目標導航
1. 角：有公共端點的兩條射線組成的圖形叫做角，兩條射線的公共端點叫做這個角的頂點，這兩條射線叫做這個角的邊?；颍航且部梢钥闯墒且粭l射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)而成的。
平角和周角：一條射線繞著它的端點旋轉(zhuǎn)，當終邊和始邊成一條直線時，所形成的角叫做平角。終邊繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，當它又和始邊重合時，所形成的角叫做周角。
2.角的表示：
①用數(shù)字表示單獨的角，如∠1，∠2，∠3等。
②用小寫的希臘字母表示單獨的一個角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。
③用一個大寫英文字母表示一個獨立（在一個頂點處只有一個角）的角，如∠B，∠C等。
④用三個大寫英文字母表示任一個角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。
注意：用三個大寫英文字母表示角時，一定要把頂點字母寫在中間，邊上的字母寫在兩側(cè)。
3.用一副三角板，可以畫出15°，30°，45°，60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°
4.角的度量
角的度量有如下規(guī)定：把一個平角180等分，每一份就是1度的角，單位是度，用“°”表示，1度記作“1°”，n度記作“n°”。
把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分記作“1’”。
把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒記作“1””。
1°=60’，1’=60”
5.角的性質(zhì)
（1）角的大小與邊的長短無關(guān)，只與構(gòu)成角的兩條射線的幅度大小有關(guān)。
（2）角的大小可以度量，可以比較
（3）角可以參與運算。
6.角的平分線
從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。
7.余角和補角
①如果兩個角的和是一個直角，這兩個角叫做互為余角，簡稱互余，其中一個角是另一個角的余角。用數(shù)學語言表示為如果∠α+∠β=90°，那么∠α與∠β互余；反過來，如果∠α與∠β互余，那么∠α+∠β=90°
②如果兩個角的和是一個平角，這兩個角叫做互為補角，簡稱互補，其中一個角是另一個角的補角。用數(shù)學語言表示為如果∠α+∠β=180°，那么∠α與∠β互補；反過來如果∠α與∠β互補，那么∠α+∠β=180°
③同角（或等角）的余角相等；同角（或等角）的補角相等。
考點精講
考點1：鐘面上的角度計算
典例：16．（2022·全國·七年級課時練習）鐘表上的時針、分針和秒針都在繞鐘表中心做旋轉(zhuǎn)運動.
⑴鐘表從2點現(xiàn)在，經(jīng)過20分鐘后，分針和時針分別旋轉(zhuǎn)了多少度？
⑵當時間到3：20時，鐘表上時針和分針的夾角是多少度？
方法或規(guī)律點撥
本題考查了鐘面角，熟練掌握分針與時針每分鐘轉(zhuǎn)過的角度是解題的關(guān)鍵.
鞏固練習
1．（2021·河南開封·七年級期中）已知在某個時刻，時鐘的時針與分針成一直角，則這時可能是（ ）
A．3：30B．6：15C．9：00D．12：45
【點睛】此題主要考查了鐘面角，解題關(guān)鍵是找出時鐘的時針與分針相差的大格數(shù)．
2．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學期末）時鐘7：30的分針與時針夾角度數(shù)是（ ）
A．55度B．45度C．35度D．60度
3．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖是從圖的時鐘抽象出來的圖形，已知三角形是等邊三角形，，當時針正對點時恰好是：，若時針與三角形一邊平行時，時針所指的時間不可能是（ ）
A．：B．：C．：D．：
4．（2022·全國·七年級專題練習）小明晚上放學到家時，鐘表的時間顯示為6點15分（如圖），此時時鐘的分針與時針所成角的度數(shù)是（ ）
A．90°B．92.5°C．97.5°D．102.5°
5．（2022·江蘇無錫·七年級期末）鐘面上的時間為8點30分時，時針與分針的夾角為（ ）
A．B．C．D．
