下列算式中，計算正確的是( )
A. B.
C. D.
以下列各組數(shù)為邊長，能構(gòu)成直角三角形的是( )
A. ，，B. ，，
C. ，，D. ，，
菱形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是( )
A. 兩組對邊分別平行B. 兩組對角分別相等
C. 對角線互相平分D. 對角線互相垂直
若代數(shù)式有意義，則實數(shù)的取值范圍是( )
A. B. C. D. 且
下列根式中，不是最簡二次根式的是( )
A. B. C. D.
如圖所示：數(shù)軸上點所表示的數(shù)為，則的值是( )
A. B. C. D.
如圖，在矩形中，，，將矩形沿折疊，則重疊部分的面積為( )
A.
B.
C.
D.
我國是最早了解勾股定理的國家之一．下面四幅圖中，不能證明勾股定理的是( )
A. B.
C. D.
我們知道：四邊形具有不穩(wěn)定性．如圖，在平面直角坐標系中，邊長為的正方形的邊在軸上，的中點是坐標原點，固定點，，把正方形沿箭頭方向推，使點落在軸正半軸上點處，則點的對應(yīng)點的坐標為( )
A. B. C. D.
如圖，點，為定點，定直線，是上一動點，點，分別為，的中點，對下列各值：
線段的長；
的周長；
的面積；
直線，之間的距離；
的大?。?br>其中會隨點的移動而變化的是( )
A. B. C. D.
二、填空題（本大題共5小題，共15分）
與最簡二次根式是同類二次根式，則______．
如圖，有兩棵樹，一棵高米，另一棵高米，兩樹相距米，一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行______米．
如圖，在矩形中，，點和點分別從點和點出發(fā)，按逆時針方向沿矩形的邊運動，點和點的速度分別為和，則最快________后，四邊形成為矩形．
如圖，四邊形中，，，，分別是邊、、、的中點．若四邊形為菱形，則對角線、應(yīng)滿足條件______．
如圖，在中，，，，為邊上一動點，于，于，為中點，則的最小值為______．
三、解答題（本大題共8小題，共75分）
計算：
；
如圖，為?的對角線，點、在上，且，求證：．
如圖，在離水面高度為米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子的長為米，此人以米每秒的速度收繩，秒后船移動到點的位置，問船向岸邊移動了多少米？假設(shè)繩子是直的，結(jié)果保留根號
在進行二次根式化簡時，我們有時會碰上如，，一樣的式子，其實我們還可以將其進一步化簡：
以上這種化簡的步驟叫做分母有理化．還可以用以下方法化簡：
請用不同的方法化簡；
化簡：．
在中，，，，求的面積．
某學習小組經(jīng)過合作交流，給出了下面的解題思路，請你按照他們的解題思路完成解答過程．
如圖，在?中，，過點作交的延長線于點．
求證：四邊形是矩形；
連接交于點，連接若，，求的長．
在中，，是的中點，是的中點，過點作交的延長線于點．
求證：≌；
證明四邊形是菱形；
若，，求菱形的面積．
如圖，已知中，，，，、是邊上的兩個動點，其中點從點開始沿方向運動，且速度為每秒，點從點開始沿方向運動，且速度為每秒，它們同時出發(fā)，設(shè)出發(fā)的時間為秒．
出發(fā)秒后，求的長；
當點在邊上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，能形成等腰三角形？
當點在邊上運動時，求能使成為等腰三角形的運動時間．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：、與不是同類二次根式，不能合并，故A不符合題意．
B、原式，故B符合題意．
C、原式，故C不符合題意．
D、原式，故D不符合題意．
故選：．
根據(jù)二次根式的加減運算以及乘除運算法則即可求出答案．
本題考查二次根式的混合運算，解題的關(guān)鍵是熟練運用二次根式的加減運算以及乘除運算，本題屬于基礎(chǔ)題型．
2.【答案】
【解析】解：、，能構(gòu)成直角三角形，故選項符合題意；
B、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意；
C、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意；
D、，不能構(gòu)成直角三角形，故選項不符合題意．
故選：．
求證是否為直角三角形，這里給出三邊的長，只要驗證兩小邊的平方和等于最長邊的平方即可．
本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進而作出判斷．
3.【答案】
【解析】解：、不正確，兩組對邊分別平行；
B、不正確，兩組對角分別相等，兩者均有此性質(zhì)正確，；
C、不正確，對角線互相平分，兩者均具有此性質(zhì)；
D、菱形的對角線互相垂直但平行四邊形卻無此性質(zhì)．
故選：．
根據(jù)菱形的特殊性質(zhì)可知對角線互相垂直．
此題主要考查了菱形的性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)菱形對角線垂直及平行四邊形對角線平分的性質(zhì)的理解．
4.【答案】
【解析】解：由題意可知：，，
．
故選：．
根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)列出不等式，再根據(jù)分式的分母不為列出不等式解答即可．
