必 備 知 識1.樣本空間和隨機事件(1)樣本點和有限樣本空間①樣本點：隨機試驗E的每個可能的__________稱為樣本點，常用ω表示．全體樣本點的集合稱為試驗E的樣本空間，常用Ω表示．②有限樣本空間：如果一個隨機試驗有n個可能結(jié)果ω1，ω2，…，ωn，則稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，…，ωn}為有限樣本空間．(2)隨機事件①定義：將樣本空間Ω的________稱為隨機事件，簡稱事件．②表示：大寫字母A，B，C，….③隨機事件的極端情形：必然事件、不可能事件．
3.頻率與概率一般地，隨著試驗次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會逐漸________事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)來估計概率P(A)．
P（A）＋P（B）－P（A∩B）
5．古典概型(1)古典概型的定義：具有以下兩個特點的概率模型稱為古典概率模型，簡稱古典概型．①有限性：樣本空間的樣本點只有________； ②等可能性：每個樣本點發(fā)生的可能性________．(2)古典概型的概率公式一般地，設(shè)試驗E是古典概型，樣本空間Ω包含n個樣本點，事件A包含其中的k個樣本點，則定義事件A的概率P(A)＝________．其中，n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點個數(shù)．
夯 實 基 礎(chǔ)　1．思考辨析(正確的打“√”，錯誤的打“×”)(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的．(　　)(2)兩個事件的和事件是指兩個事件至少有一個發(fā)生．(　　)(3)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(　　)(4)對立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對立事件．(　　)
2．(教材改編)從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品不全是次品”，則下列結(jié)論正確的是(　　)A．A，C互斥 B．B，C互斥C．任何兩個都互斥 D．任何兩個都不互斥
解析：從一批產(chǎn)品中取出三件產(chǎn)品，設(shè)A＝“三件產(chǎn)品全不是次品”，B＝“三件產(chǎn)品全是次品”，C＝“三件產(chǎn)品不全是次品”，在A中，A和C能同時發(fā)生，事件A和C不是互斥事件，故A錯誤；在B中，B和C不能同時發(fā)生，故B和C是互斥事件，故B正確；在C中，A和C能同時發(fā)生，事件A和C不是互斥事件，故C錯誤；在D中，B和C不能同時發(fā)生，故B和C是互斥事件，故D錯誤．故選B.
4．(易錯)對于概率是1‰(千分之一)的事件，下列說法正確的是(　　)A．概率太小，不可能發(fā)生B．1 000次中一定發(fā)生1次C．1 000人中，999人說不發(fā)生，1人說發(fā)生D．1 000次中有可能發(fā)生1 000次
解析：概率是1‰說明發(fā)生的可能性是1‰，每次發(fā)生都是隨機的，1 000次中也可能發(fā)生1 000次，只是發(fā)生的可能性很?。蔬xD.
5．(易錯)袋子中有3個大小質(zhì)地完全相同的球，其中1個紅球，2個黑球，現(xiàn)隨機從中不放回地依次摸出2個球，則第二次摸到紅球的概率為________．
1.了解隨機事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性，了解概率的意義以及頻率與概率的區(qū)別．2．理解事件間的關(guān)系與運算．3．掌握古典概型及其計算公式，能計算古典概型中簡單隨機事件的概率．
問題思考·夯實技能　【問題1】　互斥事件與對立事件有何區(qū)別與聯(lián)系？???
提示：互斥事件與對立事件都是兩個事件的關(guān)系，互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發(fā)生外，還要求二者之一必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
?【問題2】　隨機事件A發(fā)生的頻率與概率有何區(qū)別與聯(lián)系？
提示：隨機事件A發(fā)生的頻率是隨機的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機試驗中，事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．
(2)袋中裝有紅球3個、白球2個、黑球1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是(　　)A．至少有一個白球；都是白球B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．至少有一個白球；紅、黑球各一個D．恰有一個白球；一個白球一個黑球
解析：對于A，至少有一個白球和都是白球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，A不是；對于B，至少有一個白球和至少有一個紅球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，B不是；對于C，至少有一個白球和紅、黑球各一個的兩個事件不能同時發(fā)生但能同時不發(fā)生，是互斥而不對立的兩個事件，C是；對于D，恰有一個白球和一個白球一個黑球的兩個事件能同時發(fā)生，不是互斥事件，D不是．故選C.