6．（2021·黑龍江·哈爾濱市蕭紅中學校七年級階段練習）時間為7點30分時，時針和分針形成的小于的角為___________°
7．（2021·貴州畢節(jié)·七年級階段練習）（12小時的時鐘）時鐘是7點20分，這一時刻鐘面上時針與分針的夾角（小于平角）是_____°．
8．（2022·山東·萬杰朝陽學校期中）萬杰朝陽學校上午第二節(jié)課的下課時間是9：40，此時時針與分針的夾角是_________°．
9．（2022·全國·七年級單元測試）鐘表上的時針和分針都繞其軸心旋轉(zhuǎn)，從8點到8點40分，時針轉(zhuǎn)了_____度，分針轉(zhuǎn)了_____度，8點40分時針與分針所成的角是_____度．
10．（2022·河南·鄭州二七優(yōu)智實驗學校七年級期末）央視“新聞聯(lián)播”節(jié)目的結(jié)束時間一般是19：30，這一時刻鐘面上時針與分針的夾角是__________度．
11．（2022·山東菏澤·七年級期中）北京時間2021年12月9日15點40分，“天宮課堂”第一課正式開講．在時刻為15：40時，時鐘上的時針與分針夾角的度數(shù)為______．
12．（2022·山東臨沂·七年級期末）某同學走進教室發(fā)現(xiàn)黑板前的鐘表為8：30，他想知道再過多長時間分針能和時針第一次重合．假設鐘表走時準確，請問再過_________分鐘．
13．（2022·全國·七年級專題練習）（1）鐘表上2時15分時，時針與分針所成的銳角的度數(shù)是多少？
（2）若時針由2點30分走到2點55分，問分針轉(zhuǎn)過多大的角度？
14．（2022·福建泉州·七年級期末）時鐘上的分針和時針像兩個運動員，繞著它們的跑道晝夜不停地運轉(zhuǎn)．以下請你解答有關(guān)時鐘的問題：
(1)分針每分鐘轉(zhuǎn)了幾度？
(2)中午12時整后再經(jīng)過幾分鐘，分針與時針所成的鈍角會第一次等于？
(3)在(2)中所述分針與時針所成的鈍角等于后，再經(jīng)過幾分鐘兩針所成的鈍角會第二次等于？
15．（2022·全國·七年級單元測試）日常生活中，我們幾乎每天都要看鐘表，它的時針；和分針如同兄弟倆在賽跑，其中蘊涵著豐富的數(shù)學知識.
（1）如圖1，上午8:00這一時刻，時鐘上分針與時針的夾角等于________；
（2）請在圖2中畫出8:20這一時刻時針和分針的大致位置，思考并回答：從上午8:00到8:20，時鐘的分針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________，時鐘的時針轉(zhuǎn)過的度數(shù)是________；
（3）“元旦”這一天，小明上午八點整出門買東西，回到家中時發(fā)現(xiàn)還沒到九點，但是時針與分針重合了，那么小明從離開家到回到家的時間為多少分鐘？
考點2：方位角及其應用
典例：（2022·河北承德·七年級期末）如圖，結(jié)論正確的是（ ）
①射線的方向是北偏西50°；②射線的方向是東南方向；③射線的方向是北偏東15°；④和∠AOB互為補角；
A．1個B．2個C．3個D．4個
方法或規(guī)律點撥
此題考查了方位角的表示方法，以正南（或正北）為基準線，其夾角的度數(shù)即為某條射線的方位角．
鞏固練習
1．（2022·山東煙臺·期末）如圖，某海域中有A，B兩個小島，其中B在A的北偏東40°方向，那么小島A相對于小島B的方向是（ ）
A．南偏東40°B．北偏東50°C．南偏西40°D．北偏西50°
2．（2022·河北衡水·七年級階段練習）如圖，貨船與港口相距海里，我們用有序數(shù)對南偏西，海里來描述貨船相對港口的位置，那么港口相對貨船的位置可描述為（ ）
A．南偏西，海里B．北偏西，海里
C．北偏東，海里D．北偏東，海里
3．（2022·全國·七年級單元測試）如圖，是表示北偏東的一條射線，是表示北偏西的一條射線，若，則表示的方向是（ ）
A．北偏東B．北偏東
C．北偏東D．北偏東
4．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學七年級期末）如圖，OB是北偏西50°方向的一條射線，若∠AOB=90°，則射線OA的方向是（ ）
A．西偏北50°B．東偏北40°C．北偏東40°D．北偏西40°
5．（2022·黑龍江綏化·期末）小麗家在小華家的南偏西30°的方向上，那么小華家在小麗家的什么方向上？（ ）
A．南偏西60°B．北偏東60°C．北偏東30°D．南偏西30°
6．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校階段練習）如圖所示，下列說法中錯誤的是（ ）
