月19日全國(guó)中學(xué)生奧林匹克數(shù)學(xué)競(jìng)賽浙江賽區(qū)初賽如期舉行.已知某中學(xué)有40人參加此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽（滿分為150分），其取得的成績(jī)繪制成如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求的值及學(xué)生成績(jī)的第75百分位數(shù)；
（2）若按照各組頻率的比例采用分層隨機(jī)抽樣的方法從競(jìng)賽成績(jī)?cè)趦?nèi)的學(xué)生中抽取人參加座談會(huì)，求成績(jī)?yōu)榉值膶W(xué)生甲恰好被抽到的概率.
解：（1）由題意可知，
解得；
易知60分到90分的人數(shù)頻率之和為0.6，60分到100分的人數(shù)頻率之和為0.85.
所以第75百分位數(shù)位于90分到100分之間，且90分到100分之間的頻率為；
估計(jì)第75百分位數(shù).
（2）在的學(xué)生頻率分別為0.1和0.05，則其人數(shù)分別為4和2，
設(shè)在中的4人為，在中的2人為，
令為甲，且其成績(jī)?yōu)?07.
由分層隨機(jī)抽樣可得在分別抽取2人與1人，
則總共有以下12種可能：
，其中學(xué)生甲恰好被抽到的情況共有6種，
所以抽到107分學(xué)生甲的概率.
19. 如圖，已知在正三棱柱中，為棱的中點(diǎn)，.
（1）證明：面；
（2）求直線與平面所成角的正弦值.
解：（1）法一：取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)椋?br>所以四邊形為平行四邊形，所以.
又因?yàn)槠矫妫矫妫?br>所以平面
因?yàn)槠叫星业扔冢?br>所以四邊形為平行四邊形，所以.
又因?yàn)槠矫?，平面?br>所以平面
又因?yàn)槠矫?，平面?
所以平面平面.
因?yàn)槠矫?，所以平?br>法二：連接，記與的交點(diǎn)為，連接.
在中，，
所以為的中位線，所以，
又因?yàn)槠矫妫矫?，所以平?
（2）法一：為等邊三角形，為中點(diǎn)，故⊥，
因?yàn)椤推矫妫矫?，所以⊥?br>因?yàn)椋矫?，?br>所以平面，
又因?yàn)槠矫?，所?
設(shè)，
則，，
由勾股定理得，
故；
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
其中，
又.
所以.
法二：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，連接.
因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?br>所以平面，
因?yàn)槠矫妫裕?br>因?yàn)椋?br>所以≌，所以，
故，故，
又因?yàn)椋矫?，所以平?
所以即直線與平面所成線面角的平面角，
有勾股定理得，
故，
所以.
20. 在直角梯形中，，，，點(diǎn)是邊上的中點(diǎn).
（1）若點(diǎn)滿足，且，求的值；
（2）若點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），求的取值范圍.
解：（1）如下圖所示：
由可得，
所以，
又，可得，
所以.
（2）法1：以點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，為軸建立平面直角坐標(biāo)系，
則，則，
由點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），可令，
所以，則，
所以，
由二次函數(shù)性質(zhì)可得當(dāng)時(shí)取得最小值；
當(dāng)時(shí)取得最大值；
可得.
法2：取中點(diǎn)，作垂足為，如下圖所示：
則
，
顯然當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最大值3，當(dāng)點(diǎn)位于點(diǎn)時(shí)，取到最小值，
可得.
21. 在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且.
（1）請(qǐng)?jiān)谝韵聝蓚€(gè)條件中任選一個(gè)（若兩個(gè)條件都選，則按①的解答過程給分）
① ②，求的面積；
（2）求的最大值.
解：（1）由可得，原式可化為，
利用正弦定理可得，
即，又，
所以，又，可得.
選擇①由利用正弦定理可得，
，解得；
易知，所以.
選擇②原式可化為，可得；
因?yàn)?，所以，所?
因此的面積為.
（2）由正弦定理可知，因此；
可得
；
又可知，
當(dāng)時(shí)，取到最大值1，
即有最大值
22. 如圖，在中，，點(diǎn)滿足，沿將折起形成三棱錐.
（1）若，在面上的射影恰好在上，求二面角平面角的余弦值；
（2）若二面角為直二面角，當(dāng)取到最小值時(shí)，求的值及點(diǎn)到平面的距離.
解：（1）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，如下圖所示：
翻折后仍有，
又因?yàn)椋移矫?，平面，所以平面?br>所以為二面角所成的平面角，
由在面上的射影恰好在上得平面，
所以，
由可知，因?yàn)椋?br>所以；又易知，
所以，可得，所以；
所以，即二面角平面角的余弦值為
（2）過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，如下圖所示，
設(shè)，
由二面角為直二面角可知平面平面，
平面平面，，又平面，平面，
所以平面，又平面，所以，
則有，
可得，又，
所以，；
當(dāng)時(shí)，取到最小值；
.
所以，可得，所以
（注：，，由角平分線定理得也可）
則有，
，解得.
即點(diǎn)到平面的距離為.

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