題后師說判斷互斥事件、對立事件的兩種方法
角度二　隨機事件的頻率與概率例 2 [2024·廣東揭陽模擬]為了解某中學(xué)生遵守《中華人民共和國交通安全法》的情況，調(diào)查部門在該校進行了如下的隨機調(diào)查，向被調(diào)查者提出兩個問題：(1)你的學(xué)號是奇數(shù)嗎？(2)在過路口時你是否闖過紅燈？要求被調(diào)查者背對著調(diào)查人員拋擲一枚硬幣，如果出現(xiàn)正面，就回答第一個問題，否則就回答第二個問題．被調(diào)查者不必告訴調(diào)查人員自己回答的是哪一個問題，只需回答“是”或“不是”，因為只有調(diào)查者本人知道回答了哪一個問題，所以都如實地作了回答．結(jié)果被調(diào)查的1 200人(學(xué)號從1至1 200)中有366人回答了“是”．由此可以估計這1 200人中闖過紅燈的人數(shù)是________．
解析：被調(diào)查的1 200人中，在準(zhǔn)備回答的兩個問題中每一個問題被問到的概率相同，所以第一個問題可能被問600次，因為被問的600人中有300人學(xué)號是奇數(shù)，而有366人回答了“是”，所以估計有66人闖過紅燈，在600人中有66人闖過紅燈，頻率為0.11，用樣本頻率估計總體，從而估計這1 200人中闖過紅燈的人數(shù)為1 200×0.11＝132人．
題后師說計算簡單隨機事件的頻率或概率的解題思路(1)計算所求隨機事件出現(xiàn)的頻數(shù)及總事件的頻數(shù)．(2)由頻率公式得所求，由頻率估計概率．
角度三　互斥事件與對立事件的概率例 3 某學(xué)校在教師外出家訪了解家長對孩子的學(xué)習(xí)關(guān)心情況活動中，一個月內(nèi)派出的教師人數(shù)及其概率如下表所示：(1)求有4人或5人外出家訪的概率；(2)求至少有3人外出家訪的概率．
題后師說求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法
(3)四種電子元件組成的電路如圖所示，T1，T2，T3，T4電子元件正常工作的概率分別為0.9，0.8，0.7，0.6，則該電路正常工作的概率為________.
解析：該電路正常工作即T1正常工作，T2，T3，T4至少一個正常工作，所以該電路正常工作的概率為0.9×(1－0.2×0.3×0.4)＝0.878 4.
題后師說古典概型中樣本點個數(shù)的探求方法
題型三 概率與統(tǒng)計的綜合問題例 5 [2024·安徽安慶模擬]縣政府組織500人參加衛(wèi)生城市創(chuàng)建“義工”活動，按年齡分組所得頻率分布直方圖如圖，完成下列問題：
(1)如表是年齡的頻數(shù)分布表，求出表中正整數(shù)a、b的值；(2)現(xiàn)在要從年齡較小的第1、2、3組中用分層抽樣的方法抽取6人，則年齡在第1、2、3組的各抽取多少人？(3)在第(2)問的前提下，從這6人中隨機抽取2人參加社區(qū)活動，求至少有1人年齡在第3組的概率．?
題后師說概率與統(tǒng)計的結(jié)合題，無論是直接描述還是利用頻率分布表、頻率分布直方圖等給出的信息，準(zhǔn)確從題中提煉信息是解題的關(guān)鍵．
鞏固訓(xùn)練3某校以課程建設(shè)為核心，建立了學(xué)生勞動實踐基地，開發(fā)了農(nóng)事勞作課程，開展課外種植、養(yǎng)殖活動，打算引進小動物甲以及成立養(yǎng)殖小組．為了解學(xué)生的養(yǎng)殖意愿，該校在一年級的100名學(xué)生中進行問卷調(diào)查，調(diào)查數(shù)據(jù)如下：(1)分別估計該校男、女生中喜歡養(yǎng)殖小動物甲的概率；(2)學(xué)校決定由一年級負責(zé)養(yǎng)殖小動物甲，現(xiàn)按分層隨機抽樣的方法從一年級喜歡小動物甲的學(xué)生中隨機抽取6名學(xué)生組成養(yǎng)殖小組，再從這6名學(xué)生中隨機抽取2人擔(dān)任養(yǎng)殖小組主要負責(zé)人，求這2人恰好都是女生的概率．

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