A．射線的方向是北偏東40°B．射線的方向是北偏西15°
C．射線的方向是南偏西30°D．射線的方向是東南方向
7．（2022·浙江麗水·七年級期末）如圖,射線OA表示北偏東30°方向,射線OB表示北偏西50°方向,則∠AOB的度數(shù)是（ ）
A．60°B．80°C．90°D．100°
8．（2022·安徽·定遠縣第一初級中學七年級期末）如圖射線OA的方向是北偏東30°，在同一平面內(nèi)，則射線OB的方向是（ ）
A．北偏東40°B．北偏西40°或東偏南80°
C．南偏東80°D．北偏西40°或南偏東80°
9．（2022·吉林·大安市樂勝鄉(xiāng)中學校七年級期末）如圖，貨輪O在航行過程中，發(fā)現(xiàn)燈塔A在它南偏東60°的方向上；同時，它又發(fā)現(xiàn)了客輪B；仿照表示燈塔方位的方法，客輪B在貨輪的_______方向．
10．（2022·黑龍江省新華農(nóng)場中學期末）下面是學校到少年宮的行走路線圖
(1)如果小明從公園到學校，請敘述一下他的行走路線．
(2)如果他每分鐘走60米，那么他從公園走到學校要走幾分鐘？
考點3：角的運算
典例：（2022·江蘇·江陰市敔山灣實驗學校七年級階段練習）計算：
(1)45°10′﹣21°35′20′′；
(2)48°39′+67°31′﹣21°17′；
(3)42°16′+18°23′×2．
方法或規(guī)律點撥
本題考查度分秒的計算，，，掌握度分秒之間的進率是解答本題的關(guān)鍵．
鞏固練習
1．（2022·全國·七年級專題練習）把化為用度表示，下列正確的是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·七年級專題練習）下列換算中，正確的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2022·黑龍江·蘭西縣崇文實驗學校期末）用度表示__________．
4．（2022·浙江·九年級專題練習）計算：108°42'36″＝______°．
5．（2022·山東菏澤·七年級期末）角度換算：＝___°．
6．（2022·山東·萬杰朝陽學校期中）=____度____分____秒；=______度．
7．（2022·山東·泰山外國語學校階段練習） ____°____′____″；____°．
8．（2022·黑龍江·哈爾濱市風華中學校階段練習）把30.6°化成度分為___________．
【答案】##30度36分
9．（2022·山東·高唐縣第二實驗中學七年級期中）計算________．
10．（2022·全國·七年級專題練習）________°．
11．（2022·河北滄州·七年級期末）如圖，在燈塔O處觀測到輪船M位于北偏西的方向，同時輪船N在北偏東16.12°的方向，那么∠MON的大小為________．
12．（2022·河南平頂山·七年級期末）計算：______．（結(jié)果用度表示）
13．（2022·河南省直轄縣級單位·七年級期末）若，，則________（用“＞”“=”“＜”填空）．
14．（2022·黑龍江·大慶市慶新中學期末）計算題．
(1)
(2)
考點4：與三角板有關(guān)的角度計算
典例：（2022·河南南陽·七年級期末）將一副三角板放在一起．
(1)如圖1，已知，求的度數(shù)；
(2)如圖2，已知，求的度數(shù)；
(3)如圖3，已知，求的度數(shù)．
方法或規(guī)律點撥
本題主要考查了角的計算，利用角的和差列出算式是解題的關(guān)鍵．
鞏固練習
1．（2021·湖北·公安縣教學研究中心七年級期末）用一副三角板不能拼畫出的角度是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·八年級專題練習）將一副三角板按如圖所示的方式放置，則∠ACD的度數(shù)為（ ）
A．45°B．60°C．75°D．80°
3．（2022·山東煙臺·期中）如圖，將一副三角板與的直角頂點O重合在一起，若，為的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．72°B．73°C．75°D．76°
4．（2022·河北邢臺·七年級期末）如圖所示是我們常用的一副直角三角板．用一副三角板不能拼出的角度是（ ）
A．B．C．D．
5．（2022·山東日照·七年級期末）用一副三角板拼成如圖所示的圖形，其中A、B、C三點在同一條直線上．則圖中∠DBE的大小為（ ）
A．75°B．90°C．105°D．135°