本題主要考查了二次根式有意義的條件，熟練掌握二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)是解題的關(guān)鍵．
5.【答案】
【解析】解：因為，因此不是最簡二次根式．
故選：．
判定一個二次根式是不是最簡二次根式的方法，就是逐個檢查最簡二次根式中的兩個條件被開方數(shù)不含分母，也不含能開的盡方的因數(shù)或因式是否同時滿足，同時滿足的就是最簡二次根式，否則就不是．
規(guī)律總結(jié)：滿足下列兩個條件的二次根式，叫做最簡二次根式．
被開方數(shù)不含分母；
被開方數(shù)中不含能開得盡方的因數(shù)或因式．
6.【答案】
【解析】解：圖中的直角三角形的兩直角邊為和，
斜邊長為：，
到的距離是，那么點所表示的數(shù)為：．
故選：．
先根據(jù)勾股定理求出三角形的斜邊長，再根據(jù)兩點間的距離公式即可求出點的坐標．
本題考查的是勾股定理及兩點間的距離公式，解答此題時要注意，確定點的符號后，點所表示的數(shù)是距離原點的距離．
7.【答案】
【解析】解：由折疊性質(zhì)知：， ，
四邊形是矩形，
，， ，
在與中，
≌，
與面積相等，
設(shè)，則，
，
，
解得，
的面積．
故選：．
≌，≌，得與面積相等，設(shè)，列出關(guān)于的關(guān)系式，解得的值即可解題．
本題考查了全等三角形的證明，全等三角形對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，矩形各內(nèi)角為直角的性質(zhì)，本題中正確計算的值是解題的關(guān)鍵．
8.【答案】
【解析】解：、，
整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
B、，
整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
C、，
整理得：，即能證明勾股定理，故本選項不符合題意；
D、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項符合題意；
故選：．
先表示出圖形中各個部分的面積，再判斷即可．
本題考查了勾股定理的證明，能根據(jù)圖形中各個部分的面積列出等式是解此題的關(guān)鍵．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標與圖形的性質(zhì)，勾股定理，正確地識別圖形是解題的關(guān)鍵．
由已知條件得到，，根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)的長度進而即可得出結(jié)論．
【解答】
解：由題意得：，，
，
，，
，
故選D．
10.【答案】
【解析】
【分析】
根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得，從而判斷出不變；再根據(jù)三角形的周長的定義判斷出是變化的；確定出點到的距離不變，然后根據(jù)等底等高的三角形的面積相等確定出不變；根據(jù)平行線間的距離相等判斷出不變；根據(jù)角的定義判斷出變化．
本題考查了三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，等底等高的三角形的面積相等，平行線間的距離的定義，熟記定理是解題的關(guān)鍵．
【解答】
解：點，為定點，點，分別為，的中點，
是的中位線，
，
又為定點，的長度不變，
即線段的長度不變，故錯誤；
、的長度隨點的移動而變化，
所以，的周長會隨點的移動而變化，故正確；
的長度不變，點到的距離等于與的距離的一半，
的面積不變，故錯誤；
直線，之間的距離不隨點的移動而變化，故錯誤；
的大小點的移動而變化，故正確．
綜上所述，會隨點的移動而變化的是．
故選：．
11.【答案】
【解析】解：與最簡二次根式是同類二次根式，且，
，解得：．
故答案為．
先將化成最簡二次根式，然后根據(jù)同類二次根式得到被開方數(shù)相同可得出關(guān)于的方程，解出即可．
本題考查了同類二次根式的定義：化成最簡二次根式后，被開方數(shù)相同，這樣的二次根式叫做同類二次根式．
12.【答案】
【解析】解：如圖，設(shè)大樹高為，
小樹高為，
過點作于，則四邊形是矩形，
連接，
，，，
在中，
．
故小鳥至少飛行．
故答案為：．
根據(jù)“兩點之間線段最短”可知：小鳥沿著兩棵樹的樹梢進行直線飛行，所行的路程最短，運用勾股定理可將兩點之間的距離求出．
本題考查了勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)實際得出直角三角形，培養(yǎng)學生解決實際問題的能力．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)，有一個角是直角的平行四邊形是矩形．根據(jù)矩形的性質(zhì)，可得與的關(guān)系，根據(jù)矩形的判定定理，可得，構(gòu)建一元一次方程，可得答案．
【解答】
解：設(shè)最快秒，四邊形成為矩形，由得
．
解得，
故答案為．
14.【答案】
【解析】解：添加的條件應(yīng)為：．
證明：，，，分別是邊、、、的中點，
在中，為的中位線，所以且；同理且，同理可得，
則且，
四邊形為平行四邊形，又，所以，
四邊形為菱形．
故答案為：
添加的條件應(yīng)為：，把作為已知條件，根據(jù)三角形的中位線定理可得，平行且等于的一半，平行且等于的一半，根據(jù)等量代換和平行于同一條直線的兩直線平行，得到和平行且相等，所以為平行四邊形，又等于的一半且，所以得到所證四邊形的鄰邊與相等，所以四邊形為菱形．
