一、單項選擇題：本題共 8 小題，每小題 5 分，共 40 分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1. 將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是（ ）
A. 圓柱B. 圓臺C. 圓錐D. 棱柱
【答案】C
【解析】將直角三角形繞其一條直角邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周，所得的幾何體是圓錐.
故選：C.
2. 設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，且滿足，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則B. 若，則
C. 若，則D. 若，則
【答案】B
【解析】在正方體中，記平面ABCD為，平面為，
（1）當(dāng)記為n，直線為m，時，可知A錯誤；（2）當(dāng)記為n，直線為m，時，可知C錯誤；（3）記AC為m，為n時，可知D錯誤；
由面面垂直判定定理可知B正確.
故選：B.
3. 一水平放置的平面圖形，用斜二測畫法畫出了它的直觀圖，此直觀圖恰好是一個邊長為1的正方形，則原平面圖形的周長為（ ）
A. B. 8C. 4D.
【答案】B
【解析】直觀圖中，，由此畫出直觀圖對應(yīng)的原圖如下圖所示，
其中，所以，
所以原平面圖形的周長為.
故選：B.
4. 從裝有2個紅球和2個黑球的口袋內(nèi)任取2個球，那么互斥而不對立的兩個事件是（ ）
A. 至少有一個黑球與都是黑球B. 至少有一個黑球與都是紅球
C. 恰有一個黑球與恰有兩個黑球D. 至少有一個黑球與至少有一個紅球
【答案】C
【解析】根據(jù)題意，記2個紅球分別為A、B，2個黑球分別為a，b，
則從這4個球中任取2個球的總基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，ab：
A、都是黑球的基本事件為ab，至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
兩個事件有交事件ab，所以不為互斥事件，故A錯誤；
B、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，都是紅球的基本事件為AB，
兩個事件不僅是互斥事件，也是對立事件，故B錯誤；
C、恰有兩個黑球的基本事件為ab，恰有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，
兩個事件是互斥事件，但不是對立事件，故C正確；
D、至少有一個黑球的基本事件為Aa，Ba，Ab，Bb，ab，
至少有一個紅球的基本事件為AB，Aa，Ba，Ab，Bb，兩個事件不是互斥事件，故D錯誤.
故選：C.
5. 在中，，則的最大內(nèi)角等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正弦定理得，即，
得，因為，所以，即，
所以，，
則的最大內(nèi)角為.
故選：A.
6. 某實驗田種植甲、乙兩種水稻，面積相等的兩塊稻田（種植環(huán)境相同）連續(xù)次的產(chǎn)如下：
則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A. 甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為
B. 乙種水稻產(chǎn)的極差為
C. 甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)等于乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)
D. 甲種水稻產(chǎn)量的方差大于乙種水稻產(chǎn)量的方差
【答案】D
【解析】對于A選項，甲種水稻產(chǎn)量的眾數(shù)為，A對；
對于B選項，乙種水稻產(chǎn)的極差為，B對；
對于C選項，甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，
乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為，C對；
對于D選項，甲種水稻產(chǎn)量的方差為，
乙種水稻產(chǎn)量的方差為，D錯.
故選：D.
7. 在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，則的最大值為（ ）
A. B. C. D. 3
【答案】C
【解析】由余弦定理可知，，
由可得，
化簡可得，
所以，即，
即，
當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，
所以的最大值為.
故選：C.
8. 已知，，函數(shù)，當(dāng)時，f（x）有最小值，則在上的投影向量為（ ）
A. B. C. －D. －
【答案】C
【解析】由題意得，，
，
當(dāng)時，有最小值，
即，
則在上的投影向量為.
故選：C.
二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 已知復(fù)數(shù)，則（ ）
A. 為純虛數(shù)
B. 復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第四象限
C.