6．（2022·山東青島·期中）如圖，將兩個三角尺的直角與頂點O重合在一起，若，OE為的平分線，則的度數(shù)為（ ）
A．36B．45C．60D．72
7．（2022·廣西河池·七年級期末）一副三角板擺放在一起的示意圖如下，若，則∠2的度數(shù)是______．
8．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，將一副三角板的直角頂點重合放置于A處（兩塊三角板可以在同一平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動），給出以下結(jié)論：
①；
②；
③；
④．
其中不正確的是_________．（寫出序號）
9．（2021·全國·七年級單元測試）兩塊三角板按如圖所示方式放置，則∠ACD＝__________，∠DBA＝__________．
10．（2022·山東煙臺·期末）如圖，將直角三角板OMN的直角頂點O放在直線AB上，射線OC平分．
(1)當時，求的度數(shù)；
(2)若，求的度數(shù)．
11．（2022·山東棗莊·七年級期中）如圖，將兩個直角三角板的頂點疊放在一起進行探究．
(1)如圖①，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CE恰好是∠ACB的平分線，請你猜想此時CB是不是∠ECD的平分線，并簡述理由；
(2)如圖②，將一副直角三角板的直角頂點C疊放在一起，若CB始終在∠DCE的內(nèi)部，請猜想∠ACE與∠DCB是否相等，并簡述理由．
12．（2022·河北保定·七年級期末）如圖，以直線AB上一點O為端點作射線OC，使∠BOC=70°，將一塊直角三角板DOE直角頂點放在點O處．
(1)如圖1，若直角三角板DOE的一邊OD放在射線OB上，則∠COE=____________°；
(2)如圖2，將直角三角板DOE繞點O逆時針方向轉(zhuǎn)動到某個位置，若OC恰好平分∠BOE，求∠BOD、∠COE的度數(shù)；
(3)如圖3，將直角三角板DOE繞點O轉(zhuǎn)動，如果OD始終在∠BOC的內(nèi)部，試猜想∠BOD和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并說明理由．
13．（2022·安徽·宿城第一初級中學七年級期中）以直線上一點為端點作射線，使，將一個直角三角板的直角頂點放在處，即．
(1)如圖1，若直角三角板的一邊放在射線上，則______；
(2)如圖2，將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動到某個位置，
①若恰好平分，則______；
②若在內(nèi)部，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系為______；
(3)將直角三角板繞點順時針轉(zhuǎn)動（與重合時為停止）的過程中，恰好有，求此時的度數(shù)．
14．（2022·福建福州·七年級期末）在一次數(shù)學活動課上，李磊同學將一副宜角三角板、按如圖1放置，點A、C、D在同一直線上，（°、），并將三角板繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定角度，且始終保持．
(1)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖2，當點A、C、E在同一直線上時，則____；
(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖3，當時．請說明平分；
(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，如圖4，當時，求此時的度數(shù)．
15．（2022·江蘇鹽城·七年級期末）【閱讀理解】
如圖1，一套三角板如圖拼在一起，我們將三角板COD繞點O以每秒15°的速度順時針旋轉(zhuǎn)180°．
【解決問題】
（1）在旋轉(zhuǎn)過程中，∠AOB、∠AOC、∠BOC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？
（2）當運動時間為9秒時，圖中有角平分線嗎？找出并說明理由．
（3）運動過程中，如圖2，形成的三個角：∠AOB、∠AOC、∠BOC，當其中一個角的度數(shù)是另一個角的兩倍時，則稱射線OC是∠AOB的“優(yōu)線”．