此題考查學生靈活運用三角形的中位線定理，平行四邊形的判斷及菱形的判斷進行證明，是一道綜合題．
15.【答案】
【解析】解：，，，
，
于，于，
四邊形是矩形，
，互相平分．且，
，的交點就是點．
當?shù)闹底钚r，的值就最小，
當時，的值最小，即的值最?。?br>，
．
，，，
，
，
；
故答案為：．
先根據(jù)矩形的判定得出是矩形，再根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，互相平分，且，再根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出時，的值最小，即的值最小，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．
本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出的最小值是關(guān)鍵．
16.【答案】解：原式
；
原式
．
【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及二次根式的乘法運算法則分別化簡，進而合并得出答案；
直接利用乘法公式化簡，進而合并得出答案．
此題主要考查了二次根式的混合運算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．
17.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
，，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】由平行四邊形的性質(zhì)得，，則，再證≌，即可得出結(jié)論．
本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明≌是解題的關(guān)鍵．
18.【答案】解：在中：
，米，米，
米，
此人以米每秒的速度收繩，秒后船移動到點的位置，
米，
米，
米，
答：船向岸邊移動了米．
【解析】在中，利用勾股定理計算出長，再根據(jù)題意可得長，然后再次利用勾股定理計算出長，再利用可得長．
此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是掌握從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學模型，畫出準確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用．
19.【答案】解：
．
原式
．
【解析】分式的分子和分母都乘以，即可求出答案；把看出，根據(jù)平方差公式分解因式，最后進進約分即可．
先每一個二次根式分母有理化，再分母不變，分子相加，最后合并即可．
本題考查了分母有理化，平方差公式的應(yīng)用，主要考查學生的計算和化簡能力．
20.【答案】解：如圖，在中，，，，
設(shè)，則，
由勾股定理得：，，
故，
解之得：．

．
【解析】根據(jù)題意利用勾股定理表示出的值，進而得出等式求出答案．
此題主要考查了勾股定理，根據(jù)題意正確表示出的值是解題關(guān)鍵．
21.【答案】證明：四邊形是平行四邊形，
．
．
又，，
四邊形是矩形．

解：四邊形是矩形，
，，．
四邊形是平行四邊形，
，．
．
又，
是等邊三角形．
，．
在中，．
【解析】根據(jù)四邊形是平行四邊形，可得所以又，即可證明四邊形是矩形；
根據(jù)四邊形是矩形，和四邊形是平行四邊形，可以證明是等邊三角形．再求出的長．
本題考查了矩形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握正方形的判定與性質(zhì)和等邊三角形的判定與性質(zhì)．
22.【答案】證明：，
，
是的中點，
，
在和中，
≌；
證明：由知，≌，則．
為邊上的中線
，
．
，
四邊形是平行四邊形，
，是的中點，是的中點，
，
四邊形是菱形；
連接，
，，
四邊形是平行四邊形，
，
四邊形是菱形，
．
【解析】利用平行線的性質(zhì)及中點的定義，可利用證得結(jié)論；
由可得，結(jié)合條件可求得，則可證明四邊形為平行四邊形，再利用直角三角形的性質(zhì)可證得，可證得四邊形為菱形；
連接，可證得四邊形為平行四邊形，則可求得的長，利用菱形的面積公式可求得答案．
本題主要考查菱形的性質(zhì)及判定，利用全等三角形的性質(zhì)證得是解題的關(guān)鍵，注意菱形面積公式的應(yīng)用．
23.【答案】解：， ，，
；
，，
根據(jù)題意得：，
解得：，
即出發(fā)秒鐘后，能形成等腰三角形；
已知中，，，，
勾股定理求得
當時，如圖所示，
則，
，
．
，
，
，
，
，
秒．
當時，如圖所示，
則，
秒．
當時，如圖所示，
過點作于點，
則，
，
，
，
秒．
綜上所述：當為秒或秒或秒時，為等腰三角形．
【解析】本題考查了勾股定理、三角形的面積以及等腰三角形的判定和性質(zhì)，注意分類討論思想的應(yīng)用．
根據(jù)點、的運動速度求出，再求出和，用勾股定理求得即可；設(shè)出發(fā)秒鐘后，能形成等腰三角形，則，由，，列式求得即可；
當點在邊上運動時，能使成為等腰三角形的運動時間有三種情況：
當時，則，可證明，則，則，從而求得；
當時，則，易求得；
當時，過點作于點，則求出，，即可得出．

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