D. 滿足的復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為直線
【答案】AD
【解析】對于A：，故為純虛數(shù)，故A正確；
對于B：，其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在軸正半軸上，
故B錯誤；
對于C：，
，故，故C錯誤；
對于D：令，，則由，
可得，即，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的軌跡為軸，故D正確.
故選：AD.
10. 已知中，分別為角的對邊，為的面積，則下列條件能使只有一個解的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】ABD
【解析】由三角形三邊關(guān)系可得：，所以，因為，故，
故A正確；
由，
故，
可得：，由此解得，故三角形唯一，B正確；
對于C：或者，
故三角形不唯一，C錯誤；
對于D：，故，兩邊及其夾角，此三角形唯一，
故D正確.
故選：ABD.
11. 在直三棱柱中，，且，為線段上的動點，則（ ）
A.
B. 三棱錐體積不變
C. 的最小值為
D. 當(dāng)是的中點時，過三點的平面截三棱柱外接球所得的截面面積為
【答案】ABD
【解析】連接，如圖所示，
直三棱柱中，，
為正方形，，
，平面，平面，，
平面，，平面，
平面，，A選項正確；
由直三棱柱的結(jié)構(gòu)特征，，
故三棱錐的體積為定值，B選項正確；
設(shè)，，，
，
，
，
其幾何意義是點和點到點的距離之和，
最小值為點到點的距離，為，C選項錯誤；
當(dāng)是的中點時，，，，
，
，，
，設(shè)點到平面的距離為，由，
得，，
直三棱柱是正方體的一半，外接球的球心為的中點，
外接球的半徑，點到平面的距離為，
則過三點的平面截三棱柱外接球所得截面圓的半徑為
，截面面積為，D選項正確.
故選：ABD.
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 已知復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則____________.
【答案】
【解析】復(fù)數(shù)，所以.
故答案為：.
13. 如圖，在平行四邊形中，和分別是邊和的中點，若，其中，則________.
【答案】
【解析】設(shè)，
因為和分別是邊和的中點，可得，
又因為，所以，
因，所以，所以.
故答案為：.
14. 如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為為圓上的點，，，，分別是以為底邊的等腰三角形.沿虛線剪開后，分別以為折痕折起，，，使得重合，得到一個四棱錐.當(dāng)該四棱錐的側(cè)面積是底面積的2倍時，該四棱錐的外接球的表面積為__________．
【答案】
【解析】如圖：
連接交與點，設(shè)正方形邊長為，，
則，，
則正方形面積為：，四棱錐的側(cè)面積為：，
由題意得，即，解得，畫出折疊后的立體圖形，如圖：
設(shè)重合點為，該四棱錐為正四棱錐，球心應(yīng)在的連線上，設(shè)為，
設(shè)外接球半徑為，則，，，
，，
由勾股定理得，即，
解得，外接球表面積為：.
故答案為：.
四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 已知向量與的夾角，且，．
（1）求，；
（2）求與的夾角的余弦值．
解：（1）由已知，得，
.
（2）設(shè)與的夾角為，則，
因此，與的夾角的余弦值為.
16. 樹立和踐行“綠水青山就是金山銀山，堅持人與自然和諧共生”的理念越來越深入人心，已形成了全民自覺參與，造福百姓的良性循環(huán).據(jù)此，某市推出了關(guān)于生態(tài)文明建設(shè)進(jìn)展情況的調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)表明，環(huán)境治理和保護(hù)問題仍是百姓最為關(guān)心的熱點，現(xiàn)從參與關(guān)注生態(tài)文明建設(shè)的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組[15，25），第2組[25，35），第3組[35，45），第4組[45，55），第5組[55，65），得到的頻率分布直方圖如圖所示
（1）求出a的值；
（2）求這200人年齡的樣本平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間的中點值作代表）和中位數(shù)（精確到小數(shù)點后一位）；
（3）現(xiàn)在要從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，再從這5人中隨機(jī)抽取2人進(jìn)行問卷調(diào)查，求這2人恰好在同一組的概率．
解：（1）由，得.