①第（2）問中旋轉(zhuǎn)后的射線OC是“優(yōu)線”嗎？為什么？
②在整個旋轉(zhuǎn)過程中，若旋轉(zhuǎn)時間記為t秒，當射線OC是“優(yōu)線”時，請直接寫出所有滿足條件的t值．
考點5：與角平分線有關(guān)的證明與計算
典例：（2022·四川省九龍縣中學校七年級期末）如圖，OE為∠AOD的平分線，∠COD＝∠EOC，∠COD＝15°，求：
(1)∠EOC的大?。?br>(2)∠AOC的大?。?br>方法或規(guī)律點撥
本題考查角平分線的定義，數(shù)形結(jié)合正確計算是本題的解題關(guān)鍵．
鞏固練習
1．如圖，已知，平分，且，則的度數(shù)為（ ）
A．126°B．108°C．112°D．106°
2．（2021·云南·文山市薄竹鎮(zhèn)樂詩沖中心學校七年級期末）已知∠AOB=70°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，則∠MON=（ ）
A．50°B．20°C．20°或50°D．不能確定
3．（2022·安徽·合肥市第六十八中學七年級期末）如圖，若∠AOB=x°，OC是∠AOB的平分線，是∠AOC的平分線，是的平分線，是的平分線， 則與大小關(guān)系是（ ）
A．=B．＜C．＞D．無法確定
4．（2022·新疆·烏市八中七年級期中）如圖，已知，平分，且，求的度數(shù)．
5．（2021·山東·濟南市萊蕪區(qū)方下魯西學校期中）如圖，OB是的平分線，OD是的平分線，，．求的度數(shù)．
6．（2022·新疆·庫車市第七中學七年級期末）如圖，已知∠AOB＝90°，∠EOF＝60°，OE平分∠AOB，OF平分∠BOC，求∠AOC和∠COB的度數(shù)．
7．（2021·重慶·巴川初級中學校七年級期末）如圖所示，OB是∠AOC的平分線，OD是∠COE的平分線．
(1)如果∠AOB=50°，∠DOE=35°，那么∠BOD是多少度？
(2)如果∠AOE=160°，∠COD=25°，那么∠AOB是多少度？
8．（2021·遼寧·朝陽市第一中學七年級期末）如圖，已知，OE平分∠AOB，，OF平分∠BOC．求∠BOC和∠AOC的度數(shù)．
9．（2022·山東·龍口市培基學校期中）如圖，已知OC是∠AOB內(nèi)部任意的一條射線，OM、ON分別是∠AOC、∠BOC的平分線．
(1)若∠AOM＝20°，∠BON＝30°，求∠MON的度數(shù)；
(2)若∠AOB＝α，求∠MON的度數(shù)．
10．（2022·寧夏·景博中學七年級期末）如圖，OC是∠AOD的平分線，OE是∠DOB的平分線．
(1)如果，那么∠COE是多少度？
(2)在（1）的條件下，如果，那么∠BOE是多少度？
11．（2022·河北·泊頭市教師發(fā)展中心七年級期末）如圖，點O是直線上的一點，是直角，平分．
(1)如圖1，若，求的度數(shù)；
(2)如圖2，若，求的度數(shù)．
12．（2022·福建泉州·七年級期末）如圖，，射線以的速度從位置出發(fā)，射線以的速度從位置出發(fā)，設兩條射線同時繞點逆時針旋轉(zhuǎn)．
(1)當時，求的度數(shù)；
(2)若．
①當三條射線、、構(gòu)成的三個度數(shù)大于的角中，有兩個角相等，求此時的值；
②在射線，轉(zhuǎn)動過程中，射線始終在內(nèi)部，且平分，當，求的值．
13．（2021·江西省遂川縣教育局教學研究室七年級期末）如圖，，，，分別是，的平分線．
(1)如圖1，當在左側(cè)，且時，的度數(shù)是_________；
(2)當?shù)奈恢貌淮_定時，請利用備用圖，畫出相關(guān)圖形，探究的大小與的數(shù)量關(guān)系；
(3)當?shù)亩葦?shù)為時，請直接寫出的度數(shù)．
14．（2022·廣東·正德中學七年級期末）多多對幾何中角平分線等興趣濃厚，請你和多多一起探究下面問題吧．已知∠AOB=100°，射線OE，OF分別是∠AOC和∠COB的角平分線．
(1)如圖1，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部，且∠AOC=30°，求∠EOF的度數(shù)；
(2)如圖2，若射線OC在∠AOB的內(nèi)部繞點O旋轉(zhuǎn)，則∠EOF的度數(shù)_____；
(3)若射線OC在∠AOB的外部繞點O旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)中∠AOC，∠BOC均指小于180°的角），其余條件不變，請借助圖3探究∠EOF的大小，請直接寫出∠EOF的度數(shù)（不寫探究過程）．
15．（2022·河南·鄭州市第四初級中學七年級期末）【閱讀理解】
如圖①，射線OC在∠AOB內(nèi)部，圖中共有三個角∠AOC、∠AOB、∠BOC，若其中有兩個角的度數(shù)之比為1：2，則稱射線OC為∠AOB的“幸運線”．
(1)∠AOB的角平分線 這個角的“幸運線”；（填“是”或“不是”）
(2)若∠AOB＝120°，射線OC為∠AOB的“幸運線”，則∠AOC＝ ．
【問題解決】
(3)如圖②，已知∠AOB=150°，射線OP從OA出發(fā)，以20°/s的速度順時針方向旋轉(zhuǎn)，射線OQ從OB出發(fā)，以10°/s的速度逆時針方向旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時旋轉(zhuǎn)，當其中一條射線旋轉(zhuǎn)到與∠AOB的邊重合時，運動停止，設旋轉(zhuǎn)的時間為t（s），當t為何值時，射線OP是以射線OA、OQ為邊構(gòu)成角的幸運線？試說明理由．
16．（2022·陜西·西安高新一中實驗中學七年級期末）如圖所示，OA，OB，OC是以直線EF上一點O為端點的三條射線，且∠FOA=20°，∠AOB=60°，∠BOC=10°，射線OP從OF處開始出發(fā)，繞點O逆時針勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)速度為每秒5度：射線OQ從OC處開始出發(fā)，繞點O順時針勻速旋轉(zhuǎn)，兩條射線同時開始旋轉(zhuǎn)（當射線OQ旋轉(zhuǎn)至與射線OF重合時，OP、OQ同時停止運動），旋轉(zhuǎn)時間為t秒.（旋轉(zhuǎn)速度÷旋轉(zhuǎn)角度：旋轉(zhuǎn)時間）
(1)當t＝ 秒，射線OP平分∠AOB時；
(2)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒4度時，請求出當∠POQ=60°時，射線OP旋轉(zhuǎn)的時間；
(3)若射線OQ的旋轉(zhuǎn)速度為每秒3度時，是否存在某個時刻，使得射線OQ，OP，OB中的某一條射線是另兩條射線所夾角的角平分線？若存在，請直接寫出所有滿足題意的的值，若不存在，請說明理由．
17．（2022·福建·福州時代中學七年級期末）已知，OC、OD是過點O的射線，射線OM、ON分別平分∠AOC和∠DOB．
(1)如圖①，若OC、OD是∠AOB的三等分線，則______°
(2)如圖②，若，，則______°
(3)如圖③，在∠AOB內(nèi)，若，則______°
(4)將（3）中的∠COD繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)到∠AOB的外部（，），求此時∠MON的度數(shù)．
考點6：與余角（補角）有關(guān)的證明與計算
典例：（2022·山西運城·七年級期中）如圖（甲），和都是直角．
(1)如果，那么的度數(shù)為______度．若越來越小，則如何變化？
(2)找出圖（甲）中相等的角．如果，他們還會相等嗎？
(3)在圖（乙）中利用能夠畫直角的工具再畫一個與相等的角．
方法或規(guī)律點撥
本題考查余角與補角，正確觀察并分析圖形，熟練掌握余角和補角的意義是解答本題的關(guān)鍵．
鞏固練習
1．（2020·安徽安慶·八年級期中）如果一個角的度數(shù)比它補角的2倍多30°，那么這個角的度數(shù)是（ ）
A．B．C．D．
2．（2022·全國·七年級專題練習）下列說法正確的是（ ）
A．∠A是余角B．∠A和∠B是補角
C．∠A的余角是∠BD．如果∠A和∠B互補，則∠A和∠B能拼成直角
3．（2022·甘肅·臨澤縣第三中學七年級期中）已知∠A與∠B互余，∠B與∠C互補，若∠A＝50°，則∠C的度數(shù)是（ ）
A．40°B．50°C．60°D．140°
4．（2022·遼寧·丹東市第十七中學七年級期末）在同一平面內(nèi)，若與的兩邊分別垂直，且比的3倍少，則的度數(shù)為（ ）
A．B．C．或D．或
5．（2021·貴州畢節(jié)·七年級期末）若的補角與的余角相等，則等于（ ）
A．90°B．60°C．180°D．270°
6．（2022·四川·大竹縣文星中學七年級期中）∠A的補角是125°，則它的余角是（ ）
A．54°B．35°C．25°D．以上均不對
7．（2022·浙江·永嘉縣崇德實驗學校七年級期中）將一個含有45°角的直角三角板如圖所示放置，其中一個45°角的頂點落在直線a上，含90°角的頂點落在直線b上.若a//b，∠2=∠15°，則∠3的度數(shù)為___________°