（2）平均數(shù)為：歲；
設(shè)中位數(shù)為，則，∴歲.
（3）第1，2組的人數(shù)分別為20人，30人，從第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，
則第1，2組抽取的人數(shù)分別為2人，3人，分別記為，，，，，
設(shè)從5人中隨機(jī)抽取2人，為，，，，，，
，，，共10個基本事件，
這2人恰好在同一組的基本事件，，，共4個，
所以.
17. 如圖，在多面體中，平面，，，四邊形是正方形．
（1）求直線與平面所成角的余弦值；
（2）證明：平面；
（3）求平面與平面所成的二面角的平面角的大小.
解：（1）因為平面，平面，所以，
因為為正方形，所以，
又，，平面，所以平面，
故就是直線與平面所成角，
又平面，所以，
因為平面，，所以平面，
平面，所以，所以，
在中 ，所以，
所以，
所以直線與平面所成角的余弦值為.
（2）因為平面，平面，所以，
因為，，所以四邊形為直角梯形，
所以，，
在中，，則，故，
因為平面，平面，所以，
在中，，
在中，，，
所以，又，，平面，
所以平面.
（3）取的中點，連接、，則且，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
又，所以，所以、、、四點共面，
又，，，平面，
所以平面，則平面，平面，
所以，，
所以為平面與平面所成的二面角的平面角，
又，，即為等腰直角三角形，所以，
所以平面與平面所成的二面角的平面角的大小為.
18. 品酒師需定期接受酒味鑒別功能測試.一種通常采用的測試方法如下：拿出瓶外觀相同但品質(zhì)不同的酒讓其品嘗，要求其按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，經(jīng)過一段時間，等其記憶淡忘后，再讓其品嘗這瓶酒，并重新按品質(zhì)優(yōu)劣為它們排序，這稱為一輪測試.根據(jù)一輪測試中的兩次排序偏離程度的高低對其酒味鑒別能力進(jìn)行評價.現(xiàn)設(shè)，分別以表示第一次排序時被排為的三種酒在第二次排序時的序號，并令則是對兩次排序的偏離程度的一種描述.若兩輪測試都有，則該品酒師被授予“特級品酒師”稱號；若兩輪測試都有，且至少有一輪測試出現(xiàn)，則該品酒師被授予“一級品酒師”稱號.
（1）用下列表格形式寫出第二次排序時所有可能的排序結(jié)果，并求出相應(yīng)的值；
（2）甲參加了兩輪測試，兩輪測試結(jié)果相互獨立，記事件“甲被授予一級品酒師稱號”，求；
（3）甲連續(xù)兩年都參加了兩輪測試，兩年測試結(jié)果相互獨立，記事件“在這兩年中甲至少有一次被授予特級品酒師稱號”，求.
解：（1）列舉出第二次排序時所有可能的及相應(yīng)的值列表如下：
（2）由（1）可知，，
設(shè)甲參加第一輪測試值記為，第二輪測試值記為，
所以
.
（3）由（1）可知，，
則兩輪測試中被授予“特級品酒師”稱號的概率，
所以.
19. 在中，角，，所對的邊分別是，，，其面積記為，且滿足
（1）求角；
（2）為邊上一點，，且求的最小值.
（3）圓是外接圓，是圓外一點，，分別切圓于點，，若，求的最小值.
解：（1）由及，可得，
所以，
由余弦定理可得，
所以，即，
因，所以，即.
（2）在中，由正弦定理可得：，即，
在中，由正弦定理可得：，即，
且與互為補角，可得，
即，又，且，即，所以，
又，所以，所以為的角平分線，
所以，
由可得，
所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號，
即的最小值為，所以，
即的面積的最小值為.
（3）設(shè)圓半徑為，則，
設(shè)，，則，，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，
所以的最小值為．
甲
乙

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