8．（2021·山東·濟南市鋼城區(qū)實驗學校期末）若一個角的余角為65°．則這個角的補角為___________．
9．（2022·廣東·普寧市普師高級中學七年級期中）已知∠α與∠β互補，∠α＝150°，則∠β的余角的度數(shù)是_________
【答案】 ##60度
10．（2022·安徽·宿城第一初級中學七年級期中）如果一個角的補角是，那么這個角的余角是______．
11．（2022·廣東·佛山市順德區(qū)勒流育賢實驗學校七年級期中）已知∠α是鈍角，∠α與∠β互補，∠β與∠γ互余，則∠α與∠γ的關(guān)系式為________
12．（2021·黑龍江·肇源縣第五中學七年級期中）如圖，直線AB，CD相交于點O，且∠DOE＝3∠COE，∠EOB＝90o，則∠AOD＝____．
13．（2022·全國·七年級開學考試）如圖，已知點A、O、B在一條直線上，∠COD＝90°，OE平分∠AOC，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)．
14．（2022·湖南懷化·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，．
(1)若∠1=∠2，則ON，CD是什么位置關(guān)系？請說明理由．
(2)若，求∠BOC的度數(shù)．
15．（2021·浙江工業(yè)大學附屬實驗學校七年級期中）如圖，BD是∠ABC的平分線，∠ABE+∠BCF＝180°
(1)若∠ABC＝80°，求∠BCF的度數(shù)：
(2)若CB是∠ACF的平分線，∠ADB＝k∠ABD，求k的值．
16．（2022·陜西·西安輔輪中學七年級期末）已知：O是直線AB上的一點，∠COD是直角，OE平分∠BOC．
(1)如圖1，當∠AOC＝40°時，求∠DOE的度數(shù)；
(2)如圖2，OF平分∠BOD，求∠EOF的度數(shù)；
(3)如圖3，∠AOC=36°，此時∠COD繞點O以每秒6°沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)t秒（0≤t”連接）．
10．（2022·山西大同·七年級期末）用一副三角板按如圖方式放置，恰好與重合，則的大小為____________°
11．（2021·湖北·公安縣教學研究中心七年級期末）若的度數(shù)為，且與互余，則的度數(shù)為____．
12．（2022·湖南長沙·七年級期末）如圖，在∠AOB的內(nèi)部有3條射線OC、OD、OE，若∠AOC＝70°，∠BOE＝∠BOC，∠BOD＝∠AOB，則∠DOE＝________°．（用含n的代數(shù)式表示）
三、解答題（13題5分，14題6分，15題7分）
13．（2022·全國·七年級專題練習）（1）如圖，分別確定四個城市相應鐘表上時針與分針所成角的度數(shù)．
（2）每經(jīng)過，時針轉(zhuǎn)過多少度？每經(jīng)過，分針轉(zhuǎn)過多少度？
（3）當時鐘指向上午，時針與分針的夾角是多少度？
（4）請你的同伴任意報一個時間（精確到分），你來確定時針與分針的夾角．
14．（2022·福建省尤溪第一中學文公分校七年級期末）如圖所示，將兩塊三角板的直角頂點重合．
(1)寫出以為頂點的相等的角；
(2)若，求度數(shù)；
(3)寫出與之間所具有的數(shù)量關(guān)系；
(4)當三角板繞點旋轉(zhuǎn)時，你所寫出的（3）中的關(guān)系是否變化？請說明理由．
15．（2021·湖北·十堰市鄖陽區(qū)教學研究室七年級期末）已知，，OM，ON分別是和的平分線．
(1)如圖1，如果OA，OC重合，且OD在的內(nèi)部，求的度數(shù)；
(2)如圖2，固定，將圖1中的繞點O順時針旋轉(zhuǎn)（）．
①與旋轉(zhuǎn)度數(shù)有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由；
②當n為多少時，為直角？
(3)如果的位置和大小不變，的邊OD的位置不變，改變的大?。粚D1中的OC繞著O點順時針旋轉(zhuǎn)（），如圖3，請直接寫出與旋轉(zhuǎn)度數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系：_____．

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